Сумма и разность рациональных выражений. Базовые операции упрощения выражений
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями.Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Пример 1
Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Решение
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1
Ответ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2
Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .
Решение
Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .
Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4
Ответ: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .
Пример 3
Преобразовать выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2
Ответ : x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Пример 4
Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Решение
Данное выражение можно представить в виде a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 (a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Теперь выполняем вычитание:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 - 9 .
Ответ: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5
Представить x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Решение
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x - 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Следует, что x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x
Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .
После деления придем к рациональной дроби вида
2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2 · x - 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x - 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1
Ответ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:
«Да куда уж проще» - говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.
Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.
Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).
Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.
Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».
Прочитал? Если да, то теперь ты готов.
Let"s go! (Поехали!)
Базовые операции упрощения выражений
Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.
Самый простой из них - это
1. Приведение подобных
Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.
Подобные - это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.
Например, в сумме подобные слагаемые - это и.
Вспомнил?
Привести подобные - значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.
А как же нам сложить друг с другом буквы? - спросишь ты.
Это очень легко понять, если представить, что буквы - это какие-то предметы.
Например, буква - это стул. Тогда чему равно выражение?
Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .
А теперь попробуй такое выражение: .
Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.
Например, - это (как обычно) стул, а - это стол.
стула стола стул столов стульев стульев столов
Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами .
Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.
Итак, правило приведения подобных:
Примеры:
Приведите подобные:
Ответы:
2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).
2. Разложение на множители
Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.
После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители , то есть представить в виде произведения.
Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.
Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.
Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)
Примеры:
Решения:
3. Сокращение дроби.
Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?
В этом вся прелесть сокращения.
Все просто:
Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.
Это правило вытекает из основного свойства дроби:
То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).
Чтобы сократить дробь, нужно:
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.
Примеры:
Принцип, я думаю, понятен?
Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить - это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.
Например: надо упростить.
Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.
Еще пример: сократить.
«Самые умные» сделают так:
Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: - это множитель, значит можно сокращать.
Но нет: - это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.
Вот другой пример: .
Это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на, а потом и на:
Можно и сразу поделить на:
Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».
То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:
Примеры:
Решения:
4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Давай вспомним:
Ответы:
1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:
2. Здесь общий знаменатель равен:
3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
a) Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Попробуй сам:
Ответы:
b) Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
· в первую очередь мы определяем общие множители;
· затем выписываем все общие множители по одному разу;
· и домножаем их на все остальные множители, не общие.
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
Это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
· раскладываем знаменатели на множители;
· определяем общие (одинаковые) множители;
· выписываем все общие множители по одному разу;
· домножаем их на все остальные множители, не общие.
Итак, по порядку:
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:
Кстати, есть одна хитрость:
Например: .
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
в степени
в степени
в степени
в степени.
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Давай вспомним основное свойство дроби:
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить, чтобы получить?
Вот на и домножай. А домножай на:
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».
Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.
Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?
Нет, поскольку его можно разложить на множители:
(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).
Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:
Еще пример:
Решение:
Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :
Отлично! Тогда:
Еще пример:
Решение:
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:
Так и напишем:
То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.
Теперь приводим к общему знаменателю:
Усвоил? Сейчас проверим.
Задачи для самостоятельного решения:
Ответы:
5. Умножение и деление дробей.
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Посчитал?
Должно получиться.
Итак, напоминаю.
Первым делом вычисляется степень.
Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
Упростим выражение.
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
2) Получаем:
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Упрости выражение.
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Решение:
Перво-наперво определим порядок действий.
Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.
Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.
Схематически пронумерую действия:
Напоследок дам тебе два полезных совета:
1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.
2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.
Вот тебе задачи для самостоятельного решения:
И обещанная в самом начале:
Ответы:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Теперь вперед к обучению!
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Базовые операции упрощения:
- Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
- Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
- Сокращение дроби
: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.ВАЖНО: сокращать можно только множители!
- Сложение и вычитание дробей:
; - Умножение и деление дробей:
;
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Любое дробное выражение (п. 48) можно записать в виде , где Р и Q - рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Такую дробь - называют рациональной дробью.
Примеры рациональных дробей:
Основное свойство дроби выражается тождеством справедливым при условиях здесь - целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.
Например, свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби - умножить на -1, получим Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свои знак:
Например,
60. Сокращение рациональных дробей.
Сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример. Сократить дробь
Решение. Имеем
Сокращение дроби выполнено при условии .
61. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.
Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).
Например, общим знаменателем дробей и служит многочлен так как он делится и на и на и многочлен и многочлен и многочлен и т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на Еыбранный. Такой простейший знаменатель называют иногда наименьшим общим знаменателем.
В рассмотренном выше примере общий знаменатель равен Имеем
Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на 2. а числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:
1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2) составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;
3) найтн дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, привести дробн к общему знаменателю.
Пример. Привести к общему знаменателю дроби
Решение. Разложим знаменатели на множители:
В общий знаменатель надо включить следующие множители: и наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. . Значит, общий знаменатель имеет вид
Дополнительные множители: для первой дроби для второй для третьей Значит, получаем:
62. Сложение и вычитание рациональных дробей.
Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:
Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Пример 1. Упростить выражение
Решение.
Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.
Пример 2. Упростить выражение
Решение. Имеем
63. Умножение и деление рациональных дробей.
Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей перемножаемых дробей:
Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель - произведению внаменателя первой дроби на числитель второй дроби:
Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот, многочлен в виде дроби со знаменателем 1.
Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.
Пример 1. Выполнить умножение
Решение. Имеем
Использовав правило умножения дробей, получаем:
Пример 2. Выполнить деление
Решение. Имеем
Использовав правило деления, получаем:
64. Возведение рациональной дроби в целую степень.
Чтобы возвести рациональную дробь - в натуральную степень , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение - числитель, а второе выражение - знаменатель результата:
Пример 1. Преобразовать в дробь степень 3.
Решение Решение.
При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество справедливое при всех значениях переменных, при которых .
Пример 2. Преобразовать в дробь выражение
65. Преобразование рациональных выражений.
Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой - целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.
Пример. Упростить выражение
66. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов).
При преобразовании арифметических корией используются их свойства (см. п. 35).
Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.
Пример 1. Извлечь корень из произведения
Решение. Применив свойство 1°, получим:
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня
Решение.
Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования - упростить подкоренное выражение.
Пример 3. Упростить .
Решение. По свойству 3° имеем Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак кория. Имеем
Пример 4. Упростить
Решение. Преобразуем выражение, внеся множитель под знак корня: По свойству 4° имеем
Пример 5. Упростить
Решение. По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом, примере разделить указанные показатели на 3, то получим .
Пример 6. Упростить выражения:
Решение, а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,
б) Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число. Поэтому Далее имеем теперь в полученном результате раз делив показатели корня и степени подкоренного выражения На 3, получим .
Рациональное выражение алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словам, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения… … Википедия
Алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., a2 + b, x/(y z2) … Большой Энциклопедический словарь
Алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Например, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, алгебраическое выражение, не содержащее… … Энциклопедический словарь
Алгебраическое выражение, не содержащее радикалов, например a2 + b, х/(у z3). Если входящие в Р. в. буквы считать переменными, то Р. в. задаёт рациональную функцию (См. Рациональная функция) от этих переменных … Большая советская энциклопедия
Алгебрарическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., а2 + b, х/(y z2) … Естествознание. Энциклопедический словарь
ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
РАЦИОНАЛЬНОЕ - (Rational; Rational) термин, используемый для описания мыслей, чувств и действий, согласуемых с разумом; установка, базирующаяся на объективных ценностях, полученных в результате практического опыта.«Объективные ценности устанавливаются в опыте… … Словарь по аналитической психологии
РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОЗНАНИЕ - субъективный образ объективного мира,полученный с помощью мышления. Мышление – активный процесс обобщенного и опосредованного отражения действительности, обеспечивающий открытие на основе чувственных данных ее закономерных связей и их выражение … Философия науки и техники: тематический словарь
УРАВНЕНИЕ, РАЦИОНАЛЬНОЕ - Логическое или математическое выражение, основанное на (рациональных) предположениях о процессах. Такие уравнения отличаются от эмпирических уравнений тем, что их параметры получаются в результате дедуктивных выводов из теоретических… … Толковый словарь по психологии
РАЦИОНАЛЬНЫЙ, рациональная, рациональное; рационален, рациональна, рационально. 1. прил. к рационализм (книжн.). Рациональная философия. 2. Вполне разумный, обоснованный, целесообразный. Он внес рациональное предложение. Рациональное… … Толковый словарь Ушакова
1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения… … Математическая энциклопедия
На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях
Определение
Рациональное выражение - это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень.
Рассмотрим пример рационального выражения:
Частные случаи рациональных выражений:
1. степень: 
;
2. одночлен: ;
3. дробь: .
Преобразование рационального выражения - это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).
Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений.
Пример 1
Решение:
Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках.
Ответ:
Пример 2
Решение:
Ответ:
Пример 3
Решение:
Ответ: .
Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом.
Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым.
На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования , а также несколько конкретных примеров данных преобразований.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
