Преобразование выражений. Подробная теория (2020)
(1) a m ⋅ a n = a m + n
Пример:
$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$ (2) a m a n = a m − n
Пример:
$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 – 3}} = {a^1} = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Пример:
$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$ (4) (a b) n = a n b n
Пример:
$${\left({\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$ (5) (a m) n = a m ⋅ n
Пример:
$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$ (6) a − n = 1 a n
Примеры:
$${a^{ – 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ – 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$
Свойства квадратного корня:
(1) a b = a ⋅ b , при a ≥ 0 , b ≥ 0
Пример:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b , при a ≥ 0 , b > 0
Пример:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a , при a ≥ 0
Пример:
(4) a 2 = | a | при любом a
Примеры:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m – целое число (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n – натуральное (ℕ = 1, 2, 3, 4 …).
Примеры рациональных чисел:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби m n , это бесконечные непериодические десятичные дроби.
Примеры иррациональных чисел:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число 4 содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи 4 = 2 . Это означает, что число 4 есть число рациональное.
Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.
В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.
Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня
При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.
Пример:
Упростить выражение 2 8 2 .
1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Формулы сокращенного умножения (ФСУ)
Квадрат суммы
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Пример:
(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Квадрат разности
(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Пример:
(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Сумма квадратов не раскладывается на множители
Разность квадратов
(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)
Пример:
25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)
Куб суммы
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Пример:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
Куб разности
(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
Пример:
(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
Сумма кубов
(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)
Пример:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)
Разность кубов
(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)
Пример:
x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = (x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Стандартный вид числа
Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.
Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.
Примеры:
2 5 ; 3 , 05 ; 0 , 1 43 ; 0 , 00 1 2 . Красным цветом выделена первая значащая цифра.
Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:
- Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
- Полученное число умножить на 10 n , где n – число, которое определяется следующим образом:
- n > 0 , если запятая сдвигалась влево (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
- n < 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- абсолютная величина числа n равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.
Примеры:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.
Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как 3,05 ⋅ 10 0 , но поскольку 10 0 = 1 , оставляем число в первоначальном виде.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.
Алгебраическое выражение
выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4
является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:
Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь
Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова
Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия
ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.
Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.
В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.
Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.
Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.
Как решать алгебраические выражения?
Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.
Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.
Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).
А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:
находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);
находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;
вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;
возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);
возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);
находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);
вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);
используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.
Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:
рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:
целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;
дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;
иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.
Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.
Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.
При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .
Примеры решения
Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.
Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).
Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.
Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).
Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.
Заключение
При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.
Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.
Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В публикации представлена логика различия алгебраических выражений для учащихся основного общего и среднего (полного) общего образования как переходной этап формирования логики различий математических выражений применяемых в физике и т.д. для формирования в дальнейшем понятий о явлениях, задачах, их классификации и методологии подхода их решения.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Алгебраические выражения и их характеристики
© Скаржинский Я.Х.
Алгебра, как наука, изучает закономерности действий над множествами, обозначенных буквами. К алгебраическим действиям относят сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. В результате данных действий образовались алгебраические выражения. Алгебраическое выражение - выражение, состоящее из чисел и букв, обозначающих множества, с которым осуществляют алгебраические действия. Данные действия перешли в алгебру из арифметики. В алгебре рассматривают и приравнивание одного алгебраического выражения другому, что является их тождественным равенством. Примеры алгебраических выражений приведены в §1. Методы преобразований и взаимосвязи выражений были тоже позаимствованы у арифметики . Знания арифметических закономерностей действий над арифметическими выражениями позволяют проводить преобразования над похожими алгебраическими выражениями, преобразовывать их, упрощать, сравнивать, анализировать. Алгебра – наука закономерностей преобразований выражений, состоящих из множеств, представленных в виде буквенных обозначений, связанных между собой знаками различных действий. Существуют и более сложные алгебраические выражения, изучаемые в высших учебных заведениях. Пока их можно разделить на виды, наиболее часто применяемые в школьном курсе.
1 Виды алгебраических выражений
п.1 Простые выражения: 4a; (a + b); (a + b)3с; ; .
п.2 Тождественные равенства: (a + b)с = aс + bс; ;
п.3 Неравенства: aс ; a + с .
п.4 Формулы: х=2а+5; у=3b; у=0,5d 2 +2;
п.5 Пропорции:
Первого уровня сложности
Второго уровня сложности
Третьего уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств
a, b, c, m, k, d:
Четвертого уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств а, у:
п.6 Уравнения:
ах+с = -5bх; 4х 2 +2х= 42;
И т.д.
п.7 Функциональные зависимости: у=3х; у=ах 2 +4b; у=0,5х 2 +2;
И т.д.
2 Рассмотрим алгебраические выражения
2.1 В п.1 представлены простые алгебраические выражения. Бывает вид и
сложнее, к примеру:
Как правило, такие выражения не имеют знака «=». Задачей при рассмотрении таких выражений является их преобразование и получение в упрощенном виде. При преобразовании алгебраического выражения, относящегося к п.1, получают новое алгебраическое выражение, которое по своему значению равнозначно предыдущему. Такие выражения, говорят, тождественно равнозначны. Т.е. алгебраическое выражение слева от знака равно, равнозначно по своему значению алгебраическому выражению справа. В таком случае получают алгебраическое выражение нового вида, называемое тождественным равенством (см. п. 2).
2.2 В п.2 представлены алгебраические тождественные равенства , которые образуются при алгебраических методах преобразования, рассматриваются алгебраические выражения, наиболее часто применяемые как методы при решении задач по физике. Примеры тождественных равенств алгебраических преобразований, применяемых часто в математике и физике:
Переместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения:
(a + b)с = aс + bс.
Распределительный закон умножения относительно вычитания:
(a - b)с = aс - bс.
Тождественные равенства дробных алгебраических выражений (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):
Тождественные равенства алгебраических выражений со степенями:
а) ,
где (n раз, ) - степень с целым показателем
б) (a + b) 2 =а 2 +2ab+b 2 .
Тождественные равенства алгебраических выражений с корнями n- й степени:
Выражение - арифметический корень n -й степени из числа В частности, - арифметический квадратный.
Степень с дробным (рациональным) показателем корень:
Тождественные выше приведенные равнозначные выражения применяют для преобразований более сложных алгебраических выражений, не содержащих знака «=».
Рассмотрим пример, в котором для преобразований более сложного алгебраического выражения используют знания, приобретенные при преобразованиях более простых алгебраических выражений в виде тождественных равенств.
2.3 В п.3 представлены алгебраические н еравенства, у которых алгебраическое выражение левой части не равно правой, т.е. не являются тождественными. В таком случае они и являются неравенствами. Как правило, при решении некоторых задач по физике важны свойства неравенств:
1) Если a , то при любом c : a + с .
2) Если a и c > 0 , то aс .
3) Если a и c , то aс > bс .
4) Если a , a и b одного знака, то 1/a > 1/b .
5) Если a и c , то a + с , a - d .
6) Если a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , то ac .
7) Если a , a > 0 , b > 0 , то
8) Если , то
2.4 В п.4 представлены алгебраические формулы т.е. алгебраические выражения, у которых с левой части от знака равенства стоит буква, обозначающая множество, значение которого неизвестно и его следует определить. А с правой части от знака равно стоят множества, значения которых известны. В данном случае это алгебраическое выражение называют алгебраической формулой.
Алгебраическая формула - это алгебраическое выражение, содержащее знак равенства, с левой стороны от которого находится множество, значение которого неизвестно, а справа – множества с известными значениями, исходя из условия задачи. Для определения неизвестного значения множества, стоящего слева от знака «равно», производят подстановку известных значений величин в правой части от знака «равно» и осуществляют арифметические вычислительные действия, обозначенные в алгебраическом выражении в этой части.
Пример 1:
Дано: Решение:
а=25 Пусть дано алгебраическое выражение:
х=? х=2а+5.
Данное алгебраическое выражение является алгебраической формулой т.к. слева от знака «равно» стоит множество, значение которого следует найти, а справа - множества с известными значениями.
Следовательно, можно осуществлять подстановку известного значения для множества «а», для определения неизвестного значения множества «х»:
х=2·25+5=55. Ответ: х=55.
Пример 2:
Дано: Решение:
а=25 Алгебраическое выражение является формулой.
b=4 Поэтому можно осуществлять подстановку известных
c=8 значений для множеств, находящихся справа от знака «равно»,
d=3 для определения неизвестного значения множества «k»,
m=20 стоящего слева:
n=6 Ответ: k=3,2.
В О П Р О С Ы
1 Что собой представляет алгебраическое выражение?
2 Какие виды алгебраических выражений вы знаете?
3 Какое алгебраическое выражение называют тождественным равенством?
4 Для чего необходимо знать шаблоны тождественных равенств?
5 Какое алгебраическое выражение называют формулой?
6 Какое алгебраическое выражение называют уравнением?
7 Какое алгебраическое выражение называют функциональной зависимостью?
Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.
Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?
Вопрос, как говорится, интересный... Дело в том, что эти понятия - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.
Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?
Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать . По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений . Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го ...
Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего...), не мешает разобраться в этой теме.)
Для начала выясним, что такое выражение в математике . Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.
Что такое выражение в математике?
Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений .
3+2 - это математическое выражение. с 2 - d 2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:
5х + 2 = 12
состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.
В общем виде термин "математическое выражение " применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!
Первый вариант ответа: "Это... м-м-м-м... такая штука... в которой... А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?"
Второй вариант ответа: "Обыкновенная дробь - это (бодро и радостно!) математическое выражение , которое состоит из числителя и знаменателя!"
Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)
Вот в этих целях фраза "математическое выражение " очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике .
Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.
Здесь мы освоим (или - повторим, кому как...) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.
Числовые выражения.
Что такое числовое выражение ? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.
7-3 - числовое выражение.
(8+3,2)·5,4 - тоже числовое выражение.
И вот этот монстр:
тоже числовое выражение, да...
Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв - всё это числовые выражения.
Главный признак числового выражения - в нём нет букв . Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?
И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений . Но об этом чуть ниже.
Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция - ничего не делать) - выполняется, когда выражение не имеет смысла .
Когда числовое выражение не имеет смысла?
Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа
то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков...
Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:
(2+3) : (16 - 2·8)
Однако, это выражение тоже не имеет смысла ! По той простой причине, что во вторых скобочках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: "Выражение не имеет смысла!"
Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено... Ну тут уж ничего не поделаешь.
Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме - всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.
Итак, представление о том, что такое числовое выражение - получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла - осознали. Едем дальше.
Алгебраические выражения.
Если в числовом выражении появляются буквы - это выражение становится... Выражение становится... Да! Оно становится алгебраическим выражением . Например:
5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; ...
Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с , к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.
Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка...)
Почему буквенное - понятно. Ну, раз буквы есть... Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными .
В выражении у+5 , например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная" , без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная .
Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры . Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.
В арифметике можно записать, что
А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:
а + b = b + a
мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.
Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?
Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!
Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:
2: (а - 5)
Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а - любое число...
Любое-то любое... Но есть одно значение а , при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла , если а = 5 . Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?
Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение
2: (а - 5)
имеет смысл для любых значений а , кроме а = 5 .
Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.
Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?
А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?
не имеет смысла , наше запретное значение и будет ответом.
Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа , кроме запретного.
Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его... Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.
Преобразование выражений. Тождественные преобразования.
Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза "выражение не имеет смысла". Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.
Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:
Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:
Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:
И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.
Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)
Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:
Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?
Всё не так.) Дело в том, что преобразования "как попало" математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.
Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.
Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)
Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.
Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:
a(b+c) = ab + ac
Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac . И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.
Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:
Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности...) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)
Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
