Algebrinė ir trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma. Paskaita tema: "Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma"

Paskaita

Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma

Planuoti

1. Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

2. Trigonometrinis kompleksinių skaičių žymėjimas.

3. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma.

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

a) Kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais plokštumoje pagal šią taisyklę: a + bi = M ( a ; b ) (1 pav.).

1 paveikslas

b) Kompleksinį skaičių galima pavaizduoti vektoriumi, kuris prasideda taškeAPIE o pabaiga duotame taške (2 pav.).

2 pav

7 pavyzdys. Sudarykite taškus, vaizduojančius kompleksinius skaičius:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3 pav.).

3 pav

Trigonometrinis kompleksinių skaičių žymėjimas.

Sudėtingas skaičiusz = a + bi galima nurodyti naudojant spindulio vektorių su koordinatėmis( a ; b ) (4 pav.).

4 pav

Apibrėžimas . Vektoriaus ilgis , reiškiantis kompleksinį skaičiųz , vadinamas šio skaičiaus moduliu ir žymimas arbar .

Bet kokiam kompleksiniam skaičiuiz jo modulisr = | z | yra vienareikšmiškai nustatoma pagal formulę .

Apibrėžimas . Kampo tarp teigiamos tikrosios ašies krypties ir vektoriaus dydis , reiškiantis kompleksinį skaičių, vadinamas šio kompleksinio skaičiaus argumentu ir žymimasA rg z arbaφ .

Sudėtingų skaičių argumentasz = 0 neapibrėžtas. Sudėtingų skaičių argumentasz≠ 0 – daugiareikšmis dydis ir nustatomas per terminą2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kurarg z – pagrindinė argumento reikšmė, esanti intervale(-π; π] , tai yra-π < arg z ≤ π (kartais intervalui priklausanti reikšmė laikoma pagrindine argumento reikšme .

Ši formulė, kair =1 dažnai vadinama Moivre formule:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11 pavyzdys: Apskaičiuokite(1 + i ) 100 .

Parašykime kompleksinį skaičių1 + i trigonometrine forma.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + aš nusidedu )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i nuodėmė ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimas.

Imant kvadratinę šaknį iš kompleksinio skaičiausa + bi turime du atvejus:

Jeigub >o , Tai ;

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, užrašytais algebrine forma

Kompleksinio skaičiaus z = algebrinė forma(a,b).vadinama algebrine formos išraiška

z = a + bi.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais z 1 =a 1 +b 1 i Ir z 2 =a 2 +b 2 i, parašyti algebrine forma, atliekami taip.

1. Kompleksinių skaičių suma (skirtumas).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ± b 2)∙ aš,

tie. sudėjimas (atimtis) atliekamas pagal polinomų sudėjimo su panašių narių redukcija taisyklę.

2. Kompleksinių skaičių sandauga

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙ aš,

tie. daugyba atliekama pagal įprastą daugianario daugybos taisyklę, atsižvelgiant į tai, kad i 2 = 1.

3. Dviejų kompleksinių skaičių dalyba atliekama pagal šią taisyklę:

, (z 2 ≠ 0),

tie. dalyba atliekama padauginus dividendą ir daliklį iš daliklio konjuguoto skaičiaus.

Kompleksinių skaičių didinimas apibrėžiamas taip:

Tai lengva parodyti

Pavyzdžiai.

1. Raskite kompleksinių skaičių sumą z 1 = 2 – i Ir z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ aš)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Raskite kompleksinių skaičių sandaugą z 1 = 2 – 3i Ir z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3aš∙ 5aš = 7+22i.

3. Raskite koeficientą z nuo padalijimo z 1 = 3 – 2 na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Išspręskite lygtį: , x Ir y Î R.

(2x+y) + (x+y)aš = 2 + 3i.

Dėl kompleksinių skaičių lygybės turime:

kur x =–1 , y= 4.

5. Apskaičiuokite: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,t.y -2 .

6. Apskaičiuokite, jei .

.

7. Apskaičiuokite skaičiaus atvirkštinę vertę z=3-i.

Sudėtiniai skaičiai trigonometrine forma

Sudėtinga plokštuma vadinama plokštuma su Dekarto koordinatėmis ( x, y), jei kiekvienas taškas su koordinatėmis ( a, b) yra susietas su kompleksiniu skaičiumi z = a + bi. Šiuo atveju vadinama abscisių ašis tikroji ašis, o ordinačių ašis yra įsivaizduojamas. Tada kiekvienas kompleksinis skaičius a+bi geometriškai pavaizduotas plokštumoje kaip taškas A (a, b) arba vektorius.

Todėl taško padėtis A(ir todėl kompleksinis skaičius z) galima nurodyti pagal vektoriaus ilgį | | = r ir kampas j, kurį sudaro vektorius | | su teigiama tikrosios ašies kryptimi. Vektoriaus ilgis vadinamas kompleksinio skaičiaus modulis ir žymimas | z |=r, ir kampas j paskambino kompleksinio skaičiaus argumentas ir yra paskirtas j = arg z.

Aišku, kad | z| ³ 0 ir | z | = 0 Û z = 0.

Iš pav. 2 aišku, kad.

Kompleksinio skaičiaus argumentas nustatomas dviprasmiškai, bet 2 tikslumu pk, kÎ Z.

Iš pav. 2 taip pat aišku, kad jei z=a+bi Ir j = arg z, Tai

cos j =, nuodėmė j =, tg j = .

Jeigu zÎR Ir z> 0, tada arg z = 0 +2pk;

Jeigu z ОR Ir z< 0, tada arg z = p + 2pk;

Jeigu z = 0,arg z neapibrėžtas.

Pagrindinė argumento reikšmė nustatoma intervale 0 £ arg z£2 p,

arba -p£ arg z £ p.

Pavyzdžiai:

1. Raskite kompleksinių skaičių modulį z 1 = 4 – 3i Ir z 2 = –2–2i.

2. Apibrėžkite sritis kompleksinėje plokštumoje, apibrėžtoje sąlygomis:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 svarai sterlingų; 3) | z – (2+i) | £3; 4) £6 | z – i| £7.

Sprendimai ir atsakymai:

1) | z| = 5 Û Û - apskritimo, kurio spindulys 5 ir centras pradinėje vietoje, lygtis.

2) Apskritimas, kurio spindulys yra 6, kurio centras yra pradžioje.

3) Apskritimas, kurio spindulys 3 su centru taške z 0 = 2 + i.

4) Žiedas, apribotas apskritimų, kurių spindulys yra 6 ir 7, kurio centras yra taške z 0 = i.

3. Raskite skaičių modulį ir argumentą: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Patarimas: nustatydami pagrindinį argumentą naudokite kompleksinę plokštumą.

Taigi: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Norėdami nustatyti taško padėtį plokštumoje, galite naudoti polines koordinates [g, (r), Kur G yra taško atstumas nuo pradžios ir (R- kampas, kuris sudaro spindulį - šio taško vektorius su teigiama ašies kryptimi Oi. Teigiama kampo kitimo kryptis (R Nagrinėjama kryptis prieš laikrodžio rodyklę. Pasinaudojus ryšiu tarp Dekarto ir polinių koordinačių: x = g cos vid., y = g sin (p,

gauname kompleksinio skaičiaus užrašymo trigonometrinę formą

z - r(sin (p + i sin

Kur G

Xi + y2, (p yra kompleksinio skaičiaus argumentas, kuris randamas iš

l X . m y

formules cos (p --, sin^9 ​​= - arba dėl to, kad tg(p --, (p-arctg

Atkreipkite dėmesį, kad renkantis vertes trečia iš paskutinės lygties būtina atsižvelgti į ženklus x ir y.

47 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma 2 = -1 + l/Z / .

Sprendimas. Raskime kompleksinio skaičiaus modulį ir argumentą:

= yj 1 + 3 = 2 . Kampas trečia randame iš santykių cos (p = -, sin(p = - . Tada

mes gauname cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Akivaizdu, kad taškas z = -1 + V3-/ yra
• 2 Į 3

antrajame ketvirtyje: (R= 120°

Pakeičiant

2 k.. cos—h; nuodėmė

formulėje (1) rasta 27Г L

komentuoti. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o termino, kuris yra kartotinis, ribose 2p. Tada per sp^gžymėti

argumento reikšmė įtraukta į vidų (0 p %2 Tada

A)^r = + 2kk.

Naudojant garsiąją Eulerio formulę e, gauname kompleksinio skaičiaus užrašymo eksponentinę formą.

Mes turime r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Operacijos su kompleksiniais skaičiais

• 1. Dviejų kompleksinių skaičių suma r, = X] + y x/ ir g 2 - x 2 +y 2 / nustatomas pagal formulę r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Kompleksinių skaičių atėmimo operacija apibrėžiama kaip atvirkštinė sudėjimo operacija. Sudėtingas skaičius g = g x - g 2, Jeigu g 2 + g = g x,

yra kompleksinių skaičių 2 skirtumas ir g 2. Tada r = (x, - x 2) + (y, - adresu 2) /.

• 3. Dviejų kompleksinių skaičių sandauga g x= x, +y, -z ir 2 2 = x 2+ U2‘r nustatoma pagal formulę
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

Visų pirma, y-y= (x + y-y)(x-y /) = x 2 + y 2.

Galite gauti formules kompleksiniams skaičiams dauginti eksponentinėmis ir trigonometrinėmis formomis. Mes turime:

• 1^ 2 – G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + vid. 2) + isin
• 4. Kompleksinių skaičių dalyba apibrėžiama kaip atvirkštinė operacija

daugyba, t.y. numerį G-- vadinamas dalybos r koeficientu! ant g 2,

Jeigu g x -1 2 ? 2 . Tada

X + Ti_ (*і + TV 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (R-,)] >2 >2
• 5. Kompleksinį skaičių pakelti iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio geriausia padaryti, jei skaičius parašytas eksponentine arba trigonometrine forma.

Tikrai, jei g = ge 1 tada

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Formulė g" =r n (cosn(p+yra n(p) vadinama Moivre'o formule.

6. Šaknų ištraukimas P- kompleksinio skaičiaus laipsnis apibrėžiamas kaip atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija p, p- 1,2,3,... t.y. kompleksinis skaičius = y[g vadinamas šaknimi P- kompleksinio skaičiaus laipsnis

g, jei G = g x. Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad g - g", A g x= l/g. (r-psr x, A sr^-sr/p, kuri išplaukia iš Moivre'o formulės, parašytos skaičiui = r/*+ іьіпп(р).

Kaip minėta pirmiau, kompleksinio skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o iki termino, kuris yra 2 kartotinis. ir.Štai kodėl = (p + 2pk, ir skaičiaus r argumentas, priklausomai nuo į, pažymėkime (r k ir bu

dem apskaičiuokite pagal formulę (r k= - +. Aišku, kad yra P com-

kompleksiniai skaičiai, P-kurios laipsnis lygus skaičiui 2. Šie skaičiai turi vieną

ir tas pats modulis lygus y[g, o šių skaičių argumentai gaunami pagal Į = 0, 1, P - 1. Taigi trigonometrine forma i-oji šaknis apskaičiuojama pagal formulę:

(p + 2 kp . . Trečiadienis + 2 kp

, Į = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

o eksponentine forma – pagal formulę l[g - y[ge p

48 pavyzdys. Atlikite operacijas su kompleksiniais skaičiais algebrine forma:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/2 - 2 l/2 / ? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2 l / 2 / DZ + /) = (- 5 - l / 2 / DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

49 pavyzdys. Pakelkite skaičių r = Uz - / iki penktojo laipsnio.

Sprendimas. Gauname skaičiaus r rašymo trigonometrinę formą.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1–2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O" (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Iš čia O--, A r = 2

Mes gauname Moivre: aš -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- ІБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2 .

50 pavyzdys: Raskite visas reikšmes

Sprendimas, r = 2, a trečia randame iš lygties sob(p = -,zt--.

Šis taškas 1 - /d/z yra IV ketvirtyje, t.y. f =--. Tada

• 1 - 2
• ( ( UG L

Iš išraiškos randame šaknines reikšmes

V1 – /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- ir 81P-

At į - 0 turime 2 0 = l/2

Skaičiaus 2 šaknies reikšmes galite rasti pateikdami skaičių ekrane

-* Į/ 3 + 2 kl

At Į= 1 turime kitą šaknies reikšmę:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

bendrai? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

telialinė forma. Nes r= 2, a trečia= , tada g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2