Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys. Atsitiktiniai kintamieji
Kaip jau žinoma, pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau dažnai paskirstymo dėsnis nežinomas ir tenka apsiriboti mažiau informacijos. Kartais netgi labiau apsimoka naudoti skaičius, apibūdinančius atsitiktinį kintamąjį sumoje; tokie numeriai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.
Viena iš svarbių skaitinių charakteristikų yra matematinis lūkestis.
Matematinis lūkestis yra maždaug lygus vidutinei atsitiktinio dydžio reikšmei.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų jo verčių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Jei atsitiktiniam dydžiui būdinga baigtinė skirstinio seka:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | 1 p | 2 p | 3 p | … | r p |
tada matematinis lūkestis M(X) nustatoma pagal formulę:
Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį lemia lygybė:
kur yra atsitiktinio dydžio tikimybės tankis X.
4.7 pavyzdys. Raskite matematinį taškų, kurie atsiranda metant kauliuką, skaičių.
Sprendimas:
Atsitiktinė vertė X ima reikšmes 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sukurkime jo pasiskirstymo dėsnį:
| X | ||||||
| R |
Tada matematinė viltis yra tokia:
Matematinės lūkesčių savybės:
1. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:
M (S) = S.
2. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo:
M (CX) = CM (X).
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
M(XY) = M(X)M(Y).
4.8 pavyzdys. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Raskite atsitiktinio dydžio XY matematinį tikėjimą.
Sprendimas.
Raskime kiekvieno iš šių dydžių matematinius lūkesčius:
Atsitiktiniai kintamieji X Ir Y nepriklausomas, todėl reikalingas matematinis lūkestis yra:
M(XY) = M(X)M(Y) =
Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Pasekmė. Kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
4.9 pavyzdys. Paleidžiami 3 šūviai, kurių tikimybė pataikyti į taikinį yra lygi 1 p = 0,4; p2= 0,3 ir 3 p= 0,6. Raskite matematinį viso paspaudimų skaičiaus lūkestį.
Sprendimas.
Pirmojo šūvio smūgių skaičius yra atsitiktinis dydis X 1, kuri gali turėti tik dvi reikšmes: 1 (pataika) su tikimybe 1 p= 0,4 ir 0 (netaikoma) su tikimybe q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematinė pirmojo šūvio smūgių skaičiaus prognozė yra lygi pataikymo tikimybei:
Panašiai randame matematinius antrojo ir trečiojo smūgių skaičiaus lūkesčius:
M(X 2)= 0,3 ir M(X 3)= 0,6.
Bendras įvykių skaičius taip pat yra atsitiktinis dydis, sudarytas iš kiekvieno iš trijų kadrų įvykių sumos:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Reikalingas matematinis lūkestis X Jį randame naudodami matematinio sumos lūkesčio teoremą.
Kiekvieną atskirą reikšmę visiškai lemia jos paskirstymo funkcija. Taip pat praktiniams uždaviniams spręsti pakanka žinoti keletą skaitinių charakteristikų, kurių dėka galima trumpa forma pateikti pagrindinius atsitiktinio dydžio požymius.
Šie kiekiai visų pirma apima tikėtina vertė Ir dispersija .
Tikėtina vertė— tikimybių teorijos atsitiktinio dydžio vidutinė vertė. Žymima kaip.
Paprasčiausiu būdu matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X(w), rask kaip integralasLebesgue tikimybės mato atžvilgiu R originalus tikimybių erdvė
Taip pat galite rasti matematinį vertės as lūkestį Lebesgue integralas iš X pagal tikimybių pasiskirstymą R X kiekiai X:
kur yra visų galimų reikšmių rinkinys X.
Matematinis funkcijų tikėjimasis iš atsitiktinio dydžio X rasti platinant R X. Pavyzdžiui, Jei X- atsitiktinis dydis, kurio reikšmės yra ir f(x)- vienareikšmiškai Boreliofunkcija X , Tai:
Jeigu F(x)- paskirstymo funkcija X, tada matematinis lūkestis yra reprezentatyvus integralasLebesgue – Stieltjes (arba Riemann – Stieltjes):
šiuo atveju integralumas X Kalbant apie ( * ) atitinka integralo baigtinumą
Ypatingais atvejais, jei X turi diskrečiųjų skirstinį su tikėtinomis reikšmėmis x k, k = 1, 2, . , ir tikimybės, tada
Jeigu X turi absoliučiai nenutrūkstamą pasiskirstymą su tikimybių tankiu p(x), Tai
šiuo atveju matematinio lūkesčio egzistavimas yra tolygus absoliučiai atitinkamos eilutės arba integralo konvergencijai.
Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės.
- Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai reikšmei:
C- pastovus;
- M=C.M[X]
- Atsitiktinai paimtų verčių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai:
- Nepriklausomų atsitiktinai paimtų kintamųjų sandaugos matematinis lūkestis = jų matematinių lūkesčių sandauga:
M = M[X] + M[Y]
Jeigu X Ir Y nepriklausomas.
jei serija susilieja:
Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas.
Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių savybės: visas jų reikšmes galima pernumeruoti natūraliaisiais skaičiais; kiekvienai reikšmei priskirkite nulinę tikimybę.
1. Padauginkite poras po vieną: x iįjungta p i.
2. Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i.
Pavyzdžiui, Dėl n = 4 :
Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija laipsniškai jis staigiai didėja tuose taškuose, kurių tikimybės turi teigiamą ženklą.
Pavyzdys: Raskite matematinį lūkestį naudodami formulę.
DSV charakteristikos ir jų savybės. Lūkesčiai, dispersija, standartinis nuokrypis
Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau kai neįmanoma rasti pasiskirstymo dėsnio arba to nereikia, galite apsiriboti reikšmių, vadinamų atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis, paieška. Šios vertės nustato tam tikrą vidutinę reikšmę, aplink kurią sugrupuojamos atsitiktinio dydžio reikšmės, ir laipsnį, kuriuo jos yra išsibarsčiusios aplink šią vidutinę vertę.
Matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.
Tikimybės požiūriu galime teigti, kad matematinis lūkestis yra maždaug lygus atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetiniam vidurkiui.
Pavyzdys. Yra žinomas diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis. Raskite matematinį lūkestį.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Sprendimas:
9.2 Matematinės lūkesčių savybės
1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai.
2. Pastovus veiksnys gali būti išimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas.
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Ši savybė galioja savavališkam atsitiktinių dydžių skaičiui.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
Ši savybė galioja ir savavališkam atsitiktinių dydžių skaičiui.
Tegu bus atlikta n nepriklausomų bandymų, kurių tikimybė, kad įvyks įvykis A, lygi p.
Teorema.Įvykio A atvejų skaičiaus matematinė prognozė M(X) n nepriklausomų bandymų yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio tikimybės sandaugai kiekviename bandyme.
Pavyzdys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Sprendimas:
9.3 Diskretaus atsitiktinio dydžio sklaida
Tačiau matematinis lūkestis negali visiškai apibūdinti atsitiktinio proceso. Be matematinio lūkesčio, būtina įvesti reikšmę, kuri apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypį nuo matematinio lūkesčio.
Šis nuokrypis yra lygus skirtumui tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio. Šiuo atveju matematinis nuokrypio lūkestis yra lygus nuliui. Tai paaiškinama tuo, kad vieni galimi nukrypimai yra teigiami, kiti – neigiami ir dėl jų abipusio panaikinimo gaunamas nulis.
Sklaida (sklaidymas) diskretinio atsitiktinio dydžio matematinis tikėjimasis atsitiktinio dydžio nuokrypio kvadratu nuo jo matematinio lūkesčio.
Praktiškai šis dispersijos skaičiavimo būdas yra nepatogus, nes dėl to reikia atlikti sudėtingus daugelio atsitiktinių kintamųjų verčių skaičiavimus.
Todėl naudojamas kitas metodas.
Teorema. Dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato.
Įrodymas. Atsižvelgdami į tai, kad matematinis lūkestis M(X) ir matematinės lūkesčio M2(X) kvadratas yra pastovūs dydžiai, galime rašyti:
Pavyzdys. Raskite pasiskirstymo dėsniu pateiktą diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Sprendimas:.
9.4 Dispersijos savybės
1. Pastovios reikšmės dispersija lygi nuliui. .
2. Pastovųjį koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo jį padalijus kvadratu. .
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
4. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija yra lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio įvykio tikimybė p yra pastovi, yra lygi bandymų skaičiaus sandaugai iš įvykio ir neįvykio tikimybių. įvykio pasireiškimas kiekviename tyrime.
9.5 Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis
Standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi.
Teorema. Baigtinio skaičiaus tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos standartinis nuokrypis yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadratų sumos kvadratinei šaknei.
Atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė (vidutinė vertė), pateikta diskrečioje tikimybių erdvėje, yra skaičius m =M[X]=∑x i p i, jei eilutė absoliučiai suartėja.
Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi internetine paslauga apskaičiuojama matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis(žr. pavyzdį). Be to, nubraižytas skirstinio funkcijos F(X) grafikas.
Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės
- Matematinis pastovios reikšmės lūkestis lygus sau pačiam: M[C]=C, C – konstanta;
- M=C M[X]
- Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: M=M[X]+M[Y]
- Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M=M[X] M[Y] , jei X ir Y yra nepriklausomi.
Dispersijos savybės
- Konstantos reikšmės dispersija lygi nuliui: D(c)=0.
- Pastovų koeficientą galima ištraukti iš po dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
- Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sumos dispersija lygi dispersijų sumai: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Sklaidai tinka ši skaičiavimo formulė:
D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2
Pavyzdys. Žinomi dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai ir dispersijos: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Raskite atsitiktinio dydžio Z=9X-8Y+7 matematinę lūkestį ir dispersiją.
Sprendimas. Remiantis matematinio lūkesčio savybėmis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Remiantis dispersijos savybėmis: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas
Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių savybės: visas jų reikšmes galima pernumeruoti natūraliaisiais skaičiais; Kiekvienai reikšmei priskirkite nulinę tikimybę.- Poras dauginame po vieną: x i iš p i .
- Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i .
Pavyzdžiui, jei n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
1 pavyzdys.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematinį lūkestį randame naudodami formulę m = ∑x i p i .
Laukimas M[X].
M[x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Dispersiją randame naudodami formulę d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Nuokrypis D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standartinis nuokrypis σ(x).
σ = kvadratas(D[X]) = kvadratas(7,69) = 2,78
2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis kintamasis turi tokią pasiskirstymo eilutę:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Sprendimas. A reikšmė randama iš santykio: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 arba 0,24 = 3 a , iš kur a = 0,08
3 pavyzdys. Nustatykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, jei žinoma jo dispersija, ir x 1
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Sprendimas.
Čia reikia sukurti dispersijos d(x) nustatymo formulę:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
kur lūkestis m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Mūsų duomenims
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
arba -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Atitinkamai, turime rasti lygties šaknis, ir jų bus dvi.
x 3 = 8, x 3 = 12
Pasirinkite tą, kuris atitinka sąlygą x 1
Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
x 1 = 6; x 2 =9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau dažnai paskirstymo dėsnis nežinomas ir tenka apsiriboti mažiau informacijos. Kartais netgi naudingiau naudoti skaičius, apibūdinančius atsitiktinį kintamąjį iš viso, tokie skaičiai vadinami skaitinės charakteristikos atsitiktinis kintamasis. Viena iš svarbių skaitinių charakteristikų yra matematinis lūkestis.
Matematinis lūkestis, kaip bus parodyta toliau, yra maždaug lygus vidutinei atsitiktinio dydžio vertei. Norint išspręsti daugelį problemų, pakanka žinoti matematinį lūkestį. Pavyzdžiui, jei žinoma, kad pirmojo šaulio surinktų taškų matematinis lūkestis yra didesnis nei antrojo šaulys, tai pirmasis šaulys vidutiniškai surenka daugiau taškų nei antrasis, todėl šaudo geriau. nei antrasis.
Apibrėžimas 4.1: Matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Tegul atsitiktinis dydis X gali imti tik vertybes x 1, x 2, … x n, kurių tikimybės atitinkamai lygios p 1, p 2, … p n. Tada matematinis lūkestis M(X) atsitiktinis dydis X yra nulemtas lygybės
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Jei diskretinis atsitiktinis dydis X tada paima skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį
,
Be to, matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.
Pavyzdys. Raskite matematinį įvykio įvykių skaičių A per vieną bandymą, jei įvykio tikimybė A lygus p.
Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– įvykio atvejų skaičius A turi Bernulio paskirstymą, taigi
Taigi, matematinis įvykio pasikartojimų skaičius per vieną bandymą yra lygus šio įvykio tikimybei.
Tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė
Tegul jis gaminamas n testai, kuriuose atsitiktinis dydis X priimtas m 1 kartų vertės x 1, m 2 kartų vertės x 2 ,…, m k kartų vertės x k, ir m 1 + m 2 + …+ m k = n. Tada visų paimtų verčių suma X, yra lygus x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Visų atsitiktinio dydžio reikšmių aritmetinis vidurkis bus
Požiūris m i/n- santykinis dažnis W i vertybes x i maždaug lygi įvykio tikimybei p i, Kur , Štai kodėl
Tikimybinė gauto rezultato reikšmė yra tokia: matematinis lūkestis yra maždaug vienodas(kuo tikslesnis, tuo didesnis testų skaičius) atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis.
Matematinės lūkesčių savybės
1 nuosavybė:Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai
2 nuosavybė:Pastovus veiksnys gali būti paimtas už matematinio lūkesčio ženklo
4.2 apibrėžimas: Du atsitiktiniai dydžiai yra vadinami nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes įgavo kitas dydis. Priešingu atveju atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi.
4.3 apibrėžimas: Keli atsitiktiniai dydžiai paskambino tarpusavyje nepriklausomi, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes turėjo kiti dydžiai.
3 nuosavybė:Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Pasekmė:Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
4 nuosavybė:Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.
Pasekmė:Kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai.
Pavyzdys. Apskaičiuokime binominio atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą X –įvykio įvykio data A V n eksperimentai.
Sprendimas: Iš viso Xįvykio įvykiai Ašiuose bandymuose yra įvykio atvejų skaičiaus atskiruose bandymuose suma. Įveskime atsitiktinius kintamuosius X i– įvykio atvejų skaičius i testas, kurie yra Bernulio atsitiktiniai dydžiai su matematiniais lūkesčiais, kur . Pagal matematinių lūkesčių savybę turime
Taigi, binominio skirstinio su parametrais n ir p matematinė lūkestis yra lygi sandaugai np.
Pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį šaudant iš ginklo p = 0,6. Raskite matematinį viso pataikymo skaičių, jei bus paleista 10 šūvių.
Sprendimas: Kiekvieno šūvio pataikymas nepriklauso nuo kitų šūvių rezultatų, todėl nagrinėjami įvykiai yra nepriklausomi, taigi ir norimas matematinis lūkestis
