Точки которые принадлежат кругу. Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

Демонстрационный материал: циркуль, материал для опыта: предметы круглой формы и верёвочки (на каждого ученика) и линейки; модель круга, цветные мелки.

Цель: Изучение понятия «окружность» и ее элементов, установление связи между ними; введение новых терминов; формирование умения проводить наблюдения и с помощью экспериментальных данных делать выводы; воспитание познавательного интереса к математике.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие. Постановка цели.

II. Устный счёт

III. Новый материал

Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные: треугольник и окружность. Эти фигуры известны вам с раннего детства. Как дать определение треугольника? Через отрезки! А как же определить что такое окружность? Ведь эта линия в каждой точке изгибается! Известный математик Гратендик, вспоминая свои школьные годы, заметил, что увлёкся математикой после того, как узнал определение окружности.

Начертим окружность с помощью геометрического прибора - циркуля. Построение окружности демонстрационным циркулем на доске:

отметим точку на плоскости;
ножку циркуля с остриём совмещаем с отмеченной точкой, а ножку с грифелем вращаем вокруг этой точки.

Получилась геометрическая фигура - окружность.

(Слайд №1)

Так что же такое окружность?

Определение. Окружность - это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

(Слайд № 2)

На сколько частей делит окружность плоскость?

Точка О- центр окружности.

ОR - радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой). По-латыни radius- спица колеса.

AB – хорда окружности (это отрезок, соединяющий любые две точки на окружности).

DC – диаметр окружности (это хорда, проходящая через центр окружности). Диаметр- с греческого “ поперечник".

DR– дуга окружности (это часть окружности, ограниченная двумя точками).

Сколько в окружности можно провести радиусов, диаметров?

Часть плоскости внутри окружности и сама окружность образуют круг.

Определение. Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Расстояние от любой точки круга до центра круга не превышает расстояния от центра круга до любой точки на окружности.

Чем отличаются друг от друга окружность и круг, и что в них общего?

Как связаны между собой длины радиуса (r) и диаметра (d) одной окружности?

d = 2 * r (d – длина диаметра; r – длина радиуса)

Как связаны между собой длины диаметра и любой хорды?

Диаметр – это наибольшая из хорд окружности!

Окружность – удивительно гармоничная фигура, древние греки считали её самой совершенной, так как окружность – единственная кривая, которая может “ скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра. Основное свойство окружности даёт ответ на вопросы, почему для её вычерчивания используют циркуль и почему колёса делают круглыми, а не квадратными или треугольными. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до XVI века не знали колеса.

Окружность можно изобразить на клетчатой бумаге без циркуля, то есть от руки. Правда окружность получается определённого размера. (Учитель показывает на клетчатой доске)

Правило изображения такой окружности записывается так 3-1, 1-1, 1-3.

Начертите от руки четверть такой окружности.

Скольким клеткам равен радиус этой окружности? Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки (без правил) мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля (центр указывал художник) не показывала никаких отклонений.

Лабораторная работа

Вы уже знаете, как измерять длину отрезка, находить периметры многоугольников (треугольника, квадрата, прямоугольника). А как измерить длину окружности, если сама окружность – кривая линия, а единица измерения длины – отрезок?

Есть несколько способов измерения длины окружности.

След от круга (один оборот) на прямой.

Учитель на доске чертит прямую, отмечает точку на ней и на границе модели круга. Совмещает их, а затем плавно катит круг по прямой до тех пор, пока отмеченная точка А на окружности не окажется на прямой в точке В . Отрезок АВ тогда будет равен длине окружности.

Леонардо да Винчи: "Движение повозок всегда показывало нам, как спрямлять окружность круга".

Задание ученикам:

а) выполнить чертёж окружности, обведя дно круглого предмета;

б) обернуть дно предмета ниткой (один раз) так, чтобы конец нитки совпал с началом в одной и той же точке окружности;

в) распрямить эту нить до отрезка и по линейке измерить её длину, это и будет длина окружности.

Учитель интересуется результатами измерений у нескольких учеников.

Однако эти способы непосредственного измерения длины окружности малоудобные и дают грубоприблежённые результаты. Поэтому уже с древних времён начали искать более совершенные способы измерения длины окружности. В процессе измерений заметили, что между длиной окружности и длиной её диаметра имеется определённая зависимость.

г) Измерьте диаметр дна предмета (наибольшую из хорд окружности);

д) найдите отношение С:d (с точностью до десятых).

Спросить у нескольких учеников результаты вычислений.

Многие учёные – математики пытались доказать, что это отношение есть число постоянное, не зависящее от размеров окружности. Впервые это удалось сделать древнегреческому математику Архимеду. Он нашёл довольно точное значение этого отношения.

Это отношение стали обозначать греческой буквой (читается “пи”) – первая буква греческого слова “периферия” – круг.

С – длина окружности;

d – длина диаметра.

Исторические сведения о числе π:

Архимед, живший в Сиракузах (Сицилия) с 287 г. до 212 г. до н.э., нашёл без измерений, одними лишь рассуждениями значение

На самом деле число π не может быть выражено какой – либо точной дробью. Математик XVI века Лудольф имел терпение вычислить его с 35 десятичными знаками и завещал вырезать это значение π на своём могильном памятнике. В 1946 – 1947 гг. два учёных независимо друг от друга вычислили 808 десятичных знаков числа π. Сейчас же на ЭВМ найдено более миллиарда знаков числа π.

Приближённое значение π с точностью до пяти десятичных знаков можно запомнить по следующей строчке (по числу букв в слове):

π ≈ 3,14159 –“ это я знаю и помню прекрасно”.

Знакомство с формулой длины окружности

Зная то, что С:d = π, чему будет равна длина окружности С?

(Слайд №3) C = πd C = 2πr

Как появилась вторая формула?

Читается: длина окружности равна произведению числа π на её диаметр (или удвоенному произведению числа π на её радиус).

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса.

S= π r 2

IV. Решение задач

№1. Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

Решение: π ≈ 3,14.

Если r = 24 см, то C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72(см).

Ответ: длина окружности 150,72 см.

№2 (устно): Как найти длину дуги, равной полуокружности?

Задача: Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1 метр, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь?

Решение: C = 2 πR, С+1 = 2π(R+х)

Не только мышь, но и крупный кот проскочит в такой промежуток. А казалось бы, что значит 1 м по сравнению с 40 млн. метров земного экватора?

V. Заключение

На какие основные моменты нужно обратить внимание при построении окружности?
Какие моменты урока был вам наиболее интересны?
Что нового вы узнали на этом уроке?

Решение кроссворда с картинками (Слайд №3)

Оно сопровождается повторением определений круга, хорды, дуги, радиуса, диаметра, формул длины окружности. И как результат - ключевое слово: «ОКРУЖНОСТЬ» (по горизонтали).

Итог урока : выставление оценок, комментарии по выполнению домашнего задания. Домашнее задание: п. 24, №853, 854. Провести эксперимент по нахождению числа π ещё 2 раза.

Это замкнутая плоская линия, всякая точки которой равноудалена от одной и той же точки (O ), называемой центром .

Прямые (OA , OB , OС. . .), соединяющие центр с точками окружности - это радиусы .

Из этого получаем:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Два круга с одинаковыми радиусами будут равны.

3. Диаметр равен двум радиусам.

4. Точка , лежащая внутри круга, ближе к центру, а точка, лежащая вне круга, дальше от центра, чем точки окружности.

5. Диаметр , перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

6. Дуги , заключенные между параллельными хордами , равны.

При работе с окружностями применяют следующие теоремы:

1. Теорема . Прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.

Из этой теоремы получаем два логично вытекающих следствия:

Никакая часть окружности не может совместиться с прямой, потому что в противном случае окружность с прямой имела бы более двух общих точек.

Линия, никакая часть которой не может совместиться с прямой, называется кривой .

Из предыдущего следует, что окружность есть кривая линия .

2. Теорема . Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и только одну.

Как следствие данной теоремы получаем:

Три перпендикуляра к сторонам треугольника вписанного в окружность проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности.

Решим задачу. Требуется найти центр предложенной окружности .

Отметим на предложенной три любые точки A, B и С, начертим через них две хорды , например, AB и СB, и из середины этих хорд укажем перпендикуляры MN и PQ. Искомый центр, будучи одинаково удален от A, B и С, должен лежать и на MN, и на PQ, следовательно, он находится на пересечении этих перпендикуляров, т.е. в точке O.

И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

d = 2r
D = 2R

Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

C = ¶d
C = 2¶r

Примеры
Дано: d = 100 см.
Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
Дано: d = 25 мм.
Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Секущая окружности и дуга окружности

Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

Примеры
Дано: r = 100 см
Площадь круга:
S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
Дано: d = 50 мм
Площадь круга:
S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали заниматься геометрической фигурой - кругом на плоскости - очень давно.

Кругом с центром и радиусом называется множество точек плоскости, удаленных от на расстояние, не большее . Круг ограничен окружностью, состоящей из точек, удаленных от центра в точности на расстояние . Отрезки, соединяющие центр с точками окружности, имеют длину и также называются радиусами (круга, окружности). Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называются круговыми секторами (рис. 1). Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности, - делит круг на два сегмента, а окружность – на две дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам. Хорда тем длиннее, чем ближе она расположена к центру; самые длинные хорды - хорды, проходящие через центр, - называются диаметрами (круга, окружности).

Если прямая удалена от центра круга на расстояние , то при она не пересекается с кругом, при пересекается с кругом по хорде и называется секущей, при имеет с кругом и окружностью единственную общую точку и называется касательной. Касательная характеризуется тем, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. К кругу из точки, лежащей вне его, можно провести две касательные, причем их отрезки от данной точки до точек касания равны.

Дуги окружности, как и углы, можно измерять в градусах и его долях. За градус принимают часть всей окружности. Центральный угол (рис. 3) измеряется тем же числом градусов, что и дуга , на которую он опирается; вписанный угол измеряется половиной дуги . Если вершина угла лежит внутри круга, то этот угол в градусной мере равен полусумме дуг и (рис. 4,а). Угол с вершиной вне круга (рис. 4,б), высекающий на окружности дуги и , измеряется полуразностью дуг и . Наконец, угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги окружности (рис. 4,в).

Круг и окружность имеют бесконечное множество осей симметрии.

Из теорем об измерении углов и подобия треугольников следуют две теоремы о пропорциональных отрезках в круге. Теорема о хордах говорит, что если точка лежит внутри круга, то произведение длин отрезков проходящих через нее хорд постоянно. На рис. 5,a . Теорема о секущей и касательной (имеются в виду длины отрезков частей этих прямых) утверждает, что если точка лежит вне круга, то произведение секущей на ее внешнюю часть тоже неизменно и равно квадрату касательной (рис. 5,б).

Еще в древности пытались решить задачи, связанные с кругом, - измерить длину окружности или ее дуги, площадь круга или сектора, сегмента. Первая из них имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть ее и приложить к линейке или же отметить на окружности точку и «прокатить» ее вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой («пи» - начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность»).

Однако древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял: окружность - это линия, т.е., по Евклиду, «длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы катим окружность по линейке, то возникает вопрос: почему при этом мы получим длину окружности, а не какую-нибудь другую величину? К тому же такой подход не позволял определить площадь круга.

Выход был найден такой: если рассмотреть вписанные в круг правильные -угольники , то при , стремящемся к бесконечности, в пределе стремятся к . Поэтому естественно ввести следующие, уже строгие, определения: длина окружности - это предел последовательности периметров правильных вписанных в окружность -угольников, а площадь круга - предел последовательности их площадей. Такой подход принят и в современной математике, причем по отношению не только к окружности и кругу, но и к другим кривым или ограниченным криволинейными контурами областям: вместо правильных многоугольников рассматривают последовательности ломаных с вершинами на кривых или контурах областей, а предел берется при стремлении длины наибольшего звена ломаной к нулю.

Аналогичным образом определяется длина дуги окружности: дуга делится на равных частей, точки деления соединяются ломаной и длина дуги полагается равной пределу периметров таких ломаных при , стремящемся к бесконечности. (Подобно древним грекам, мы не уточняем само понятие предела - оно относится уже не к геометрии и было вполне строго введено лишь в XIX в.)

Из самого определения числа следует формула для длины окружности:

Для длины дуги можно записать аналогичную формулу: поскольку для двух дуг и с общим центральным углом из соображений подобия вытекает пропорция , а из нее - пропорция , после перехода к пределу мы получаем независимость (от радиуса дуги) отношения . Это отношение определяется только центральным углом и называется радианной мерой этого угла и всех отвечающих ему дуг с центром в . Тем самым получается формула для длины дуги:

где - радианная мера дуги.

Записанные формулы для и - это всего лишь переписанные определения или обозначения, но с их помощью получаются уже далекие от просто обозначений формулы для площадей круга и сектора:

Для вывода первой формулы достаточно перейти к пределу в формуле для площади вписанного в круг правильного -угольника:

По определению левая часть стремится к площади круга , а правая - к числу

и , основания его медиан и , середины и отрезков прямых от точки пересечения его высот до его вершин.

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это - точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида (рис. 2). Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек и называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой - его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.

Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эта точка называется центром окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .

Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом (рис. 84).

Так как все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, то все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус обыкновенно обозначается буквой R или r .

Точка, взятая внутри окружности, находится от её центра на расстоянии, меньшем радиуса. В этом легко убедиться, если через данную точку провести радиус (рис. 85).

Точка, взятая вне окружности, находится от её центра на расстоянии, большем радиуса. В этом легко убедиться, если соединить данную точку с центром окружности (рис. 85).

Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром (рис. 84). Диаметр обыкновенно обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам:

Так как все радиусы одного и того же круга равны между собой, то и все диаметры данного круга равны между собой.

Теорема . Хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведённого в том же круге.

В самом деле, если проведём какую-нибудь хорду, например АВ, и соединим её концы с центром О (рис. 86), то увидим, что хорда АВ меньше ломаной линии АО + ОВ, т. е. АВ r, а так как 2r = D, то АВ

Если круг перегнуть по диаметру (рис. 87), то обе части круга и окружности совместятся. Диаметр делит круг и окружность на две равные части.

Два круга (две окружности) называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совместились.

Поэтому два круга (две окружности) с равными радиусами равны.

2. Дуга окружности.

Часть окружности называется дугой.

Слово «дуга» иногда заменяется знаком \(\breve{ }\). Дуга обозначается двумя или тремя буквами, из которых две ставятся на концах дуги, а третья - у какой-нибудь точки дуги. На чертеже 88 обозначены две дуги: \(\breve{ACB}\) и \(\breve{ADB}\).

В том случае, когда дуга меньше полуокружности, она обычно обозначается двумя буквами. Так, дугу АDВ можно обозначить \(\breve{AB}\) (рис. 88). О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Если передвинуть дугу АС (рис. 89, а) так, чтобы она скользила поданной окружности, и если при этом она совпадает с дугой МN, то \(\breve{AC}\) = \(\breve{NM}\).

На чертеже 89, б дуги АС и АВ не равны между собой. Начинаются обе дуги в точке А, но одна дуга \(\breve{AB}\) составляет только часть другой дуги \(\breve{AC}\).

Поэтому \(\breve{AC}\) > \(\breve{AB}\); \(\breve{AB}\)

Построение окружности по трем точкам

Задача. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (черт.311).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведем прямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание . Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (черт. 311), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК⊥АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.