Нод и нок двух чисел, алгоритм евклида. Наименьшее общее кратное (НОК)

Материал этой статьи объясняет, как найти наименьший общий знаменатель и как привести дроби к общему знаменателю . Сначала даны определения общего знаменателя дробей и наименьшего общего знаменателя, а также показано, как найти общий знаменатель дробей. Дальше приведено правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены примеры применения этого правила. В заключение разобраны примеры приведения трех и большего количества дробей к общему знаменателю.

Навигация по странице.

Что называют приведением дробей к общему знаменателю?

Теперь мы можем сказать, что такое приведение дробей к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей данных дробей на такие дополнительные множители, что в результате получаются дроби с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель, определение, примеры

Теперь пришло время дать определение общего знаменателя дробей.

Иными словами, общим знаменателем некоторого набора обыкновенных дробей является любое натуральное число, которое делится на все знаменатели данных дробей.

Из озвученного определения следует, что данный набор дробей имеет бесконечно много общих знаменателей, так как существует бесконечное множество общих кратных всех знаменателей исходного набора дробей.

Определение общего знаменателя дробей позволяет находить общие знаменатели данных дробей. Пусть, к примеру, даны дроби 1/4 и 5/6 , их знаменатели равны 4 и 6 соответственно. Положительными общими кратными чисел 4 и 6 являются числа 12 , 24 , 36 , 48 , … Любое из этих чисел является общим знаменателем дробей 1/4 и 5/6 .

Для закрепления материала рассмотрим решение следующего примера.

Пример.

Можно ли дроби 2/3 , 23/6 и 7/12 привести к общему знаменателю 150 ?

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос нам нужно выяснить, является ли число 150 общим кратным знаменателей 3 , 6 и 12 . Для этого проверим, делится ли 150 нацело на каждое из этих чисел (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел , а также правила и примеры деления натуральных чисел с остатком): 150:3=50 , 150:6=25 , 150:12=12 (ост. 6) .

Итак, 150 не делится нацело на 12 , следовательно, 150 не является общим кратным чисел 3 , 6 и 12 . Следовательно, число 150 не может быть общим знаменателем исходных дробей.

Ответ:

Нельзя.

Наименьший общий знаменатель, как его найти?

В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует наименьшее натуральное число , которое называют наименьшим общим знаменателем. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.

Определение.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.

Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.

Так как является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.

Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к знаменателей этих дробей. Разберем решение примера.

Пример.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28 .

Решение.

Знаменатели данных дробей равны 10 и 28 . Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28 . В нашем случае легко : так как 10=2·5 , а 28=2·2·7 , то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140 .

Ответ:

140 .

Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения

Обычно обыкновенные дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Сейчас мы запишем правило, которое объясняет, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю состоит из трех шагов:

Во-первых, находится наименьший общий знаменатель дробей.
Во-вторых, для каждой дроби вычисляется дополнительный множитель, для чего наименьший общий знаменатель делится на знаменатель каждой дроби.
В-третьих, числитель и знаменатель каждой дроби умножается на ее дополнительный множитель.

Применим озвученное правило к решению следующего примера.

Пример.

Приведите дроби 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.

Решение.

Выполним все шаги алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Сначала находим наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел 14 и 18 . Так как 14=2·7 и 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .

Теперь вычисляем дополнительные множители, с помощью которых дроби 5/14 и 7/18 будут приведены к знаменателю 126 . Для дроби 5/14 дополнительный множитель равен 126:14=9 , а для дроби 7/18 дополнительный множитель равен 126:18=7 .

Осталось умножить числители и знаменатели дробей 5/14 и 7/18 на дополнительные множители 9 и 7 соответственно. Имеем и .

Итак, приведение дробей 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю завершено. В итоге получились дроби 45/126 и 49/126 .

Большинство действий с алгебраическими дробями, такие, например, как сложение и вычитание, требуют предварительного приведения этих дробей к одинаковым знаменателям. Такие знаменатели также часто обозначаются словосочетанием «общий знаменатель». В данной теме мы рассмотрим определение понятий «общий знаменатель алгебраических дробей» и «наименьший общий знаменатель алгебраических дробей (НОЗ)», рассмотрим по пунктам алгоритм нахождения общего знаменателя и решим несколько задач по теме.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общий знаменатель алгебраических дробей

Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 1 2 и 5 9 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9 .

Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.

Определение 1

Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.

В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.

Пример 1

Многочлену, записанному в виде произведения 3 · x 2 · (x + 1) , соответствует многочлен стандартного вида 3 · x 3 + 3 · x 2 . Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2 x , - 3 · x · y x 2 и y + 3 x + 1 , в связи с тем, что он делится на x , на x 2 и на x + 1 . Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Для заданных алгебраических дробей количество общих знаменателей может быть бесконечное множество.

Пример 2

Возьмем для примера дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Их общим знаменателем является 2 · x · (x 2 + 3) , как и − 2 · x · (x 2 + 3) , как и x · (x 2 + 3) , как и 6 , 4 · x · (x 2 + 3) · (y + y 4) , как и − 31 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , и т.п.

При решении задач можно облегчить себе работу, используя общий знаменатель, который среди всего множества знаменателей имеет самый простой вид. Такой знаменатель часто обозначается как наименьший общий знаменатель.

Определение 2

Наименьший общий знаменатель алгебраических дробей – это общий знаменатель алгебраических дробей, который имеет самый простой вид.

К слову, термин «наименьший общий знаменатель» не является общепризнанным, потому лучше ограничиваться термином «общий знаменатель». И вот почему.

Ранее мы сфокусировали ваше внимание на фразе «знаменатель самого простого вида». Основной смысл этой фразы следующий: на знаменатель самого простого вида должен без остатка делиться любой другой общий знаменатель данных в условии задачи алгебраических дробей. При этом в произведении, которое является общим знаменателем дробей, можно использовать различные числовые коэффициенты.

Пример 3

Возьмем дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Мы уже выяснили, что проще всего работать нам будет с общим знаменателем вида 2 · x · (x 2 + 3) . Также общим знаменателем для этих двух дробей может быть x · (x 2 + 3) , который не содержит числового коэффициента. Вопрос в том, какой из этих двух общих знаменателей считать наименьшим общим знаменателем дробей. Однозначного ответа нет, потому правильнее говорить просто об общем знаменателе, а в работу брать тот вариант, с которым работать будет удобнее всего. Так, мы можем использовать и такие общие знаменатели как x 2 · (x 2 + 3) · (y + y 4) или − 15 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , которые имеют более сложный вид, но проводить с ними действия может быть сложнее.

Нахождение общего знаменателя алгебраических дробей: алгоритм действий

Предположим, что у нас имеется несколько алгебраических дробей, для которых нам необходимо отыскать общий знаменатель. Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм действий. Сначала нам необходимо разложить на множители знаменатели исходных дробей. Затем мы составляем произведение, в которое последовательно включаем:

все множители из знаменателя первой дроби вместе со степенями;
все множители, присутствующие в знаменателе второй дроби, но которых нет в записанном произведении или их степень недостаточно;
все недостающие множители из знаменателя третьей дроби, и так далее.

Полученное произведение и будет общим знаменателем алгебраических дробей.

В качестве множителей произведения мы можем взять все знаменатели дробей, данных в условии задачи. Однако множитель, который мы получим в итоге, по смыслу будет далек от НОЗ и использование его будет иррациональным.

Пример 4

Определите общий знаменатель дробей 1 x 2 · y , 5 x + 1 и y - 3 x 5 · y .

Решение

В данном случае у нас нет необходимости раскладывать знаменатели исходных дробей на множители. Потому начнем применять алгоритм с составления произведения.

Из знаменателя первой дроби возьмем множитель x 2 · y , из знаменателя второй дроби множитель x + 1 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) .

Знаменатель третьей дроби может дать нам множитель x 5 · y , однако в составленном нами ранее произведении уже есть множители x 2 и y . Следовательно, добавляем еще x 5 − 2 = x 3 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) · x 3 , которое можно привести к виду x 5 · y · (x + 1) . Это и будет наш НОЗ алгебраических дробей.

Ответ: x 5 · y · (x + 1) .

Теперь рассмотрим примеры задач, когда в знаменателях алгебраических дробей есть целые числовые множители. В таких случаях мы также действуем по алгоритму, предварительно разложив целые числовые множители на простые множители.

Пример 5

Найдите общий знаменатель дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 .

Решение

Разложив числа в знаменателях дробей на простые множители, получаем 1 2 2 · 3 · x и 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Теперь мы можем перейти к составлению общего знаменателя. Для этого из знаменателя первой дроби возьмем произведение 2 2 · 3 · x и добавим к нему множители 3 , 5 и x из знаменателя второй дроби. Получаем 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2 . Это и есть наш общий знаменатель.

Ответ: 180 · x 2 .

Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.

Пример 6

В знаменателях обеих алгебраических дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 есть множитель x . Во втором случае множитель x возведен в квадрат. Для составления общего знаменателя это множитель нам необходимо взять в наибольшей степени, т.е. x 2 . Других множителей с переменными нет. Целые числовые коэффициенты исходных дробей 12 и 90 , а их наименьшее общее кратное равно 180 . Получается, что искомый общий знаменатель имеет вид 180 · x 2 .

Теперь мы можем записать еще один алгоритм нахождения общего множителя алгебраических дробей. Для этого мы:

раскладываем знаменатели всех дробей на множители;
составляем произведение всех буквенных множителей (при наличии множителя в нескольких разложениях, берем вариант с наибольшим показателем степени);
добавляем НОК числовых коэффициентов разложений к полученному произведению.

Приведенные алгоритмы равноценны, так что использовать в решении задач можно любой из них. Важно уделять внимание деталям.

Встречаются случаи, когда общие множители в знаменателях дробей могут быть незаметны за числовыми коэффициентами. Здесь целесообразно сначала вынести числовые коэффициенты при старших степенях переменных за скобки в каждом из множителей, имеющихся в знаменателе.

Пример 7

Какой общий знаменатель имеют дроби 3 5 - x и 5 - x · y 2 2 · x - 10 .

Решение

В первом случае за скобки необходимо вынести минус единицу. Получаем 3 - x - 5 . Умножаем числитель и знаменатель на - 1 для того, чтобы избавиться от минуса в знаменателе: - 3 x - 5 .

Во втором случае за скобку выносим двойку. Это позволяет нам получить дробь 5 - x · y 2 2 · x - 5 .

Очевидно, что общий знаменатель данных алгебраических дробей - 3 x - 5 и 5 - x · y 2 2 · x - 5 это 2 · (x − 5) .

Ответ: 2 · (x − 5) .

Данные в условии задачи дроби могут иметь дробные коэффициенты. В этих случаях необходимо сначала избавиться от дробных коэффициентов путем умножения числителя и знаменателя на некоторое число.

Пример 8

Упростите алгебраические дроби 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , после чего определите их общий знаменатель.

Решение

Избавимся от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель в первом случае на 14 , во втором случае на 3 . Получаем:

1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 1 x 2 + 2 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

После проведенных преобразований становится понятно, что общий знаменатель – это 2 · (x 2 + 2) .

Ответ: 2 · (x 2 + 2) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 5806

Как пользоваться калькулятором

Введите числа в поле для ввода
В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
нажмите кнопку "Найти НОД и НОК"

Как вводить числа

Числа вводятся через пробел, точку или запятую
Длина вводимых чисел не ограничена , так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД .
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК .

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938 .
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36) :

Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7 , 36 = 1·2·2·3·3
Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 - это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) .

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3 , 32 = 1·2·2·2·2·2 , 36 = 1·2·2·3·3 .
Найдём обшие множители: 1, 2 и 2 .
Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288 .

В реальной жизни нам необходимо оперировать обыкновенными дробями. Однако чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, например, 2/3 и 5/7, нам потребуется найти общий знаменатель. Приведя дроби к общему знаменателю, мы сможем легко осуществить операции сложения или вычитания.

Определение

Дроби - одна из самых сложных тем в начальной арифметике, и рациональные числа пугают школьников, которые встречаются с ними впервые. Мы привыкли оперировать с числами, записанными в десятичном формате. Куда проще сходу сложить 0,71 и 0,44, чем суммировать 5/7 и 4/9. Ведь для суммирования дробей их необходимо привести к общему знаменателю. Однако дроби куда точнее представляют значение величин, чем их десятичные эквиваленты, а в математике представление рядов или иррациональных чисел в виде дроби становится приоритетной задачей. Такая задача носит название «приведение выражения к замкнутому виду».

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же коэффициент, то значение дроби не изменится. Это одно из самых важных свойств дробных чисел. К примеру, дробь 3/4 в десятичной форме записывается как 0,75. Если умножить числитель и знаменатель на 3, то получим дробь 9/12, что точно также равняется 0,75. Благодаря этому свойству мы можем умножать разные дроби таким образом, чтобы они все имели одинаковые знаменатели. Как это сделать?

Поиск общего знаменателя

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) - это наименьшее общее кратное для всех знаменателей выражения. Найти такое число мы можем тремя способами.

Использование максимального знаменателя

Это один из самых простых, но трудоемких методов поиска НОЗ. Вначале из знаменателей всех дробей выписываем самое большое число и проверяем его делимость на меньшие числа. Если делится, то наибольший знаменатель и есть НОЗ.

Если в предыдущей операции числа делятся с остатком, то необходимо самое большое из них умножить на 2 и повторить проверку на делимость. Если оно делится без остатка, то новый коэффициент становится НОЗ.

Если нет, то самый большой знаменатель умножается на 3, 4 , 5 и так далее, пока не будет найдено наименьшее общее кратное для нижних частей всех дробей. На практике это выглядит так.

Пусть у нас есть дроби 1/5, 1/8 и 1/20. Проверяем 20 на делимость 5 и 8. 20 не делится на 8. Умножаем 20 на 2. Проверяем 40 на делимость 5 и 8. Числа делятся без остатка, следовательно, НОЗ (1/5, 1/8 и 1/20) = 40, а дроби превращаются в 8/40, 5/40 и 2/40.

Последовательный перебор кратных

Второй способ - это простой перебор кратных и выбор из них наименьшего. Для поиска кратных мы умножаем число на 2, 3, 4 и так далее, поэтому количество кратных устремляется в бесконечность. Ограничить эту последовательность можно пределом, которое представляет собой произведение заданных чисел. К примеру, для чисел 12 и 20 НОК находится следующим образом:

выписываем числа, кратные 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
выписываем числа, кратные 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
определяем общие кратные - 60, 120;
выбираем наименьшее из них - 60.

Таким образом, для 1/12 и 1/20 общим знаменателем будет 60, а дроби преобразуются в 5/60 и 3/60.

Разложение на простые множители

Этот способ нахождения НОК наиболее актуален. Данный метод подразумевает разложение всех чисел из нижних частей дробей на неделимые множители. После этого составляется число, которое содержит множители всех знаменателей. На практике это работает так. Найдем НОК для той же пары 12 и 20:

раскладываем на множители 12 - 2 × 2 × 3;
раскладываем 20 - 2 × 2 × 5;
объединяем множители таким образом, чтобы они содержали в себе числа и 12, и 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
перемножаем неделимые и получаем результат - 60.

В третьем пункте мы объединяем множители без повторов, то есть двух двоек достаточно для формирования 12 в комбинации с тройкой и 20 - с пятеркой.

Наш калькулятор позволяет определить НОЗ для произвольного количества дробей, записанных как в обыкновенной, так и в десятичной форме. Для поиска НОЗ вам достаточно ввести значения через табуляцию или запятую, после чего программа вычислит общий знаменатель и выведет на экран преобразованные дроби.

Пример из реальной жизни

Сложение дробей

Пусть в задаче по арифметике нам необходимо сложить пять дробей:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

Решение вручную производилось бы следующим способом. Для начала нам необходимо представить числа в одной форме записи:

0,75 = 75/100 = 3/4;
0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

Теперь у нас есть ряд обыкновенных дробей, которые необходимо привести к одинаковому знаменателю:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

Так как у нас 5 слагаемых, проще всего использовать способ поиска НОЗ по наибольшему числу. Проверяем 20 на делимость остальными числами. 20 не делится на 8 без остатка. Умножаем 20 на 2, проверим 40 на делимость - все числа делят 40 нацело. Это и есть наш общий знаменатель. Теперь для суммирования рациональных чисел нам необходимо определить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Дополнительные множители буду выглядеть так:

40/4 = 10;
40/5 = 8;
40/8 = 5;
40/4 = 10;
40/20 = 2.

Теперь умножим числитель и знаменатель дробей на соответствующие дополнительные множители:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

Для такого выражения мы можем легко определить сумму, равную 85/40 или 2 целых и 1/8. Это громоздкие вычисления, поэтому вы можете просто ввести данные задачи в форму калькулятора и сразу получить ответ.

Заключение

Арифметические операции с дробями - не слишком удобная вещь, ведь для поиска ответа приходится осуществлять множество промежуточных вычислений. Используйте наш онлайн-калькулятор для приведения дробей к общему знаменателю и быстрого решения школьных задач.