Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм. санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Өмнө нь мэдэгдэж байгаагаар тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч түгээлтийн хууль нь ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг тул хүн өөрийгөө бага мэдээллээр хязгаарлах ёстой. Заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нийтлэх тоог ашиглах нь бүр илүү ашигтай байдаг; ийм тоонуудыг дууддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.

Математикийн хүлээлт нь чухал тоон шинж чанаруудын нэг юм.

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгатай ойролцоогоор тэнцүү байна.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтЭнэ нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хязгаарлагдмал тархалтын цуваагаар тодорхойлогддог бол:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
Р	х 1	х 2	х 3	…	r p

дараа нь математикийн хүлээлт М(X)томъёогоор тодорхойлно:

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтрал хаана байна X.

Жишээ 4.7.Шоо шидэхэд хэдэн оноо унах вэ гэсэн математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл:

Санамсаргүй утга X 1, 2, 3, 4, 5, 6 утгуудыг авна. Түүний тархалтын хуулийг хийцгээе:

X
Р

Дараа нь математикийн хүлээлт нь:

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

1. Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:

M(S)=S.

2. Тогтмол хүчин зүйлийг хүлээлтийн тэмдгээс хасаж болно:

M(CX) = CM(X).

3. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

M(XY) = M(X)M(Y).

Жишээ 4.8. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд XТэгээд ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:

X					Ю
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

XY санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл.

Эдгээр хэмжигдэхүүн бүрийн математик хүлээлтийг олцгооё.

санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юбие даасан, тиймээс хүссэн математикийн хүлээлт:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Үр дагавар.Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

4. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Үр дагавар.Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 4.9. 3 удаагийн буудлага нь бай онох магадлалтай тэнцүү байна х 1 = 0,4; p2= 0.3 ба х 3= 0.6. Нийт цохилтын тооны математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл.

Эхний цохилтын цохилтын тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X 1, энэ нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: 1 (цохих) магадлал бүхий х 1= 0.4 ба 0 (алдсан) магадлал бүхий q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Эхний цохилт дахь цохилтын тооны математикийн хүлээлт нь цохих магадлалтай тэнцүү байна.

Үүнтэй адилаар, бид хоёр, гурав дахь цохилтын тоонуудын математикийн хүлээлтийг олдог.

М(X 2)= 0.3 ба M (X 3) \u003d 0,6.

Нийт цохилтын тоо нь мөн гурван цохилт тус бүрийн цохилтын нийлбэрээс бүрдэх санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

Хүссэн математикийн хүлээлт XБид математикийн теоремоор нийлбэрийн хүлээлтийг олдог.

Хувь хүний үнэг бүр нь түүний хуваарилалтын функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Мөн практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд үүний ачаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарыг товч хэлбэрээр харуулах боломжтой болно.

Эдгээр тоо хэмжээ нь үндсэндээ хүлээгдэж буй үнэ цэнэТэгээд тархалт .

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ- магадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга. гэж тодорхойлсон.

Хамгийн энгийнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w), гэж олддог интегралЛебесгмагадлалын хэмжүүрийн хувьд Р анхны магадлалын орон зай

Та мөн утгын математик хүлээлтийг олж болно Лебегийн интеграл-аас Xмагадлалын тархалтаар R Xтоо хэмжээ X:

бүх боломжит утгуудын багц хаана байна X.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс функцүүдийн математик хүлээлт Xтүгээлтээр дамждаг R X. Жишээлбэл, Хэрэв X- болон доторх утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн f(x)- хоёрдмол утгагүй Борелфункц X , Тэр нь:

Хэрэв F(x)- түгээлтийн функц X, дараа нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлж болно интегралLebesgue - Stieltjes (эсвэл Riemann - Stieltjes):

интегралчлалын үед XХамааран ( * ) интегралын төгсгөлтэй тохирч байна

Тодорхой тохиолдолд, хэрэв Xмагадлал бүхий салангид тархалттай байна х к, k=1, 2, . , магадлал , тэгвэл

Хэрэв Xмагадлалын нягтаршил бүхий туйлын тасралтгүй тархалттай p(x), Тэр

Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлт байгаа нь харгалзах цуврал буюу интегралын үнэмлэхүй нийлэлтэй тэнцүү байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд.

Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна:

C- тогтмол;

M=C.M[X]

Санамсаргүй байдлаар авсан утгуудын нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт = тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр:

M=M[X]+M[Y]

Хэрэв XТэгээд Юбие даасан.

Хэрэв цуврал нийлбэл:

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; утга бүрийг тэг биш магадлалтай тэнцүүл.

1. Хосыг ээлжлэн үржүүл: x iдээр пи.

2. Хос бүрийн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ x i p i.

Жишээлбэл, Учир нь n = 4 :

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар, магадлал нь эерэг тэмдэгтэй цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.

Жишээ:Томъёогоор математикийн хүлээлтийг ол.

DSW-ийн шинж чанар, тэдгээрийн шинж чанарууд. Математикийн хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлт

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Харин тархалтын хуулийг олох боломжгүй буюу шаардлагагүй тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэгддэг утгыг олохоор хязгаарлаж болно. Эдгээр утгууд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудыг бүлэглэсэн зарим дундаж утгыг тодорхойлдог бөгөөд энэ дундаж утгын эргэн тойронд тархалтын түвшинг тодорхойлдог.

математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэр юм.

Хэрэв тэгш байдлын баруун талд байгаа цувралууд туйлын нийлбэл математикийн хүлээлт бий болно.

Магадлалын үүднээс авч үзвэл математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү гэж хэлж болно.

Жишээ. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэддэг. Математикийн хүлээлтийг ол.

X
х	0.2	0.3	0.1	0.4

Шийдэл:

9.2 Хүлээгдэж буй шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна.

2. Хүлээлтийн тэмдгээс тогтмол хүчин зүйлийг гаргаж болно.

Энэ шинж чанар нь дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хүчинтэй.

4. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь гишүүдийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ шинж чанар нь дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнд мөн үнэн юм.

p-тэй тэнцүү А үйл явдал тохиолдох магадлалыг n бие даасан туршилт хийцгээе.

Теорем. n бие даасан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдсон тоон математикийн хүлээлт M(X) нь туршилтын тоо болон туршилт тус бүрт тохиолдох магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ. X ба Y-ийн математик хүлээлт мэдэгдэж байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн Z-ийн математик хүлээлтийг ол: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Шийдэл:

9.3 Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Гэсэн хэдий ч математикийн хүлээлт нь санамсаргүй үйл явцыг бүрэн тодорхойлж чадахгүй. Математикийн хүлээлтээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын математик хүлээлтээс хазайлтыг тодорхойлдог утгыг нэвтрүүлэх шаардлагатай.

Энэ хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний математик хүлээлтийн зөрүүтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд хазайлтын математикийн хүлээлт тэг байна. Үүнийг зарим боломжит хазайлт нь эерэг, бусад нь сөрөг, харилцан цуцалсны үр дүнд тэгийг авсантай холбон тайлбарлаж байна.

Тархалт (тархалт)Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний математик хүлээлтээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хазайлтын математик хүлээлт гэнэ.

Практикт дисперсийг тооцоолох энэ арга нь тохиромжгүй, учир нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон тооны утгуудын хувьд төвөгтэй тооцоолол хийхэд хүргэдэг.

Тиймээс өөр аргыг ашигладаг.

Теорем. Дисперс нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын математик хүлээлт ба түүний математик хүлээлтийн квадратын зөрүүтэй тэнцүү байна..

Баталгаа. Математикийн хүлээлт M (X) ба математикийн хүлээлт M 2 (X) квадрат нь тогтмол утгатай болохыг харгалзан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Жишээ. Тархалтын хуулиар өгөгдсөн дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

X
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Шийдэл: .

9.4 Тархалтын шинж чанар

1. Тогтмол утгын дисперс нь тэг байна. .

2. Тогтмол коэффициентийг квадратаар тараах тэмдгээс гаргаж болно. .

3. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь эдгээр хувьсагчийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна. .

4. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ялгаврын дисперс нь эдгээр хувьсагчийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна. .

Теорем. Үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол байх n бие даасан туршилтын А үйл явдлын тоон хэлбэлзэл нь туршилтын тоо болон тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. шүүх хурал бүр дэх үйл явдлын тухай.

9.5 Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт

Стандарт хэлбэлзэлХ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэнэ.

Теорем. Хязгаарлагдмал тооны харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн стандарт хазайлт нь эдгээр хувьсагчдын квадрат стандарт хазайлтын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Дискрет магадлалын орон зайд өгөгдсөн X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт (дундаж утга) нь хэрэв цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол m =M[X]=∑x i p i тоо байна.

Үйлчилгээний даалгавар. Онлайн үйлчилгээтэй математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг тооцоолно(жишээг үзнэ үү). Үүнээс гадна F(X) тархалтын функцийн графикийг зурсан.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд

Тогтмол утгын математик хүлээлт нь өөртэй нь тэнцүү байна: M[C]=C , C нь тогтмол;
M=C M[X]
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M=M[X]+M[Y]
Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: X ба Y нь бие даасан байвал M=M[X] M[Y].

Тархалтын шинж чанарууд

Тогтмол утгын дисперс нь тэгтэй тэнцүү: D(c)=0.
Тогтмол хүчин зүйлийг дисперсийн тэмдгийн доор квадрат болгож авч болно: D(k*X)= k 2 D(X).
Хэрэв X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай бол: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Янз бүрийн хувьд тооцооллын томъёо хүчинтэй байна:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Жишээ. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсүүд нь мэдэгдэж байна: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Z=9X-8Y+7 санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарт үндэслэн: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Тархалтын шинж чанарт үндэслэн: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; Утга бүрт тэгээс өөр магадлалыг оноо.

Хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүлнэ: x i-г p i .
Бид хос бүрийн үржвэрийг нэмнэ x i p i .
Жишээлбэл, n = 4-ийн хувьд: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар эерэг магадлал бүхий цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.

Жишээ №1.

x i	1	3	4	7	9
пи	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математикийн хүлээлтийг m = ∑x i p i томъёогоор олно.
Математикийн хүлээлт M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Тархалтыг d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 томъёогоор олно.
Тархалт D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Стандарт хазайлт σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Жишээ №2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах тархалтын цуваатай байна.

X	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний a утга, математикийн хүлээлт, стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. a утгыг дараах хамаарлаас олно: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 эсвэл 0.24=3 a , үүнээс a = 0.08

Жишээ №3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний диссертаци нь мэдэгдэж байгаа бол түүний тархалтын хуулийг тодорхойл, x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3
d(x)=12.96

Шийдэл.
Энд та d (x) дисперсийг олох томъёог гаргах хэрэгтэй.
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
Энд хүлээлт m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Бидний мэдээллийн хувьд
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
эсвэл -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Үүний дагуу тэгшитгэлийн үндсийг олох шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь байх болно.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Бид x 1 нөхцөлийг хангасан нэгийг сонгоно x3=12

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч түгээлтийн хууль нь ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг тул хүн өөрийгөө бага мэдээллээр хязгаарлах ёстой. Заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дүрсэлсэн тоонуудыг ашиглах нь бүр илүү ашигтай байдаг тул ийм тоонуудыг дууддаг тоон шинж чанарсанамсаргүй хувьсагч. Математикийн хүлээлт нь чухал тоон шинж чанаруудын нэг юм.

Доор үзүүлсэн шиг математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгатай тэнцүү байна. Олон асуудлыг шийдэхийн тулд математикийн хүлээлтийг мэдэхэд хангалттай. Жишээлбэл, хэрэв эхний шидэгчийн авсан онооны тооны математикийн хүлээлт хоёр дахь онооноос их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол эхний шидэгч дунджаар хоёр дахь буудлаас илүү оноо авч, улмаар илүү сайн харвадаг. Хоёрдугаарт.

Тодорхойлолт 4.1: математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье Xзөвхөн утгыг авч болно x 1, x 2, … x n, тэдгээрийн магадлал нь тус тус тэнцүү байна p 1, p 2, … p n .Дараа нь математикийн хүлээлт М(X) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтэгш эрхээр тодорхойлогддог

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xболомжтой утгуудын тоолж болох олонлогийг авдаг, тэгвэл

Түүгээр ч барахгүй тэгш байдлын баруун талд байгаа цуваа туйлын нийлбэл математикийн хүлээлт бий болно.

Жишээ.Үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг ол Анэг туршилтаар, хэрэв үйл явдлын магадлал Атэнцүү байна х.

Шийдэл:Санамсаргүй утга X- үйл явдлын тохиолдлын тоо АБернулли тархалттай тул

Тиймээс, Нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын тооны математик хүлээлт нь энэ үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна.

Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга

Үйлдвэрлэе nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүхий тестүүд Xхүлээн зөвшөөрсөн м 1дахин үнэ цэнэ x 1, м2дахин үнэ цэнэ x2 ,…, м кдахин үнэ цэнэ х к, ба m 1 + m 2 + …+ m k = n. Дараа нь авсан бүх утгуудын нийлбэр X, тэнцүү байна x 1 м 1 + x 2 м 2 + …+ х к м к .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан бүх утгын арифметик дундаж нь байх болно

Хандлага m i / n- харьцангуй давтамж Wiүнэт зүйлс x iүйл явдал тохиолдох магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна пи, Хаана , Тийм учраас

Хүлээн авсан үр дүнгийн магадлалын утга нь дараах байдалтай байна. математикийн хүлээлт ойролцоогоор тэнцүү байна(илүү нарийвчлалтай байх тусам туршилтын тоо их болно) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж.

Хүлээгдэж буй шинж чанарууд

Өмч 1:Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна

Өмч 2:Тогтмол хүчин зүйлийг хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно

Тодорхойлолт 4.2: Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүндуудсан бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь нөгөө нь ямар боломжит утгыг авсанаас хамаарахгүй бол. Үгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай.

Тодорхойлолт 4.3: Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүндуудсан харилцан бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль ч тооны тархалтын хууль нь бусад хэмжигдэхүүнүүд ямар боломжит утгуудаас хамаарахгүй бол.

Үл хөдлөх хөрөнгө3:Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Үр дагавар:Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Өмч 4:Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр дагавар:Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ.Хоёр тоот санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоол X-үйл явдал болсон огноо АВ nтуршилтууд.

Шийдэл:Нийт тоо Xүйл явдлын тохиолдлууд Аэдгээр туршилтууд нь бие даасан туршилтуудад тохиолдсон үйл явдлын тооны нийлбэр юм. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг танилцуулж байна X iонд тохиолдсон үйл явдлын тоо юм биМатематикийн хүлээлттэй Бернулли санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд болох тест . Математикийн хүлээлтийн шинж чанараар бид байна

Тиймээс, n ба p параметртэй бином тархалтын дундаж нь np-ийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ.Буу буудах үед бай онох магадлал p = 0.6. 10 удаа буудсан тохиолдолд нийт цохилтын тооны математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл:Буудлагын цохилт нь бусад цохилтын үр дүнгээс хамаардаггүй тул авч үзэж буй үйл явдлууд нь бие даасан, улмаар хүссэн математикийн хүлээлт юм.