Свойства разложения на множители. Сложные случаи разложения многочленов на множители

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где - являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета - это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p - делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом - «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .

2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).

2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Рассмотрим на конкретных примерах, как разложить многочлен на множители.

Разложение многочленов будем проводить в соответствии с .

Разложить многочлены на множители:

Проверяем, нет ли общего множителя. есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:

Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.

Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений:2∙5x∙3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — :

Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:

В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a² — квадрат a, 1=1². Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:

Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:

в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4² и a² — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:

Общий множитель -2x выносим за скобки:

В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4³, x³- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле :

Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала , а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:

Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:

Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-«, при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:

Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:

Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):

Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:

В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:

Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки.

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .

Пример.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Решение.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

К началу страницы

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Пример.

Решение.

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18 : . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Пример.

Разложить на множители выражение .

Решение.

Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.