Нарича се линейно уравнение с променлива. Линейни уравнения

Първо трябва да разберете какво представлява.

Има проста дефиниция линейно уравнение, което се дава в обикновено училище: „уравнение, в което променливата се среща само на първа степен“. Но не е съвсем правилно: уравнението не е линейно, то дори не се свежда до това, свежда се до квадратно.

По-точно определение е: линейно уравнениее уравнение, което, използвайки еквивалентни трансформацииможе да се редуцира до формата , където title="a,b в bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Всъщност, за да се разбере дали едно уравнение е линейно или не, то трябва първо да бъде опростено, тоест доведено до форма, в която неговата класификация ще бъде недвусмислена. Не забравяйте, че можете да правите каквото искате с уравнение, стига то да не променя корените си - това е. еквивалентно преобразуване. Най-простите еквивалентни трансформации включват:

1. отваряне на скоби
2. привеждане на подобни
3. умножаване и/или деление на двете страни на уравнение с ненулево число
4. добавяне и/или изваждане от двете страни на едно и също число или израз*

Можете да направите тези трансформации безболезнено, без да мислите дали ще „съсипете“ уравнението или не.
* Особено тълкуване на последната трансформация е „прехвърлянето“ на термини от една част в друга с промяна на знака.

Пример 1:
(да отворим скобите)
(събиране към двете части и изваждане/прехвърляне със смяна на знака на числото вляво и променливите вдясно)
(нека дадем подобни)
(разделете двете страни на уравнението на 3)

Така че получаваме уравнение, което има същите корени като първоначалното. Нека напомним на читателя, че "реши уравнението"- означава намиране на всичките му корени и доказване, че няма други, и "корен на уравнението"- това е число, което, когато бъде заменено с неизвестното, ще превърне уравнението в истинско равенство. Е, в последното уравнение намирането на число, което превръща уравнението в истинско равенство, е много просто - това е числото. Никое друго число няма да направи идентичност от това уравнение. Отговор:

Пример 2:
(умножете двете страни на уравнението по , след като се уверим, че не умножаваме по : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(да отворим скобите)
(нека преместим условията)
(нека дадем подобни)
(разделяме двете части на )

Приблизително така се решават всички линейни уравнения. За по-младите читатели най-вероятно това обяснение изглежда сложно, затова предлагаме версия "линейни уравнения за 5 клас"

Линейно уравнение с една променлива има общ вид
ax + b = 0.
Тук x е променлива, a и b са коефициенти. По друг начин a се нарича „коефициент на неизвестното“, b е „свободен член“.

Коефициентите са вид числа и решаването на уравнение означава намиране на стойността на x, при която изразът ax + b = 0 е верен. Например, имаме линейното уравнение 3x – 6 = 0. Решаването му означава да намерим на какво трябва да е равно x, за да бъде 3x – 6 равно на 0. Извършвайки трансформациите, получаваме:
3x = 6
х = 2

Така изразът 3x – 6 = 0 е верен при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 е корен на това уравнение. Когато решавате уравнение, намирате неговите корени.

Коефициентите a и b могат да бъдат всякакви числа, но има такива стойности, когато коренът на линейно уравнение с една променлива е повече от едно.

Ако a = 0, тогава ax + b = 0 се превръща в b = 0. Тук x е „унищожено“. Самият израз b = 0 може да бъде верен само ако знанието за b е 0. Тоест уравнението 0*x + 3 = 0 е невярно, защото 3 = 0 е невярно твърдение. Въпреки това, 0*x + 0 = 0 е правилният израз. От това заключаваме, че ако a = 0 и b ≠ 0 линейно уравнение с една променлива изобщо няма корени, но ако a = 0 и b = 0, тогава уравнението има безкраен брой корени.

Ако b = 0 и a ≠ 0, тогава уравнението ще приеме формата ax = 0. Ясно е, че ако a ≠ 0, но резултатът от умножението е 0, тогава x = 0. Тоест коренът на това уравнението е 0.

Ако нито a, нито b са равни на нула, тогава уравнението ax + b = 0 се трансформира във формата
x = –b/a.
Стойността на x в този случай ще зависи от стойностите на a и b. Освен това ще бъде единственият. Това означава, че е невъзможно да се получат две или повече различни стойности на x с еднакви коефициенти. Например,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Никое друго число освен –2 не може да се получи чрез разделяне на 17 на –8,5.

Има уравнения, които на пръв поглед не приличат на общата форма на линейно уравнение с една променлива, но лесно се превръщат в него. Например,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Ако преместите всичко отляво, тогава 0 ще остане от дясната страна:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Сега уравнението е сведено до стандартна форма и може да бъде решено:
х = 16,8 / 0,2
х = 84

Когато решаваме линейни уравнения, ние се стремим да намерим корена, тоест стойността на променливата, която ще превърне уравнението в правилно равенство.

За да намерите корена на уравнението, от което се нуждаете еквивалентните трансформации привеждат даденото ни уравнение във формата

\(x=[число]\)

Това число ще бъде коренът.

Тоест трансформираме уравнението, като го опростяваме с всяка стъпка, докато не го редуцираме до напълно примитивно уравнение „x = число“, където коренът е очевиден. Най-често използваните трансформации при решаване на линейни уравнения са следните:

Например: добавете \(5\) към двете страни на уравнението \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Моля, обърнете внимание, че можем да получим същия резултат по-бързо, като просто напишем петицата от другата страна на уравнението и променим знака му. Всъщност точно така се прави училищното „преминаване през равни със смяна на знака към противоположния“.

2. Умножение или деление на двете страни на уравнение с едно и също число или израз.

Например: разделете уравнението \(-2x=8\) на минус две

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Обикновено тази стъпка се изпълнява в самия край, когато уравнението вече е редуцирано до формата \(ax=b\), и ние разделяме на \(a\), за да го премахнем отляво.

3. Използване на свойствата и законите на математиката: отваряне на скоби, привеждане на подобни членове, съкращаване на дроби и др.

Добавете \(2x\) отляво и отдясно

Извадете \(24\) от двете страни на уравнението

Отново представяме подобни условия

Сега разделяме уравнението на \(-3\), като по този начин премахваме предния X от лявата страна.

Отговор : \(7\)

Отговорът е намерен. Нека обаче го проверим. Ако седем наистина е корен, тогава при заместването му вместо X в първоначалното уравнение трябва да се получи правилното равенство - еднакви числа отляво и отдясно. Да опитаме.

Преглед:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Получи се. Това означава, че седем наистина е коренът на първоначалното линейно уравнение.

Не бъдете мързеливи, за да проверите отговорите, които сте намерили чрез заместване, особено ако решавате уравнение на тест или изпит.

Остава въпросът - как да определим какво да правим с уравнението на следващата стъпка? Как точно да го конвертирам? Разделяне на нещо? Или изваждане? И какво точно да извадя? Разделете на какво?

Отговорът е прост:

Вашата цел е да доведете уравнението до формата \(x=[число]\), тоест отляво е x без коефициенти и числа, а отдясно е само число без променливи. Затова вижте какво ви спира и прави обратното на това, което прави смущаващият компонент.

За да разберем по-добре това, нека разгледаме решението на линейното уравнение \(x+3=13-4x\) стъпка по стъпка.

Нека помислим: как това уравнение се различава от \(x=[число]\)? Какво ни спира? Какво не е наред?

Е, първо, трите пречат, тъй като отляво трябва да има само един X, без числа. Какво "прави" тройката? Добавенодо X. Така че, за да го премахнете - изваждамсъщите три. Но ако извадим три отляво, трябва да го извадим отдясно, за да не се наруши равенството.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Глоба. Сега какво ви спира? \(4x\) отдясно, защото там трябва да има само числа. \(4x\) приспаднат- премахваме добавяйки.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Сега представяме подобни термини отляво и отдясно.

Вече е почти готово. Всичко, което остава, е да премахнете петте отляво. Какво прави тя"? Умножава сена х. Така че нека го премахнем разделение.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Решението е пълно, коренът на уравнението е две. Можете да проверите чрез заместване.

забележи това най-често има само един корен в линейните уравнения. Въпреки това могат да възникнат два специални случая.

Специален случай 1 – в линейно уравнение няма корени.

Пример . Решете уравнението \(3x-1=2(x+3)+x\)

Решение :

Отговор : без корени.

Всъщност фактът, че ще стигнем до такъв резултат, беше видим по-рано, дори когато получихме \(3x-1=3x+6\). Помислете за това: как може \(3x\), от което извадихме \(1\), и \(3x\), към което добавихме \(6\), да бъдат равни? Очевидно няма начин, защото са правили различни неща с едно и също нещо! Ясно е, че резултатите ще варират.

Специален случай 2 – линейно уравнение има безкраен брой корени.

Пример . Решете линейно уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Решение :

Отговор : произволно число.

Това, между другото, беше забележимо още по-рано, на етапа: \(8x+12=8x+12\). Наистина ляво и дясно са едни и същи изрази. Каквото и X да заместиш, ще бъде едно и също число и там, и там.

По-сложни линейни уравнения.

Оригиналното уравнение не винаги веднага изглежда като линейно; понякога то е „маскирано“ като други, по-сложни уравнения. Въпреки това, в процеса на трансформация, маскировката изчезва.

Пример . Намерете корена на уравнението \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Решение :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Изглежда, че тук има x на квадрат - това не е линейно уравнение! Но не бързайте. Да кандидатстваме
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Защо резултатът от разширението \((x-4)^(2)\) е в скоби, но резултатът \((3+x)^(2)\) не е? Защото пред първия квадрат има минус, който ще промени всички знаци. И за да не забравяме това, вземаме резултата в скоби, които сега отваряме.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Представяме подобни условия
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Отново представяме подобни.
		Като този. Оказва се, че оригиналното уравнение е доста линейно и X на квадрат не е нищо повече от екран, който да ни обърка. :) Завършваме решението, като разделим уравнението на \(2\), и получаваме отговора.

Отговор : \(x=5\)

Пример . Решаване на линейно уравнение \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Решение :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Уравнението не изглежда линейно, а е някакви дроби... Нека обаче се отървем от знаменателите, като умножим двете страни на уравнението по общия знаменател на всички – шест
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Разгънете скобата отляво
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Сега нека намалим знаменателите
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Сега изглежда като обикновен линеен! Нека го довършим.
		Като превеждаме чрез равенства, ние събираме X отдясно и числа отляво
		Е, като разделим дясната и лявата страна на \(-4\), получаваме отговора

Отговор : \(x=-1,25\)

Линейно уравнениее алгебрично уравнение. В това уравнение общата степен на съставните му полиноми е равна на единица.

Линейните уравнения са представени, както следва:

В общ вид: а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + a n x n + b = 0

В канонична форма: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Линейно уравнение с една променлива.

Линейно уравнение с 1 променлива се редуцира до формата:

брадва+ b=0.

Например:

2x + 7 = 0. Където а=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0.Където а=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0.Където a=12, b=1/2.

Броят на корените зависи от аИ b:

Кога а= b=0 , което означава, че уравнението има неограничен брой решения, тъй като .

Кога а=0 , b≠ 0 , което означава, че уравнението няма корени, тъй като .

Кога а ≠ 0 , което означава, че уравнението има само един корен.

Линейно уравнение с две променливи.

Уравнение с променлива хе равенство на типа A(x)=B(x), Където A(x)И B(x)- изрази от х. При замяна на комплекта Tстойности хв уравнението получаваме истинско числово равенство, което се нарича комплект истинатова уравнение също решение на дадено уравнение, и всички такива стойности на променливата са корени на уравнението.

Линейните уравнения на 2 променливи са представени в следната форма:

В общ вид: ax + by + c = 0,

В канонична форма: брадва + от = -c,

Във форма на линейна функция: y = kx + m, Където .

Решението или корените на това уравнение е следната двойка стойности на променливи (x;y), което го превръща в идентичност. Линейно уравнение с 2 променливи има неограничен брой от тези решения (корени). Геометричният модел (графика) на това уравнение е права линия y=kx+m.

Ако дадено уравнение съдържа x на квадрат, тогава уравнението се извиква

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скобите, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това комбинирайте подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата – термините, в които се съдържа – от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Първо, позволете ми още веднъж да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента „х“.

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача No1

Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така че получихме отговора.

Задача No2

Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:

Ето някои подобни:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача No3

Третото линейно уравнение е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека направим сметката:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега нека да разгледаме поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:

\[\varnothing\]

или няма корени.

Пример №2

Извършваме същите действия. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\[\varnothing\],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача No1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Нека направим малко поверителност:

Ето някои подобни:

Нека завършим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.

Задача No2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.

За алгебричната сума

С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроби

За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:

1. Отворете скобите.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на съотношението.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. Отворете скобите.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на съотношението.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.

Пример №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека разширим:

Изключваме променливата:

Извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.

Пример №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемът е решен.

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно те ще бъдат намалени в процеса на по-нататъшни трансформации.
• Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!