Математическо очакване на случайна променлива. Основи на теорията на вероятностите
2. Основи на теорията на вероятностите
Очаквана стойност
Помислете за случайна променлива с числени стойности. Често е полезно да се свърже число с тази функция - нейната „средна стойност“ или, както се казва, „средна стойност“, „индекс на централната тенденция“. Поради редица причини, някои от които ще станат ясни по-късно, като „средна стойност“ обикновено се използва математическото очакване.
Определение 3.Математическо очакване на случайна променлива хизвикан номер
тези. математическото очакване на случайна променлива е претеглена сума от стойностите на случайна променлива с тегла, равни на вероятностите на съответните елементарни събития.
Пример 6.Нека изчислим математическото очакване на числото, което се появява на горната страна на зара. Пряко от Определение 3 следва, че
Твърдение 2.Нека случайната променлива хприема стойности x 1, x 2,…, xм. Тогава равенството е вярно
(5)
тези. Математическото очакване на случайна променлива е претеглена сума от стойностите на случайната променлива с тегла, равни на вероятностите случайната променлива да приеме определени стойности.
За разлика от (4), където сумирането се извършва директно върху елементарни събития, едно случайно събитие може да се състои от няколко елементарни събития.
Понякога отношението (5) се приема като дефиниция на математическото очакване. Въпреки това, като се използва Определение 3, както е показано по-долу, е по-лесно да се установят свойствата на математическото очакване, необходимо за конструиране на вероятностни модели на реални явления, отколкото чрез използване на връзка (5).
За да докажем връзката (5), групираме в (4) членове с еднакви стойности на случайната променлива:
Тъй като постоянният фактор може да бъде изваден от знака на сумата, тогава
Чрез определяне на вероятността от събитие
Използвайки последните две отношения, получаваме исканото:
Концепцията за математическото очакване във вероятностно-статистическата теория съответства на концепцията за центъра на тежестта в механиката. Нека го поставим в точки x 1, x 2,…, xмна оста на масовото число П(х= х 1 ), П(х= х 2 ),…, П(х= x m) съответно. Тогава равенството (5) показва, че центърът на тежестта на тази система от материални точки съвпада с математическото очакване, което показва естествеността на Определение 3.
Твърдение 3.Позволявам х- произволна стойност, M(X)– неговото математическо очакване, А– определено число. Тогава
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(х- а) 2 ]= М[(х- М(х)) 2 ]+(а- М(х)) 2 .
За да докажем това, нека първо разгледаме случайна променлива, която е постоянна, т.е. функцията картографира пространството на елементарните събития в една точка А. Тъй като постоянният множител може да бъде взет отвъд знака на сбора, тогава
Ако всеки член на една сума е разделен на два члена, тогава целият сбор е разделен на два сбора, от които първият е съставен от първите членове, а вторият е съставен от втория. Следователно, математическото очакване на сумата от две случайни променливи X+Y, дефинирана върху същото пространство от елементарни събития, е равна на сумата от математическите очаквания M(X)И M(U)тези случайни променливи:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
И следователно M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)).Както е показано по-горе, M(M(X)) = M(X).следователно M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Тъй като (X - a) 2 = ((х – М(х)) + (М(х) - а)} 2 = (х - М(х)) 2 + 2(х - М(х))(М(х) - а) + (М(х) – а) 2 , Че М[(X - a) 2 ] =М(х - М(х)) 2 + М{2(х - М(х))(М(х) - а)} + М[(М(х) – а) 2 ]. Нека опростим последното равенство. Както е показано в началото на доказателството на твърдение 3, математическото очакване на константа е самата константа и следователно М[(М(х) – а) 2 ] = (М(х) – а) 2 . Тъй като постоянният множител може да бъде взет отвъд знака на сбора, тогава М{2(х - М(х))(М(х) - а)} = 2(М(х) - а)M(х - М(х)). Дясната страна на последното равенство е 0, защото, както е показано по-горе, M(X-M(X))=0.следователно М[(х- а) 2 ]= М[(х- М(х)) 2 ]+(а- М(х)) 2 , което трябваше да се докаже.
От горното следва, че М[(х- а) 2 ] достига минимум А, равен М[(х- М(х)) 2 ], при a = M(X),тъй като вторият член в равенство 3) винаги е неотрицателен и е равен на 0 само за посочената стойност А.
Твърдение 4.Нека случайната променлива хприема стойности x 1, x 2,…, xми f е някаква функция на числовия аргумент. Тогава
За да докажем това, нека групираме от дясната страна на равенството (4), което определя математическото очакване, членове с еднакви стойности:
Използвайки факта, че постоянният фактор може да бъде изваден от знака на сумата, и дефиницията на вероятността за случайно събитие (2), получаваме
Q.E.D.
Твърдение 5.Позволявам хИ U– случайни променливи, дефинирани в едно и също пространство от елементарни събития, АИ b- някои числа. Тогава М(aX+ от Y)= аМ(х)+ bM(Y).
Използвайки дефиницията на математическото очакване и свойствата на символа за сумиране, получаваме верига от равенства:
Необходимото е доказано.
Горното показва как математическото очакване зависи от прехода към друга референтна точка и към друга мерна единица (преход Y=aX+b), както и към функции на случайни променливи. Получените резултати се използват постоянно в техническия и икономически анализ, при оценката на финансовата и икономическата дейност на предприятието, при прехода от една валута към друга във външноикономическите изчисления, в нормативната и техническата документация и др. Разглежданите резултати позволяват използване на едни и същи формули за изчисление за различни параметри мащаб и отместване.
| Предишен |
Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и техните вероятности.
Нека една случайна променлива приема само вероятностни стойности, които съответно са равни. Тогава математическото очакване на случайна променлива се определя от равенството
Ако дискретна случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава
Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.
Коментирайте. От дефиницията следва, че математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайна (постоянна) величина.
Дефиниция на математическото очакване в общия случай
Нека определим математическото очакване на случайна променлива, чието разпределение не е непременно дискретно. Нека започнем със случая на неотрицателни случайни променливи. Идеята ще бъде да се приближат такива случайни променливи, като се използват дискретни, за които математическото очакване вече е определено, и да се зададе математическото очакване равно на границата на математическите очаквания на дискретните случайни променливи, които го приближават. Между другото, това е много полезна обща идея, която е, че някаква характеристика първо се определя за прости обекти, а след това за по-сложни обекти се определя чрез приближаването им с по-прости.
Лема 1. Нека има произволна неотрицателна случайна променлива. Тогава има поредица от дискретни случайни променливи, така че
Доказателство. Нека разделим полуоста на сегменти с еднаква дължина и да определим
Тогава свойства 1 и 2 лесно следват от дефиницията на случайна променлива и
Лема 2. Нека е неотрицателна случайна променлива и и две поредици от дискретни случайни променливи, притежаващи свойства 1-3 от лема 1. Тогава
Доказателство. Имайте предвид, че за неотрицателни случайни променливи допускаме
По силата на свойство 3 е лесно да се види, че има последователност от положителни числа, така че
Следва, че
Използвайки свойствата на математическите очаквания за дискретни случайни променливи, получаваме
Преминавайки към границата при получаваме твърдението на лема 2.
Определение 1. Нека е неотрицателна случайна променлива - последователност от дискретни случайни променливи, които имат свойства 1-3 от лема 1. Математическото очакване на случайна променлива е числото
Лема 2 гарантира, че не зависи от избора на апроксимираща последователност.
Нека сега е произволна случайна променлива. Да дефинираме
От дефиницията и лесно следва това
Определение 2. Математическото очакване на произволна случайна променлива е числото
Ако поне едно от числата от дясната страна на това равенство е крайно.
Свойства на математическото очакване
Свойство 1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:
Доказателство. Ще разглеждаме константа като дискретна случайна променлива, която има една възможна стойност и я приема с вероятност, следователно,
Забележка 1. Нека дефинираме произведението на постоянна променлива от дискретна случайна променлива като дискретна случайна, чиито възможни стойности са равни на продуктите на константата от възможните стойности; вероятностите за възможни стойности са равни на вероятностите за съответните възможни стойности. Например, ако вероятността за възможна стойност е равна, тогава вероятността стойността да приеме стойността също е равна
Свойство 2. Константният множител може да бъде изваден от знака на математическото очакване:
Доказателство. Нека случайната променлива е дадена от закона за разпределение на вероятностите:
Като вземем предвид забележка 1, записваме закона за разпределение на случайната променлива
Забележка 2. Преди да преминем към следващото свойство, посочваме, че две случайни променливи се наричат независими, ако законът за разпределение на една от тях не зависи от възможните стойности на другата променлива. В противен случай случайните променливи са зависими. Няколко случайни променливи се наричат взаимно независими, ако законите на разпределение на който и да е брой от тях не зависят от възможните стойности на останалите променливи.
Забележка 3. Нека дефинираме произведението на независими случайни променливи и като случайна променлива, чиито възможни стойности са равни на произведенията на всяка възможна стойност по всяка възможна стойност, вероятностите на възможните стойности на продукта са равни на произведенията на вероятностите на възможните стойности на факторите. Например, ако вероятността за възможна стойност е, вероятността за възможна стойност е тогава вероятността за възможна стойност е
Свойство 3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
Доказателство. Нека независимите случайни променливи са определени от техните собствени закони за разпределение на вероятностите:
Нека компилираме всички стойности, които една случайна променлива може да приеме.За да направите това, нека умножим всички възможни стойности по всяка възможна стойност; В резултат на това получаваме и, като вземем предвид забележка 3, записваме закона за разпределение, приемайки за простота, че всички възможни стойности на продукта са различни (ако това не е така, тогава доказателството се извършва в подобен начин):
Математическото очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности:
Последица. Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
Свойство 4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:
Доказателство. Нека случайните променливи и са определени от следните закони за разпределение:
Нека компилираме всички възможни стойности на количество.За да направим това, добавяме всяка възможна стойност към всяка възможна стойност; нека приемем за простота, че тези възможни стойности са различни (ако това не е така, тогава доказателството се извършва по подобен начин) и обозначаваме техните вероятности съответно с и
Математическото очакване на стойност е равно на сумата от продуктите на възможните стойности и техните вероятности:
Нека докажем, че Събитие, което ще приеме стойност (вероятността за това събитие е равна), води до събитие, което ще приеме стойност или (вероятността за това събитие според теоремата за добавяне е равна) и обратно. Оттук следва, че равенствата се доказват аналогично
Замествайки десните части на тези равенства във връзка (*), получаваме
или накрая
Дисперсия и стандартно отклонение
На практика често е необходимо да се оцени дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност. Например в артилерията е важно да се знае колко близо ще паднат снарядите близо до целта, която трябва да бъде ударена.
На пръв поглед може да изглежда, че най-лесният начин за оценка на дисперсията е да се изчислят всички възможни отклонения на случайна променлива и след това да се намери тяхната средна стойност. Този път обаче няма да даде нищо, тъй като средната стойност на отклонението, т.е. за произволна променлива е равно на нула. Това свойство се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, докато други са отрицателни; в резултат на взаимното им премахване средната стойност на отклонението е нула. Тези съображения показват, че е целесъобразно възможните отклонения да се заменят с техните абсолютни стойности или техните квадрати. Това правят на практика. Вярно е, че в случай, че възможните отклонения се заменят с абсолютни стойности, трябва да се работи с абсолютни стойности, което понякога води до сериозни затруднения. Затова най-често поемат по различен път, т.е. изчислете средната стойност на квадратното отклонение, което се нарича дисперсия.
Ще има и задачи за самостоятелно решаване, на които можете да видите отговорите.
Очакването и дисперсията са най-често използваните числени характеристики на случайна променлива. Те характеризират най-важните характеристики на разпределението: неговото положение и степен на разсейване. Очакваната стойност често се нарича просто средна. случайна величина. Дисперсия на случайна величина - характеристика на дисперсията, разпространение на случайна величина за неговото математическо очакване.
В много практически задачи пълна, изчерпателна характеристика на случайна променлива - законът за разпределение - или не може да бъде получена, или изобщо не е необходима. В тези случаи човек се ограничава до приблизително описание на случайна променлива, използвайки числови характеристики.
Очакване на дискретна случайна променлива
Нека да стигнем до понятието математическо очакване. Нека масата на някакво вещество е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн. Освен това всяка материална точка има съответстваща маса с вероятност от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да се избере една точка по абсцисната ос, характеризираща позицията на цялата система от материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, към която е абсцисата на всяка точка хазвлиза с „тегло“, равно на съответната вероятност. Получената по този начин средна стойност на случайната променлива хсе нарича неговото математическо очакване.
Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:
Пример 1.Организирана е печеливша лотария. Има 1000 печалби, от които 400 са 10 рубли. 300 - 20 рубли всяка. 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Каква е средната печалба за някой, който закупи един билет?
Решение. Ще намерим средните печалби, ако разделим общата сума на печалбите, която е 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубли, на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средните печалби може да бъде представен в следната форма:
От друга страна, при тези условия печелившият размер е случайна променлива, която може да приема стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба е равна на сумата от произведенията на размера на печалбите и вероятността да бъдат получени.
Пример 2.Издателят реши да издаде нова книга. Той планира да продаде книгата за 280 рубли, от които той самият ще получи 200, 50 - книжарницата и 30 - авторът. Таблицата предоставя информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.
Намерете очакваната печалба на издателя.
Решение. Случайната променлива „печалба” е равна на разликата между приходите от продажби и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а цената на публикацията е 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:
| Номер | печалба хаз | Вероятност страз | хаз страз |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Обща сума: | 1,00 | 25000 |
Така получаваме математическото очакване на печалбата на издателя:
.
Пример 3.Вероятност за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на снаряди, които осигуряват математическо очакване на броя на попаденията, равен на 5.
Решение. От същата формула за математическо очакване, която сме използвали досега, ние изразяваме х- консумация на черупки:
.
Пример 4.Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .
Съвет: намерете вероятността от стойности на случайна променлива по Формула на Бернули .
Свойства на математическото очакване
Нека разгледаме свойствата на математическото очакване.
Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:
Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за математическо очакване:
Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:
Имот 4.Математическото очакване на произведение от случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
Имот 5.Ако всички стойности на случайна променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число СЪС, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:
Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване
В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира достатъчно случайна променлива.
Нека случайните променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:
| Значение х | Вероятност |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значение Y | Вероятност |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:
Моделите им на разпространение обаче са различни. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които се различават малко от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната работна заплата не позволява да се прецени делът на високо- и нископлатените работници. С други думи, от математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайната променлива.
Дисперсия на дискретна случайна променлива
Дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:
Стандартното отклонение на случайна променлива харитметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия се нарича:
.
Пример 5.Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хИ Y, чиито закони на разпределение са дадени в таблиците по-горе.
Решение. Математически очаквания на случайни променливи хИ Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула при д(х)=д(г)=0 получаваме:
След това стандартните отклонения на случайни променливи хИ Yгрим
.
По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малка, но случайна променлива Y- значителен. Това е следствие от разликите в разпределението им.
Пример 6.Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение за всяка алтернатива.
Решение. Нека да покажем как се изчисляват тези стойности за 3-тата алтернатива:
Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.
Всички алтернативи имат еднакви математически очаквания. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-високо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска голям риск, ще избере проект 1, тъй като има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока доходност за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голямо стандартно отклонение - проект 4.
Дисперсионни свойства
Нека представим свойствата на дисперсията.
Имот 1.Дисперсията на постоянна стойност е нула:
Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:
.
Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:
,
Където 
.
Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:
Пример 7.Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.
Решение. Нека означим с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:
д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,
където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .
Закон за разпределение на случайна променлива:
| х | −3 | 7 |
| стр | 0,3 | 0,7 |
Ние изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, като използваме формулата от свойство 3 на дисперсията:
д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението
Пример 8.Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата от стойностите 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.
Пример 9.В урната има 6 бели и 4 черни топки. От урната се изтеглят 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Решение. Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Закон за разпределение на случайна променлива:
| х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| стр | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:
М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсията на дадена случайна променлива е:
д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива
За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределена непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, чийто аргумент на функцията хазпроменя се рязко; за непрекъсната случайна променлива аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.
За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функцията на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя директно влиза в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.
Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .
Решение:
6.1.2 Свойства на математическото очакване
1. Математическото очакване на константна стойност е равно на самата константа.
2. Константният множител може да се извади като знак на математическото очакване. 
3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
Това свойство е вярно за произволен брой случайни променливи.
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.
Това свойство е вярно и за произволен брой случайни променливи.
Пример: M(X) = 5, M(Y)= 2. Намерете математическото очакване на случайна променлива З, прилагайки свойствата на математическото очакване, ако е известно, че Z=2X+3Y.
Решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) математическото очакване на сумата е равно на сумата от математическите очаквания
2) постоянният фактор може да бъде изваден от знака на математическото очакване
Нека се извършат n независими опита, вероятността за настъпване на събитие А, в които е равна на p. Тогава важи следната теорема:
Теорема. Математическото очакване M(X) на броя на случванията на събитие А в n независими опити е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитието във всеки опит.
6.1.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива
Математическото очакване не може напълно да характеризира случаен процес. В допълнение към математическото очакване е необходимо да въведете стойност, която характеризира отклонението на стойностите на случайната променлива от математическото очакване.
Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула.
Дисперсия (разпръскване)на дискретна случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.
На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайни променливи.
Затова се използва друг метод.
Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.
Доказателство. Като вземем предвид факта, че математическото очакване M(X) и квадратът на математическото очакване M2(X) са постоянни величини, можем да запишем:
Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределение.
| х | ||||
| X 2 | ||||
| Р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение: .
6.1.4 Дисперсионни свойства
1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. 
.
3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .
4. Дисперсията на разликата между две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .
Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опити, при всяко от които вероятността p за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити по вероятностите за възникване и не- настъпване на събитието във всеки опит.
Пример: Намерете дисперсията на DSV X - броя на появяванията на събитие A в 2 независими опита, ако вероятността за възникване на събитието в тези опити е една и съща и е известно, че M(X) = 1,2.
Нека приложим теоремата от раздел 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; н= 2. Да намерим стр:
1,2 = 2∙стр
стр = 1,2/2
р = 1 – стр = 1 – 0,6 = 0,4
Нека намерим дисперсията по формулата:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Стандартно отклонениеслучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.
(25)
Теорема. Стандартното отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сумата на квадратите на стандартните отклонения на тези променливи.
6.1.6 Мода и медиана на дискретна случайна променлива
Мода M o DSVизвиква се най-вероятната стойност на случайна променлива (т.е. стойността, която има най-голяма вероятност)
Медиана M e DSVе стойността на случайна променлива, която разделя серията на разпределение наполовина. Ако броят на стойностите на случайна променлива е четен, тогава медианата се намира като средноаритметично от две средни стойности.
Пример: Намерете модата и медианата на DSV х:
| х | ||||
| стр | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
аз = = 5,5
Напредък
1. Запознайте се с теоретичната част на тази работа (лекции, учебник).
2. Изпълнете задачата според собствената си версия.
3. Направете отчет за работата.
4. Защитете работата си.
2. Цел на работата.
3. Напредък в работата.
4. Решаване на собствен вариант.
6.4 Варианти на задачи за самостоятелна работа
Опция 1
1. Намерете математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение, модата и медианата на DSV X, дадени от закона за разпределение.
| х | ||||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Намерете математическото очакване на случайната променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Намерете дисперсията на DSV X - броят на случванията на събитие А в две независими опити, ако вероятностите за възникване на събития в тези опити са еднакви и е известно, че M (X) = 1.
4. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива х: х 1 = 1, х 2 = 2, х 3= 5, като са известни и математическите очаквания на тази стойност и нейния квадрат: , . Намерете вероятностите , , , съответстващи на възможните стойности на , , и съставете закона за разпределение на DSV.
Вариант №2
| х | ||||
| П | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Намерете математическото очакване на случайната променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Намерете дисперсията на DSV X - броят на случванията на събитие А в три независими опита, ако вероятностите за възникване на събития в тези опити са еднакви и е известно, че M (X) = 0,9.
4. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива X: х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 4, х 4= 10, като са известни и математическите очаквания на тази стойност и нейния квадрат: , . Намерете вероятностите , , , съответстващи на възможните стойности на , , и съставете закона за разпределение на DSV.
Вариант #3
1. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на DSV X, дадени от закона за разпределение.
| х | ||||
| П | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Намерете математическото очакване на случайната променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Намерете дисперсията на DSV X - броят на случванията на събитие А в четири независими опита, ако вероятностите за възникване на събития в тези опити са еднакви и е известно, че M (x) = 1,2.
Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Въпреки това, често законът за разпределение е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно случайната променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.
Една от важните числени характеристики е математическото очакване.
Математическото очакване е приблизително равно на средната стойност на случайната величина.
Математическо очакване на дискретна случайна променливае сумата от продуктите на всички негови възможни стойности и техните вероятности.
Ако една случайна променлива се характеризира с краен ред на разпределение:
| х | х 1 | х 2 | х 3 | … | x n |
| Р | стр. 1 | стр. 2 | стр. 3 | … | r p |
след това математическото очакване M(X)определя се по формулата:
Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива се определя от равенството:
където е плътността на вероятността на случайната променлива х.
Пример 4.7.Намерете математическото очакване на броя точки, които се появяват при хвърляне на зар.
Решение:
Случайна стойност хприема стойностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нека създадем закона за неговото разпределение:
| х | ||||||
| Р |
Тогава математическото очакване е:
Свойства на математическото очакване:
1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:
M (S) = S.
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за математическо очакване:
M (CX) = CM (X).
3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
M(XY) = M(X)M(Y).
Пример 4.8. Независими случайни променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:
| х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Намерете математическото очакване на случайната променлива XY.
Решение.
Нека намерим математическите очаквания на всяко от тези количества:
Случайни променливи хИ Yнезависими, следователно изискваното математическо очакване е:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Последица.Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Последица.Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.
Пример 4.9.Произвеждат се 3 изстрела с вероятност за попадение в целта, равна на стр. 1 = 0,4; p2= 0,3 и стр. 3= 0,6. Намерете математическото очакване на общия брой попадения.
Решение.
Броят на попаденията при първия изстрел е случайна променлива X 1, което може да приема само две стойности: 1 (попадение) с вероятност стр. 1= 0,4 и 0 (пропускане) с вероятност р 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математическото очакване за броя на попаденията при първия изстрел е равно на вероятността за попадение:
По същия начин намираме математическите очаквания за броя на попаденията за втория и третия изстрел:
M(X 2)= 0,3 и M(X 3)= 0,6.
Общият брой попадения също е произволна променлива, състояща се от сбора на попаденията във всеки от трите изстрела:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Изискваното математическо очакване хНамираме го с помощта на теоремата за математическото очакване на сбора.
