Преобразуване на изрази. Подробна теория (2020)
(1) a m ⋅ a n = a m + n
Пример:
$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n
Пример:
$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Пример:
$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n
Пример:
$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n
Пример:
$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n
Примери:
$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$
Свойства на корен квадратен:
(1) a b = a ⋅ b, за a ≥ 0, b ≥ 0
Пример:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b, за a ≥ 0, b > 0
Пример:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a, за a ≥ 0
Пример:
(4) a 2 = | a | за всяко a
Примери:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Рационални и ирационални числа
Рационални числа – числа, които могат да бъдат представени като обикновена дроб m n където m е цяло число (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n е естествено число (ℕ = 1, 2, 3, 4 . ..).
Примери за рационални числа:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
Ирационални числа – числа, които не могат да бъдат представени като обикновена дроб m n; това са безкрайни непериодични десетични дроби.
Примери за ирационални числа:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
Просто казано, ирационалните числа са числа, които съдържат знак за квадратен корен в нотацията си. Но не е толкова просто. Някои рационални числа са маскирани като ирационални числа, например числото 4 съдържа знак за квадратен корен в своята нотация, но ние добре знаем, че можем да опростим нотната форма 4 = 2. Това означава, че числото 4 е рационално число.
По същия начин числото 4 81 = 4 81 = 2 9 е рационално число.
Някои задачи изискват да определите кои числа са рационални и кои са ирационални. Задачата се свежда до това да разберем кои числа са ирационални и кои числа са маскирани като тях. За да направите това, трябва да можете да извършите операциите за премахване на множителя под знака за квадратен корен и въвеждане на множителя под знака за корен.
Добавяне и изваждане на множител извън знака за квадратен корен
Като преместите фактора отвъд знака за квадратен корен, можете значително да опростите някои математически изрази.
Пример:
Опростете израза 2 8 2.
Метод 1 (премахване на множителя от под знака на корена): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
Метод 2 (въвеждане на множител под знака на корена): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Формули за съкратено умножение (FSU)
Квадрат на сумата
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Пример:
(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Разлика на квадрат
(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Пример:
(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Сборът на квадратите не се разлага на множители
Разлика на квадратите
(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)
Пример:
25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)
Куб сума
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Пример:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
Куб на разликата
(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
Пример:
(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
Сбор от кубове
(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)
Пример:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)
Разлика на кубчета
(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)
Пример:
x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Стандартен тип номер
За да разберете как да редуцирате произволно рационално число до стандартна форма, трябва да знаете коя е първата значима цифра на числото.
Първа значима цифра на число наречете го първата ненулева цифра вляво.
Примери:
2 5 ; 3, 05; 0,1 43; 0,00 1 2. Първата значима цифра е подчертана в червено.
За да приведете номер в стандартна форма, трябва:
- Преместете десетичната запетая така, че да е веднага след първата значима цифра.
- Умножете полученото число по 10 n, където n е число, дефинирано по следния начин:
- n > 0, ако запетаята е преместена наляво (умножаването по 10 n показва, че запетаята всъщност трябва да е по-надясно);
- н< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- абсолютната стойност на числото n е равна на броя на цифрите, с които е изместена десетичната запетая.
Примери:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Запетайката се е преместила наляво с 1 място. Тъй като десетичното изместване е наляво, степента е положителна.
Той вече е преобразуван в стандартна форма; не е необходимо да правите нищо с него. Можете да го запишете като 3,05 ⋅ 10 0, но тъй като 10 0 = 1, оставяме числото в оригиналния му вид.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Запетаята се е преместила с 1 място надясно. Тъй като десетичното изместване е надясно, степента е отрицателна.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Запетайката се е преместила три места надясно. Тъй като десетичното изместване е надясно, степента е отрицателна.
Алгебричен израз израз, съставен от букви и цифри, свързани със знаци за операциите събиране, изваждане, умножение, деление, повдигане на степен и извличане на корен (степенните степени и корените трябва да са постоянни числа). A.v. се нарича рационален по отношение на някои букви, включени в него, ако не ги съдържа под знака на извличане на корен, напр. рационален по отношение на a, b и c. A.v. се нарича цяло число по отношение на някои букви, ако не съдържа деление на изрази, съдържащи тези букви, например 3a/c + bc 2 - 3ac/4
е цяло число по отношение на a и b. Ако някои от буквите (или всички) се считат за променливи, тогава A.c. е алгебрична функция.
Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .
Вижте какво е „алгебричен израз“ в други речници:
Израз, съставен от букви и цифри, свързани със знаци на алгебрични операции: събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване, извличане на корен... Голям енциклопедичен речник
алгебричен израз- - Теми нефтена и газова индустрия EN алгебричен израз ... Ръководство за технически преводач
Алгебричният израз е една или повече алгебрични величини (цифри и букви), свързани със знаци на алгебрични операции: събиране, изваждане, умножение и деление, както и извличане на корен и повдигане до цели числа... ... Wikipedia
Израз, съставен от букви и цифри, свързани със знаци на алгебрични операции: събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване, извличане на корен. * * * АЛГЕБРИЧЕН ИЗРАЗ АЛГЕБРИЧЕН ИЗРАЗ, израз,... ... енциклопедичен речник
алгебричен израз- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. алгебричен израз вок. algebraischer Ausdruck, м рус. алгебричен израз, n pranc. израз algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Израз, съставен от букви и цифри, свързани с алгебрични знаци. операции: събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване, извличане на корен... Естествени науки. енциклопедичен речник
Алгебричен израз за дадена променлива, за разлика от трансценденталния, е израз, който не съдържа други функции на дадено количество, освен суми, произведения или степени на това количество, и членовете... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон
ИЗРАЖЕНИЕ, изрази, вж. 1. Действие по гл. експрес експрес. Не мога да намеря думи, за да изразя своята благодарност. 2. по-често единици. Въплъщението на идея във формите на някакъв вид изкуство (философия). Само велик художник може да създаде такъв израз... ... Обяснителен речник на Ушаков
Уравнение, получено от приравняването на два алгебрични израза (виж Алгебричен израз). A.u. с едно неизвестно се нарича дробно, ако неизвестното е включено в знаменателя, и ирационално, ако неизвестното е включено под ... ... Велика съветска енциклопедия
ИЗРАЗЯВАНЕ- първична математическа концепция, която означава запис на букви и цифри, свързани със знаци на аритметични операции, в които могат да се използват скоби, функционални обозначения и др.; Обикновено формулата е в милиони части. Има B (1)…… Голяма политехническа енциклопедия
Можем да напишем някои математически изрази по различни начини. В зависимост от нашите цели, дали имаме достатъчно данни и т.н. Числени и алгебрични изразиТе се различават по това, че записваме първите само като числа, комбинирани с помощта на аритметични знаци (събиране, изваждане, умножение, деление) и скоби.
Ако вместо числа въведете латински букви (променливи) в израза, той ще стане алгебричен. Алгебричните изрази използват букви, цифри, знаци за събиране и изваждане, умножение и деление. Може да се използва и знакът за корен, степен и скоби.
Във всеки случай, независимо дали изразът е числов или алгебричен, той не може да бъде просто произволен набор от знаци, цифри и букви - той трябва да има смисъл. Това означава, че буквите, цифрите, знаците трябва да бъдат свързани с някаква връзка. Правилен пример: 7x + 2: (y + 1). Лош пример) : + 7x - * 1.
Думата „променлива“ беше спомената по-горе - какво означава това? Това е латинска буква, вместо която можете да замените цифра. И ако говорим за променливи, в този случай алгебричните изрази могат да се нарекат алгебрична функция.
Променливата може да приема различни стойности. И като заместим някакво число на негово място, можем да намерим стойността на алгебричния израз за тази конкретна стойност на променливата. Когато стойността на една променлива е различна, стойността на израза ще бъде различна.
Как се решават алгебрични изрази?
За да изчислите стойностите, които трябва да направите преобразуване на алгебрични изрази. И за това все още трябва да вземете предвид няколко правила.
Първо, обхватът на алгебричните изрази е всички възможни стойности на променлива, за които изразът може да има смисъл. какво се има предвид Например, не можете да замените стойност за променлива, която би изисквала да разделите на нула. В израза 1/(x – 2), 2 трябва да бъде изключено от областта на дефиниране.
Второ, запомнете как да опростявате изрази: факторизирайте ги, поставяйте идентични променливи извън скоби и т.н. Например: ако размените членовете, сумата няма да се промени (y + x = x + y). По същия начин продуктът няма да се промени, ако факторите се разменят (x*y = y*x).
Като цяло те са отлични за опростяване на алгебрични изрази. формули за съкратено умножение. Тези, които все още не са ги научили, определено трябва да го направят - те все още ще бъдат полезни повече от веднъж:
намираме разликата между променливите на квадрат: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);
намираме сумата на квадрат: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;
изчисляваме разликата на квадрат: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;
подложете на куб сумата: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 или (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
подложете на куб разликата: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 или (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);
намираме сумата на променливите в куб: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);
изчисляваме разликата между променливите в куб: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);
използваме корените: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), а 1 и a 2 са корените на израза xa 2 + ua + z.
Трябва също така да имате разбиране за видовете алгебрични изрази. Те са:
рационални, а тези от своя страна се делят на:
цели числа (няма разделяне на променливи, няма извличане на корени от променливи и няма повишаване на дробни степени): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b). Домейнът на дефиниция е всички възможни стойности на променливите ;
дробни (с изключение на други математически операции, като събиране, изваждане, умножение, в тези изрази те се разделят на променлива и се повдигат на степен (с естествен показател): (2/b - 3/a + c/4) 2. Област на дефиниране - всички стойности на променливи, за които изразът не е равен на нула;
ирационален - за да се счита алгебричен израз за такъв, той трябва да включва повишаване на променливите на степен с дробен показател и/или извличане на корени от променливи: √a + b 3/4. Областта на дефиниране е всички стойности на променливите, с изключение на тези, за които изразът под корена на четната степен или под дробната степен става отрицателно число.
Тъждествени преобразувания на алгебрични изразие друга полезна техника за решаването им. Идентичността е израз, който ще бъде верен за всички променливи, включени в домейна на дефиницията, които са заместени в него.
Израз, който зависи от някои променливи, може да бъде идентично равен на друг израз, ако зависи от същите променливи и ако стойностите на двата израза са равни, без значение какви стойности на променливите са избрани. С други думи, ако един израз може да бъде изразен по два различни начина (изрази), чиито значения са еднакви, тези изрази са идентично равни. Например: y + y = 2y, или x 7 = x 4 * x 3, или x + y + z = z + x + y.
Когато изпълнявате задачи с алгебрични изрази, трансформацията на идентичност служи, за да гарантира, че един израз може да бъде заменен с друг, който е идентичен с него. Например, заменете x 9 с продукта x 5 * x 4.
Примери за решения
За да стане по-ясно, нека разгледаме няколко примера. трансформации на алгебрични изрази. Задачите от това ниво могат да бъдат намерени в KIM за Единния държавен изпит.
Задача 1: Намерете стойността на израза ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).
Решение: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.
Задача 2: Намерете стойността на израза (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).
Решение: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3) )(2x + 3) = 6.
Заключение
Когато се подготвяте за училищни тестове, единни държавни изпити и държавни изпити, винаги можете да използвате този материал като намек. Имайте предвид, че алгебричният израз е комбинация от числа и променливи, изразени с латински букви. А също и знаци за аритметични операции (събиране, изваждане, умножение, деление), скоби, степени, корени.
Използвайте формули за съкратено умножение и знания за идентичности, за да трансформирате алгебрични изрази.
Напишете ни вашите коментари и желания в коментарите - за нас е важно да знаем, че ни четете.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Публикацията представя логиката на разликите в алгебричните изрази за ученици от основно общо и средно (пълно) общо образование като преходен етап от формирането на логиката на разликите в математическите изрази, използвани във физиката и др. за по-нататъшно формиране на концепции за явления, задачи, тяхната класификация и методология за решаването им.
Изтегли:
Преглед:
Алгебрични изрази и техните характеристики
© Скаржински Ю.Х.
Алгебрата, като наука, изучава моделите на действия върху множества, обозначени с букви.Алгебричните операции включват събиране, изваждане, умножение, деление, степенуване и извличане на корен.В резултат на тези действия се образуваха алгебрични изрази.Алгебричен израз е израз, състоящ се от цифри и букви, обозначаващи множества, с които се извършват алгебрични операции.Тези операции бяха прехвърлени в алгебрата от аритметиката. По алгебра смятатприравняване на един алгебричен израз към друг, което е тяхното идентично равенство. Примери за алгебрични изрази са дадени в §1.Методите за трансформации и връзките между изразите също са заимствани от аритметиката. Познаването на аритметичните закони на операциите с аритметични изрази ви позволява да извършвате трансформации на подобни алгебрични изрази, да ги трансформирате, опростявате, сравнявате и анализирате.Алгебрата е наука за моделите на трансформация на изрази, състоящи се от множества, представени под формата на буквени символи, свързани помежду си със знаци на различни действия.Има и по-сложни алгебрични изрази, изучавани във висшите учебни заведения. Засега те могат да бъдат разделени на видовете, които най-често се използват в училищната програма.
1 Видове алгебрични изрази
клауза 1 Прости изрази: 4а; (a + b); (a + b)3c; ; .
клауза 2 Тъждествени равенства:(a + b)c = ac + bc; ;
т.3 Неравенства: ак ; a + c .
т.4 Формули: x=2a+5; y=3b; y=0.5d 2 +2;
т. 5 Пропорции:
Първо ниво на трудност
Второ ниво на трудност
Трето ниво на трудностот гледна точка на търсене на стойности за набори
a, b, c, m, k, d:
Четвърто ниво на трудностот гледна точка на търсене на стойности за множества a, y:
т. 6 Уравнения:
ax+c = -5bx; 4x 2 +2x= 42;
и т.н.
клауза 7 Функционални зависимости: y=3x; y=ax 2 +4b; y=0,5x 2 +2;
и т.н.
2 Разгледайте алгебрични изрази
2.1 Раздел 1 представя прости алгебрични изрази. Има гледка и
по-трудно, например:
По правило такива изрази нямат знака "=". Задачата при разглеждането на такива изрази е да ги трансформирате и да ги получите в опростена форма. При трансформиране на алгебричния израз, свързан със стъпка 1, се получава нов алгебричен израз, който по смисъла си е еквивалентен на предходния. За такива изрази се казва, че са идентично еквивалентни. Тези. алгебричният израз вляво от знака за равенство е еквивалентен по значение на алгебричния израз вдясно. В този случай се получава алгебричен израз от нов тип, наречен тъждествено равенство (виж параграф 2).
2.2 Раздел 2 представя равенства на алгебрична идентичност, които се образуват чрез методи на алгебрични трансформации, се разглеждат алгебрични изрази, които най-често се използват като методи за решаване на задачи във физиката. Примери за еднакви равенства на алгебрични трансформации, често използвани в математиката и физиката:
Комутативен закон за събиране: a + b = b + a.
Комбинационен закон за добавяне:(a + b) + c = a + (b + c).
Комутативен закон за умножение: ab = ba.
Комбинационен закон за умножение:(ab)c = a(bc).
Закон за разпределение на умножението спрямо събирането:
(a + b)c = ac + bc.
Закон за разпределение на умножението спрямо изваждането:
(a - b)c = ac - bc.
Тъждествени равенствадробни алгебрични изрази(приемайки, че знаменателите на дробите са различни от нула):
Тъждествени равенстваалгебрични изрази със степени:
А) ,
където (n пъти, ) - цяла степен
b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2.
Тъждествени равенстваалгебрични изрази с корени n-та степен:
Изразяване - аритметичен коренн та степен измеждуВ частност, - аритметичен квадрат.
Степен с дробен (рационален) показателкорен:
Дадените по-горе еквивалентни изрази се използват за трансформиране на по-сложни алгебрични изрази, които не съдържат знака „=“.
Нека разгледаме пример, в който, за да трансформираме по-сложен алгебричен израз, използваме знания, придобити от трансформирането на по-прости алгебрични изрази под формата на идентични равенства.
2.3 Раздел 3 представя алгебрични nравенство, за които алгебричният израз на лявата страна не е равен на дясната, т.е. не са идентични. В този случай те са неравенства. Като правило, при решаването на някои задачи във физиката, свойствата на неравенствата са важни:
1) Ако a, тогава за всяко c: a + c .
2) Ако a и c > 0, тогава ac .
3) Ако a и c , тогава ac > bс .
4) Ако a , a и b един знак тогава 1/a > 1/b.
5) Ако a и c , след това a + c , a - d .
6) Ако а , ° С , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, тогава ac .
7) Ако а , a > 0, b > 0, тогава
8) Ако , тогава
2.4 Раздел 4 представя алгебрични формулитези. алгебрични изрази, в които от лявата страна на знака за равенство има буква, обозначаваща множество, чиято стойност е неизвестна и трябва да се определи. И от дясната страна на знака за равенство има множества, чиито стойности са известни. В този случай този алгебричен израз се нарича алгебрична формула.
Алгебрична формула е алгебричен израз, съдържащ знак за равенство, от лявата страна на който има множество, чиято стойност е неизвестна, а от дясната страна има множества с известни стойности, базирани на условията на задачата.За да се определи неизвестната стойност на набора отляво на знака „равно“, известните стойности на количествата се заместват от дясната страна на знака „равно“ и извършват аритметичните изчислителни операции, посочени в алгебричния израз в тази част.
Пример 1:
Дадено: Решение:
a=25 Нека е даден алгебричният израз:
x=? х=2а+5.
Този алгебричен израз е алгебрична формула, защото Вляво от знака за равенство има набор, чиято стойност трябва да се намери, а вдясно има набори с известни стойности.
Следователно е възможно да се замени известна стойност за множеството „a“, за да се определи неизвестната стойност на множеството „x“:
x=2·25+5=55. Отговор: x=55.
Пример 2:
Дадено: Решение:
a=25 Алгебричен изразе формулата.
b=4 Следователно е възможно да се замени известно
c=8 стойности за комплекти отдясно на знака за равенство,
d=3 за определяне на неизвестната стойност на множеството "k",
m=20 стои отляво:
n=6 Отговор: k=3,2.
ВЪПРОСИ
1 Какво е алгебричен израз?
2 Какви видове алгебрични изрази познавате?
3 Какъв алгебричен израз се нарича равенство на идентичност?
4 Защо е необходимо да познаваме моделите за равенство на идентичността?
5 Какъв алгебричен израз се нарича формула?
6 Какъв алгебричен израз се нарича уравнение?
7 Какъв алгебричен израз се нарича функционална зависимост?
Числени и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.
Какво е израз в математиката? Защо се нуждаем от преобразувания на изрази?
Въпросът, както се казва, е интересен... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.
Да кажем, че имате зъл пример пред вас. Много голям и много сложен. Да кажем, че сте добри по математика и не се страхувате от нищо! Можете ли да дадете отговор веднага?
Ще трябва решитози пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам. По определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази. Колкото по-успешно извършвате тези трансформации, толкова по-силен сте в математиката. Ако не знаете как да направите правилните трансформации, няма да можете да ги направите в математиката. Нищо...
За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще...), не пречи да разберете тази тема.)
Първо, нека разберем какво е израз в математиката. Какво стана числов изрази какво е алгебричен израз.
Какво е израз в математиката?
Изразяване в математиката- това е много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме в математиката, е набор от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко се състои от математически изрази.
3+2 е математически израз. s 2 - d 2- това също е математически израз. Както здравата дроб, така и дори едно число са математически изрази. Например уравнението е:
5x + 2 = 12
се състои от два математически израза, свързани със знак за равенство. Едното изражение е отляво, другото отдясно.
Като цяло терминът " математически израз"се използва, най-често, за да избегнете тананикане. Ще ви попитат какво е обикновена дроб, например? И как да отговорите?!
Първи отговор: „Това е... мммммм... такова нещо... в което... Мога ли да напиша дроб по-добре? Кое искаш?"
Вторият отговор: „Обикновена дроб е (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател!"
Вторият вариант ще бъде някак по-впечатляващ, нали?)
Това е целта на фразата " математически израз "много добре. И правилно, и солидно. Но за практическа употреба трябва да имате добро разбиране на специфични видове изрази в математиката .
Конкретният тип е друг въпрос. Това Това е съвсем друга работа!Всеки вид математически израз има моятанабор от правила и техники, които трябва да се използват при вземане на решение. За работа с дроби - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - вторият. За работа с логаритми - третият. И така нататък. Някъде тези правила съвпадат, някъде рязко се различават. Но не се плашете от тези страшни думи. Ще овладеем логаритми, тригонометрия и други мистериозни неща в съответните раздели.
Тук ще усвоим (или - повторете, зависи кой...) два основни вида математически изрази. Числени изрази и алгебрични изрази.
Числови изрази.
Какво стана числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с числа. Така е. Математически израз, съставен от числа, скоби и аритметични символи, се нарича числов израз.
7-3 е числов израз.
(8+3,2) 5,4 също е числов израз.
И това чудовище:
също числов израз, да...
Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без X и други букви - всичко това са числови изрази.
Основен знак числовиизрази - в него няма букви. Нито един. Само числа и математически символи (ако е необходимо). Просто е, нали?
И какво можете да направите с числови изрази? Числовите изрази обикновено могат да бъдат преброени. За да направите това, се случва да отворите скобите, да промените знаците, да съкратите, да размените термини - т.е. направи преобразувания на изрази. Но повече за това по-долу.
Тук ще се занимаем с такъв забавен случай, когато с числен израз не е нужно да правите нищо.Е, съвсем нищо! Тази приятна операция - да не правя нищо)- се изпълнява, когато изразът няма смисъл.
Кога числовият израз няма смисъл?
Ясно е, че ако видим някаква абракадабра пред нас, като
тогава няма да направим нищо. Защото не е ясно какво да се прави по въпроса. Глупости някакви. Може би пребройте плюсовете...
Но има външно доста прилични изрази. Например това:
(2+3) : (16 - 2 8)
Въпреки това, този израз също няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броиш - получаваш нула. Но не можете да разделите на нула! Това е забранена операция в математиката. Следователно не е необходимо да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: „Изразът няма смисъл!
За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще бъде в скоби. И понякога има много неща в скоби... Е, нищо не можете да направите по въпроса.
В математиката няма толкова много забранени операции. В тази тема има само един. Деление на нула. Допълнителни ограничения, възникващи при корени и логаритми, се обсъждат в съответните теми.
И така, идея какво е това числов израз- има. Концепция числовият израз няма смисъл- осъзнах. Да продължим.
Алгебрични изрази.
Ако в числов израз се появят букви, този израз става... Изразът става... Да! Става алгебричен израз. Например:
5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Такива изрази също се наричат буквални изрази.Или изрази с променливи.На практика е същото. Изразяване 5а +в, например, както буквални, така и алгебрични, и израз с променливи.
Концепция алгебричен израз -по-широко от числово. То включваи всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без букви. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга...)
Защо азбучен- Ясно е. Е, след като има букви... Фраза израз с променливиОсвен това не е много озадачаващо. Ако разбирате, че цифрите са скрити под буквите. Под букви могат да се крият всякакви цифри... И 5, и -18, и всичко друго. Тоест едно писмо може да бъде замениза различни номера. Затова се наричат буквите променливи.
В израза у+5, Например, при- променлива стойност. Или просто казват " променлива", без думата "магнитуд". За разлика от пет, което е постоянна стойност. Или просто - постоянен.
Срок алгебричен изразозначава, че за да работите с този израз, трябва да използвате закони и правила алгебра. Ако аритметикатогава работи с конкретни числа алгебра- с всички числа наведнъж. Прост пример за пояснение.
В аритметиката можем да напишем това
Но ако напишем такова равенство чрез алгебрични изрази:
a + b = b + a
ще решим веднага всичковъпроси. За всички числаудар. За всичко безкрайно. Защото под буквите АИ bподразбира се всичкочисла. И не само числата, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.
Кога един алгебричен израз няма смисъл?
Всичко за числовия израз е ясно. Там не можете да делите на нула. А с букви може ли да разберем на какво делим?!
Да вземем за пример този израз с променливи:
2: (А - 5)
Има ли смисъл? Кой знае? А- всяко число...
Всякакви, всякакви... Но има едно значение А, за които този израз точноняма смисъл! И какво е това число? да Това е 5! Ако променливата Азаменете (казват "заместване") с числото 5, в скоби получавате нула. Които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, Ако а = 5. Но за други стойности Аима ли смисъл? Можете ли да замените други числа?
Със сигурност. В такива случаи те просто казват, че изразът
2: (А - 5)
има смисъл за всякакви ценности А, с изключение на a = 5 .
Целият набор от числа, които Могазаместване в даден израз се нарича диапазон от приемливи стойноститози израз.
Както можете да видите, няма нищо сложно. Нека да разгледаме израза с променливи и да разберем: при каква стойност на променливата се получава забранената операция (деление на нула)?
И тогава не забравяйте да погледнете въпроса на задачата. Какво питат?
няма смисъл, нашият забранен смисъл ще бъде отговорът.
Ако попитате при каква стойност на променлива изразът има значението(почувствайте разликата!), отговорът ще бъде всички останали числас изключение на забраненото.
Защо се нуждаем от значението на израза? Има го, няма го... Каква е разликата?! Въпросът е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за такива солидни концепции като областта на приемливите стойности или областта на функцията. Без това изобщо няма да можете да решавате сериозни уравнения или неравенства. Като този.
Преобразуване на изрази. Трансформации на идентичността.
Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разбрахме какво означава фразата „изразът няма смисъл“. Сега трябва да разберем какво е то трансформация на изрази.Отговорът е прост, до безобразие.) Това е всяко действие с израз. Това е всичко. Вие правите тези трансформации от първи клас.
Нека вземем готиния числов израз 3+5. Как може да се преобразува? Да, много просто! Изчисли:
Това изчисление ще бъде трансформацията на израза. Можете да напишете същия израз по различен начин:
Тук не броихме абсолютно нищо. Просто записах израза в различна форма.Това също ще бъде трансформация на израза. Можете да го напишете така:
И това също е трансформация на израз. Можете да направите толкова трансформации, колкото искате.
Всякаквидействие върху изразяването всякаквизаписването му в друга форма се нарича трансформиране на израза. И това е всичко. Всичко е много просто. Но тук има едно нещо много важно правило.Толкова важно, че спокойно може да се нарече основно правилоцялата математика. Нарушаването на това правило неизбежноводи до грешки. Влизаме ли в него?)
Да кажем, че трансформираме изражението си случайно, така:
Преобразуване? Със сигурност. Написахме израза в различна форма, какво не е наред тук?
Не е така.) Въпросът е, че трансформациите "наслуки"изобщо не се интересуват от математика.) Цялата математика е изградена върху трансформации, при които външният вид се променя, но същността на израза не се променя.Три плюс пет може да се напише във всякаква форма, но трябва да е осем.
трансформации, изрази, които не променят същносттаса наречени идентичен.
Точно трансформации на идентичносттаи ни позволяват стъпка по стъпка да трансформираме сложен пример в прост израз, като същевременно поддържаме същността на примера.Ако направим грешка във веригата от трансформации, направим НЕ идентична трансформация, тогава ние ще решим другпример. С други отговори, които не са свързани с правилните.)
Това е основното правило за решаване на всякакви задачи: запазване на идентичността на трансформациите.
Дадох пример с числовия израз 3+5 за яснота. В алгебричните изрази трансформациите на идентичността се дават чрез формули и правила. Да кажем, че в алгебрата има формула:
a(b+c) = ab + ac
Това означава, че във всеки пример можем вместо израза a(b+c)не се колебайте да напишете израз ab + ac. И обратно. Това идентична трансформация.Математиката ни дава избор между тези два израза. А кой да напише зависи от конкретния пример.
Друг пример. Едно от най-важните и необходими трансформации е основното свойство на дроб. Можете да погледнете връзката за повече подробности, но тук само ще ви напомня правилото: Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.Ето пример за трансформации на идентичност, използващи това свойство:
Както вероятно се досещате, тази верига може да бъде продължена безкрайно...) Много важно свойство. Именно това ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)
Има много формули, дефиниращи идентични трансформации. Но най-важните са доста разумен брой. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всякаква математика - от начална до напреднала. Да започнем с него. В следващия урок.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
