सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूप। विषय पर व्याख्यान: "संमिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप"

भाषण

सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप

योजना

1. सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

2. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय अंकन।

3. त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

a) सम्मिश्र संख्याओं को निम्नलिखित नियम के अनुसार समतल के बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है: ए + द्वि = एम ( ए ; बी ) (चित्र .1)।

चित्र 1

बी) एक जटिल संख्या को एक वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है जो बिंदु पर शुरू होता हैके बारे में और एक दिए गए बिंदु पर समाप्त होता है (चित्र 2)।

चित्र 2

उदाहरण 7. जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले प्लॉट बिंदु:1; - मैं ; - 1 + मैं ; 2 – 3 मैं (चित्र 3)।

चित्र तीन

सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय अंकन।

जटिल संख्याजेड = ए + द्वि त्रिज्या-वेक्टर का उपयोग करके सेट किया जा सकता है निर्देशांक के साथ( ए ; बी ) (चित्र 4)।

चित्र 4

परिभाषा . वेक्टर लंबाई सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करनाजेड , को इस संख्या का मापांक कहा जाता है और दर्शाया जाता है याआर .

किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिएजेड इसका मॉड्यूलआर = | जेड | सूत्र द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है .

परिभाषा . वास्तविक अक्ष और सदिश की धनात्मक दिशा के बीच के कोण का मान किसी सम्मिश्र संख्या को निरूपित करने को इस सम्मिश्र संख्या का तर्क कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता हैए आरजी जेड याφ .

जटिल संख्या तर्कजेड = 0 अपरिभाषित. जटिल संख्या तर्कजेड≠ 0 एक बहु-मूल्यवान मात्रा है और पद तक निर्धारित होती है2πk (के = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): आर्ग जेड = आर्ग जेड + 2πk , कहाँआर्ग जेड - अंतराल में संलग्न तर्क का मुख्य मूल्य(-π; π] , वह है-π < आर्ग जेड ≤ π (कभी-कभी अंतराल से संबंधित मूल्य को तर्क के मुख्य मूल्य के रूप में लिया जाता है .

के लिए यह सूत्रआर =1 इसे अक्सर डी मोइवर के सूत्र के रूप में जाना जाता है:

(क्योंकि φ + मैं पाप φ) एन = cos (nφ) + i पाप (nφ), n  N .

उदाहरण 11 गणना करें(1 + मैं ) 100 .

आइए एक सम्मिश्र संख्या लिखें1 + मैं त्रिकोणमितीय रूप में.

ए = 1, बी = 1 .

क्योंकि φ = , पाप φ = , φ = .

(1+आई) 100 = [ (क्योंकि) + मैं पाप करता हूँ )] 100 = ( ) 100 (क्योंकि) 100 + मैं पाप करता हूँ 100)==2 50 (cos 25π + i पाप 25π) = 2 50 (cos π + i पाप π) = - 2 50 .

4) किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालना।

किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालते समयए + द्वि हमारे पास दो मामले हैं:

अगरबी > के बारे में , वह ;

सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ बीजगणितीय रूप में लिखी गईं

सम्मिश्र संख्या z = का बीजगणितीय रूप(ए,बी) को रूप का बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है

जेड = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ जेड 1 = ए 1 +बी 1 मैंऔर जेड 2 = ए 2 +बी 2 मैं, बीजगणितीय रूप में लिखा गया है, निम्नानुसार किया जाता है।

1. सम्मिश्र संख्याओं का योग (अंतर)।

जेड 1 ±z 2 = (ए 1 ± ए 2) + (बी 1 ±बी 2)∙i,

वे। जोड़ (घटाना) समान सदस्यों की कमी के साथ बहुपदों को जोड़ने के नियम के अनुसार किया जाता है।

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

जेड 1 ∙z 2 = (ए 1 ∙ए 2 -बी 1 ∙बी 2) + (ए 1 ∙बी 2 + ए 2 ∙बी 1)∙i,

वे। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, बहुपदों के गुणन के सामान्य नियम के अनुसार गुणन किया जाता है मैं 2 = 1.

3. दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:

, (जेड 2 ≠ 0),

वे। विभाजन भाज्य और भाजक को भाजक के संयुग्म से गुणा करके किया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के घातांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ये दिखाना आसान है

उदाहरण.

1. सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जेड 1 = 2 – मैंऔर जेड 2 = – 4 + 3मैं।

जेड 1 +जेड 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3मैं) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) मैं = –2+2मैं।

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए जेड 1 = 2 – 3मैंऔर जेड 2 = –4 + 5मैं।

= (2 – 3मैं) ∙ (–4 + 5मैं) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3मैं)+ 2∙5मैं– 3मैं∙ 5मैं = 7+22मैं।

3. निजी खोजें जेडविभाजन से जेड 1 = 3 - 2 जेड 2 = 3 – मैं।

z= .

4. समीकरण हल करें:, एक्सऔर य Î आर.

(2x+y) + (x+y)मैं = 2 + 3मैं।

सम्मिश्र संख्याओं की समानता के आधार पर, हमारे पास है:

कहाँ एक्स=–1 , य= 4.

5. गणना करें: मैं 2 ,मैं 3 ,मैं 4 ,मैं 5 ,मैं 6 ,मैं -1 , मैं -2 .

6. गणना करें यदि .

.

7. किसी संख्या के व्युत्क्रम की गणना करें जेड=3-मैं.

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ

जटिल विमानकार्तीय निर्देशांक वाला समतल कहा जाता है ( एक्स, वाई), यदि प्रत्येक बिंदु निर्देशांक के साथ ( ए, बी) को एक सम्मिश्र संख्या दी गई है z = ए + द्वि. इस मामले में, भुज अक्ष कहा जाता है वास्तविक अक्ष, और y-अक्ष है काल्पनिक. फिर प्रत्येक सम्मिश्र संख्या ए+बीएक बिंदु के रूप में एक समतल पर ज्यामितीय रूप से दर्शाया गया ए (ए, बी) या वेक्टर .

इसलिए, बिंदु की स्थिति ए(और इसलिए सम्मिश्र संख्या जेड) वेक्टर की लंबाई द्वारा निर्धारित किया जा सकता है | | = आरऔर कोण जेवेक्टर द्वारा गठित | | वास्तविक अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ। वेक्टर की लंबाई कहलाती है सम्मिश्र संख्या मापांकऔर | द्वारा निरूपित किया जाता है z|=r, और कोण जेबुलाया सम्मिश्र संख्या तर्कऔर निरूपित किया गया जे = आर्गज़.

यह स्पष्ट है कि | जेड| ³ 0 और | z | = 0 Û z= 0.

अंजीर से. 2 यह दर्शाता है।

सम्मिश्र संख्या के तर्क को अस्पष्ट रूप से और 2 तक परिभाषित किया गया है पीके, केÎ जेड.

अंजीर से. 2 यह भी दर्शाता है कि यदि z=a+biऔर जे=आर्गज़,वह

ओल जे =, पाप जे =, टीजी जे = .

अगर zОआरऔर z > 0 तो आर्गज़ = 0 +2पी;

अगर z Оआरऔर जेड< 0 तो आर्गज़ = पी + 2पी;

अगर z= 0,argzअपरिभाषित.

तर्क का मुख्य मान अंतराल 0 पर निर्धारित होता है £argz£2 पी,

या -पी£ आर्ग जेड £ पी.

उदाहरण:

1. सम्मिश्र संख्याओं का मापांक ज्ञात कीजिए जेड 1 = 4 – 3मैंऔर जेड 2 = –2–2मैं।

2. जटिल तल पर शर्तों द्वारा निर्दिष्ट क्षेत्रों को निर्धारित करें:

1) | z | = 5; 2) | जेड| £6; 3) | जेड – (2+मैं) | £3; 4) £6 | जेड – मैं| £7.

समाधान और उत्तर:

1) | जेड| = 5 Û Û त्रिज्या 5 वाले और मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण है।

2) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 6 वाला वृत्त।

3) त्रिज्या 3 वाला वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है र् 0 = 2 + मैं.

4) वलय एक बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 6 और 7 वाले वृत्तों से घिरा हुआ है जेड 0 = मैं.

3. संख्याओं का मॉड्यूल और तर्क खोजें: 1) ; 2).

1) ; ए = 1, बी = Þ ,

Þ जे 1 = .

2) जेड 2 = –2 – 2मैं; ए =–2, बी=-2 Þ ,

.

नोट: मुख्य तर्क को परिभाषित करते समय, जटिल तल का उपयोग करें।

इस प्रकार: जेड 1 = .

2) , आर 2 = 1, जे 2 = , .

3) , आर 3 = 1, जे 3 = , .

4) , आर 4 = 1, जे4 = , .

किसी समतल पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आप ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं [जी, (पी), कहाँ जीमूल बिंदु से बिंदु की दूरी है, और (आर- त्रिज्या जो कोण बनाती है - अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ इस बिंदु का वेक्टर ओह।कोण परिवर्तन की सकारात्मक दिशा (आरवामावर्त दिशा मानी जाती है। कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच संबंध का उपयोग करना: एक्स \u003d आर कॉस सीएफ, वाई \u003d आर पाप (पी,

हम सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप प्राप्त करते हैं

जेड - आर(पाप (पी + आई पाप)।

कहाँ जी

Xi + y2, (p एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है, जो से पाया जाता है

एल एक्स . Y y

सूत्रों क्योंकि(पी --, पाप^9 ​= - या इस तथ्य के कारण टीजी(पी --, (पी-आर्कटग

मान चुनते समय ध्यान दें बुधअंतिम समीकरण से, संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है एक्स और वाई.

उदाहरण 47. एक सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए 2 \u003d -1 + एल / जेड /।

समाधान। सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क ज्ञात कीजिए:

= यज 1 + 3 = 2 . कोना बुधरिश्तों से ढूंढो क्योंकि(पी = -, पाप(पी = - .तब

हम पाते हैं क्योंकि(पी = -,सुप

यू/जेड जी~

• - -. जाहिर है, बिंदु z = -1 + V3-/ है
• 2 को 3

दूसरी तिमाही में: (आर= 120°

स्थानापन्न

2 कि.. क्योंकि-एच; पाप

सूत्र (1) में 27जी एल पाया गया

टिप्पणी। किसी सम्मिश्र संख्या के तर्क को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि उस पद तक परिभाषित किया जाता है जो इसका गुणज होता है 2पी.फिर के माध्यम से सीएन^आरनामित

तर्क मान भीतर संलग्न है (पृ0) %2 तब

ए) ^ आर = + 2kk.

प्रसिद्ध यूलर सूत्र का उपयोग करना ई, हम सम्मिश्र संख्या का घातांकीय रूप प्राप्त करते हैं।

हमारे पास है r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ

• 1. दो सम्मिश्र संख्याओं का योग r, = X] + वाई एक्स/ और आर 2 - एक्स 2 + वाई 2 / सूत्र r के अनुसार निर्धारित किया जाता है! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' जी
• 2. सम्मिश्र संख्याओं के घटाने की संक्रिया को जोड़ के व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है। जटिल संख्या जी = जी एक्स - जी 2,अगर जी 2 + जी = जी एक्स,

सम्मिश्र संख्याओं 2 का अंतर है, और जी 2 .तब r = (x, - एक्स 2) + (y, - पर 2) /.

• 3. दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल जी एक्स= x, +y, -z और 2 2 = एक्स 2+यू2' जी सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
• *1*2 =(* +यू"0(एक्स 2+ टी 2 -0= एक्स 1 एक्स 2 वाई 1 2 -1 + x Y2 " * + पर1 पर2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

विशेष रूप से, Y y= (x + y-g) (x-y /) = x 2 + y 2।

आप सम्मिश्र संख्याओं के गुणन सूत्र घातांकीय और त्रिकोणमितीय रूपों में प्राप्त कर सकते हैं। हमारे पास है:

• 1^ 2 - आर एक्स ई 1 = )जी 2 ई > = जी]जी 2 सीओएस ((पी + सीपी 2) + आईएसआईएन
• 4. सम्मिश्र संख्याओं के विभाजन को व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है

गुणन, यानी संख्या जी-- r के विभाजन का भागफल कहलाता है! जी 2 पर,

अगर आर एक्स -1 2 ? 2 . तब

एक्स + Ті _ (*і + Іयू 2 ~ 1 यू2 ) एक्स 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

एक्स, एक्स 2 + /वाई, एक्स 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- एक्स, वाई 2 + एक्स 2 वाई])

2 2 एक्स 2 + वाई 2

1 इ

मैं(आर जी

• - 1यू ई "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (आर-,)] >2 >2
• 5. किसी सम्मिश्र संख्या को धनात्मक पूर्णांक घात तक बढ़ाना सबसे अच्छा होता है यदि संख्या घातीय या त्रिकोणमितीय रूपों में लिखी गई हो।

वास्तव में, यदि z = ge 1 तो

=(ge,) = आर पी ई टी = जी"(co8 पीएसआर + आईटी जीसीआर)।

फॉर्मूला जी" =r n (cosn(p+is n(p))डी मोइवर का सूत्र कहा जाता है।

6. जड़ निकालना पी-किसी सम्मिश्र संख्या की घात को घातांक की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है पी, पी- 1,2,3,... यानी. सम्मिश्र संख्या = य[जीजड़ कहा जाता है पी-एक सम्मिश्र संख्या की वां डिग्री

घ यदि जी = जी एक्स. इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है जी - जी ", ए जी एक्स= एल/जी. (पी-पीएसआर एक्स,ए एसआर^-एसआर/एन, जो संख्या = r/*+ के लिए लिखे गए मोइवर सूत्र का अनुसरण करता है आईपीपी(पी).

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक जटिल संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, लेकिन एक पद तक जो 2 का गुणज है और।इसीलिए = (पी + 2पीसी, और संख्या r का तर्क, पर निर्भर करता है को,निरूपित (पी सेऔर बू

सूत्र द्वारा गणना करें (पी से= - + . यह स्पष्ट है कि वहाँ है पीआयोग

प्लेक्स नंबर, पीजिसकी घात 2 संख्या के बराबर है। इन संख्याओं में एक है

और वही मॉड्यूल, के बराबर आप[आर,और इन संख्याओं के तर्क प्राप्त किये जाते हैं को = 0, 1, पी - 1. इस प्रकार, त्रिकोणमितीय रूप में, i-वें डिग्री के मूल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

(पी + 2केपी . . सीएफ + 2केपी

, को = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

और घातीय रूप में - सूत्र के अनुसार एल[आर - वाई[जीई एन

उदाहरण 48. सम्मिश्र संख्याओं पर बीजगणितीय रूप में संक्रियाएँ निष्पादित करें:

ए) (1- / एच / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /एल/2) 3 (एस + /) = (1 - जेडएल / 2 / + 6/2 - 2 एल / 2 / ? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-जेडएल/2/-5/-एल/2/ 2 = -15 - जेडएल/2/-5/+ एल/2 = (-15 + एल/2)-(5 + जेडएल/2)/;

उदाहरण 49. संख्या r = Uz - / को पाँचवीं घात तक बढ़ाएँ।

समाधान। हमें संख्या r लिखने का त्रिकोणमितीय रूप मिलता है।

जी =एल/3 + 1 =2, CO8 (पी --, 5ІІ7 (आर =

• (1 - 2/एक्स2 +/)
• (एस-,)

ओ - 2.-x2 + ओ

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (इतना तो

जेड/2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 सेकंड_±.
• 5 2 1 "

यहाँ से हे--, ए आर = 2

Moivre हमें मिलता है: मैं -2

/ ^ _ 7आर, . ?जी

• -हम-- आईबीआईपी -

• --बी/-

\u003d - (एल / डब्ल्यू + जी) \u003d -2।

उदाहरण 50 सभी मान ज्ञात कीजिए

हल, r = 2, a बुधसमीकरण से ज्ञात करें कॉय(p = -, zt--.

यह बिंदु 1 - /d/z चौथी तिमाही में है, अर्थात। च =--. तब

• 1 - 2
• ( (यूजी एल

अभिव्यक्ति से मूल मान ज्ञात होते हैं

वी1 - /एल/एस = एल/2

• --+ 2ए:/जी ---बी 2 के.के.
• 3 . . 3

С08--1- और 81पी-

पर को - 0 हमारे पास 2 0 = l/2 है

आप संख्या को डिस्प्ले में प्रस्तुत करके संख्या 2 के मूल का मान ज्ञात कर सकते हैं

-* को/ 3 + 2 कक्षा

पर को= 1 हमारे पास एक और मूल मान है:

• 7जी. 7G_
• ---बी27जी ---बी2;जी
• 3 . . एच

7जी . . 7जी एल-सी05-+181पी- 6 6

• --एन-

साथ? - 7G + / 5Sh - I "

एल/3__t_

शरीर का स्वरूप. क्योंकि आर= 2, ए बुध= , फिर r = 2е 3 , और य[जी = y/2e 2