किस समलंब के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है? ट्रेपेज़ॉइड के दिलचस्प गुण

इस लेख में हम ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को यथासंभव पूर्ण रूप से प्रतिबिंबित करने का प्रयास करेंगे। विशेष रूप से, हम एक ट्रेपेज़ॉइड की सामान्य विशेषताओं और गुणों के साथ-साथ एक उत्कीर्ण ट्रेपेज़ॉइड और एक ट्रेपेज़ॉइड में अंकित एक वृत्त के गुणों के बारे में बात करेंगे। हम समद्विबाहु और आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुणों पर भी बात करेंगे।

चर्चा किए गए गुणों का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण आपको इसे अपने दिमाग में स्थानों पर क्रमबद्ध करने और सामग्री को बेहतर ढंग से याद रखने में मदद करेगा।

ट्रैपेज़ और ऑल-ऑल-ऑल

आरंभ करने के लिए, आइए संक्षेप में याद करें कि एक ट्रेपेज़ॉइड क्या है और इसके साथ अन्य कौन सी अवधारणाएँ जुड़ी हुई हैं।

तो, एक समलम्ब चतुर्भुज आकृति है, जिसकी दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं (ये आधार हैं)। और ये दोनों समानांतर नहीं हैं - ये भुजाएँ हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई को कम किया जा सकता है - आधारों के लंबवत। केंद्र रेखा और विकर्ण खींचे गए हैं। समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण से समद्विभाजक खींचना भी संभव है।

अब हम इन सभी तत्वों और उनके संयोजनों से जुड़े विभिन्न गुणों के बारे में बात करेंगे।

समलम्बाकार विकर्णों के गुण

इसे स्पष्ट करने के लिए, जब आप पढ़ रहे हों, तो कागज के एक टुकड़े पर समलम्ब चतुर्भुज ACME का रेखाचित्र बनाएं और उसमें विकर्ण बनाएं।

यदि आप प्रत्येक विकर्ण के मध्यबिंदु पाते हैं (चलिए इन बिंदुओं को X और T कहते हैं) और उन्हें जोड़ते हैं, तो आपको एक खंड मिलता है। समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का एक गुण यह है कि खंड HT मध्य रेखा पर स्थित होता है। और इसकी लंबाई आधारों के अंतर को दो से विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है: ХТ = (ए - बी)/2.
हमारे सामने वही समलम्बाकार ACME है। विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए त्रिभुज AOE और MOK को देखें, जो समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के साथ विकर्णों के खंडों द्वारा बनते हैं। ये त्रिभुज समरूप हैं. त्रिभुजों का समानता गुणांक k समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: के = एई/किमी.
त्रिभुज AOE और MOK के क्षेत्रफलों का अनुपात गुणांक k 2 द्वारा वर्णित है।
वही समलम्ब चतुर्भुज, वही विकर्ण जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। केवल इस बार हम उन त्रिभुजों पर विचार करेंगे जो समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के साथ मिलकर विकर्णों के खंड बनाते हैं। त्रिभुज AKO और EMO के क्षेत्रफल समान आकार के हैं - उनके क्षेत्रफल समान हैं।
ट्रैपेज़ॉइड की एक अन्य संपत्ति में विकर्णों का निर्माण शामिल है। इसलिए, यदि आप एके और एमई के किनारों को छोटे आधार की दिशा में जारी रखते हैं, तो देर-सबेर वे एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। इसके बाद, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के बीच से होकर एक सीधी रेखा खींचें। यह आधारों को बिंदु X और T पर प्रतिच्छेद करता है।
यदि अब हम रेखा XT का विस्तार करते हैं, तो यह समलम्ब चतुर्भुज O के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक साथ जोड़ देगा, वह बिंदु जिस पर पक्षों के विस्तार और आधार X और T के मध्य प्रतिच्छेद करते हैं।
विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से हम एक खंड खींचेंगे जो ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ेगा (T छोटे आधार KM पर स्थित है, X बड़े AE पर स्थित है)। विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस खंड को निम्नलिखित अनुपात में विभाजित करता है: टीओ/ओएक्स = किमी/एई.
अब, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से, हम समलम्ब चतुर्भुज (ए और बी) के आधारों के समानांतर एक खंड खींचेंगे। प्रतिच्छेदन बिंदु इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगा। आप सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं 2एबी/(ए + बी).

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के गुण

समलम्ब चतुर्भुज में उसके आधारों के समानांतर मध्य रेखा खींचिए।

एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई जोड़कर और उन्हें आधे में विभाजित करके की जा सकती है: एम = (ए + बी)/2.
यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के दोनों आधारों के माध्यम से कोई खंड (उदाहरण के लिए ऊंचाई) खींचते हैं, तो मध्य रेखा इसे दो बराबर भागों में विभाजित कर देगी।

ट्रेपेज़ॉइड द्विभाजक संपत्ति

समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण का चयन करें और एक समद्विभाजक बनाएं। आइए, उदाहरण के लिए, हमारे समलम्ब चतुर्भुज ACME के कोण KAE को लें। स्वयं निर्माण पूरा करने के बाद, आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि समद्विभाजक आधार से (या आकृति के बाहर एक सीधी रेखा पर इसकी निरंतरता) किनारे के समान लंबाई के एक खंड को काटता है।

समलम्बाकार कोणों के गुण

आप भुजा से सटे कोणों के दो युग्मों में से जो भी चुनें, युग्म में कोणों का योग हमेशा 180 0 होता है: α + β = 180 0 और γ + δ = 180 0।
आइए ट्रैपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं को एक खंड TX से जोड़ें। आइए अब समलम्ब चतुर्भुज के आधारों पर बने कोणों को देखें। यदि उनमें से किसी के लिए कोणों का योग 90 0 है, तो खंड TX की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई के अंतर के आधार पर आसानी से की जा सकती है, जो आधे में विभाजित है: टीएक्स = (एई - किमी)/2.
यदि किसी समलंब कोण की भुजाओं से होकर समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे कोण की भुजाओं को आनुपातिक खंडों में विभाजित कर देंगी।

एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्बाकार के गुण

समद्विबाहु समलंब में, किसी भी आधार पर कोण बराबर होते हैं।
अब फिर से एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं जिससे यह कल्पना करना आसान हो जाए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। आधार AE को ध्यान से देखें - विपरीत आधार M का शीर्ष उस रेखा पर एक निश्चित बिंदु पर प्रक्षेपित होता है जिसमें AE होता है। शीर्ष A से शीर्ष M के प्रक्षेपण बिंदु और समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा की दूरी बराबर है।
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की संपत्ति के बारे में कुछ शब्द - उनकी लंबाई बराबर होती है। और समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर इन विकर्णों के झुकाव के कोण भी समान हैं।
केवल एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 0 है - इसके लिए एक शर्त।
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का गुण पिछले पैराग्राफ से मिलता है - यदि समलंब चतुर्भुज के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो यह समद्विबाहु है।
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की विशेषताओं से एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई का गुण इस प्रकार है: यदि इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ऊंचाई की लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होती है: एच = (ए + बी)/2.
फिर से, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खंड TX खींचें - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड में यह आधारों के लंबवत है। और साथ ही TX एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की समरूपता की धुरी है।
इस बार, ट्रैपेज़ॉइड के विपरीत शीर्ष से ऊंचाई को बड़े आधार पर कम करें (चलो इसे कहते हैं)। आपको दो खंड मिलेंगे. यदि आधारों की लंबाई जोड़ दी जाए और आधे में विभाजित किया जाए तो किसी की लंबाई पाई जा सकती है: (ए + बी)/2. हमें दूसरा तब मिलता है जब हम बड़े आधार से छोटे को घटाते हैं और परिणामी अंतर को दो से विभाजित करते हैं: (ए - बी)/2.

एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

चूँकि हम पहले से ही एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के बारे में बात कर रहे हैं, आइए इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। विशेष रूप से, जहां वृत्त का केंद्र समलंब चतुर्भुज के संबंध में है। यहां भी, यह अनुशंसा की जाती है कि आप एक पेंसिल लेने के लिए समय निकालें और जो नीचे चर्चा की जाएगी उसे बनाएं। इस तरह आप तेजी से समझेंगे और बेहतर याद रखेंगे।

वृत्त के केंद्र का स्थान ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण के उसके किनारे के झुकाव के कोण से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, एक विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से समकोण पर किनारे तक विस्तारित हो सकता है। इस मामले में, बड़ा आधार परिवृत्त के केंद्र को बिल्कुल मध्य में काटता है (R = ½AE)।
विकर्ण और भुजा एक न्यून कोण पर भी मिल सकते हैं - तब वृत्त का केंद्र समलंब के अंदर होता है।
यदि ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण और किनारे के बीच एक अधिक कोण है, तो परिचालित वृत्त का केंद्र ट्रेपेज़ॉइड के बाहर, उसके बड़े आधार से परे हो सकता है।
समलम्ब चतुर्भुज ACME (अंकित कोण) के विकर्ण और बड़े आधार से बना कोण इसके अनुरूप केंद्रीय कोण का आधा है: एमएई = ½एमओई.
किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के दो तरीकों के बारे में संक्षेप में। विधि एक: अपने चित्र को ध्यान से देखें - आप क्या देखते हैं? आप आसानी से देख सकते हैं कि विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। त्रिज्या को त्रिभुज की भुजा और विपरीत कोण की ज्या के अनुपात को दो से गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर = एई/2*sinAME. इसी प्रकार, दोनों त्रिभुजों की किसी भी भुजा के लिए सूत्र लिखा जा सकता है।
विधि दो: समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण, भुजा और आधार द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए: आर = एएम*एमई*एई/4*एस एएमई.

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

यदि एक शर्त पूरी हो तो आप एक वृत्त को एक समलंब में फिट कर सकते हैं। इसके बारे में नीचे और पढ़ें। और साथ में आंकड़ों के इस संयोजन में कई दिलचस्प गुण हैं।

यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो इसकी मध्य रेखा की लंबाई भुजाओं की लंबाई जोड़कर और परिणामी योग को आधे में विभाजित करके आसानी से पाई जा सकती है: एम = (सी + डी)/2.
एक वृत्त के बारे में वर्णित समलम्बाकार ACME के लिए, आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर है: एके + एमई = किमी + एई.
एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की इस संपत्ति से, विपरीत कथन इस प्रकार है: एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है जिसके आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर होता है।
एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित त्रिज्या r वाले वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है, आइए उन्हें a और b कहते हैं। वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: आर = √ab.
और एक और संपत्ति. भ्रम से बचने के लिए यह उदाहरण स्वयं भी बनाएं। हमारे पास अच्छा पुराना समलम्बाकार ACME है, जो एक वृत्त के चारों ओर वर्णित है। इसमें विकर्ण हैं जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। विकर्णों और पार्श्व भुजाओं के खंडों से बने त्रिभुज AOK और EOM आयताकार हैं।
इन त्रिभुजों की ऊँचाई, कर्ण (अर्थात, समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ) तक नीचे, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के साथ मेल खाती है। और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई अंकित वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुण

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो। और इसके गुण इसी परिस्थिति से उत्पन्न होते हैं।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की एक भुजा इसके आधार से लंबवत होती है।
समकोण से सटे समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई और भुजा बराबर होती है। यह आपको एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड (सामान्य सूत्र) के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है एस = (ए + बी) * एच/2) न केवल ऊंचाई के माध्यम से, बल्कि समकोण के निकटवर्ती पक्ष के माध्यम से भी।
एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के लिए, ऊपर वर्णित समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के सामान्य गुण प्रासंगिक हैं।

समलम्बाकार के कुछ गुणों का साक्ष्य

समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोणों की समानता:

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि यहां हमें फिर से AKME ट्रेपेज़ॉइड की आवश्यकता होगी - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड बनाएं। शीर्ष M से AK (MT || AK) की भुजा के समानांतर एक सीधी रेखा MT खींचिए।

परिणामी चतुर्भुज AKMT एक समांतर चतुर्भुज (AK || MT, KM || AT) है। चूँकि ME = KA = MT, ∆ MTE समद्विबाहु है और MET = MTE है।

एके || एमटी, इसलिए एमटीई = केएई, मेट = एमटीई = केएई।

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME कहां है।

क्यू.ई.डी.

अब, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (विकर्णों की समानता) के गुण के आधार पर, हम इसे सिद्ध करते हैं समलम्बाकार ACME समद्विबाहु है:

सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा MX – MX || खींचें के.ई. हमें एक समांतर चतुर्भुज KMHE (आधार - MX || KE और KM || EX) प्राप्त होता है।

∆AMX समद्विबाहु है, क्योंकि AM = KE = MX, और MAX = MEA।

एमएच || केई, केईए = एमएक्सई, इसलिए एमएई = एमएक्सई।

इससे पता चला कि त्रिभुज AKE और EMA एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि AM = KE और AE दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं। और एमएई = एमएक्सई भी। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AK = ME, और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समलम्ब चतुर्भुज AKME समद्विबाहु है।

कार्य की समीक्षा करें

समलम्बाकार ACME का आधार 9 सेमी और 21 सेमी है, भुजा KA, 8 सेमी के बराबर, छोटे आधार के साथ 150 0 का कोण बनाता है। आपको समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

समाधान: शीर्ष K से हम ऊँचाई को समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार तक कम करते हैं। और आइए समलम्ब चतुर्भुज के कोणों को देखना शुरू करें।

कोण AEM और KAN एक तरफा हैं। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180 0 देते हैं। इसलिए, KAN = 30 0 (ट्रेपेज़ॉइडल कोणों की संपत्ति के आधार पर)।

आइए अब आयताकार ∆ANC पर विचार करें (मेरा मानना है कि यह बिंदु अतिरिक्त सबूत के बिना पाठकों के लिए स्पष्ट है)। इससे हम समलम्ब चतुर्भुज KH की ऊँचाई ज्ञात करेंगे - एक त्रिभुज में यह एक पैर है जो 30 0 के कोण के विपरीत स्थित है। इसलिए, KH = ½AB = 4 सेमी.

हम सूत्र का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 सेमी 2।

अंतभाषण

यदि आपने इस लेख का ध्यानपूर्वक और विचारपूर्वक अध्ययन किया है, अपने हाथों में एक पेंसिल के साथ दिए गए सभी गुणों के लिए ट्रेपेज़ॉइड बनाने और व्यवहार में उनका विश्लेषण करने में बहुत आलसी नहीं थे, तो आपको सामग्री में अच्छी तरह से महारत हासिल करनी चाहिए थी।

बेशक, यहां बहुत सारी जानकारी है, विविध और कभी-कभी भ्रमित करने वाली भी: वर्णित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को अंकित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों के साथ भ्रमित करना इतना मुश्किल नहीं है। लेकिन आपने खुद देखा है कि अंतर बहुत बड़ा है.

अब आपके पास ट्रैपेज़ॉइड के सभी सामान्य गुणों की एक विस्तृत रूपरेखा है। साथ ही समद्विबाहु और आयताकार ट्रेपेज़ॉइड के विशिष्ट गुण और विशेषताएं। परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी के लिए इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। इसे स्वयं आज़माएं और अपने दोस्तों के साथ लिंक साझा करें!

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\[(\बड़ा(\पाठ(मुक्त समलम्बाकार)))\]

परिभाषाएं

समलंब चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं।

किसी समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं को उसका आधार कहा जाता है, और अन्य दो भुजाओं को उसकी पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार पर खींची गई लम्ब है।

प्रमेय: एक समलम्ब चतुर्भुज के गुण

1) भुजा पर कोणों का योग \(180^\circ\) है।

2) विकर्ण समलंब को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जिनमें से दो समान हैं, और अन्य दो आकार में समान हैं।

सबूत

1) क्योंकि \(AD\समानांतर BC\), तो कोण \(\कोण BAD\) और \(\कोण ABC\) इन रेखाओं और तिर्यक रेखा \(AB\) के लिए एक तरफा हैं, इसलिए, \(\कोण BAD +\कोण ABC=180^\circ\).

2) क्योंकि \(AD\समानांतर BC\) और \(BD\) एक छेदक रेखा हैं, तो \(\कोण DBC=\कोण BDA\) क्रॉसवाइज स्थित हैं।
साथ ही \(\कोण BOC=\कोण AOD\) ऊर्ध्वाधर के रूप में।
इसलिए, दो कोणों पर \(\त्रिकोण बीओसी \सिम \त्रिकोण एओडी\).

आइए इसे साबित करें \(S_(\त्रिकोण AOB)=S_(\त्रिकोण COD)\). मान लीजिए कि समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई \(h\) है। तब \(S_(\त्रिकोण ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\त्रिकोण ACD)\). तब: \

परिभाषा

समलंब चतुर्भुज की मध्य रेखा भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।

प्रमेय

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

सबूत*

1) आइए समानता सिद्ध करें।

आइए बिंदु \(M\) से होकर सीधी रेखा \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) खींचें। फिर, थेल्स प्रमेय के अनुसार (से \(MN"\समानांतर AD\समानांतर BC, AM=MB\)) बिंदु \(N"\) खंड \(CD\) का मध्य है। इसका मतलब है कि बिंदु \(N\) और \(N"\) संपाती होंगे।

2) आइए सूत्र को सिद्ध करें।

चलिए \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) करते हैं। होने देना \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

फिर, थेल्स प्रमेय के अनुसार, \(M"\) और \(N"\) क्रमशः खंडों \(BB"\) और \(CC"\) के मध्यबिंदु हैं। इसका मतलब यह है कि \(MM"\) \(\triangle ABB"\) की मध्य रेखा है, \(NN"\) \(\triangle DCC"\) की मध्य रेखा है। इसीलिए: \

क्योंकि \(MN\समानांतर AD\समानांतर BC\)और \(BB", CC"\perp AD\), तो \(B"M"N"C"\) और \(BM"N"C\) आयत हैं। थेल्स के प्रमेय के अनुसार, \(MN\parallel AD\) और \(AM=MB\) से यह इस प्रकार है कि \(B"M"=M"B\) । इसलिए, \(B"M"N"C "\) और \(BM"N"C\) समान आयत हैं, इसलिए, \(M"N"=B"C"=BC\) ।

इस प्रकार:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

प्रमेय: एक मनमाने समलम्ब चतुर्भुज की संपत्ति

आधारों के मध्यबिंदु, समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु और पार्श्व भुजाओं के विस्तारों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

सबूत*
यह अनुशंसा की जाती है कि आप "त्रिकोणों की समानता" विषय का अध्ययन करने के बाद स्वयं को प्रमाण से परिचित कर लें।

1) आइए हम सिद्ध करें कि बिंदु \(P\) , \(N\) और \(M\) एक ही रेखा पर स्थित हैं।

आइए एक सीधी रेखा खींचें \(PN\) (\(P\) पार्श्व भुजाओं के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(N\) \(BC\) का मध्य है)। मान लीजिए कि यह भुजा \(AD\) को बिंदु \(M\) पर काटता है। आइए हम सिद्ध करें कि \(M\) \(AD\) का मध्यबिंदु है।

\(\triकोण BPN\) और \(\triकोण APM\) पर विचार करें। वे दो कोणों (\(\कोण APM\) - सामान्य, \(\कोण PAM=\कोण PBN\) पर समान हैं, जैसा कि \(AD\समानांतर BC\) और \(AB\) छेदक पर समान हैं। मतलब: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) और \(\triangle DPM\) पर विचार करें। वे दो कोणों (\(\कोण DPM\) पर समान हैं - सामान्य, \(\कोण PDM=\कोण PCN\) \(AD\समानांतर BC\) और \(CD\) सेकेंट पर संगत हैं। मतलब: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

यहाँ से \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). लेकिन \(BN=NC\) इसलिए \(AM=DM\) ।

2) आइए सिद्ध करें कि बिंदु \(N, O, M\) एक ही रेखा पर स्थित हैं।

मान लीजिए \(N\) \(BC\) का मध्यबिंदु है और \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए एक सीधी रेखा \(NO\) खींचें, यह भुजा \(AD\) को बिंदु \(M\) पर काटेगी। आइए हम सिद्ध करें कि \(M\) \(AD\) का मध्यबिंदु है।

\(\त्रिकोण बीएनओ\सिम \त्रिकोण डीएमओ\)दो कोणों (\(\कोण OBN=\कोण ODM\) के अनुदिश \(BC\समानांतर AD\) और \(BD\) छेदक रेखा पर आड़े-तिरछे स्थित; \(\कोण BON=\कोण DOM\) ऊर्ध्वाधर के रूप में)। मतलब: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

वैसे ही \(\त्रिकोण CON\सिम \त्रिकोण AOM\). मतलब: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

यहाँ से \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). लेकिन \(BN=CN\) इसलिए \(AM=MD\) ।

\[(बड़ा(\पाठ(समद्विबाहु समलम्बाकार)))\]

परिभाषाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो।

एक समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि उसकी भुजाएँ बराबर हों।

प्रमेय: एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के गुण

1) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार कोण समान होते हैं।

2) समद्विबाहु समलंब के विकर्ण बराबर होते हैं।

3) विकर्णों और एक आधार से बने दो त्रिभुज समद्विबाहु होते हैं।

सबूत

1) समद्विबाहु समलंब \(ABCD\) पर विचार करें।

शीर्षों \(B\) और \(C\) से, हम क्रमशः \(BM\) और \(CN\) को भुजा \(AD\) पर छोड़ते हैं। चूँकि \(BM\perp AD\) और \(CN\perp AD\) , तो \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , तो \(MBCN\) एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए, \(BM = CN\) ।

समकोण त्रिभुज \(ABM\) और \(CDN\) पर विचार करें। चूँकि उनके कर्ण बराबर हैं और पैर \(BM\) पैर \(CN\) के बराबर है, तो ये त्रिकोण बराबर हैं, इसलिए, \(\कोण DAB = \कोण CDA\) ।

क्योंकि \(AB=CD, \कोण A=\कोण D, AD\)- सामान्य, फिर पहले संकेत के अनुसार। इसलिए, \(AC=BD\) ।

3) क्योंकि \(\त्रिकोण ABD=\त्रिकोण ACD\), फिर \(\कोण BDA=\कोण CAD\) . इसलिए, त्रिभुज \(\triangle AOD\) समद्विबाहु है। इसी प्रकार, यह सिद्ध है कि \(\त्रिकोण BOC\) समद्विबाहु है।

प्रमेय: एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के लक्षण

1) यदि किसी समलंब के आधार कोण समान हों, तो वह समद्विबाहु है।

2) यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान हों, तो वह समद्विबाहु है।

सबूत

समलम्ब चतुर्भुज \(ABCD\) पर इस प्रकार विचार करें कि \(\कोण A = \कोण D\) ।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, आइए त्रिभुज \(AED\) के समलम्ब चतुर्भुज को पूरा करें। चूँकि \(\कोण 1 = \कोण 2\) , तो त्रिभुज \(AED\) समद्विबाहु है और \(AE = ED\) है। कोण \(1\) और \(3\) समानांतर रेखाओं \(AD\) और \(BC\) और छेदक रेखा \(AB\) के संगत कोणों के बराबर हैं। इसी प्रकार, कोण \(2\) और \(4\) बराबर हैं, लेकिन \(\कोण 1 = \कोण 2\), तो \(\कोण 3 = \कोण 1 = \कोण 2 = \कोण 4\), इसलिए, त्रिभुज \(BEC\) भी समद्विबाहु है और \(BE = EC\) है।

अंततः \(एबी = एई - बीई = डीई - सीई = सीडी\), अर्थात्, \(AB = CD\), जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

2) मान लीजिए \(AC=BD\) . क्योंकि \(\त्रिकोण AOD\सिम \त्रिकोण BOC\), तो हम उनके समानता गुणांक को \(k\) के रूप में दर्शाते हैं। फिर यदि \(BO=x\) , तो \(OD=kx\) . \(CO=y \राइटएरो AO=ky\) के समान।

क्योंकि \(AC=BD\) , फिर \(x+kx=y+ky \राइटएरो x=y\) । इसका मतलब है कि \(\triकोण AOD\) समद्विबाहु है और \(\कोण OAD=\कोण ODA\) है।

इस प्रकार, पहले संकेत के अनुसार \(\त्रिकोण ABD=\त्रिकोण ACD\) (\(AC=BD, \कोण OAD=\कोण ODA, AD\)- सामान्य)। तो, \(AB=CD\) , क्यों।

ट्रैपेज़ॉइड चार कोणों वाली एक ज्यामितीय आकृति है। ट्रैपेज़ॉइड का निर्माण करते समय, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि दो विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं, और अन्य दो, इसके विपरीत, एक दूसरे के सापेक्ष समानांतर नहीं हैं। यह शब्द प्राचीन ग्रीस से आधुनिक समय में आया और "ट्रैपेडज़ियन" जैसा लगता था, जिसका अर्थ था "टेबल", "डाइनिंग टेबल"।

यह लेख एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के गुणों के बारे में बात करता है। हम इस आकृति के प्रकार और तत्वों पर भी गौर करेंगे।

ज्यामितीय आकृति ट्रैपेज़ॉइड के तत्व, प्रकार और विशेषताएं

इस आकृति में समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है, और जो समानांतर नहीं हैं उन्हें भुजाएँ कहा जाता है। बशर्ते कि भुजाएँ समान लंबाई की हों, समलंब चतुर्भुज को समद्विबाहु माना जाता है। एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ आधार से 90° के कोण पर लंबवत होती हैं, आयताकार कहलाता है।

इस साधारण सी दिखने वाली आकृति में काफी संख्या में गुण निहित हैं, जो इसकी विशेषताओं पर जोर देते हैं:

यदि आप किनारों के साथ एक मध्य रेखा खींचते हैं, तो यह आधारों के समानांतर होगी। यह खंड आधारों के अंतर के 1/2 के बराबर होगा।
समलम्ब चतुर्भुज के किसी कोने से समद्विभाजक बनाते समय एक समबाहु त्रिभुज बनता है।
एक वृत्त के चारों ओर वर्णित समलम्ब चतुर्भुज के गुणों से यह ज्ञात होता है कि समानांतर भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर होना चाहिए।
विकर्ण खंडों का निर्माण करते समय, जहां एक पक्ष समलम्ब चतुर्भुज का आधार होता है, परिणामी त्रिभुज समान होंगे।
विकर्ण खंडों का निर्माण करते समय, जहां एक पक्ष पार्श्व है, परिणामी त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होगा।
यदि हम पार्श्व रेखाओं को जारी रखें और आधार के केंद्र से एक खंड का निर्माण करें, तो गठित कोण 90° के बराबर होगा। आधारों को जोड़ने वाला खंड उनके अंतर के 1/2 के बराबर होगा।

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

किसी वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज में घेरना केवल एक ही स्थिति में संभव है। शर्त यह है कि भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर होना चाहिए। उदाहरण के लिए, ट्रैपेज़ॉइड एएफडीएम का निर्माण करते समय, एएफ + डीएम = एफडी + एएम लागू होता है। केवल इस मामले में ही एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में घेरा जा सकता है।

तो, एक वृत्त के चारों ओर वर्णित समलम्ब चतुर्भुज के गुणों के बारे में अधिक जानकारी:

यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में घिरा हुआ है, तो उसकी रेखा की लंबाई ज्ञात करने के लिए जो आकृति को आधे में काटती है, पक्षों की लंबाई के योग का 1/2 ज्ञात करना आवश्यक है।

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज का निर्माण करते समय, गठित कर्ण वृत्त की त्रिज्या के समान होता है, और समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई भी वृत्त का व्यास होती है।

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का एक अन्य गुण यह है कि इसका किनारा 90° के कोण पर वृत्त के केंद्र से तुरंत दिखाई देता है।

एक वृत्त में घिरे समलम्ब चतुर्भुज के गुणों के बारे में थोड़ा और

एक वृत्त में केवल एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज अंकित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि उन शर्तों को पूरा करना आवश्यक है जिनके तहत निर्मित एएफडीएम ट्रैपेज़ॉइड निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करेगा: एएफ + डीएम = एफडी + एमए।

टॉलेमी के प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त में घिरे समलंब में, विकर्णों का गुणनफल समान होता है और विपरीत भुजाओं के गुणनफल के योग के बराबर होता है। इसका मतलब यह है कि ट्रैपेज़ॉइड एएफडीएम के चारों ओर एक सर्कल का निर्माण करते समय, निम्नलिखित लागू होता है: एडी × एफएम = एएफ × डीएम + एफडी × एएम।

अक्सर स्कूली परीक्षाओं में ऐसी समस्याएँ आती हैं जिनमें समलम्ब चतुर्भुज के साथ समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या में प्रमेयों को याद रखने की आवश्यकता होती है, लेकिन यदि आप उन्हें तुरंत नहीं सीख सकते, तो कोई बात नहीं। समय-समय पर पाठ्यपुस्तकों में दिए गए संकेतों का सहारा लेना सबसे अच्छा है, ताकि यह ज्ञान बिना किसी कठिनाई के आपके दिमाग में अपने आप फिट हो जाए।

ट्रैपेज़ और ऑल-ऑल-ऑल

समलम्बाकार विकर्णों के गुण

यदि आप प्रत्येक विकर्ण के मध्यबिंदु पाते हैं (चलिए इन बिंदुओं को X और T कहते हैं) और उन्हें जोड़ते हैं, तो आपको एक खंड मिलता है। समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का एक गुण यह है कि खंड HT मध्य रेखा पर स्थित होता है। और इसकी लंबाई आधारों के अंतर को दो से विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है: ХТ = (ए - बी)/2.
हमारे सामने वही समलम्बाकार ACME है। विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए त्रिभुज AOE और MOK को देखें, जो समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के साथ विकर्णों के खंडों द्वारा बनते हैं। ये त्रिभुज समरूप हैं. त्रिभुजों का समानता गुणांक k समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: के = एई/किमी.
त्रिभुज AOE और MOK के क्षेत्रफलों का अनुपात गुणांक k 2 द्वारा वर्णित है।
वही समलम्ब चतुर्भुज, वही विकर्ण जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। केवल इस बार हम उन त्रिभुजों पर विचार करेंगे जो समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के साथ मिलकर विकर्णों के खंड बनाते हैं। त्रिभुज AKO और EMO के क्षेत्रफल समान आकार के हैं - उनके क्षेत्रफल समान हैं।
ट्रैपेज़ॉइड की एक अन्य संपत्ति में विकर्णों का निर्माण शामिल है। इसलिए, यदि आप एके और एमई के किनारों को छोटे आधार की दिशा में जारी रखते हैं, तो देर-सबेर वे एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। इसके बाद, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के बीच से होकर एक सीधी रेखा खींचें। यह आधारों को बिंदु X और T पर प्रतिच्छेद करता है।
यदि अब हम रेखा XT का विस्तार करते हैं, तो यह समलम्ब चतुर्भुज O के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक साथ जोड़ देगा, वह बिंदु जिस पर पक्षों के विस्तार और आधार X और T के मध्य प्रतिच्छेद करते हैं।
विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से हम एक खंड खींचेंगे जो ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ेगा (T छोटे आधार KM पर स्थित है, X बड़े AE पर स्थित है)। विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस खंड को निम्नलिखित अनुपात में विभाजित करता है: टीओ/ओएक्स = किमी/एई.
अब, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से, हम समलम्ब चतुर्भुज (ए और बी) के आधारों के समानांतर एक खंड खींचेंगे। प्रतिच्छेदन बिंदु इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगा। आप सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं 2एबी/(ए + बी).

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के गुण

समलम्ब चतुर्भुज में उसके आधारों के समानांतर मध्य रेखा खींचिए।

एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई जोड़कर और उन्हें आधे में विभाजित करके की जा सकती है: एम = (ए + बी)/2.
यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के दोनों आधारों के माध्यम से कोई खंड (उदाहरण के लिए ऊंचाई) खींचते हैं, तो मध्य रेखा इसे दो बराबर भागों में विभाजित कर देगी।

ट्रेपेज़ॉइड द्विभाजक संपत्ति

समलम्बाकार कोणों के गुण

आप भुजा से सटे कोणों के दो युग्मों में से जो भी चुनें, युग्म में कोणों का योग हमेशा 180 0 होता है: α + β = 180 0 और γ + δ = 180 0।
आइए ट्रैपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं को एक खंड TX से जोड़ें। आइए अब समलम्ब चतुर्भुज के आधारों पर बने कोणों को देखें। यदि उनमें से किसी के लिए कोणों का योग 90 0 है, तो खंड TX की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई के अंतर के आधार पर आसानी से की जा सकती है, जो आधे में विभाजित है: टीएक्स = (एई - किमी)/2.
यदि किसी समलंब कोण की भुजाओं से होकर समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे कोण की भुजाओं को आनुपातिक खंडों में विभाजित कर देंगी।

एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्बाकार के गुण

समद्विबाहु समलंब में, किसी भी आधार पर कोण बराबर होते हैं।
अब फिर से एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं जिससे यह कल्पना करना आसान हो जाए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। आधार AE को ध्यान से देखें - विपरीत आधार M का शीर्ष उस रेखा पर एक निश्चित बिंदु पर प्रक्षेपित होता है जिसमें AE होता है। शीर्ष A से शीर्ष M के प्रक्षेपण बिंदु और समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा की दूरी बराबर है।
समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की संपत्ति के बारे में कुछ शब्द - उनकी लंबाई बराबर होती है। और समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर इन विकर्णों के झुकाव के कोण भी समान हैं।
केवल एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 0 है - इसके लिए एक शर्त।
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का गुण पिछले पैराग्राफ से मिलता है - यदि समलंब चतुर्भुज के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो यह समद्विबाहु है।
एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की विशेषताओं से एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई का गुण इस प्रकार है: यदि इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ऊंचाई की लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होती है: एच = (ए + बी)/2.
फिर से, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खंड TX खींचें - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड में यह आधारों के लंबवत है। और साथ ही TX एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की समरूपता की धुरी है।
इस बार, ट्रैपेज़ॉइड के विपरीत शीर्ष से ऊंचाई को बड़े आधार पर कम करें (चलो इसे कहते हैं)। आपको दो खंड मिलेंगे. यदि आधारों की लंबाई जोड़ दी जाए और आधे में विभाजित किया जाए तो किसी की लंबाई पाई जा सकती है: (ए + बी)/2. हमें दूसरा तब मिलता है जब हम बड़े आधार से छोटे को घटाते हैं और परिणामी अंतर को दो से विभाजित करते हैं: (ए - बी)/2.

एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

वृत्त के केंद्र का स्थान ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण के उसके किनारे के झुकाव के कोण से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, एक विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से समकोण पर किनारे तक विस्तारित हो सकता है। इस मामले में, बड़ा आधार परिवृत्त के केंद्र को बिल्कुल मध्य में काटता है (R = ½AE)।
विकर्ण और भुजा एक न्यून कोण पर भी मिल सकते हैं - तब वृत्त का केंद्र समलंब के अंदर होता है।
यदि ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण और किनारे के बीच एक अधिक कोण है, तो परिचालित वृत्त का केंद्र ट्रेपेज़ॉइड के बाहर, उसके बड़े आधार से परे हो सकता है।
समलम्ब चतुर्भुज ACME (अंकित कोण) के विकर्ण और बड़े आधार से बना कोण इसके अनुरूप केंद्रीय कोण का आधा है: एमएई = ½एमओई.
किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के दो तरीकों के बारे में संक्षेप में। विधि एक: अपने चित्र को ध्यान से देखें - आप क्या देखते हैं? आप आसानी से देख सकते हैं कि विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। त्रिज्या को त्रिभुज की भुजा और विपरीत कोण की ज्या के अनुपात को दो से गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर = एई/2*sinAME. इसी प्रकार, दोनों त्रिभुजों की किसी भी भुजा के लिए सूत्र लिखा जा सकता है।
विधि दो: समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण, भुजा और आधार द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए: आर = एएम*एमई*एई/4*एस एएमई.

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो इसकी मध्य रेखा की लंबाई भुजाओं की लंबाई जोड़कर और परिणामी योग को आधे में विभाजित करके आसानी से पाई जा सकती है: एम = (सी + डी)/2.
एक वृत्त के बारे में वर्णित समलम्बाकार ACME के लिए, आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर है: एके + एमई = किमी + एई.
एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की इस संपत्ति से, विपरीत कथन इस प्रकार है: एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है जिसके आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर होता है।
एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित त्रिज्या r वाले वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है, आइए उन्हें a और b कहते हैं। वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: आर = √ab.
और एक और संपत्ति. भ्रम से बचने के लिए यह उदाहरण स्वयं भी बनाएं। हमारे पास अच्छा पुराना समलम्बाकार ACME है, जो एक वृत्त के चारों ओर वर्णित है। इसमें विकर्ण हैं जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। विकर्णों और पार्श्व भुजाओं के खंडों से बने त्रिभुज AOK और EOM आयताकार हैं।
इन त्रिभुजों की ऊँचाई, कर्ण (अर्थात, समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ) तक नीचे, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के साथ मेल खाती है। और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई अंकित वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुण

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की एक भुजा इसके आधार से लंबवत होती है।
समकोण से सटे समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई और भुजा बराबर होती है। यह आपको एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड (सामान्य सूत्र) के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है एस = (ए + बी) * एच/2) न केवल ऊंचाई के माध्यम से, बल्कि समकोण के निकटवर्ती पक्ष के माध्यम से भी।
एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के लिए, ऊपर वर्णित समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के सामान्य गुण प्रासंगिक हैं।

समलम्बाकार के कुछ गुणों का साक्ष्य

समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोणों की समानता:

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि यहां हमें फिर से AKME ट्रेपेज़ॉइड की आवश्यकता होगी - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड बनाएं। शीर्ष M से AK (MT || AK) की भुजा के समानांतर एक सीधी रेखा MT खींचिए।

एके || एमटी, इसलिए एमटीई = केएई, मेट = एमटीई = केएई।

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME कहां है।

क्यू.ई.डी.

सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा MX – MX || खींचें के.ई. हमें एक समांतर चतुर्भुज KMHE (आधार - MX || KE और KM || EX) प्राप्त होता है।

∆AMX समद्विबाहु है, क्योंकि AM = KE = MX, और MAX = MEA।

एमएच || केई, केईए = एमएक्सई, इसलिए एमएई = एमएक्सई।

कार्य की समीक्षा करें

अंतभाषण

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प्रोजेक्ट कार्य "ट्रेपेज़ॉइड के दिलचस्प गुण" द्वारा पूरा किया गया: 10 वीं कक्षा के छात्र कुडज़ेवा एलिना बाज़ेवा डायना एमसीओयू सेकेंडरी स्कूल एस। एन.बटाको प्रमुख: गागीवा ए.ओ. 20 नवंबर 2015

कार्य का उद्देश्य: ट्रेपेज़ॉइड के गुणों पर विचार करना, जिनका अध्ययन स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में नहीं किया जाता है, लेकिन विस्तारित भाग सी 4 से एकीकृत राज्य परीक्षा की ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, यह जानना और सक्षम होना आवश्यक हो सकता है इन गुणों को सटीक रूप से लागू करें।

एक समलम्ब चतुर्भुज के गुण: यदि एक समलम्ब चतुर्भुज को उसके आधारों के समानान्तर a और b के बराबर एक रेखा द्वारा दो बराबर समलम्बों में विभाजित किया जाता है। फिर पार्श्व भुजाओं के बीच घिरा इस रेखा का खंड, बी के बराबर है

एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले खंड की संपत्ति। विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले आधारों के समानांतर खंड बराबर है: a in c

ट्रैपेज़ॉइड के गुण: ट्रैपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा खंड, जो ट्रैपेज़ॉइड के अंदर घिरा होता है, को इसके विकर्णों द्वारा तीन भागों में विभाजित किया जाता है। फिर भुजाओं से सटे खंड एक दूसरे के बराबर होते हैं। एमपी=ओके आर एम ओ के

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के गुण: यदि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो वृत्त की त्रिज्या उन खंडों का औसत आनुपातिक है जिनमें स्पर्शरेखा बिंदु पक्ष को विभाजित करता है। ओ एस वी ए डी. ई ओ

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के गुण: यदि परिचालित वृत्त का केंद्र समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर स्थित है, तो इसका विकर्ण भुजा O A B C D पर लंबवत है

एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के गुण: एक वृत्त को एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि इसकी पार्श्व भुजा इसकी मध्य रेखा के बराबर हो। एस वी ए डी एच

1) यदि समस्या कथन कहता है कि एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित है, तो आप निम्नलिखित गुणों का उपयोग कर सकते हैं: 1. समलम्ब चतुर्भुज के आधारों का योग भुजाओं के योग के बराबर है। 2. समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से अंकित वृत्त के स्पर्श बिंदु तक की दूरी बराबर होती है। 3. एक आयताकार समलंब की ऊंचाई उसकी छोटी भुजा के बराबर और खुदे हुए वृत्त के व्यास के बराबर होती है। 4. उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र समलम्ब चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है। 5. यदि स्पर्शरेखा बिंदु भुजा को खंड m और n में विभाजित करता है, तो अंकित वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुण जिसमें एक वृत्त अंकित होता है: 1) अंकित वृत्त के केंद्र, संपर्क बिंदुओं और समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से बना एक चतुर्भुज - एक वर्ग जिसकी भुजा त्रिज्या के बराबर होती है। (AMOE और BKOM भुजा r वाले वर्ग हैं)। 2) यदि एक आयताकार समलंब में एक वृत्त अंकित है, तो समलंब का क्षेत्रफल उसके आधारों के गुणनफल के बराबर होता है: S=AD*BC

प्रमाण: एक ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल उसके आधारों और उसकी ऊंचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर है: आइए CF=m, FD=n को निरूपित करें। चूँकि शीर्षों से स्पर्शरेखा बिंदुओं की दूरी समान है, समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई अंकित वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर है, और

I. समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्ष पर कोणों के समद्विभाजक 90º के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। 1)∠ABC+∠BAD=180º (AD∥BC और छेदक AB के साथ आंतरिक एकतरफ़ा)। 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (चूँकि समद्विभाजक कोणों को समद्विभाजित करता है)। 3) चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180º है, त्रिभुज ABK में हमारे पास है: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, इसलिए ∠AKB=180-90=90º। निष्कर्ष: समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्ष पर कोण समद्विभाजक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस कथन का उपयोग किसी समलम्ब चतुर्भुज पर समस्याओं को हल करते समय किया जाता है जिसमें एक वृत्त अंकित होता है।

I I. पार्श्व पक्ष से सटे समलम्ब चतुर्भुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा पर स्थित होता है। मान लीजिए कोण ABC का समद्विभाजक भुजा AD को बिंदु S पर प्रतिच्छेद करता है। तब त्रिभुज ABS, आधार BS के साथ समद्विबाहु है। इसका मतलब है कि इसका समद्विभाजक AK भी एक माध्यिका है, अर्थात बिंदु K, BS का मध्यबिंदु है। यदि M और N समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, तो MN समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा है और MN∥AD है। चूँकि M और K, AB और BS के मध्यबिंदु हैं, तो MK त्रिभुज ABS और MK∥AS की मध्यरेखा है। चूँकि बिंदु M के माध्यम से इसके समानांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है, बिंदु K समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा पर स्थित है।

तृतीय. एक समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर न्यून कोणों के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु दूसरे आधार से संबंधित होता है। इस मामले में, त्रिभुज ABK और DCK क्रमशः आधार AK और DK वाले समद्विबाहु हैं। इस प्रकार, BC=BK+KC=AB+CD. निष्कर्ष: यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के न्यून कोणों के समद्विभाजक छोटे आधार से संबंधित बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो छोटा आधार समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाओं के योग के बराबर होता है। इस मामले में एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का आधार उसकी भुजा के आकार से दोगुना छोटा होता है।

I V. समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर अधिक कोणों के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु दूसरे आधार से संबंधित है। इस मामले में, त्रिभुज ABF और DCF क्रमशः आधार BF और CF वाले समद्विबाहु हैं। अत: AD=AF+FD=AB+CD। निष्कर्ष: यदि किसी समलंब के अधिक कोणों के समद्विभाजक बड़े आधार से संबंधित बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो बड़ा आधार समलंब की पार्श्व भुजाओं के योग के बराबर होता है। इस मामले में, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का आधार बड़ा होता है जो उसकी भुजा से दोगुना बड़ा होता है।

यदि a, b, c, d भुजाओं वाला एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज अंकित किया जा सके और उसके चारों ओर वृत्त खींचे जा सकें, तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है