Egy valószínűségi változó matematikai elvárása. A valószínűségszámítás alapjai
2. A valószínűségelmélet alapjai
Várható érték
Tekintsünk egy valószínűségi változót számértékekkel. Gyakran hasznos egy számot társítani ehhez a funkcióhoz - annak "átlagértékéhez" vagy, ahogy mondják, "átlagértékéhez", "a központi tendencia mutatójához". Számos okból, amelyek közül néhány a következőkben világossá válik, gyakori, hogy az átlagot használjuk átlagként.
3. definíció. Egy valószínűségi változó matematikai elvárása x hívott egy számot
azok. a valószínűségi változó matematikai elvárása egy valószínűségi változó értékeinek súlyozott összege, amelynek súlya megegyezik a megfelelő elemi események valószínűségével.
6. példa Számítsuk ki annak a számnak a matematikai elvárását, amely a kocka felső lapjára esett. A 3. definícióból egyenesen következik, hogy
2. állítás. Legyen a valószínűségi változó xértékeket vesz fel x 1, x 2, ..., xm. Aztán az egyenlőség
(5)
azok. A valószínűségi változó matematikai elvárása a valószínűségi változó értékeinek súlyozott összege, amelynek súlya megegyezik azzal a valószínűséggel, hogy a valószínűségi változó bizonyos értékeket vesz fel.
Ellentétben (4), ahol az összegzést közvetlenül elemi eseményeken hajtják végre, egy véletlen esemény több elemi eseményből is állhat.
Néha az (5) relációt tekintik a matematikai elvárás definíciójának. Azonban a 3. definíció használatával, amint az alább látható, könnyebb megállapítani a valós jelenségek valószínűségi modelljeinek felépítéséhez szükséges matematikai elvárások tulajdonságait, mint az (5) összefüggést.
Az (5) összefüggés bizonyításához (4) tagokba csoportosítjuk a valószínűségi változó azonos értékeivel:
Mivel a konstans tényező kivehető az összeg előjeléből, akkor
Az esemény valószínűségének meghatározása szerint
Az utolsó két reláció segítségével megkapjuk a kívántat:
A matematikai várakozás fogalma a valószínűség-statisztikai elméletben megfelel a mechanika súlypont fogalmának. Tegyük a pontokba x 1, x 2, ..., xm a tömeg numerikus tengelyén P(x= x 1 ), P(x= x 2 ),…, P(x= x m) illetőleg. Ekkor az (5) egyenlőség megmutatja, hogy ennek az anyagi pontrendszernek a súlypontja egybeesik a matematikai elvárással, ami a 3. definíció természetességét mutatja.
3. állítás. Hadd x- véletlenszerű érték, M(X) a matematikai elvárása, A- néhány szám. Akkor
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(x- a) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(a- M(x)) 2 .
Ennek bizonyítására először egy olyan valószínűségi változót veszünk figyelembe, amely állandó, azaz. a függvény az elemi események terét egyetlen pontra képezi le A. Mivel a konstans tényező kivehető az összeg előjeléből, akkor
Ha az összeg minden tagját két tagra osztjuk, akkor a teljes összeget is két összegre osztjuk, amelyek közül az elsőt az első tagok, a másodikat a második tagok alkotják. Ezért két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása X+Y, az elemi események ugyanazon a terén definiált, egyenlő a matematikai elvárások összegével M(X)És M(U) ezek a valószínűségi változók:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
És ezért M(X-M(X)) = M(X)-M(M(X)). Ahogy fentebb látható, M(M(X)) = M(X). Ennélfogva, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Mert a (X - a) 2 = ((x – M(x)) + (M(x) - a)} 2 = (x - M(x)) 2 + 2(x - M(x))(M(x) - a) + (M(x) – a) 2 , Azt M[(X - a) 2] =M(x - M(x)) 2 + M{2(x - M(x))(M(x) - a)} + M[(M(x) – a) 2 ]. Egyszerűsítsük az utolsó egyenlőséget. Ahogy a 3. állítás bizonyításának elején látható, az állandó elvárása maga az állandó, ezért M[(M(x) – a) 2 ] = (M(x) – a) 2 . Mivel a konstans tényező kivehető az összeg előjeléből, akkor M{2(x - M(x))(M(x) - a)} = 2(M(x) - a)M(x - M(x)). Az utolsó egyenlőség jobb oldala 0, mert amint fentebb látható, M(X-M(X))=0. Ennélfogva, M[(x- a) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(a- M(x)) 2 , amit bizonyítani kellett.
Az elmondottakból az következik M[(x- a) 2 ] eléri a minimumot A egyenlő M[(x- M(x)) 2 ], nál nél a = M(X), mivel a 3) egyenlőség második tagja mindig nem negatív, és csak a megadott értéknél egyenlő 0-val A.
4. állítás. Legyen a valószínűségi változó xértékeket vesz fel x 1, x 2, ..., xm, és f egy numerikus argumentum függvénye. Akkor
Ennek bizonyítására csoportosítsunk a matematikai elvárást meghatározó (4) egyenlőség jobb oldalára azonos értékű tagokat:
Felhasználva azt a tényt, hogy az állandó tényező kivehető az összeg előjeléből, és egy véletlenszerű esemény valószínűségének meghatározásával (2) azt kapjuk, hogy
Q.E.D.
5. állítás. Hadd xÉs Nál nél olyan valószínűségi változók, amelyeket az elemi események ugyanazon a terében határoznak meg, AÉs b- néhány szám. Akkor M(fejsze+ által)= aM(x)+ bM(Y).
A matematikai elvárás definícióját és az összegző szimbólum tulajdonságait felhasználva egyenlőségláncot kapunk:
A szükséges bebizonyosodott.
A fentiekből látható, hogy a matematikai elvárás hogyan függ a másik eredetre és egy másik mértékegységre való átmenettől (átmenet Y=fejsze+b), valamint a valószínűségi változók függvényeihez. A kapott eredményeket folyamatosan felhasználják a műszaki-gazdasági elemzésben, a vállalkozás pénzügyi-gazdasági tevékenységének értékelésében, a devizáról a másikra való átállásban a külgazdasági elszámolásokban, a szabályozási és műszaki dokumentációkban stb. A figyelembe vett eredmények lehetővé teszik a ugyanazok a számítási képletek a különböző paraméterekhez, skálázhatók és eltolódhatnak.
| Előző |
Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges értéke és valószínűségei szorzatának összege.
Legyen olyan valószínűségi változó, amelynek a valószínűsége rendre egyenlő, akkor egy valószínűségi változó matematikai elvárását az egyenlőség határozza meg
Ha egy diszkrét valószínűségi változó a lehetséges értékek megszámlálható halmazát veszi fel, akkor
Sőt, a matematikai elvárás akkor létezik, ha az egyenlőség jobb oldalán lévő sorozatok abszolút konvergálnak.
Megjegyzés. A definícióból következik, hogy egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása nem véletlenszerű (konstans) változó.
A matematikai elvárás definíciója általános esetben
Határozzuk meg egy olyan valószínűségi változó matematikai elvárását, amelynek eloszlása nem feltétlenül diszkrét. Kezdjük a nem negatív valószínűségi változók esetével. Az ötlet az lesz, hogy az olyan valószínűségi változókat diszkrétekkel közelítjük meg, amelyekre a matematikai elvárás már meg van határozva, és a matematikai elvárást egyenlőre állítjuk az azt közelítő diszkrét valószínűségi változók matematikai elvárásainak határával. Ez egyébként egy nagyon hasznos általános ötlet, ami abból áll, hogy először egyszerű objektumokra határoznak meg valamilyen jellemzőt, majd bonyolultabb objektumoknál azt egyszerűbbekkel közelítve határozzák meg.
1. lemma. Legyen egy tetszőleges nemnegatív valószínűségi változó. Ezután van egy diszkrét valószínűségi változók sorozata, úgy, hogy
Bizonyíték. Osszuk fel a féltengelyt egyenlő hosszúságú szakaszokra, és határozzuk meg
Ekkor egy valószínűségi változó definíciójából könnyen következik az 1. és 2. tulajdonság, és
2. lemma. Legyen egy nemnegatív valószínűségi változó és két diszkrét valószínűségi változó sorozat 1-3 tulajdonságokkal az 1. lemmából.
Bizonyíték. Vegye figyelembe, hogy a nem negatív valószínűségi változók esetében megengedjük
A 3. tulajdonság alapján könnyen belátható, hogy létezik olyan pozitív számsorozat, amely
Ebből következik tehát
A diszkrét valószínűségi változókra vonatkozó matematikai elvárások tulajdonságait felhasználva megkapjuk
A 2. lemma állítása alapján elérjük a határt.
Definíció 1. Legyen nemnegatív valószínűségi változó, diszkrét valószínűségi változók sorozata 1-3 tulajdonságokkal az 1. lemmából. Egy valószínűségi változó matematikai elvárása a szám
A 2. lemma garantálja, hogy nem függ a közelítő sorrend megválasztásától.
Legyen most egy tetszőleges valószínűségi változó. Határozzuk meg
A meghatározásból és könnyen az következik
Definíció 2. Egy tetszőleges valószínűségi változó matematikai elvárása a szám
Ha ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán legalább az egyik szám véges.
Elvárás tulajdonságai
1. tulajdonság. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval:
Bizonyíték. A konstanst diszkrét valószínűségi változónak fogjuk tekinteni, amelynek van egy lehetséges értéke, és azt valószínűséggel veszi fel, ezért
Megjegyzés 1. Egy állandó érték diszkrét valószínűségi változó szorzatát olyan diszkrét valószínűségi változóként definiáljuk, amelynek lehetséges értékei megegyeznek egy állandó lehetséges értékekkel való szorzatával; a lehetséges értékek valószínűsége megegyezik a megfelelő lehetséges értékek valószínűségével. Például, ha egy lehetséges érték valószínűsége egyenlő, akkor annak a valószínűsége, hogy az érték értéket vesz fel, szintén egyenlő
2. tulajdonság. Az elvárási előjelből kivehető egy állandó tényező:
Bizonyíték. Adja meg a valószínűségi változót a valószínűségi eloszlás törvénye:
Figyelembe véve az 1. megjegyzést, felírjuk a valószínűségi változó eloszlási törvényét
Megjegyzés 2. Mielőtt továbblépnénk a következő tulajdonságra, jelezzük, hogy két valószínűségi változót függetlennek nevezünk, ha az egyiknek az eloszlási törvénye nem függ attól, hogy a másik változó milyen lehetséges értékeket vett fel. Ellenkező esetben a valószínűségi változók függőek. Számos valószínűségi változót egymástól függetlennek nevezünk, ha tetszőleges számú eloszlási törvénye nem függ attól, hogy a többi változó milyen lehetséges értékeket vett fel.
Megjegyzés 3. Meghatározzuk a független valószínűségi változók szorzatát, és olyan valószínűségi változóként, amelyek lehetséges értékei egyenlők az egyes lehetséges értékek szorzataival a szorzat lehetséges értékeinek minden lehetséges értékével egyenlőek a tényezők lehetséges értékeinek valószínűségeinek szorzataira. Például, ha egy lehetséges érték valószínűsége, egy lehetséges érték valószínűsége az, akkor egy lehetséges érték valószínűsége
3. tulajdonság. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával:
Bizonyíték. Legyenek független valószínűségi változók, és legyenek megadva a saját valószínűségi eloszlási törvényeik szerint:
Állítsuk össze az összes értéket, amelyet egy valószínűségi változó felvehet. Ehhez megszorozzuk az összes lehetséges értéket minden lehetséges értékkel; ennek eredményeként megkapjuk, és a 3. megjegyzés figyelembevételével megírjuk az elosztási törvényt, az egyszerűség kedvéért feltételezve, hogy a szorzat összes lehetséges értéke eltérő (ha ez nem így van, akkor a bizonyítást hasonlóan végezzük):
A matematikai elvárás egyenlő az összes lehetséges érték és valószínűségük szorzatának összegével:
Következmény. Több egymástól független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik azok matematikai elvárásainak szorzatával.
4. tulajdonság. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása egyenlő a következő feltételek matematikai elvárásainak összegével:
Bizonyíték. Legyenek a valószínűségi változók és adhatók meg a következő eloszlási törvényekkel:
A mennyiség összes lehetséges értékének összeállítása Ehhez adjon hozzá minden lehetséges értéket minden lehetséges értékhez; azt kapjuk, hogy az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy ezek a lehetséges értékek eltérőek (ha ez nem így van, akkor a bizonyítást hasonló módon hajtjuk végre), és ezek valószínűségét jelöljük, ill.
Egy érték matematikai elvárása megegyezik a lehetséges értékek valószínűségi szorzatainak összegével:
Bizonyítsuk be, hogy egy érték felvételéből álló Esemény (ennek az eseménynek a valószínűsége egyenlő) olyan eseményt tartalmaz, amely a vagy érték felvételéből áll (ennek az eseménynek a valószínűsége egyenlő az összeadási tétellel), és fordítva. Ebből következik, hogy Az egyenlőségek
Ezeknek az egyenlőségeknek a megfelelő részeit a (*) relációba behelyettesítve megkapjuk
vagy végül
Diszperzió és szórás
A gyakorlatban gyakran meg kell becsülni egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek szórását az átlagértéke körül. Például a tüzérségnél fontos tudni, hogy a lövedékek milyen közel esnek a célhoz, amelyet el kell találni.
Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a szórás becslésének legegyszerűbb módja egy valószínűségi változó eltérésének összes lehetséges értékének kiszámítása, majd az átlagos érték meghatározása. Ez az út azonban nem ad semmit, hiszen az eltérés átlagértéke, i.e. bármely valószínűségi változó esetén nulla. Ez a tulajdonság azzal magyarázható, hogy egyes lehetséges eltérések pozitívak, míg mások negatívak; kölcsönös törlésük következtében az eltérés átlagos értéke nulla. Ezek a megfontolások jelzik a lehetséges eltérések abszolút értékükkel vagy négyzetükkel való helyettesítésének célszerűségét. A gyakorlatban így csinálják. Igaz, abban az esetben, ha az esetleges eltéréseket abszolút értékükkel helyettesítik, abszolút értékekkel kell operálni, ami néha komoly nehézségekhez vezet. Ezért leggyakrabban a másik irányba mennek, pl. számítsa ki az eltérés négyzetes átlagát, amelyet szóródásnak nevezünk.
Lesznek egy önálló megoldásra vonatkozó feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.
A matematikai elvárás és a variancia a valószínűségi változók leggyakrabban használt numerikus jellemzői. Ezek jellemzik az eloszlás legfontosabb jellemzőit: helyzetét és szóródási fokát. A matematikai elvárást gyakran egyszerűen átlagnak nevezik. valószínűségi változó. Egy valószínűségi változó diszperziója - a diszperzió jellemzője, egy valószínűségi változó diszperziója matematikai elvárása körül.
Sok gyakorlati problémában egy valószínűségi változó – az eloszlás törvényének – teljes, kimerítő leírása vagy nem érhető el, vagy egyáltalán nem szükséges. Ezekben az esetekben egy valószínűségi változó numerikus jellemzők segítségével történő hozzávetőleges leírására korlátozódnak.
Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása
Jöjjön a matematikai elvárás fogalma. Valamelyik anyag tömege oszlik el az x tengely pontjai között x1 , x 2 , ..., x n. Sőt, minden anyagi pontnak van egy tömege, amely ennek valószínűséggel felel meg p1 , p 2 , ..., p n. Ki kell választani egy pontot az x tengelyen, amely az anyagi pontok teljes rendszerének helyzetét jellemzi, figyelembe véve azok tömegét. Természetes, hogy az anyagi pontrendszer tömegközéppontját ilyen pontnak vesszük. Ez a valószínűségi változó súlyozott átlaga x, amelyben az egyes pontok abszcisszán xén a megfelelő valószínűséggel megegyező "súllyal" lép be. Az így kapott valószínűségi változó átlagértéke x matematikai elvárásának nevezzük.
Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges érték szorzata és ezen értékek valószínűsége:
1. példa Nyertes lottót szervezett. 1000 nyeremény van, ebből 400 egyenként 10 rubel. Egyenként 300-20 rubel Egyenként 200-100 rubel. és egyenként 100-200 rubel. Mennyi az átlagos nyeremény annak a személynek, aki egy jegyet vásárol?
Megoldás. Az átlagos nyereményt akkor találjuk meg, ha a nyeremények teljes összegét, amely egyenlő 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubel, elosztjuk 1000-el (a nyeremények teljes összege). Ezután 50000/1000 = 50 rubelt kapunk. De az átlagos nyereség kiszámítására szolgáló kifejezés a következő formában is ábrázolható:
Másrészt ilyen körülmények között a nyeremény összege egy véletlenszerű változó, amely 10, 20, 100 és 200 rubel értéket vehet fel. 0,4 valószínűséggel; 0,3; 0,2; 0.1. Ezért a várható átlagos kifizetés megegyezik a kifizetések nagyságának és a beérkezési valószínűségének szorzatának összegével.
2. példa A kiadó új könyv kiadása mellett döntött. A könyvet 280 rubelért fogja eladni, ebből 200-at ő, 50-et a könyvesbolt, 30-at a szerző kap. A táblázat tájékoztatást ad a könyv kiadásának költségeiről és a könyv bizonyos számú példányának eladásának valószínűségéről.
Keresse meg a kiadó várható nyereségét.
Megoldás. A "nyereség" valószínűségi változó egyenlő az értékesítésből származó bevétel és a költségek különbözetével. Például, ha egy könyvből 500 példányt adnak el, akkor az eladásból származó bevétel 200 * 500 = 100 000, a kiadás költsége pedig 225 000 rubel. Így a kiadó 125 000 rubel veszteséggel néz szembe. Az alábbi táblázat összefoglalja a valószínűségi változó - profit - várható értékeit:
| Szám | Nyereség xén | Valószínűség pén | xén pén |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Teljes: | 1,00 | 25000 |
Így megkapjuk a kiadó profitjának matematikai elvárását:
.
3. példa Lehetőség egy lövéssel eltalálni p= 0,2. Határozza meg azoknak a shell-eknek a fogyasztását, amelyek megadják az 5-tel egyenlő találatok számának matematikai elvárását.
Megoldás. Ugyanabból az elvárási képletből, amelyet eddig is használtunk, fejezzük ki x- kagylók fogyasztása:
.
4. példa Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x találatok száma három lövéssel, ha az egyes lövések eltalálásának valószínűsége p = 0,4 .
Tipp: keresse meg egy valószínűségi változó értékeinek valószínűségét a következővel: Bernoulli képlet .
Elvárás tulajdonságai
Tekintsük a matematikai elvárás tulajdonságait.
1. tulajdonság. Egy állandó érték matematikai elvárása egyenlő ezzel az állandóval:
2. tulajdonság. Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:
3. tulajdonság. A valószínűségi változók összegének (különbségének) matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével (különbségével):
4. tulajdonság. A valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával:
5. ingatlan. Ha a valószínűségi változó összes értéke x ugyanennyivel csökken (növekszik). VAL VEL, akkor a matematikai elvárása ugyanennyivel csökken (növekszik):
Amikor nem lehet csak a matematikai elvárásokra korlátozódni
A legtöbb esetben csak a matematikai elvárás nem képes megfelelően jellemezni egy valószínűségi változót.
Legyen véletlen változók xÉs Y a következő elosztási törvények adják meg:
| Jelentése x | Valószínűség |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Jelentése Y | Valószínűség |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Ezeknek a mennyiségeknek a matematikai elvárásai azonosak - egyenlők nullával:
Eloszlásuk azonban eltérő. Véletlenszerű érték x csak olyan értékeket vehet fel, amelyek alig különböznek a matematikai elvárásoktól és a valószínűségi változótól Y olyan értékeket vehet fel, amelyek jelentősen eltérnek a matematikai elvárásoktól. Hasonló példa: az átlagbér nem teszi lehetővé a magas és alacsony fizetésű munkavállalók arányának megítélését. Más szóval, matematikai elvárás alapján nem lehet megítélni, hogy attól, legalábbis átlagosan milyen eltérések lehetségesek. Ehhez meg kell találni egy valószínűségi változó varianciáját.
Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója
diszperzió diszkrét valószínűségi változó x a matematikai elvárástól való eltérés négyzetének matematikai elvárása:
Egy valószínűségi változó szórása x a variancia négyzetgyökének számtani értéke:
.
5. példa Számítsa ki a valószínűségi változók szórását és szórását xÉs Y, amelynek eloszlási törvényeit a fenti táblázatok adják meg.
Megoldás. A valószínűségi változók matematikai elvárásai xÉs Y, mint fentebb, egyenlőek nullával. A diszperziós képlet szerint E(x)=E(y)=0 kapjuk:
Ezután a valószínűségi változók szórása xÉs Y alkotják
.
Így azonos matematikai elvárások mellett a valószínűségi változó varianciája x nagyon kicsi és véletlenszerű Y- jelentős. Ez az eloszlásuk különbségének a következménye.
6. példa A beruházónak 4 alternatív beruházási projektje van. A táblázat összefoglalja az ezekben a projektekben várható nyereségre vonatkozó adatokat a megfelelő valószínűséggel.
| 1. projekt | 2. projekt | 3. projekt | 4. projekt |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Keresse meg minden alternatívához a matematikai elvárást, szórást és szórást.
Megoldás. Mutassuk meg, hogyan számítják ki ezeket a mennyiségeket a 3. alternatívánál:
A táblázat összefoglalja az összes alternatíva talált értékeit.
Minden alternatívának ugyanaz a matematikai elvárása. Ez azt jelenti, hogy hosszú távon mindenkinek azonos a jövedelme. A szórás a kockázat mértékeként értelmezhető – minél nagyobb, annál nagyobb a befektetés kockázata. Az a befektető, aki nem akar nagy kockázatot, az 1. projektet választja, mert annak a legkisebb szórása (0). Ha a befektető a kockázatot és a rövid időn belüli magas hozamot részesíti előnyben, akkor a legnagyobb szórással rendelkező projektet választja - 4. projektet.
Diszperziós tulajdonságok
Mutassuk be a diszperzió tulajdonságait.
1. tulajdonság. Egy állandó érték szórása nulla:
2. tulajdonság. A konstans tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:
.
3. tulajdonság. Egy valószínűségi változó szórása egyenlő ennek az értéknek a négyzetének matematikai elvárásával, amelyből kivonjuk magának az értéknek a matematikai elvárásának négyzetét:
,
Ahol 
.
4. tulajdonság. A valószínűségi változók összegének (különbségének) szórása egyenlő szórásaik összegével (különbségével):
7. példa Ismeretes, hogy egy diszkrét valószínűségi változó x csak két értéket vesz fel: −3 és 7. Ezen kívül ismert a matematikai elvárás: E(x) = 4. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját.
Megoldás. Jelölje p annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel x1 = −3 . Aztán az érték valószínűsége x2 = 7 1 − lesz p. Vezessük le a matematikai várakozás egyenletét:
E(x) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
ahol a valószínűségeket kapjuk: p= 0,3 és 1 − p = 0,7 .
A valószínűségi változó eloszlásának törvénye:
| x | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Ennek a valószínűségi változónak a szórását a variancia 3. tulajdonságának képletével számítjuk ki:
D(x) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Keresse meg saját maga egy valószínűségi változó matematikai elvárását, majd nézze meg a megoldást
8. példa Diszkrét valószínűségi változó x csak két értéket vesz fel. A nagyobb 3-as értéket 0,4-es valószínűséggel veszi fel. Ezenkívül ismert a valószínűségi változó varianciája D(x) = 6. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását!
9. példa Egy urnában 6 fehér és 4 fekete golyó található. 3 golyót vesznek ki az urnából. A kihúzott golyók között lévő fehér golyók száma diszkrét valószínűségi változó x. Határozzuk meg ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását!
Megoldás. Véletlenszerű érték x felveheti a 0, 1, 2, 3 értékeket. A megfelelő valószínűségek ebből számíthatók a valószínűségek szorzásának szabálya. A valószínűségi változó eloszlásának törvénye:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Innen származik ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása:
M(x) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Egy adott valószínűségi változó varianciája:
D(x) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása
Folytonos valószínűségi változó esetén a matematikai elvárás mechanikus értelmezése ugyanazt a jelentést fogja megtartani: a tömegközéppont az x tengelyen folytonosan eloszló sűrűségű tömeg esetén. f(x). Ellentétben egy diszkrét valószínűségi változóval, amelyre a függvény argumentuma xén hirtelen változik, folytonos valószínűségi változó esetén az argumentum folyamatosan változik. De a folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása is összefügg az átlagértékével.
Egy folytonos valószínűségi változó matematikai elvárásának és varianciájának meghatározásához határozott integrálokat kell találni . Ha adott egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, akkor az közvetlenül belép az integrandusba. Ha adott egy valószínűségi eloszlásfüggvény, akkor ennek differenciálásával meg kell találni a sűrűségfüggvényt.
Egy folytonos valószínűségi változó összes lehetséges értékének számtani átlagát nevezzük annak matematikai elvárás, jelölése vagy.
Megoldás:
6.1.2 Elvárás tulajdonságai
1. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval.
2. Az elvárási előjelből kivehető egy állandó tényező. 
3. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik matematikai elvárásaik szorzatával.
Ez a tulajdonság tetszőleges számú valószínűségi változóra érvényes.
4. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a tagok matematikai elvárásainak összegével.
Ez a tulajdonság tetszőleges számú valószínűségi változóra is igaz.
Példa: M(X) = 5, AZ ÉN)= 2. Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! Z, a matematikai elvárás tulajdonságait alkalmazva, ha ismert, hogy Z=2X + 3Y.
Megoldás: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) az összeg matematikai elvárása egyenlő a matematikai elvárások összegével
2) a konstans tényező kivehető a várakozási előjelből
Végezzünk el n független kísérletet, amelyekben az A esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő p-vel. Ekkor teljesül a következő tétel:
Tétel. Az A esemény előfordulásai számának M(X) matematikai elvárása n független próbában egyenlő a kísérletek számának és az esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával az egyes kísérletekben.
6.1.3. Egy diszkrét valószínűségi változó szórása
A matematikai elvárás nem képes teljes mértékben jellemezni egy véletlenszerű folyamatot. A matematikai elvárás mellett be kell vezetni egy olyan értéket, amely a valószínűségi változó értékeinek a matematikai elvárástól való eltérését jellemzi.
Ez az eltérés egyenlő a valószínűségi változó és a matematikai elvárása közötti különbséggel. Ebben az esetben az eltérés matematikai elvárása nulla. Ez azzal magyarázható, hogy egyes lehetséges eltérések pozitívak, mások negatívak, és kölcsönös törlésük eredményeként nullát kapunk.
Diszperzió (szórás) A diszkrét valószínűségi változót a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárásának nevezzük.
A gyakorlatban ez a varianciaszámítási módszer kényelmetlen, mert nehézkes számításokhoz vezet egy valószínűségi változó nagyszámú értékéhez.
Ezért egy másik módszert alkalmaznak.
Tétel. A variancia egyenlő az X valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárása és a matematikai elvárás négyzete közötti különbséggel.
Bizonyíték. Figyelembe véve, hogy az M (X) matematikai elvárás és az M 2 (X) matematikai elvárás négyzete állandó érték, felírhatjuk:
Példa. Határozzuk meg az eloszlási törvény által adott diszkrét valószínűségi változó varianciáját!
| x | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Megoldás: .
6.1.4 Diszperziós tulajdonságok
1. Egy állandó érték szórása nulla. .
2. A diszperziós jelből négyzetre emelve kivehető egy állandó tényező. 
.
3. Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével. .
4. Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével. .
Tétel. Az A esemény előfordulási számának szórása n független próbában, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének p valószínűsége állandó, megegyezik a kísérletek számának és a bekövetkezés és a be nem következés valószínűségének szorzatával. az eseményről minden kísérletben.
Példa: Határozza meg a DSV X varianciáját - az A esemény előfordulásának számát 2 független kísérletben, ha az esemény bekövetkezésének valószínűsége ezekben a kísérletekben azonos, és ismert, hogy M(X) = 1,2.
Alkalmazzuk a 6.1.2. szakasz tételét:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Keresse meg p:
1,2 = 2∙p
p = 1,2/2
q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4
Határozzuk meg a diszperziót a következő képlettel:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Egy diszkrét valószínűségi változó szórása
Szórás Az X valószínűségi változót a variancia négyzetgyökének nevezzük.
(25)
Tétel. Véges számú, egymástól független valószínűségi változó összegének szórása megegyezik e változók szórásának négyzetes összegének négyzetgyökével.
6.1.6 Egy diszkrét valószínűségi változó módusa és mediánja
Divat M o DSV a valószínűségi változó legvalószínűbb értékét nevezzük (azaz azt az értéket, amelynek a legnagyobb a valószínűsége)
Medián M e DSV annak a valószínűségi változónak az értéke, amely az eloszlássorozatot felére osztja. Ha a valószínűségi változó értékeinek száma páros, akkor a mediánt a két átlagérték számtani középértékeként kapjuk meg.
Példa: DSW keresési módja és mediánja x:
| x | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Nekem = = 5,5
Előrehalad
1. Ismerkedjen meg jelen munka elméleti részével (előadások, tankönyv).
2. Végezze el a feladatot választása szerint!
3. Készítsen jelentést a munkáról.
4. Védje meg munkáját.
2. A munka célja.
3. A munka előrehaladása.
4. Döntés az Ön választásáról.
6.4 Az önálló munkavégzés feladatváltozatai
1. számú lehetőség
1. Határozza meg a DSV X eloszlási törvény által adott matematikai elvárását, szórást, szórását, módusát és mediánját!
| x | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Határozza meg egy Z valószínűségi változó matematikai elvárását, ha X és Y matematikai elvárása ismert: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y!
3. Határozza meg a DSV X varianciáját - az A esemény előfordulásának számát két független próbában, ha ezekben a kísérletekben az események bekövetkezési valószínűsége azonos, és ismert, hogy M (X) = 1.
4. Megadjuk egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek listáját x: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, és ennek a mennyiségnek és négyzetének matematikai elvárásai is ismertek: , . Keresse meg a lehetséges értékeknek megfelelő , , , valószínűségeket, és készítse el a DSW eloszlási törvényét.
2. számú lehetőség
| x | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Határozza meg egy Z valószínűségi változó matematikai elvárását, ha X és Y matematikai elvárása ismert: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y!
3. Határozzuk meg a DSV X varianciáját – az A esemény előfordulásának számát három független próbában, ha ezekben a kísérletekben az események bekövetkezésének valószínűsége azonos, és ismert, hogy M (X) = 0,9.
4. Adjuk meg egy X diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek listáját: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, és ennek a mennyiségnek és négyzetének matematikai elvárásai is ismertek: , . Keresse meg a lehetséges értékeknek megfelelő , , , valószínűségeket, és készítse el a DSW eloszlási törvényét.
3. számú lehetőség
1. Határozza meg a DSV X eloszlási törvény által adott matematikai elvárását, szórását és szórását!
| x | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Határozzuk meg egy Z valószínűségi változó matematikai elvárását, ha ismertek X és Y matematikai elvárásai: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y!
3. Határozza meg a DSV X varianciáját - az A esemény előfordulásának számát négy független próbában, ha ezekben a kísérletekben az események bekövetkezési valószínűsége azonos, és ismert, hogy M (x) = 1,2.
Mint már ismertük, az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót. Az elosztási törvény azonban gyakran ismeretlen, és az embernek kevesebb információra kell szorítkoznia. Néha még jövedelmezőbb olyan számokat használni, amelyek egy valószínűségi változót összesen írnak le; ilyen számokat hívnak egy valószínűségi változó numerikus jellemzői.
A matematikai elvárás az egyik fontos numerikus jellemző.
A matematikai elvárás megközelítőleg megegyezik egy valószínűségi változó átlagos értékével.
Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összege.
Ha egy valószínűségi változót véges eloszlási sorozat jellemez:
| x | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | 1. o | 2. o | 3. o | … | r p |
majd a matematikai elvárás M(X) képlet határozza meg:
A folytonos valószínűségi változó matematikai elvárását a következő egyenlőség határozza meg:
ahol a valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x.
4.7. példa. Határozza meg a kockadobáskor kieső pontok számának matematikai elvárását!
Megoldás:
Véletlenszerű érték x felveszi az 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékeket. Alkossuk meg eloszlásának törvényét:
| x | ||||||
| R |
Ekkor a matematikai elvárás:
A matematikai elvárás tulajdonságai:
1. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval:
M(S)=S.
2. Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:
M(CX) = CM(X).
3. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával:
M(XY) = M(X)M(Y).
4.8. példa. Független valószínűségi változók xÉs Y a következő elosztási törvények adják meg:
| x | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Határozzuk meg egy XY valószínűségi változó matematikai elvárását!
Megoldás.
Keressük meg az egyes mennyiségek matematikai elvárásait:
Véletlen változók xÉs Y független, tehát a kívánt matematikai elvárás:
M(XY)=M(X)M(Y)=
Következmény. Több egymástól független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik azok matematikai elvárásainak szorzatával.
4. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a feltételek matematikai elvárásainak összegével:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Következmény. Több valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a tagok matematikai elvárásainak összegével.
4.9. példa. 3 lövést adnak le, a cél eltalálásának valószínűsége egyenlő 1. o = 0,4; p2= 0,3 és 3. o= 0,6. Keresse meg az összes találat számának matematikai elvárását.
Megoldás.
Az első lövés találatainak száma véletlenszerű változó X 1, amely csak két értéket vehet fel: 1 (találat) valószínűséggel 1. o= 0,4 és 0 (kihagyás) valószínűséggel q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Az első lövés találatainak számának matematikai elvárása megegyezik az eltalálás valószínűségével:
Hasonlóan megtaláljuk a második és a harmadik felvétel találati számának matematikai elvárásait:
M(X 2)= 0,3 és M (X 3) \u003d 0,6.
A találatok teljes száma egy véletlenszerű változó is, amely a három kép mindegyikében elért találatok összegéből áll:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
A kívánt matematikai elvárás x a matematika tételével találjuk meg az összeg elvárását.
