Menu
domZdrowie

Znajdź liczbę trzech liczb. Wspólny dzielnik i wielokrotność

Największy wspólny dzielnik

Definicja 2

Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, wówczas $b$ nazywa się dzielnikiem $a$, a $a$ nazywa się wielokrotnością $b$.

Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczbę $c$ nazywa się wspólnym dzielnikiem zarówno $a$, jak i $b$.

Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników znajduje się największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$ i jest oznaczony następującą notacją:

$GCD\(a;b)\ lub \D\(a;b)$

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, potrzebujesz:

  1. Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1

Znajdź gcd liczb 121 $ i 132 $

    242 $ = 2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Wybierz liczby, które zostaną uwzględnione w rozwinięciu tych liczb

    242 $ = 2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

    $GCD=2\cdot 11=22$

Przykład 2

Znajdź gcd jednomianów $63$ i $81$.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:

    Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze

    63 $=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Wybieramy liczby, które wchodzą w rozwinięcie tych liczb

    63 $=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

    $GCD=3\cdot 3=9$

Można znaleźć gcd dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.

Przykład 3

Znajdź gcd liczb 48 $ i 60 $.

Rozwiązanie:

Znajdźmy zbiór dzielników liczby $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Znajdźmy teraz zbiór dzielników liczby $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - zbiór ten wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Oznacza to, że największy wspólny dzielnik liczb 48 $ i 60 $ wynosi 12 $.

Definicja NPL

Definicja 3

Wspólne wielokrotności liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.

Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które można podzielić przez liczby pierwotne bez reszty. Na przykład dla liczb 25 USD i 50 USD wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 USD itd.

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i będzie oznaczona LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$

Aby znaleźć LCM dwóch liczb, musisz:

  1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
  2. Zapisz czynniki wchodzące w skład pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki wchodzące w skład drugiej liczby i niebędące częścią pierwszej

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego

    Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

    99 $ = 3\cdot 3\cdot 11$

    Zapisz czynniki zawarte w pierwszym

    dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego, a nie pierwszego

    Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądaną najmniejszą wspólną wielokrotnością

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Kompilowanie list dzielników liczb jest często bardzo pracochłonnym zadaniem. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.

    Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:

    Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vdots b$, to $D(a;b)=b$

    Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b

Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie redukować rozważane liczby, aż otrzymamy parę takich liczb, że jedna z nich będzie podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$.

Właściwości GCD i LCM

  1. Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
  2. Jeśli $a\vdots b$ , to К$(a;b)=a$

    3. Jeżeli K$(a;b)=k$ i $m$ jest liczbą naturalną, to K$(am;bm)=km$

    Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$

    Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ zachodzi równość

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    Dowolny wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ jest dzielnikiem liczby $D(a;b)$

Ale wiele liczb naturalnych dzieli się także przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna przez całość (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A- jest liczbą naturalną dzielącą daną liczbę A bez śladu. Nazywa się liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .

Należy pamiętać, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Te liczby to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólnym dzielnikiem tych dwóch liczb A I B- jest to liczba, przez którą dzielone są obie podane liczby bez reszty A I B.

Wspólne wielokrotności kilka liczb to liczba, która jest podzielna przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są także ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich wspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywana jest najmniejszywspólna wielokrotność (CMM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych M I N jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności M I N. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, rz pokrywa się ze zbiorem wielokrotności LCM ( m, rz).

Asymptotykę można wyrazić w postaci niektórych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. I:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeżeli znany jest największy wspólny dzielnik, można wykorzystać jego połączenie z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

Gdzie p 1 ,...,p k- różne liczby pierwsze i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nieujemne liczby całkowite (mogą być zerami, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie występuje w rozwinięciu).

Następnie NOC ( A,B) oblicza się według wzoru:

Innymi słowy, rozkład LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze zawarte w co najmniej jednym z rozkładów liczb a, b, i przyjmuje się największy z dwóch wykładników tego mnożnika.

Przykład:

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozkłada liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największy rozkład (iloczyn czynników największej liczby podanych) na czynniki pożądanego iloczynu, a następnie dodać czynniki z rozkładu innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub w niej występują mniej razy;

— wynikowy iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Dowolne dwie lub więcej liczb naturalnych mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Do czynników pierwszych liczby 28 (2, 2, 7) dodaje się współczynnik 3 (liczba 21), wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Do czynników pierwszych największej liczby 30 dodaje się współczynnik 5 liczby 25, otrzymany iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), będący wielokrotnością wszystkich podanych liczb.

Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

Reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, należy pomnożyć wszystkie te liczby przez siebie.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) przedstaw każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapisz wszystkie pierwsze dzielniki (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te potęgi.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.


Zaprezentowany poniżej materiał stanowi logiczną kontynuację teorii z artykułu LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, powiązanie LCM z NWD. Tutaj będziemy rozmawiać znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), a szczególną uwagę poświęcimy rozwiązywaniu przykładów. Najpierw pokażemy, jak oblicza się LCM dwóch liczb za pomocą NWD tych liczb. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja strony.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i GCD. Istniejące połączenie między LCM i GCD pozwala nam obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych poprzez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła to LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Przyjrzyjmy się przykładom znajdowania LCM za pomocą podanego wzoru.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126, b=70. Skorzystajmy z związku pomiędzy LCM i NWD wyrażonego wzorem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb za pomocą zapisanego wzoru.

Znajdźmy NWD(126, 70) korzystając z algorytmu Euklidesa: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, zatem GCD(126, 70)=14.

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(126, 70)=126·70:NWD(126, 70)= 126·70:14=630.

Odpowiedź:

LCM(126, 70)=630 .

Przykład.

Ile wynosi LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Ponieważ 68 jest podzielne przez 34, wówczas NWD(68, 34)=34. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(68, 34)=68·34:NWD(68, 34)= 68.34:34=68.

Odpowiedź:

LCM(68, 34)=68.

Należy zauważyć, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli liczba a jest podzielna przez b, to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli ułożysz iloczyn ze wszystkich czynników pierwszych danych liczb, a następnie wykluczysz z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze występujące w rozkładach danych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności danych liczb .

Podana zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozszerzaniu liczb aib. Z kolei NWD(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co opisano w rozdziale o znajdowaniu NWD za pomocą rozwinięcia liczb na czynniki pierwsze).

Podajmy przykład. Powiedz nam, że 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Utwórzmy iloczyn ze wszystkich czynników tych rozwinięć: 2,3,3,5,5,5,7 . Teraz z tego iloczynu wykluczymy wszystkie czynniki występujące zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak i rozwinięciu liczby 210 (te czynniki to 3 i 5), wówczas iloczyn przyjmie postać 2,3,5,5,7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210, czyli NOC(75, 210)= 2,3,5,5,7=1050.

Przykład.

Rozłóż liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze i znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Utwórzmy teraz iloczyn ze wszystkich czynników biorących udział w rozwinięciu tych liczb: 2,2,3,3,5,5,7,7,7. Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik – jest to liczba 7): 2,2,3,3,5,5,7,7. Zatem, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Odpowiedź:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM za pomocą faktoryzacji liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b dodamy do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozkład na czynniki pierwsze wygląda następująco: 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210 i otrzymujemy iloczyn 2,3,5,5,7, którego wartość wynosi równe LCM(75, 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw uzyskujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Do czynników 2, 2, 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2, 3, 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 i otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7, co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiedź:

LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnijmy odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k, najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona poprzez kolejne obliczenie m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140, 9, 54 i 250.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Najpierw znajdujemy m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Aby to zrobić, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy NWD(140, 9), mamy 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dlatego NWD(140, 9)=1, skąd NWD(140, 9)=140 9:NWD(140, 9)= 140·9:1=1260. Oznacza to, że m 2 = 1 260.

Teraz znajdujemy m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Obliczmy to poprzez NWD(1 260, 54), które również wyznaczamy za pomocą algorytmu Euklidesa: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Wtedy gcd(1260, 54)=18, skąd gcd(1260, 54)= 1260·54:gcd(1260, 54)= 1260·54:18=3780. Oznacza to, że m 3 =3 780.

Pozostaje tylko znaleźć m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3,780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3,780=250·15+30, 250=30,8+10, 30=10,3. Zatem GCM(3780, 250)=10, skąd GCM(3780, 250)= 3 780 250: NWD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Oznacza to, że m 4 = 94 500.

Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb wynosi 94 500.

Odpowiedź:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

W wielu przypadkach wygodnie jest znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następującego wzoru: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia trzecia liczba jest dodawana do otrzymanych czynników i tak dalej.

Spójrzmy na przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z rozkładem na czynniki pierwsze) i 143=11·13.

Aby znaleźć LCM tych liczb, do współczynników pierwszej liczby 84 (są to 2, 2, 3 i 7), należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6. Rozkład liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozkładzie pierwszej liczby 84. Następnie do czynników 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 i otrzymujemy zbiór czynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7. W następnym kroku nie będzie potrzeby dodawania mnożników do tego zestawu, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do współczynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143. Otrzymujemy iloczyn 2,2,2,2,3,7,11,13, który jest równy 48,048.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność to kluczowe pojęcia arytmetyczne, dzięki którym praca z ułamkami nie wymaga wysiłku. LCM i są najczęściej używane do znalezienia wspólnego mianownika kilku ułamków.

Podstawowe koncepcje

Dzielnik liczby całkowitej X to inna liczba całkowita Y, przez którą X jest dzielone bez pozostawiania reszty. Na przykład dzielnik liczby 4 to 2, a 36 to 4, 6, 9. Wielokrotność liczby całkowitej X to liczba Y, która dzieli się przez X bez reszty. Na przykład 3 jest wielokrotnością 15, a 6 jest wielokrotnością 12.

Dla każdej pary liczb możemy znaleźć ich wspólne dzielniki i wielokrotności. Na przykład dla liczb 6 i 9 wspólna wielokrotność wynosi 18, a wspólny dzielnik wynosi 3. Oczywiście pary mogą mieć kilka dzielników i wielokrotności, dlatego w obliczeniach używany jest największy dzielnik GCD i najmniejsza wielokrotność LCM.

Najmniejszy dzielnik nie ma znaczenia, ponieważ dla dowolnej liczby jest zawsze jeden. Największa wielokrotność również jest bez znaczenia, ponieważ ciąg wielokrotności zmierza do nieskończoności.

Znalezienie gcd

Istnieje wiele metod znajdowania największego wspólnego dzielnika, z których najbardziej znane to:

  • sekwencyjne wyszukiwanie dzielników, wybór wspólnych dla pary i poszukiwanie największego z nich;
  • rozkład liczb na czynniki niepodzielne;
  • algorytm euklidesowy;
  • algorytm binarny.

Obecnie w placówkach oświatowych najpopularniejszymi metodami są rozkład na czynniki pierwsze i algorytm Euklidesa. To drugie z kolei wykorzystuje się przy rozwiązywaniu równań diofantyny: poszukiwanie NWD jest wymagane, aby sprawdzić równanie pod kątem możliwości rozwiązania w liczbach całkowitych.

Znalezienie NOC

Najmniejszą wspólną wielokrotność wyznacza się również poprzez wyszukiwanie sekwencyjne lub rozkład na niepodzielne czynniki. Ponadto łatwo jest znaleźć LCM, jeśli został już wyznaczony największy dzielnik. Dla liczb X i Y LCM i GCD są powiązane następującą zależnością:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na przykład, jeśli GCM(15,18) = 3, to LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbardziej oczywistym przykładem użycia LCM jest znalezienie wspólnego mianownika, który jest najmniejszą wspólną wielokrotnością dane ułamki.

Liczby względnie pierwsze

Jeśli para liczb nie ma wspólnych dzielników, wówczas taką parę nazywamy względnie pierwszą. Współczynnik gcd dla takich par jest zawsze równy jeden, a na podstawie połączenia między dzielnikami i wielokrotnościami, gcd dla par względnie pierwszych jest równy ich iloczynowi. Na przykład liczby 25 i 28 są względnie pierwsze, ponieważ nie mają wspólnych dzielników, a LCM(25, 28) = 700, co odpowiada ich iloczynowi. Każde dwie niepodzielne liczby zawsze będą względnie pierwsze.

Wspólny dzielnik i kalkulator wielokrotny

Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć GCD i LCM dla dowolnej liczby liczb do wyboru. Zadania dotyczące obliczania wspólnych dzielników i wielokrotności znajdują się w arytmetyce w piątej i szóstej klasie, ale GCD i LCM są kluczowymi pojęciami w matematyce i są wykorzystywane w teorii liczb, planimetrii i algebrze komunikacyjnej.

Przykłady z życia wzięte

Wspólny mianownik ułamków

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest używana przy znajdowaniu wspólnego mianownika wielu ułamków. Załóżmy, że w zadaniu arytmetycznym musisz zsumować 5 ułamków:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Aby dodać ułamki, wyrażenie należy sprowadzić do wspólnego mianownika, co sprowadza się do problemu znalezienia LCM. Aby to zrobić, wybierz 5 liczb w kalkulatorze i wprowadź wartości mianowników w odpowiednich komórkach. Program obliczy LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz dla każdego ułamka należy obliczyć dodatkowe współczynniki, które definiuje się jako stosunek LCM do mianownika. Zatem dodatkowe mnożniki będą wyglądać następująco:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Następnie mnożymy wszystkie ułamki przez odpowiedni dodatkowy współczynnik i otrzymujemy:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Możemy łatwo zsumować takie ułamki i otrzymać wynik 159/360. Zmniejszamy ułamek o 3 i widzimy ostateczną odpowiedź - 53/120.

Rozwiązywanie liniowych równań diofantyny

Liniowe równania diofantyny są wyrażeniami w postaci ax + by = d. Jeśli stosunek d / gcd(a, b) jest liczbą całkowitą, wówczas równanie można rozwiązać w liczbach całkowitych. Sprawdźmy kilka równań, aby zobaczyć, czy mają rozwiązanie w postaci liczb całkowitych. Najpierw sprawdźmy równanie 150x + 8y = 37. Używając kalkulatora, znajdujemy GCD (150,8) = 2. Podziel 37/2 = 18,5. Liczba nie jest liczbą całkowitą, dlatego równanie nie ma pierwiastków całkowitych.

Sprawdźmy równanie 1320x + 1760y = 10120. Użyj kalkulatora, aby znaleźć NWD(1320, 1760) = 440. Podziel 10120/440 = 23. W rezultacie otrzymamy liczbę całkowitą, zatem równanie diofantyny można rozwiązać przy użyciu współczynników całkowitych .

Wniosek

GCD i LCM odgrywają dużą rolę w teorii liczb, a same pojęcia są szeroko stosowane w wielu różnych obszarach matematyki. Skorzystaj z naszego kalkulatora, aby obliczyć największe dzielniki i najmniejsze wielokrotności dowolnej liczby liczb.

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dla dwóch lub dowolnej innej liczby liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i LCM

Znajdź GCD i LOC

Znaleziono GCD i LOC: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

  • Wprowadź liczby w polu wejściowym
  • Jeżeli wpiszesz nieprawidłowe znaki, pole wprowadzania zostanie podświetlone na czerwono
  • kliknij przycisk „Znajdź GCD i LOC”.

Jak wprowadzać liczby

  • Liczby wprowadza się oddzielając spacją, kropką lub przecinkiem
  • Długość wprowadzanych numerów nie jest ograniczona, więc znalezienie GCD i LCM długich liczb nie jest trudne

Co to są GCD i NOC?

Największy wspólny dzielnik kilka liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest skracany jako GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdą z liczb pierwotnych bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skracana jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez inną bez reszty, możesz skorzystać z niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie łącząc je, można sprawdzić podzielność niektórych z nich i ich kombinacji.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Test podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 2.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 - oznacza to, że liczba jest podzielna przez dwa.

2. Test podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez trzy. Zatem, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, należy obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest ona podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr jest bardzo duża, można powtórzyć ten sam proces jeszcze raz.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba ta jest podzielna przez trzy.

3. Test podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Test podzielności liczby przez 9
Znak ten jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba ta jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb

Jak znaleźć gcd dwóch liczb

Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największego.

Rozważmy tę metodę na przykładzie znalezienia NWD(28, 36):

  1. Rozkładamy na czynniki obie liczby: 28 = 1,2,2,7, 36 = 1,2,2,3,3
  2. Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
  3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 = 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwsza metoda polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie gcd tych liczb. Rozważmy tylko to.

Aby obliczyć LCM, należy obliczyć iloczyn liczb pierwotnych, a następnie podzielić go przez wcześniej znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych liczb 28 i 36:

  1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28,36 = 1008
  2. NWD(28, 36), jak już wiadomo, jest równe 4
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Znajdowanie GCD i LCM dla kilku liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Możesz także użyć poniższej relacji, aby znaleźć gcd kilku liczb: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy najmniejszej wspólnej wielokrotności: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla liczb 12, 32 i 36.

  1. Najpierw rozłóżmy liczby na czynniki: 12 = 1,2,2,3, 32 = 1,2,2,2,2,2, 36 = 1,2,2,3,3.
  2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2.
  3. Ich produkt da NWD: 1,2,2 = 4
  4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdźmy LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
  5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1,2 · 2 3 = 12.
  6. LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.