Konwersja wyrażeń. Szczegółowa teoria (2020)
(1) za m ⋅ za n = za m + n
Przykład:
$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) za m za n = za m - n
Przykład:
$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = za n ⋅ b n
Przykład:
$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n
Przykład:
$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = za m ⋅ n
Przykład:
$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a - n = 1 a n
Przykłady:
$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$
Właściwości pierwiastka kwadratowego:
(1) a b = a ⋅ b, dla a ≥ 0, b ≥ 0
Przykład:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b, dla a ≥ 0, b > 0
Przykład:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a, dla a ≥ 0
Przykład:
(4) za 2 = | | dla dowolnego A
Przykłady:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Liczby wymierne i niewymierne
Liczby wymierne – liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego m n gdzie m jest liczbą całkowitą (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n jest liczbą naturalną (ℕ = 1, 2, 3, 4 . ..).
Przykłady liczb wymiernych:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
Liczby niewymierne – liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego m n; są to nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne.
Przykłady liczb niewymiernych:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
Mówiąc najprościej, liczby niewymierne to liczby, które zawierają pierwiastek kwadratowy w swoim zapisie. Ale to nie jest takie proste. Niektóre liczby wymierne są maskowane jako liczby niewymierne, na przykład liczba 4 zawiera w swoim zapisie pierwiastek kwadratowy, ale doskonale zdajemy sobie sprawę, że możemy uprościć zapis do postaci 4 = 2. Oznacza to, że liczba 4 jest liczbą wymierną.
Podobnie liczba 4 81 = 4 81 = 2 9 jest liczbą wymierną.
Niektóre zadania wymagają określenia, które liczby są wymierne, a które niewymierne. Zadanie sprowadza się do zrozumienia, które liczby są niewymierne, a które pod ich postacią się udają. Aby to zrobić, musisz umieć wykonać operacje usunięcia mnożnika spod pierwiastka i wprowadzenia mnożnika pod pierwiastek.
Dodawanie i odejmowanie mnożnika poza znakiem pierwiastka kwadratowego
Przesuwając współczynnik poza pierwiastek kwadratowy, można znacznie uprościć niektóre wyrażenia matematyczne.
Przykład:
Uprość wyrażenie 2 8 2.
Metoda 1 (usunięcie mnożnika spod pierwiastka): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
Metoda 2 (wpisanie mnożnika pod pierwiastkiem): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Skrócone wzory na mnożenie (FSU)
Kwadrat sumy
(1) (a + b) 2 = za 2 + 2 za b + b 2
Przykład:
(3 x + 4 lata) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 lata + (4 lata) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Kwadratowa różnica
(2) (a - b) 2 = za 2 - 2 za b + b 2
Przykład:
(5 x - 2 r.) 2 = (5 x) 2 - 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 r. + (2 r.) 2 = 25 x 2 - 20 x r. + 4 r. 2
Suma kwadratów nie jest rozkładana na czynniki
Różnica kwadratów
(3) za 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
Przykład:
25 x 2 - 4 lata 2 = (5 x) 2 - (2 lata) 2 = (5 x - 2 lata) (5 x + 2 lata)
Sześcian sumy
(4) (a + b) 3 = za 3 + 3 za 2 b + 3 za b 2 + b 3
Przykład:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
Kostka różnicowa
(5) (a - b) 3 = za 3 - 3 za 2 b + 3 za b 2 - b 3
Przykład:
(x 2 - 2 lata) 3 = (x 2) 3 - 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 lata) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 lata) 2 - (2 lata) 3 = x 2 ⋅ 3 - 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 r. + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 r. 2 - 8 r. 3 = x 6 - 6 x 4 r. + 12 x 2 r. 2 - 8 r. 3
Suma kostek
(6) za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - za b + b 2)
Przykład:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 - 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 - 2 x + x 2)
Różnica kostek
(7) za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + za b + b 2)
Przykład:
x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 - 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Standardowy typ numeru
Aby zrozumieć, jak sprowadzić dowolną liczbę wymierną do postaci standardowej, musisz wiedzieć, jaka jest pierwsza znacząca cyfra liczby.
Pierwsza znacząca cyfra liczby nazwijmy to pierwszą niezerową cyfrą po lewej stronie.
Przykłady:
2 5 ; 3, 05; 0, 1 43; 0,00 1 2. Pierwsza znacząca cyfra jest podświetlona na czerwono.
Aby sprowadzić liczbę do postaci standardowej, należy:
- Przesuń przecinek tak, aby znajdował się bezpośrednio po pierwszej cyfrze znaczącej.
- Otrzymaną liczbę pomnóż przez 10 n, gdzie n jest liczbą zdefiniowaną w następujący sposób:
- n > 0, jeśli przecinek został przesunięty w lewo (mnożenie przez 10 n oznacza, że przecinek powinien faktycznie znajdować się dalej w prawo);
- N< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- wartość bezwzględna liczby n jest równa liczbie cyfr, o które przesunięto przecinek dziesiętny.
Przykłady:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Przecinek przesunął się w lewo o 1 miejsce. Ponieważ przesunięcie dziesiętne jest w lewo, stopień jest dodatni.
Został już przekonwertowany do postaci standardowej, nie musisz nic z nim robić. Można to zapisać jako 3,05 ⋅ 10 0, ale ponieważ 10 0 = 1, pozostawiamy liczbę w jej pierwotnej formie.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Przecinek przesunął się o 1 miejsce w prawo. Ponieważ przesunięcie dziesiętne jest w prawo, stopień jest ujemny.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Przecinek został przesunięty o trzy miejsca w prawo. Ponieważ przesunięcie dziesiętne jest w prawo, stopień jest ujemny.
Wyrażenie algebraiczne wyrażenie składające się z liter i cyfr połączonych znakami, służące do wykonywania operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, podnoszenia do potęgi całkowitej i wyodrębniania pierwiastka (wykładniki i pierwiastki muszą być liczbami stałymi). A.v. nazywa się wymiernym ze względu na niektóre zawarte w nim litery, jeśli nie zawiera ich pod znakiem ekstrakcji np. pierwiastka racjonalne ze względu na a, b i c. A.v. nazywana jest liczbą całkowitą w odniesieniu do niektórych liter, jeżeli nie zawiera podziału na wyrażenia zawierające te litery, np. 3a/c + bc 2 - 3ac/4
jest liczbą całkowitą w odniesieniu do a i b. Jeśli niektóre litery (lub wszystkie) są uważane za zmienne, to A.c. jest funkcją algebraiczną.
Wielka encyklopedia radziecka. - M .: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .
Zobacz, czym jest „wyrażenie algebraiczne” w innych słownikach:
Wyrażenie składające się z liter i cyfr połączonych znakami operacji algebraicznych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, ekstrakcja pierwiastka... Wielki słownik encyklopedyczny
wyrażenie algebraiczne- - Tematy przemysł naftowy i gazowy EN wyrażenie algebraiczne ... Przewodnik tłumacza technicznego
Wyrażenie algebraiczne to jedna lub więcej wielkości algebraicznych (cyfry i litery) połączonych znakami operacji algebraicznych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, a także pierwiastkowanie i podnoszenie do liczb całkowitych... ... Wikipedia
Wyrażenie składające się z liter i cyfr połączonych znakami operacji algebraicznych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, ekstrakcja pierwiastka. * * * WYRAŻENIE ALGEBRAICZNE WYRAŻENIE ALGEBRAICZNE, wyrażenie,... ... słownik encyklopedyczny
wyrażenie algebraiczne- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. wyrażenie algebraiczne vok. algebraischer Ausdruck, m rus. wyrażenie algebraiczne, n pranc. wyrażenie algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Wyrażenie składające się z liter i cyfr połączonych znakami algebraicznymi. operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, ekstrakcja pierwiastkowa... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny
Wyrażenie algebraiczne dla danej zmiennej, w przeciwieństwie do wyrażenia przestępnego, to wyrażenie, które nie zawiera innych funkcji danej wielkości, z wyjątkiem sum, iloczynów lub potęg tej wielkości oraz terminów... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efrona
WYRAŻENIE, wyrażenia, por. 1. Działanie z rozdz. ekspres ekspres. Nie znajduję słów, żeby wyrazić swoją wdzięczność. 2. częściej jednostki. Wcielenie idei w formy pewnego rodzaju sztuki (filozofii). Tylko wielki artysta może stworzyć taką ekspresję... ... Słownik wyjaśniający Uszakowa
Równanie powstałe w wyniku zrównania dwóch wyrażeń algebraicznych (zobacz wyrażenie algebraiczne). Au z jedną niewiadomą nazywa się ułamkiem ułamkowym, jeśli nieznana jest zawarta w mianowniku, i irracjonalnym, jeśli nieznana jest zawarta w ... ... Wielka encyklopedia radziecka
WYRAŻENIE- pierwotne pojęcie matematyczne, czyli zapis liter i cyfr połączonych znakami działań arytmetycznych, w którym można stosować nawiasy, oznaczenia funkcji itp.; Zwykle formuła składa się z milionów części. Istnieje B (1)… … Wielka encyklopedia politechniczna
Niektóre wyrażenia matematyczne możemy zapisać na różne sposoby. W zależności od naszych celów, czy mamy wystarczającą ilość danych itp. Wyrażenia numeryczne i algebraiczne Różnią się tym, że te pierwsze zapisujemy tylko jako liczby łączone znakami arytmetycznymi (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) i nawiasami.
Jeśli zamiast liczb wprowadzisz do wyrażenia litery łacińskie (zmienne), stanie się ono algebraiczne. Wyrażenia algebraiczne wykorzystują litery, cyfry, znaki dodawania i odejmowania, mnożenia i dzielenia. Można również użyć znaku pierwiastka, stopnia i nawiasów.
W każdym razie, niezależnie od tego, czy wyrażenie jest numeryczne, czy algebraiczne, nie może to być po prostu losowy zestaw znaków, cyfr i liter - musi mieć znaczenie. Oznacza to, że litery, cyfry, znaki muszą być połączone jakąś relacją. Poprawny przykład: 7x + 2: (y + 1). Zły przykład): + 7x - * 1.
Słowo „zmienna” zostało wspomniane powyżej – co ono oznacza? Jest to litera łacińska, zamiast której można zastąpić cyfrę. A jeśli mówimy o zmiennych, w tym przypadku wyrażenia algebraiczne można nazwać funkcją algebraiczną.
Zmienna może przyjmować różne wartości. Podstawiając w to miejsce jakąś liczbę, możemy znaleźć wartość wyrażenia algebraicznego dla tej konkretnej wartości zmiennej. Gdy wartość zmiennej jest inna, wartość wyrażenia będzie inna.
Jak rozwiązywać wyrażenia algebraiczne?
Aby obliczyć wartości, które musisz wykonać konwertowanie wyrażeń algebraicznych. W tym celu nadal musisz wziąć pod uwagę kilka zasad.
Po pierwsze, zakres wyrażeń algebraicznych obejmuje wszystkie możliwe wartości zmiennej, dla których wyrażenie może mieć sens. Co oznaczało? Na przykład nie można zastąpić wartości zmienną, która wymagałaby dzielenia przez zero. W wyrażeniu 1/(x – 2) należy wykluczyć 2 z dziedziny definicji.
Po drugie, pamiętaj, jak upraszczać wyrażenia: rozkładać je na czynniki, umieszczać identyczne zmienne w nawiasach itp. Na przykład: jeśli zamienisz warunki, suma się nie zmieni (y + x = x + y). Podobnie iloczyn nie ulegnie zmianie, jeśli zamienimy czynniki (x*y = y*x).
Ogólnie rzecz biorąc, doskonale nadają się do upraszczania wyrażeń algebraicznych. skrócone wzory na mnożenie. Ci, którzy jeszcze się ich nie nauczyli, zdecydowanie powinni to zrobić – nadal przydadzą się nie raz:
znajdujemy różnicę między zmiennymi do kwadratu: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);
znajdujemy sumę do kwadratu: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;
różnicę obliczamy do kwadratu: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;
sześcian sumy: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 lub (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
różnicę do sześcianu: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 lub (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);
znajdujemy sumę zmiennych w sześcianie: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);
obliczamy różnicę między zmiennymi w kostce: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);
używamy pierwiastków: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), a 1 i a 2 są pierwiastkami wyrażenia xa 2 + ua + z.
Powinieneś także znać rodzaje wyrażeń algebraicznych. Oni są:
racjonalne, a te z kolei dzielą się na:
liczby całkowite (nie ma podziału na zmienne, wyciągania pierwiastków ze zmiennych i podnoszenia do potęg ułamkowych): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b). Dziedziną definicji są wszystkie możliwe wartości zmiennych ;
ułamkowe (z wyjątkiem innych operacji matematycznych, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, w tych wyrażeniach są one dzielone przez zmienną i podnoszone do potęgi (z wykładnikiem naturalnym): (2/b - 3/a + c/4) 2. Dziedzina definicji - wszystkie wartości zmiennych, dla których wyrażenie nie jest równe zero;
irracjonalne - aby wyrażenie algebraiczne mogło zostać uznane za takie, musi polegać na podniesieniu zmiennych do potęgi z wykładnikiem ułamkowym i/lub wyjęciu pierwiastków ze zmiennych: √a + b 3/4. Dziedziną definicji są wszystkie wartości zmiennych, z wyjątkiem tych, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem potęgi parzystej lub pod potęgą ułamkową staje się liczbą ujemną.
Identyczne przekształcenia wyrażeń algebraicznych to kolejna przydatna technika ich rozwiązywania.Tożsamość to wyrażenie, które będzie prawdziwe dla wszystkich zmiennych zawartych w dziedzinie definicji, które zostaną do niej podstawione.
Wyrażenie zależne od niektórych zmiennych może być identycznie równe innemu wyrażeniu, jeśli zależy od tych samych zmiennych i jeśli wartości obu wyrażeń są równe, niezależnie od wybranych wartości zmiennych. Innymi słowy, jeśli wyrażenie można wyrazić na dwa różne sposoby (wyrażenia), których znaczenie jest takie samo, wyrażenia te są identycznie równe. Na przykład: y + y = 2y lub x 7 = x 4 * x 3 lub x + y + z = z + x + y.
Podczas wykonywania zadań z wyrażeniami algebraicznymi transformacja tożsamości ma na celu zapewnienie możliwości zastąpienia jednego wyrażenia innym, identycznym z nim. Na przykład zamień x 9 na iloczyn x 5 * x 4.
Przykłady rozwiązań
Aby było to jaśniejsze, spójrzmy na kilka przykładów. przekształcenia wyrażeń algebraicznych. Zadania tego poziomu można znaleźć w KIM-ach do egzaminu Unified State Exam.
Zadanie 1: Znajdź wartość wyrażenia ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).
Rozwiązanie: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.
Zadanie 2: Znajdź wartość wyrażenia (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).
Rozwiązanie: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3 )(2x + 3) = 6.
Wniosek
Przygotowując się do testów szkolnych, jednolitych egzaminów państwowych i egzaminów państwowych, zawsze możesz wykorzystać ten materiał jako wskazówkę. Należy pamiętać, że wyrażenie algebraiczne to kombinacja liczb i zmiennych wyrażonych literami łacińskimi. A także znaki operacji arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie), nawiasy, potęgi, pierwiastki.
Użyj skróconych wzorów na mnożenie i znajomości tożsamości, aby przekształcić wyrażenia algebraiczne.
Napisz nam swoje uwagi i życzenia w komentarzach - ważne jest, abyśmy wiedzieli, że nas czytasz.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
W publikacji przedstawiono logikę różnic w wyrażeniach algebraicznych dla uczniów szkół podstawowych ogólnokształcących i średnich (pełnych) ogólnokształcących jako etap przejściowy w kształtowaniu logiki różnic w wyrażeniach matematycznych stosowanych w fizyce itp. do dalszego kształtowania koncepcji zjawisk, zadań, ich klasyfikacji i metodologii ich rozwiązywania.
Pobierać:
Zapowiedź:
Wyrażenia algebraiczne i ich charakterystyka
© Skarzhinsky Y.Kh.
Algebra jako nauka bada wzorce działań na zbiorach oznaczonych literami.Operacje algebraiczne obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcję pierwiastkową.W wyniku tych działań powstały wyrażenia algebraiczne.Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie składające się z cyfr i liter oznaczających zbiory, na których wykonywane są operacje algebraiczne.Operacje te przeniesiono do algebry z arytmetyki. W algebrze rozważająprzyrównywanie jednego wyrażenia algebraicznego do drugiego, co jest ich identyczną równością. Przykłady wyrażeń algebraicznych podano w §1.Z arytmetyki zapożyczono także metody przekształceń i zależności między wyrażeniami. Znajomość arytmetycznych praw działań na wyrażeniach arytmetycznych pozwala na przeprowadzanie transformacji podobnych wyrażeń algebraicznych, przekształcanie ich, upraszczanie, porównywanie i analizowanie.Algebra to nauka o wzorach transformacji wyrażeń składających się ze zbiorów reprezentowanych w postaci symboli literowych, połączonych znakami różnych działań.W szkołach wyższych studiuje się również bardziej złożone wyrażenia algebraiczne. Na razie można je podzielić na typy najczęściej stosowane w szkolnym programie nauczania.
1 Rodzaje wyrażeń algebraicznych
klauzula 1 Proste wyrażenia: 4a; (a + b); (a + b)3c; ; .
klauzula 2 Identyczne równości:(a + b)c = ac + bc; ;
poz. 3 Nierówności: ac ; a + c .
poz. 4 Wzory: x=2a+5; y=3b; y=0,5d 2 +2;
pozycja 5 Proporcje:
Pierwszy poziom trudności
Drugi poziom trudności
Trzeci poziom trudnościz punktu widzenia poszukiwania wartości dla zbiorów
a, b, c, m, k, d:
Czwarty poziom trudnościz punktu widzenia poszukiwania wartości zbiorów a, y:
punkt 6 Równania:
topór+c = -5bx; 4x2 +2x= 42;
Itp.
klauzula 7 Zależności funkcjonalne: y=3x; y=topór 2 +4b; y=0,5x2+2;
Itp.
2 Rozważmy wyrażenia algebraiczne
2.1 W rozdziale 1 przedstawiono proste wyrażenia algebraiczne. Jest widok i
trudniejsze, np.:
Z reguły takie wyrażenia nie mają znaku „=”. Zadaniem przy rozważaniu takich wyrażeń jest ich przekształcenie i otrzymanie w uproszczonej formie. Przekształcając wyrażenie algebraiczne związane z krokiem 1, otrzymuje się nowe wyrażenie algebraiczne, które w swoim znaczeniu jest równoważne poprzedniemu. Mówi się, że takie wyrażenia są identycznie równoważne. Te. wyrażenie algebraiczne po lewej stronie znaku równości ma znaczenie równoważne wyrażeniu algebraicznemu po prawej stronie. W tym przypadku uzyskuje się wyrażenie algebraiczne nowego typu, zwane identyczną równością (patrz akapit 2).
2.2 W części 2 przedstawiono algebraiczne równości tożsamościowe, które powstają za pomocą metod transformacji algebraicznej, uważa się wyrażenia algebraiczne, które są najczęściej stosowane jako metody rozwiązywania problemów w fizyce. Przykłady identycznych równości przekształceń algebraicznych, często stosowanych w matematyce i fizyce:
Przemienne prawo dodawania: za + b = b + a.
Kombinacyjne prawo dodawania:(a + b) + do = a + (b + c).
Przemienne prawo mnożenia: ab = ba.
Kombinacyjne prawo mnożenia:(ab)c = a(bc).
Rozdzielne prawo mnożenia względem dodawania:
(a + b)c = ac + bc.
Rozdzielne prawo mnożenia względem odejmowania:
(a - b)c = ac - bc.
Identyczne równościułamkowe wyrażenia algebraiczne(zakładając, że mianowniki ułamków są niezerowe):
Identyczne równościwyrażenia algebraiczne z potęgami:
A) ,
gdzie (n razy, ) - stopień całkowity
b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2.
Identyczne równościwyrażenia algebraiczne z pierwiastkami n-ty stopień:
Wyrażenie - pierwiastek arytmetyczny N stopień spośród W szczególności, - kwadrat arytmetyczny.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym (racjonalnym).źródło:
Odpowiednie wyrażenia podane powyżej służą do przekształcania bardziej złożonych wyrażeń algebraicznych, które nie zawierają znaku „=”.
Rozważmy przykład, w którym do przekształcenia bardziej złożonego wyrażenia algebraicznego wykorzystujemy wiedzę zdobytą podczas przekształcania prostszych wyrażeń algebraicznych w postać identycznych równości.
2.3 Rozdział 3 przedstawia n. algebraiczne równość, dla których wyrażenie algebraiczne lewej strony nie jest równe prawej, tj. nie są identyczne. W tym przypadku są to nierówności. Z reguły przy rozwiązywaniu niektórych problemów fizyki ważne są właściwości nierówności:
1) Jeśli a, to dla dowolnego c: a + c .
2) Jeżeli i c > 0, następnie ac .
3) Jeśli i C , następnie ac > bс .
4) Jeżeli , a i b więc jeden znak 1/a > 1/b .
5) Jeżeli i C , następnie a + c , a - d .
6) Jeżeli , C , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, następnie ac .
7) Jeżeli , a > 0, b > 0, wówczas
8) Jeśli , to
2.4 W rozdziale 4 przedstawiono wzory algebraicznete. wyrażenia algebraiczne, w których po lewej stronie znaku równości znajduje się litera oznaczająca zbiór, którego wartość jest nieznana i należy ją wyznaczyć. A po prawej stronie znaku równości znajdują się zbiory, których wartości są znane. W tym przypadku to wyrażenie algebraiczne nazywa się formułą algebraiczną.
Wzór algebraiczny to wyrażenie algebraiczne zawierające znak równości, po lewej stronie którego znajduje się zbiór o nieznanej wartości, a po prawej stronie zbiory o znanych wartościach, w zależności od warunków zadania.Aby określić nieznaną wartość zbioru po lewej stronie znaku „równości”, znane wartości wielkości podstawia się po prawej stronie znaku „równości” i wykonuje arytmetyczne operacje obliczeniowe wskazane w wyrażeniu algebraicznym w ta część.
Przykład 1:
Biorąc pod uwagę: Rozwiązanie:
a=25 Niech będzie dane wyrażenie algebraiczne:
x=? x=2a+5.
To wyrażenie algebraiczne jest wzorem algebraicznym, ponieważ Na lewo od znaku równości znajduje się zbiór, którego wartość należy znaleźć, a na prawo zbiory o znanych wartościach.
Można zatem zastąpić zbiór „a” znaną wartością, aby wyznaczyć nieznaną wartość zbioru „x”:
x=2·25+5=55. Odpowiedź: x=55.
Przykład 2:
Biorąc pod uwagę: Rozwiązanie:
a=25 Wyrażenie algebraicznejest formuła.
b=4 Można zatem zastąpić znane
c=8 wartości dla zbiorów na prawo od znaku równości,
d=3 w celu ustalenia nieznanej wartości zbioru „k”,
m=20 stojąc po lewej stronie:
n=6 Odpowiedź: k=3,2.
PYTANIA
1 Co to jest wyrażenie algebraiczne?
2 Jakie znasz rodzaje wyrażeń algebraicznych?
3 Jakie wyrażenie algebraiczne nazywa się równością tożsamości?
4 Dlaczego konieczna jest znajomość wzorców równości tożsamości?
5 Jakie wyrażenie algebraiczne nazywa się formułą?
6 Jakie wyrażenie algebraiczne nazywa się równaniem?
7 Jakie wyrażenie algebraiczne nazywa się zależnością funkcjonalną?
Wyrażenia numeryczne i algebraiczne. Konwersja wyrażeń.
Co to jest wyrażenie w matematyce? Dlaczego potrzebujemy konwersji wyrażeń?
Pytanie, jak mówią, jest interesujące... Faktem jest, że pojęcia te stanowią podstawę wszelkiej matematyki. Cała matematyka składa się z wyrażeń i ich przekształceń. Niezbyt jasne? Pozwól mi wyjaśnić.
Powiedzmy, że masz przed sobą zły przykład. Bardzo duży i bardzo złożony. Załóżmy, że jesteś dobry z matematyki i niczego się nie boisz! Czy możesz udzielić odpowiedzi od razu?
Będziesz musiał decydować ten przykład. Konsekwentnie, krok po kroku, ten przykład uproszczać. Oczywiście według pewnych zasad. Te. Do konwersja wyrażeń. Im skuteczniej przeprowadzisz te przekształcenia, tym silniejszy będziesz w matematyce. Jeśli nie wiesz, jak wykonać właściwe przekształcenia, nie będziesz w stanie tego zrobić na matematyce. Nic...
Aby uniknąć tak niewygodnej przyszłości (lub teraźniejszości...), nie zaszkodzi zrozumieć ten temat.)
Najpierw dowiedzmy się co to jest wyrażenie w matematyce. Co się stało wyrażenie numeryczne i co jest wyrażenie algebraiczne.
Co to jest wyrażenie w matematyce?
Wyrażenie w matematyce– to bardzo szerokie pojęcie. Prawie wszystko, z czym mamy do czynienia w matematyce, jest zbiorem wyrażeń matematycznych. Wszelkie przykłady, wzory, ułamki, równania i tak dalej - to wszystko składa się z wyrażenia matematyczne.
3+2 to wyrażenie matematyczne. s 2 - d 2- to także wyrażenie matematyczne. Zarówno zdrowy ułamek, jak i jedna liczba są wyrażeniami matematycznymi. Na przykład równanie wygląda następująco:
5x + 2 = 12
składa się z dwóch wyrażeń matematycznych połączonych znakiem równości. Jedno wyrażenie znajduje się po lewej stronie, drugie po prawej.
Ogólnie rzecz biorąc, określenie „ wyrażenie matematyczne"jest używane najczęściej, żeby uniknąć muczenia. Zapytają Cię na przykład, co to jest ułamek zwykły? I jak odpowiedzieć?!
Pierwsza odpowiedź: „To jest... mmmmmm... coś takiego... w którym... Czy mogę napisać ułamek lepiej? Który chcesz?"
Odpowiedź druga: „Zwykły ułamek to (wesoło i radośnie!) wyrażenie matematyczne , który składa się z licznika i mianownika!”
Druga opcja będzie w jakiś sposób bardziej efektowna, prawda?)
Taki jest cel wyrażenia „ wyrażenie matematyczne „bardzo dobrze. Zarówno poprawne, jak i solidne. Ale do praktycznego zastosowania trzeba dobrze rozumieć specyficzne typy wyrażeń w matematyce .
Konkretny typ to inna sprawa. Ten To zupełnie inna sprawa! Każdy typ wyrażenia matematycznego ma kopalnia zbiór zasad i technik, które należy zastosować przy podejmowaniu decyzji. Do pracy z ułamkami - jeden zestaw. Do pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi - drugi. Do pracy z logarytmami - trzeci. I tak dalej. Gdzieś te zasady się pokrywają, gdzieś znacznie się różnią. Ale nie bój się tych strasznych słów. W odpowiednich sekcjach opanujemy logarytmy, trygonometrię i inne tajemnicze rzeczy.
Tutaj opanujemy (lub – powtórzmy, w zależności od kogo…) dwa główne typy wyrażeń matematycznych. Wyrażenia numeryczne i wyrażenia algebraiczne.
Wyrażenia numeryczne.
Co się stało wyrażenie numeryczne? Jest to bardzo prosta koncepcja. Już sama nazwa wskazuje, że jest to wyrażenie zawierające liczby. Tak właśnie jest. Wyrażenie matematyczne składające się z liczb, nawiasów i symboli arytmetycznych nazywa się wyrażeniem numerycznym.
7-3 to wyrażenie numeryczne.
(8+3,2) 5,4 jest także wyrażeniem liczbowym.
I ten potwór:
także wyrażenie numeryczne, tak...
Zwykła liczba, ułamek, dowolny przykład obliczenia bez X i innych liter – wszystko to są wyrażenia numeryczne.
Główny znak liczbowy wyrażenia - w nim żadnych liter. Nic. Tylko cyfry i symbole matematyczne (jeśli to konieczne). To proste, prawda?
A co można zrobić z wyrażeniami liczbowymi? Wyrażenia numeryczne zazwyczaj można policzyć. By to zrobić zdarza się, że trzeba otworzyć nawiasy, zmienić znaki, skrócić, zamienić terminy – czyli np. Do konwersje wyrażeń. Ale o tym poniżej.
Tutaj mamy do czynienia z takim zabawnym przypadkiem, gdy chodzi o wyrażenie liczbowe nie musisz nic robić. No cóż, zupełnie nic! Ta przyjemna operacja - Nic nie robić)- jest wykonywane, gdy wyrażenie nie ma sensu.
Kiedy wyrażenie liczbowe nie ma sensu?
Oczywiste jest, że jeśli zobaczymy przed sobą jakąś abrakadabrę, np
wtedy nic nie zrobimy. Ponieważ nie jest jasne, co z tym zrobić. Jakiś nonsens. Może policz plusy...
Ale są na pozór całkiem przyzwoite wyrażenia. Na przykład to:
(2+3): (16 - 2 8)
Jednak to wyrażenie również nie ma sensu! Z prostego powodu, że w drugim nawiasie – jeśli policzysz – otrzymasz zero. Ale nie możesz dzielić przez zero! Jest to operacja zabroniona w matematyce. Dlatego też z tym wyrażeniem nie trzeba nic robić. Dla każdego zadania z takim wyrażeniem odpowiedź będzie zawsze taka sama: „To wyrażenie nie ma znaczenia!”
Aby dać taką odpowiedź, musiałem oczywiście obliczyć, co będzie w nawiasach. A czasami w nawiasach jest mnóstwo rzeczy… Cóż, nic nie można na to poradzić.
W matematyce nie ma zbyt wielu zakazanych operacji. Jest tylko jeden w tym temacie. Dzielenie przez zero. Dodatkowe ograniczenia wynikające z pierwiastków i logarytmów omówiono w odpowiednich tematach.
A więc pomysł, co to jest wyrażenie numeryczne- dostał. Pojęcie wyrażenie numeryczne nie ma sensu- uświadomił sobie. Przejdźmy dalej.
Wyrażenia algebraiczne.
Jeśli w wyrażeniu liczbowym pojawią się litery, wyrażenie to stanie się... Wyrażenie stanie się... Tak! Staje się wyrażenie algebraiczne. Na przykład:
5a 2; 3x-2 lata; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Takie wyrażenia są również nazywane wyrażenia dosłowne. Lub wyrażenia ze zmiennymi. To praktycznie to samo. Wyrażenie 5a +c na przykład dosłowne i algebraiczne oraz wyrażenie ze zmiennymi.
Pojęcie wyrażenie algebraiczne - szersze niż numeryczne. To obejmuje i wszystkie wyrażenia numeryczne. Te. wyrażenie liczbowe jest również wyrażeniem algebraicznym, tylko bez liter. Każdy śledź to ryba, ale nie każda ryba to śledź...)
Dlaczego alfabetyczny- Jest jasne. No cóż, skoro są litery... Fraza wyrażenie ze zmiennymi To też nie jest zbyt zastanawiające. Jeśli rozumiesz, że pod literami ukryte są cyfry. Pod literami można ukryć wszelkiego rodzaju liczby... Oraz 5, -18 i wszystko inne. Oznacza to, że może być list zastępować dla różnych liczb. Dlatego właśnie nazywają się te litery zmienne.
W wyrazie y+5, Na przykład, Na- wartość zmienna. Albo po prostu mówią: „ zmienny", bez słowa „wielkość”. W przeciwieństwie do pięciu, które jest wartością stałą. Lub po prostu - stały.
Termin wyrażenie algebraiczne oznacza, że do pracy z tym wyrażeniem należy używać praw i reguł algebra. Jeśli arytmetyka działa zatem z określonymi liczbami algebra- ze wszystkimi numerami na raz. Prosty przykład dla wyjaśnienia.
W arytmetyce możemy to zapisać
Ale jeśli napiszemy taką równość za pomocą wyrażeń algebraicznych:
za + b = b + a
podejmiemy decyzję od razu Wszystko pytania. Dla wszystkie liczby udar mózgu. Za wszystko nieskończone. Bo pod literami A I B ukryty Wszystko liczby. I nie tylko liczby, ale nawet inne wyrażenia matematyczne. Tak działa algebra.
Kiedy wyrażenie algebraiczne nie ma sensu?
Wszystko w wyrażeniu liczbowym jest jasne. Nie można tam dzielić przez zero. A czy za pomocą liter można dowiedzieć się, według czego dzielimy?!
Weźmy na przykład to wyrażenie ze zmiennymi:
2: (A - 5)
Czy jest sens? Kto wie? A- Jakikolwiek numer...
Jakiekolwiek, dowolne... Ale znaczenie jest jedno A, dla którego to wyrażenie Dokładnie nie ma sensu! A co to za numer? Tak! To jest 5! Jeśli zmienna A zamień (mówią „zastąpić”) cyfrą 5, w nawiasach otrzymasz zero. Którego nie da się podzielić. Okazuje się więc, że nasze wyrażenie nie ma sensu, Jeśli a = 5. Ale dla innych wartości A Czy jest sens? Czy można zastąpić inne liczby?
Z pewnością. W takich przypadkach po prostu mówią, że wyrażenie
2: (A - 5)
ma sens dla dowolnych wartości A, z wyjątkiem a = 5 .
Cały zestaw liczb Móc nazywa się podstawienie do danego wyrażenia zakres akceptowalnych wartości to wyrażenie.
Jak widać, nie ma nic trudnego. Przyjrzyjmy się wyrażeniu ze zmiennymi i zastanówmy się: przy jakiej wartości zmiennej uzyskuje się zabronioną operację (dzielenie przez zero)?
A potem koniecznie spójrz na pytanie dotyczące zadania. O co pytają?
nie ma sensu, odpowiedzią będzie nasze zakazane znaczenie.
Jeśli zapytasz, przy jakiej wartości zmiennej wyrażenie ma znaczenie(poczuj różnicę!), odpowiedź będzie brzmiała wszystkie inne liczby z wyjątkiem tego, co zakazane.
Dlaczego potrzebujemy znaczenia wyrażenia? On tam jest, nie ma go... Jaka jest różnica?! Rzecz w tym, że to pojęcie staje się bardzo ważne w szkole średniej. Bardzo ważny! Na tym opierają się tak solidne pojęcia, jak dziedzina dopuszczalnych wartości czy dziedzina funkcji. Bez tego w ogóle nie będziesz w stanie rozwiązać poważnych równań ani nierówności. Lubię to.
Konwersja wyrażeń. Transformacje tożsamości.
Zapoznaliśmy się z wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi. Rozumieliśmy, co oznacza wyrażenie „wyrażenie nie ma znaczenia”. Teraz musimy dowiedzieć się, co to jest transformacja wyrażeń. Odpowiedź jest prosta, aż do hańby.) Jest to dowolne działanie posiadające wyraz. To wszystko. Robicie te przemiany od pierwszej klasy.
Weźmy fajne wyrażenie numeryczne 3+5. Jak można to przekonwertować? Tak, bardzo proste! Oblicz:
To obliczenie będzie transformacją wyrażenia. To samo wyrażenie możesz zapisać inaczej:
Tutaj w ogóle nic nie liczyliśmy. Właśnie zapisałem wyrażenie w innej formie. Będzie to również transformacja wyrażenia. Można to napisać w ten sposób:
To także jest przekształcenie wyrażenia. Możesz dokonać dowolnej liczby takich przekształceń.
Każdy działanie na ekspresję każdy zapisanie go w innej formie nazywa się przekształcaniem wyrażenia. I to wszystko. Wszystko jest bardzo proste. Ale jest tutaj jedna rzecz bardzo ważna zasada. Na tyle ważne, że można śmiało nazwać główna zasada cała matematyka. Złamanie tej zasady nieuchronnie prowadzi do błędów. Wchodzimy w to?)
Powiedzmy, że przekształciliśmy nasze wyrażenie w sposób przypadkowy, w ten sposób:
Konwersja? Z pewnością. Napisaliśmy wyrażenie w innej formie, co tu jest nie tak?
To nie tak.) Chodzi o to, że transformacje "losowo" w ogóle nie interesują się matematyką.) Cała matematyka opiera się na przekształceniach, w których zmienia się wygląd, ale istota wyrażenia się nie zmienia. Trzy plus pięć można zapisać w dowolnej formie, ale musi to być osiem.
Przekształcenia, wyrażenia, które nie zmieniają istoty są nazywane identyczny.
Dokładnie przemiany tożsamości i pozwól nam krok po kroku przekształcić złożony przykład w proste wyrażenie, zachowując przy tym istota przykładu. Jeśli popełnimy błąd w łańcuchu przekształceń, wykonamy NIE identyczną transformację, wtedy podejmiemy decyzję inny przykład. Z innymi odpowiedziami, które nie są powiązane z poprawnymi.)
Jest to główna zasada rozwiązywania wszelkich zadań: zachowanie tożsamości przekształceń.
Dla przejrzystości podałem przykład z wyrażeniem liczbowym 3+5. W wyrażeniach algebraicznych przekształcenia tożsamości są dane za pomocą wzorów i reguł. Powiedzmy, że w algebrze istnieje wzór:
a(b+c) = ab + ac
Oznacza to, że w dowolnym przykładzie możemy zamiast wyrażenia a(b+c)śmiało napisz wyrażenie ab + ak. I wzajemnie. Ten identyczna transformacja. Matematyka daje nam wybór pomiędzy tymi dwoma wyrażeniami. A który napisać, zależy od konkretnego przykładu.
Inny przykład. Jednym z najważniejszych i niezbędnych przekształceń jest podstawowa właściwość ułamka. Więcej szczegółów znajdziesz w linku, ale tutaj przypomnę tylko zasadę: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę lub wyrażenie, które nie jest równe zero, ułamek nie ulegnie zmianie. Oto przykład transformacji tożsamości przy użyciu tej właściwości:
Jak zapewne się domyślacie, łańcuch ten można ciągnąć w nieskończoność...) Bardzo ważna właściwość. To właśnie pozwala zamienić wszelkiego rodzaju przykładowe potwory w białe i puszyste.)
Istnieje wiele wzorów definiujących identyczne przekształcenia. Ale tych najważniejszych jest całkiem rozsądna liczba. Jednym z podstawowych przekształceń jest faktoryzacja. Jest stosowany w całej matematyce - od podstawowej do zaawansowanej. Zacznijmy od niego. Na następnej lekcji.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
