Postać algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej. Wykład na temat: „Postać trygonometryczna liczby zespolonej”

Wykład

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Plan

1.Geometryczne przedstawienie liczb zespolonych.

2.Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.

3. Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Geometryczna reprezentacja liczb zespolonych.

a) Liczby zespolone są reprezentowane przez punkty płaszczyzny zgodnie z następującą zasadą: A + bi = M ( A ; B ) (ryc. 1).

Obrazek 1

b) Liczbę zespoloną można przedstawić jako wektor rozpoczynający się w punkcieO i zakończyć w danym punkcie (ryc. 2).

Rysunek 2

Przykład 7. Punkty wykresu reprezentujące liczby zespolone:1; - I ; - 1 + I ; 2 – 3 I (ryc. 3).

Rysunek 3

Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.

Liczba zespolonaz = A + bi można ustawić za pomocą promienia - wektora ze współrzędnymi( A ; B ) (ryc. 4).

Rysunek 4

Definicja . Długość wektora reprezentujący liczbę zespolonąz , nazywa się modułem tej liczby i oznacza LubR .

Dla dowolnej liczby zespolonejz jego modułR = | z | jest określona jednoznacznie przez wzór .

Definicja . Wartość kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej a wektorem reprezentujący liczbę zespoloną nazywa się argumentem tej liczby zespolonej i oznaczaA rg z Lubφ .

Argument liczbowy zespolonyz = 0 nieokreślony. Argument liczbowy zespolonyz≠ 0 jest wielkością wielowartościową i jest określana aż do terminu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Argument z = argument z + 2πk , Gdzieargument z - główna wartość argumentu zawarta w przedziale(-π; π] , to jest-π < argument z ≤ π (czasami za główną wartość argumentu przyjmuje się wartość należącą do przedziału .

Ta formuła dlaR =1 często określany jako wzór De Moivre’a:

(cos φ + i sin φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Przykład 11 Oblicz(1 + I ) 100 .

Napiszmy liczbę zespoloną1 + I w postaci trygonometrycznej.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , grzech φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (sałata + grzeszę )] 100 = ( ) 100 (sałata 100 + grzeszę 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej.

Podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonejA + bi mamy dwa przypadki:

JeśliB > o , To ;

Działania na liczbach zespolonych zapisanych w formie algebraicznej

Postać algebraiczna liczby zespolonej z =(A,B).nazywa się wyrażeniem algebraicznym postaci

z = A + bi.

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych z 1 = za 1 +b 1 I I z 2 = za 2 +b 2 I, zapisane w formie algebraicznej, przeprowadza się w następujący sposób.

1. Suma (różnica) liczb zespolonych

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

te. dodawanie (odejmowanie) odbywa się zgodnie z zasadą dodawania wielomianów z redukcją wyrazów podobnych.

2. Iloczyn liczb zespolonych

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

te. mnożenie wykonuje się według zwykłej zasady mnożenia wielomianów, biorąc pod uwagę fakt, że I 2 = 1.

3. Podział dwóch liczb zespolonych przeprowadza się według następującej zasady:

, (z 2 ≠ 0),

te. dzielenie przeprowadza się poprzez pomnożenie dzielnej i dzielnika przez sprzężenie dzielnika.

Potęgowanie liczb zespolonych definiuje się w następujący sposób:

Łatwo to pokazać

Przykłady.

1. Znajdź sumę liczb zespolonych z 1 = 2 – I I z 2 = – 4 + 3I.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3I) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) I = –2+2I.

2. Znajdź iloczyn liczb zespolonych z 1 = 2 – 3I I z 2 = –4 + 5I.

= (2 – 3I) ∙ (–4 + 5I) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3I)+ 2∙5I– 3ja∙ 5ja = 7+22I.

3. Znajdź prywatny z z podziału z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – I.

z= .

4. Rozwiąż równanie:, X I y Î R.

(2x+y) + (x+y)ja = 2 + 3I.

Na mocy równości liczb zespolonych mamy:

Gdzie x=–1 , y= 4.

5. Oblicz: I 2 ,I 3 ,I 4 ,I 5 ,I 6 ,I -1 , I -2 .

6. Oblicz, czy .

.

7. Oblicz odwrotność liczby z=3-I.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej

złożona płaszczyzna nazywa się płaszczyzną o współrzędnych kartezjańskich ( x, y), jeśli każdy punkt o współrzędnych ( a, b) ma przypisaną liczbę zespoloną z = a + bi. W tym przypadku wywoływana jest oś odciętych prawdziwa oś, a oś Y wynosi wyimaginowany. Następnie każda liczba zespolona a+bi geometrycznie reprezentowane na płaszczyźnie jako punkt A (a, b) lub wektor .

Dlatego położenie punktu A(i stąd liczba zespolona z) można ustawić na podstawie długości wektora | | = R i kąt J utworzony przez wektor | | z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej. Nazywa się długość wektora moduł liczb zespolonych i jest oznaczony przez | z|=r i kąt J zwany argument liczbowy zespolony i oznaczone j = argz.

Jasne jest, że | z| ³ 0 i | z | = 0 Û z= 0.

Z rys. 2 to pokazuje.

Argument liczby zespolonej jest zdefiniowany niejednoznacznie i maksymalnie do 2 pk, kÎ Z.

Z rys. 2 pokazuje również, że jeśli z=a+bi I j=argz, To

sałata j =, grzech j =, tg j = .

Jeśli zOR I z > 0 wtedy argz = 0 +2pk;

Jeśli z ОR I z< 0 wtedy argz = p + 2pk;

Jeśli z= 0,argz nieokreślony.

Wartość główna argumentu jest wyznaczana w przedziale 0 £argz 2 funty P,

Lub -P£ arg z £ str.

Przykłady:

1. Znajdź moduł liczb zespolonych z 1 = 4 – 3I I z 2 = –2–2I.

2. Wyznacz na płaszczyźnie zespolonej obszary określone warunkami:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 funtów; 3) | z – (2+I) | 3 funty; 4) 6 funtów | z – I| 7 funtów.

Rozwiązania i odpowiedzi:

1) | z| = 5 Û Û jest równaniem okręgu o promieniu 5 i środku w początku.

2) Okrąg o promieniu 6, którego środek znajduje się w początku.

3) Okrąg o promieniu 3, którego środek znajduje się w punkcie z0 = 2 + I.

4) Pierścień ograniczony okręgami o promieniach 6 i 7, których środek znajduje się w jednym punkcie z 0 = I.

3. Znajdź moduł i argument liczb: 1) ; 2).

1) ; A = 1, B = Þ ,

Þ jot 1 = .

2) z 2 = –2 – 2I; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Uwaga: Definiując główny argument, użyj płaszczyzny zespolonej.

Zatem: z 1 = .

2) , R 2 = 1, jot 2 = , .

3) , R 3 = 1, jot 3 = , .

4) , R 4 = 1, j4 = , .

Aby określić położenie punktu na płaszczyźnie, możesz użyć współrzędnych biegunowych [g, (p), Gdzie G jest odległością punktu od początku, oraz (R- kąt, jaki tworzy promień - wektor tego punktu z dodatnim kierunkiem osi Oh. Dodatni kierunek zmiany kąta (R brany jest pod uwagę kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Korzystając z zależności między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi: x \u003d r cos cf, y \u003d r grzech (s,

otrzymujemy trygonometryczną postać liczby zespolonej

z - r(grzech (p + ja grzech

Gdzie G

Xi + y2, (p jest argumentem liczby zespolonej, którą można znaleźć z

lX . tak, tak

formuły cos(p --, sin^9 ​​​​= - lub z tego powodu, że tg(p --, (p-arctg

Należy pamiętać, że przy wyborze wartości Poślubić z ostatniego równania należy wziąć pod uwagę znaki x i y.

Przykład 47. Zapisz liczbę zespoloną w formie trygonometrycznej 2 \u003d -1 + l / Z / .

Rozwiązanie. Znajdź moduł i argument liczby zespolonej:

= yj 1 + 3 = 2 . Narożnik Poślubić znaleźć w relacjach ponieważ (str = -, grzech(p = - . Następnie

dostajemy cos(p = -,up

u/z g~

• - -. Oczywiście punkt z = -1 + V3-/ wynosi
• 2 Do 3

w drugim kwartale: (R= 120°

Zastępowanie

2 tys.. pałka; grzech

do wzoru (1) znaleziono 27G L

Komentarz. Argument liczby zespolonej nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale do wyrazu będącego wielokrotnością 14:00 Potem przez cn^r wyznaczyć

wartość argumentu zawarta w środku (str. 0 %2 Następnie

A) ^ r = + 2 tys.

Korzystając ze znanego wzoru Eulera e, otrzymujemy wykładniczą postać liczby zespolonej.

Mamy r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operacje na liczbach zespolonych

• 1. Suma dwóch liczb zespolonych r, = X] + y x/ i r 2 - x 2 + y 2 / wyznacza się według wzoru r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Operację odejmowania liczb zespolonych definiuje się jako operację odwrotną do dodawania. Liczba zespolona g \u003d g x - g 2, Jeśli sol 2 + g \u003d g x,

jest różnicą liczb zespolonych 2 i g 2 . Wtedy r = (x, - x 2) + (y, - Na 2) /.

• 3. Iloczyn dwóch liczb zespolonych g x= x, +y, -z i 2 2 = x 2+U2 g określa się ze wzoru
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Na1 Na2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

W szczególności, y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Możesz uzyskać wzory na mnożenie liczb zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej. Mamy:

• 1^ 2 - r x mi 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp2) + isin
• 4. Dzielenie liczb zespolonych definiuje się jako operację odwrotną

mnożenie, tj. numer G-- nazywa się ilorazem podziału r! na g 2,

Jeśli rx -1 2 ? 2 . Następnie

X + tі _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 mi

ja (r g

• - 1U e „(1 Fg) - I.sOї ((P - por. 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Podnoszenie liczby zespolonej do dodatniej potęgi całkowitej najlepiej wykonać, jeśli liczbę zapisano w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej.

Rzeczywiście, jeśli z = ge 1 wtedy

=(ge,) = r p mi t = G"(co8 psr + it gcr).

Formuła g” =r n (cosn(p+is n(p) nazywa się wzorem De Moivre’a.

6. Wyodrębnianie korzenia P- potęgę liczby zespolonej definiuje się jako odwrotną operację potęgowania p, p- 1,2,3,...tj. liczba zespolona = y[g zwany korzeniem P- stopień liczby zespolonej

d jeśli G = g x. Z tej definicji wynika, że g - g ”, A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, co wynika ze wzoru Moivre'a zapisanego dla liczby = r/*+ ippp(p).

Jak zauważono powyżej, argument liczby zespolonej nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale do wyrazu będącego wielokrotnością 2 I. Dlatego = (p + 2szt, oraz argument liczby r, w zależności od Do, oznaczać (str. do i buu

obliczę według wzoru (str. do= - + . To jasne, że istnieje P com-

numery pleksowe, P której potęga jest równa liczbie 2. Te liczby mają jeden

i ten sam moduł, równy r[r, a argumenty tych liczb uzyskuje się przez Do = 0, 1, P - 1. Zatem w formie trygonometrycznej pierwiastek i-tego stopnia oblicza się według wzoru:

(p+2kp . . por. + 2kp

, Do = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

oraz w formie wykładniczej - zgodnie ze wzorem l[r - y[rod. n

Przykład 48. Wykonuj operacje na liczbach zespolonych w formie algebraicznej:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Przykład 49. Podnieś liczbę r \u003d Uz - / do piątej potęgi.

Rozwiązanie. Otrzymujemy trygonometryczną formę zapisu liczby r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (S-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (tak sobie

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) „з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

Stąd O--, A r = 2

Moivre otrzymujemy: ja-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -NAS-- IBIP -

• --B/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Przykład 50 Znajdź wszystkie wartości

Rozwiązanie, r = 2, a Poślubić znaleźć z równania coy(p = -, zt--.

Ten punkt 1 - /d/z znajduje się w czwartej ćwiartce, tj. f =--. Następnie

• 1 - 2
• ( ( UG L

Wartości główne znajdują się na podstawie wyrażenia

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- i 81П-

Na Do - 0 mamy 2 0 = l/2

Możesz znaleźć wartości pierwiastka liczby 2, prezentując liczbę na wyświetlaczu

-* DO/ 3 + 2 klasa

Na Do= 1 mamy jeszcze jedną wartość pierwiastkową:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3. . H

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

z? - 7G + / 5Sh - I ”

l/3__t_

forma ciała. Ponieważ r= 2, za Poślubić= , wtedy r = 2е 3 , i y[g = r/2e 2