"संयोजन" विषय पर प्रस्तुति। "कॉम्बिनेटरिक्स: मूवमेंट्स, क्रमपरिवर्तन, संयोजन" विषय पर बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर एक पाठ के लिए प्रस्तुति, दोहराव के साथ संयोजन

"कॉम्बिनेटरिक्स समस्याएं" - कोई एक पुस्तक कितने तरीकों से चुन सकता है? एक जहाज के चालक दल का गठन कितने तरीकों से किया जा सकता है, जिसमें एक कमांडर और एक इंजीनियर शामिल होंगे? संयोजक। समस्या संख्या 2. के. जोड़ का नियम गुणन का नियम. योग नियम. हल: 30 + 40 = 70 (तरीके से)। कार्य क्रमांक 1. समस्या संख्या 3. I. मान लीजिए कि कमांडर पद के लिए तीन और इंजीनियर पद के लिए 2 उम्मीदवार हैं।

"तत्वों का प्लेसमेंट" - कॉम्बिनेटरिक्स। आवास। प्लेसमेंट और संयोजन. सूत्र: किसी भी प्राकृतिक संख्या n और k के लिए जहां n>k, समानताएं मान्य हैं: n डेटा से दो तत्वों के विकल्पों की संख्या के लिए: संयोजन। कॉम्बिनेटरिक्स में, n से k तक का संयोजन दिए गए n तत्वों से चुने गए k तत्वों का एक सेट है।

"सांख्यिकीय विशेषताएँ" - गणितीय आँकड़े, आदि। सांख्यिकीय अनुसंधान। 5. आँकड़े क्या हैं? 3. 9. अंकगणितीय माध्य रेंज मोड माध्यिका। अनुसंधान गतिविधियों के चरण. 2. 14. “झूठ तीन प्रकार के होते हैं: सामान्य झूठ, खुला झूठ और सांख्यिकीय झूठ। "

"संयोजन" - इसमें ए, बी, सी, डी अक्षर हैं। केवल दो अक्षरों के सभी संयोजन बनाएं। स्वतंत्र कार्य में 2 कार्य शामिल थे। समस्या को 13 छात्रों ने सही ढंग से हल किया था, और उदाहरण 17 था। 3 छात्र कार्य पूरा करने में असफल रहे। संयुक्त समस्याएँ. कार्य क्रमांक 1. कितने विद्यार्थियों ने स्वतंत्र कार्य को सफलतापूर्वक हल किया। इस कार्य को लिखने में 30 छात्र लगे।

"तत्वों का क्रमपरिवर्तन" - क्रमपरिवर्तन की शब्दावली गणना के लिए प्रत्यक्ष एल्गोरिदम। संयोजक। सबसे बड़ी बढ़ती परिणामी समस्या। सेट की नंबरिंग. एल्गोरिथम का औपचारिक विवरण. पुनर्व्यवस्था. क्रमपरिवर्तन की शब्दकोषीय गणना पर प्रमेय। क्रमपरिवर्तन की गणना. प्रारंभिक स्थानान्तरण द्वारा क्रमपरिवर्तन की गणना।

"कॉम्बिनेटरिक्स 9वीं कक्षा" - 30 प्रतिभागियों में से, बैठक को एक अध्यक्ष और सचिव चुनना होगा। समाधान: ए) 3! = 1 · 2 · 3 =6 बी) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. II. पदनाम: पी एन क्रमपरिवर्तन की गणना के लिए सूत्र: पी एन = ए6 10 =एन ·(एन -1) · (एन-2) · … · 3 · 2 · 1=एन! दूसरा समूह. पदनाम: संयोजनों की गणना के लिए सूत्र: *. उत्तर और समाधान. दूसरा समूह.

विषय में कुल 25 प्रस्तुतियाँ हैं

साहचर्य

पाठ मकसद:

• पता लगाएं कि कॉम्बिनेटरिक्स क्या अध्ययन करता है
• पता लगाएँ कि कॉम्बिनेटरिक्स का उदय कैसे हुआ
• कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का अध्ययन करें और जानें कि समस्याओं को हल करते समय उन्हें कैसे लागू किया जाए

गणित की एक शाखा के रूप में कॉम्बिनेटरिक्स का जन्म जुए के सिद्धांत पर ब्लेज़ पास्कल और पियरे फ़र्मेट के कार्यों से जुड़ा है।

ब्लेस पास्कल

पियरे फ़र्मेट

संयोजक विधियों के विकास में एक महान योगदान जी.वी. द्वारा दिया गया था। लीबनिज़, जे. बर्नौली और एल. यूलर।

जी.वी. लाइबनिट्स

एल. यूलर.

जे बर्नौली

लेम्मा. माना कि समुच्चय A में m तत्व हैं और समुच्चय B में n अवयव हैं। फिर सभी अलग-अलग जोड़ियों (a,b) की संख्या, जहां a\in A,b\in B, mn के बराबर होगी। सबूत। दरअसल, सेट ए से एक तत्व के साथ हम एन ऐसे अलग-अलग जोड़े बना सकते हैं, और कुल मिलाकर सेट ए में एम तत्व हैं।

प्लेसमेंट, क्रमपरिवर्तन, संयोजन आइए हमारे पास तीन तत्वों a,b,c का एक सेट है। हम इनमें से दो तत्वों का चयन किस प्रकार कर सकते हैं? एबी, एसी, बीसी, बीए, सीए, सीबी।

पुनर्व्यवस्था हम उन्हें हर संभव तरीके से पुनर्व्यवस्थित करेंगे (वस्तुओं की संख्या अपरिवर्तित रहती है, केवल उनका क्रम बदलता है)। परिणामी संयोजनों को क्रमपरिवर्तन कहा जाता है, और उनकी संख्या बराबर होती है पीएन = एन! =1 · 2 · 3 · ... · ( एन-1) एन

प्रतीक n! फैक्टोरियल कहा जाता है और 1 से n तक सभी पूर्णांकों के गुणनफल को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार ऐसा माना जाता है 0!=1 1!=1 n=3 वस्तुओं (विभिन्न आंकड़े) के सभी क्रमपरिवर्तन का एक उदाहरण चित्र में है। सूत्र के अनुसार, बिल्कुल P3=3!=1⋅2⋅3=6 होना चाहिए, और यही होता है।

जैसे-जैसे वस्तुओं की संख्या बढ़ती है, क्रमपरिवर्तन की संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है और उन्हें स्पष्ट रूप से चित्रित करना कठिन हो जाता है। उदाहरण के लिए, 10 वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या पहले से ही 3628800 है (3 मिलियन से अधिक!)

प्लेसमेंट मान लीजिए कि वहाँ n भिन्न-भिन्न वस्तुएँ हैं। हम उनमें से m वस्तुओं का चयन करेंगे और उन्हें सभी संभावित तरीकों से पुनर्व्यवस्थित करेंगे (अर्थात, चयनित वस्तुओं की संरचना और उनके क्रम में परिवर्तन दोनों)। परिणामी संयोजनों को m द्वारा n वस्तुओं का स्थान कहा जाता है, और उनकी संख्या होती है एⁿम =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

परिभाषा। n विभिन्न तत्वों के एक सेट को m तत्वों में रखकर (m ≤ एन) कहा जाता है युग्म , जो m तत्वों द्वारा दिए गए n तत्वों से बने होते हैं और या तो स्वयं तत्वों में या तत्वों के क्रम में भिन्न होते हैं।

युग्म मान लीजिए कि वहाँ n भिन्न-भिन्न वस्तुएँ हैं। हम हर संभव तरीके से उनमें से m वस्तुओं का चयन करेंगे (अर्थात, चयनित वस्तुओं की संरचना बदल जाती है, लेकिन क्रम महत्वपूर्ण नहीं है)। परिणामी संयोजनों को m द्वारा n वस्तुओं का संयोजन कहा जाता है, और उनकी संख्या होती है Cmn=n!(n−m)!⋅m!

m=2 द्वारा n=3 वस्तुओं (विभिन्न आंकड़े) के सभी संयोजनों का एक उदाहरण नीचे दी गई तस्वीर में है। सूत्र के अनुसार, बिल्कुल C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3 होना चाहिए। यह स्पष्ट है कि प्लेसमेंट की तुलना में हमेशा कम संयोजन होते हैं (क्योंकि ऑर्डर प्लेसमेंट के लिए महत्वपूर्ण है, लेकिन संयोजन के लिए नहीं), और विशेष रूप से एम में! समय, यानी, कनेक्शन सूत्र सही है: Amn=Cmn⋅Pm.

विधि 1. एक खेल में 2 लोग भाग ले रहे हैं, इसलिए, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि आप 15 में से 2 लोगों को कितने तरीकों से चुन सकते हैं, और ऐसी जोड़ियों में क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। आइए प्रत्येक m तत्वों के n विभिन्न तत्वों के संयोजनों (नमूने जो केवल संरचना में भिन्न हैं) की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , n=2, m=13 के साथ।

विधि 2.पहले खिलाड़ी ने 14 गेम खेले (दूसरा, तीसरा, चौथा और इसी तरह 15 तारीख तक), दूसरे खिलाड़ी ने 13 गेम खेले (तीसरा, चौथा, आदि 15 तारीख तक)। खैर, हम इस तथ्य को छोड़ देते हैं कि पहले से ही एक गेम था पहला), तीसरा खिलाड़ी - 12 गेम, चौथा - 11 गेम, 5 - 10 गेम, 6 - 9 गेम, 7 - 8 गेम, 8 - 7 गेम,

और 15वां पहले ही सबके साथ खेल चुका है।

कुल: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 खेल

उत्तर। 105 खेल.

गणित की शिक्षिका स्वेतलाना वेलेरिवेना अक्सेनोवा

बुग्रोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय, वसेवोलोज़स्क जिला, लेनिनग्राद क्षेत्र

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स्लाइड कैप्शन:

युग्म

संयोजन क्रम को ध्यान में रखे बिना m डेटा से n तत्वों के सभी चयनों की संख्या को n द्वारा m तत्वों के संयोजनों की संख्या कहा जाता है। सभी संयोजन कम से कम एक तत्व में एक दूसरे से भिन्न होते हैं; यहां तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है; संयोजन और व्यवस्था के बीच अंतर यह है कि यदि आप किसी व्यवस्था में तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो आपको एक अलग व्यवस्था मिलेगी, लेकिन संयोजन इसमें शामिल तत्वों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।

संयोजन क्रम को ध्यान में रखे बिना m डेटा से n तत्वों के सभी चयनों की संख्या को n द्वारा m तत्वों के संयोजनों की संख्या कहा जाता है। खोजें: 6 से 3 तक संयोजनों की संख्या: 4 से 4 तक संयोजनों की संख्या:

टास्क नंबर 1 20 छात्रों में से आपको दो ड्यूटी ऑफिसर चुनने होंगे। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है? समाधान: हमें 20 में से दो लोगों को चुनने की जरूरत है। यह स्पष्ट है कि कुछ भी पसंद के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, यानी इवानोव - पेट्रोव या पेट्रोव - इवानोव ड्यूटी अधिकारियों की एक ही जोड़ी हैं। इसलिए, ये 20 बटा 2 का संयोजन होगा।

कार्य क्रमांक 2. मिनोटौर में 25 कैदी भूलभुलैया में सड़ रहे हैं। क) वह कितने तरीकों से नाश्ते, दोपहर के भोजन और रात के खाने के लिए उनमें से तीन को चुन सकता है? ख) तीन बंदियों को रिहा करने के कितने तरीके हैं? समाधान: ए) ऑर्डर महत्वपूर्ण है. बी) आदेश महत्वपूर्ण नहीं है

टास्क नंबर 3 कक्षा में 27 छात्र हैं, उनमें से तीन का चयन करना होगा। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है यदि: ए) पहले छात्र को समस्या हल करनी चाहिए, दूसरे को चाक के लिए जाना चाहिए, तीसरे को भोजन कक्ष में ड्यूटी पर जाना चाहिए; ख) क्या उन्हें कोरस में गाना चाहिए? 6

ओलंपियाड में भाग लेने के लिए गणित क्लब के सात सदस्यों में से दो-दो की टीम कितने अलग-अलग तरीकों से बनाई जा सकती है? टास्क नंबर 4

टास्क नंबर 5 विभाग में 5 अग्रणी और 8 वरिष्ठ कर्मचारी हैं। दो अग्रणी और दो वरिष्ठ शोधकर्ताओं को व्यावसायिक यात्रा पर भेजा जाना चाहिए। कितने तरीकों से चुनाव किया जा सकता है?

36 पत्तों की एक गड्डी में से 4 पत्ते यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए सभी कार्ड इक्के हैं? समस्या #6

समस्या संख्या 7 50 भागों के एक बैच में, 10 दोषपूर्ण हैं। बैच से यादृच्छिक रूप से चार भाग निकाले जाते हैं। सभी 4 भागों के ख़राब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। कुल परिणाम: अनुकूल परिणाम: संभाव्यता।

पुनर्व्यवस्था प्लेसमेंट युग्म संभावना

नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय नंबर 30, वोल्गोग्राड

गणित शिक्षक स्केलेनोवा एन.आई.

कारख़ाने का

परिभाषा 1

भाज्य प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है

एन! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!= 1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

पुनर्व्यवस्था

परिभाषा 2

n तत्वों का क्रमपरिवर्तन इन तत्वों की प्रत्येक व्यवस्था को एक निश्चित क्रम में करना है पी=एन!

उदाहरण 1

अंतिम दौड़ में 8 प्रतिभागियों को कितने तरीकों से आठ ट्रेडमिल पर रखा जा सकता है?

आर 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320(तरीके)

प्लेसमेंट

परिभाषा 3

k (k≤ n) द्वारा n तत्वों की व्यवस्था कोई भी सेट है जिसमें दिए गए n तत्वों से एक निश्चित क्रम में लिए गए k तत्व शामिल होते हैं

उदाहरण 2

दूसरी कक्षा के छात्र 8 विषयों का अध्ययन करते हैं। आप कितने तरीकों से एक दिन के लिए शेड्यूल बना सकते हैं ताकि इसमें 4 अलग-अलग विषय शामिल हों?

ए 8 4 =8*7*6*5= 1680 (तरीके)

ए एन क =

युग्म

परिभाषा 4

K के n तत्वों का संयोजन दिए गए n तत्वों में से चुने गए k तत्वों से बना कोई भी सेट है

साथ एन क =

उदाहरण 3

पर्यटक समूह के 15 सदस्यों में से तीन ड्यूटी अधिकारियों का चयन किया जाना चाहिए। यह चुनाव कितने तरीकों से किया जा सकता है?

साथ 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455(तरीके)

संभावना

परिभाषा 5

किसी घटना A की प्रायिकता एक परीक्षण के अनुकूल परिणामों N(A) की संख्या और सभी समान रूप से संभावित परिणामों N की संख्या का अनुपात है

पी(ए)= एन(ए)/एन

उदाहरण 4

ज्यामिति में 25 परीक्षा पत्रों में से, छात्र ने 11 प्रथम और 8 अंतिम पेपर तैयार किए। इसकी क्या प्रायिकता है कि परीक्षा में उसे वह टिकट मिलेगा जो उसने तैयार नहीं किया था?

पी(ए)=(25-11-8)/25= 0,24

संभावनाओं का जोड़

परिभाषा 6

यदि घटना C का अर्थ है कि दो असंगत घटनाओं में से एक घटित होती है: A या B, तो घटना C की संभावना घटना A और B की संभावनाओं के योग के बराबर है

पी(सी)=पी(ए)+पी(बी)

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 होता है

पी(ए)+पी( ए )=1

संभावनाओं को गुणा करना

परिभाषा 7

यदि घटना C का अर्थ दो स्वतंत्र घटनाओं A और B की संयुक्त घटना है, तो घटना C की संभावना घटना A और B की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है

पी(सी)=पी(ए)*पी(बी)

संभावना

संभावनाओं का योग

दो घटनाओं की संभावनाओं का योग इन घटनाओं के उत्पाद की संभावना के योग और इन घटनाओं के योग की संभावना के बराबर है

पी(ए)+पी(बी)= पी(ए*बी) +पी(ए+बी)

राशि की संभावना

दो घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग और इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बीच के अंतर के बराबर है

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)-पी(ए)*पी(बी)

समस्या 1

समाधान

स्थिति

प्रत्येक की संभावना एचआईटीएस के बराबर 0,8.

एक बायैथलीट 5 बार लक्ष्य पर गोली चलाता है। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बायैथलीट ने पहले 3 बार लक्ष्य को मारा और अंतिम 2 बार चूक गया। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।

प्रत्येक की संभावना याद 1-0.8= के बराबर 0,2 .

संभाव्यता गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

पी(ए )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2

पी(ए )= 0,02048 0,02

उत्तर: 0.02

समस्या 2

स्थिति

समाधान

फेयरीटेल लैंड में दो प्रकार के मौसम होते हैं: अच्छा और उत्कृष्ट, और मौसम, एक बार सुबह में स्थापित होने के बाद, पूरे दिन अपरिवर्तित रहता है। यह ज्ञात है कि संभावना 0.6 के साथ कल का मौसम आज जैसा ही होगा। आज 18 सितंबर है, फेयरीटेल लैंड में मौसम अच्छा है। 21 सितंबर को फेयरीलैंड में मौसम अच्छा रहेगा इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

चूंकि 18 सितंबर को मौसम अच्छा है, तो 19 सितंबर को 0.6 की संभावना के साथ मौसम अच्छा है, और 0.4 की संभावना के साथ उत्कृष्ट है।

यदि 19 सितंबर को मौसम अच्छा है, तो 20 सितंबर को अच्छे मौसम की संभावना 0.6*0.6=0.36 है

उत्कृष्ट मौसम की संभावना 0.6*0.4=0.24 है

इसी प्रकार यदि 19 सितम्बर को मौसम उत्तम है तो 0.4*0.6=0.24 की सम्भावना के साथ 20 सितम्बर को उत्तम रहेगा। 20 सितंबर को अच्छे मौसम की संभावना 0.4*0.4=0.16 है।

इसी तरह तर्क करते हुए, हम पाते हैं कि 21 सितंबर को उत्कृष्ट मौसम की संभावना योग की संभावना के बराबर होगी: 0.6*0.24+ +0.6*0.24+0.4*0.16+0.6*0.24= 0,496

समस्या 3

स्थिति

समाधान

एक स्वचालित लाइन बैटरी का उत्पादन करती है। तैयार बैटरी के ख़राब होने की प्रायिकता 0.02 है। पैकेजिंग से पहले, प्रत्येक बैटरी एक नियंत्रण प्रणाली से गुजरती है। संभावना है कि सिस्टम दोषपूर्ण बैटरी को ब्लॉक कर देगा 0.98 है। संभावना है कि सिस्टम गलती से कार्यशील बैटरी को ब्लॉक कर देगा 0.03 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चयनित निर्मित बैटरी को नियंत्रण प्रणाली द्वारा अवरुद्ध कर दिया जाएगा।

मान लीजिए कि घटना A = (बैटरी अवरुद्ध हो जाएगी), तो इस घटना के घटित होने की संभावना को घटनाओं के प्रतिच्छेदन के मिलन के रूप में पाया जा सकता है।

पी(ए)=0.02*0.98+0.98*0.03

पी(ए)=0.98(0.02+0.03)

पी(ए)=0.98*0.05= 0,049

उत्तर: 0.049

साहित्य

• मकर्यचेव यू.एन. बीजगणित: सांख्यिकी के तत्व और संभाव्यता सिद्धांत: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए मैनुअल। संस्थाएँ। प्रकाशन गृह "प्रोस्वेशचेनिये", 2003

• मोर्दकोविच ए.जी., सेमेनोव पी.वी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. भाग 1. सामान्य शिक्षा संगठनों के लिए पाठ्यपुस्तक। प्रकाशन गृह "मेनेमोसिन", 2015

• लिसेंको एफ.एफ., कुलबुखोवा एस.यू. अंक शास्त्र। एकीकृत राज्य परीक्षा 2016 की तैयारी। प्रकाशन गृह "लीजन" एलएलसी, 2015

• वायसोस्की आई.आर., यशचेंको आई.वी. एकीकृत राज्य परीक्षा 2016। गणित। सिद्धांत संभावना। कार्यपुस्तिका. प्रकाशन गृह एमसीएनएमओ, 2016

1. संगठनात्मक क्षण
छात्रों का अभिवादन करना, पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में बताना
2. कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन
· गृहकार्य पर प्रश्नों के उत्तर (अनसुलझी समस्याओं का विश्लेषण)।
· सामग्री के आत्मसात की निगरानी (लिखित सर्वेक्षण)।
विकल्प 1
1. एक विश्वसनीय घटना और उसकी संभाव्यता।
2. क) एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 7 अंक होंगे। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।
बी) जिम्नास्टिक चैंपियनशिप में 40 एथलीट भाग ले रहे हैं: 12 अर्जेंटीना से, 9 ब्राजील से, बाकी पराग्वे से। जिमनास्टों के प्रदर्शन का क्रम लॉटरी द्वारा निर्धारित होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रथम प्रतिस्पर्धा करने वाला एथलीट पराग्वे से है।
ग) औसतन बेचे गए 500 उद्यान पंपों में से 4 में रिसाव होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नियंत्रण के लिए यादृच्छिक रूप से चयनित एक पंप से रिसाव न हो।
विकल्प 2
1. असंभव घटना और उसकी संभावना.
2. क) एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 9 अंक होंगे। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।
बी) जिम्नास्टिक चैंपियनशिप में 64 एथलीट भाग ले रहे हैं: 20 जापान से, 28 चीन से, बाकी कोरिया से। जिमनास्टों के प्रदर्शन का क्रम लॉटरी द्वारा निर्धारित होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रथम प्रतिस्पर्धा करने वाला एथलीट कोरिया से है।
ग) फैक्ट्री बैग बनाती है। औसतन, प्रत्येक 170 गुणवत्ता वाले बैगों के लिए, छिपे हुए दोषों वाले छह बैग होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया बैग उच्च गुणवत्ता का होगा। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।

उत्तर: विकल्प 1. 2. ए) 0.17; बी) 0.475; ग) 0.992.
विकल्प 2. 2. ए) 0.11; बी) 0.25; ग) 0.97.
3. नई सामग्री सीखना
कक्षा को समूहों में विभाजित किया गया था जो जानकारी एकत्र करते थे, संकलित करते थे और अपने काम के परिणामों को कक्षा में प्रस्तुत करते थे (छात्र अपने काम के परिणाम प्रस्तुत करते थे)।
1 समूह(कॉम्बिनेटरिक्स के विज्ञान के उद्भव में किन कारकों (कारणों) ने योगदान दिया, इसके बारे में जानकारी प्राप्त करें, कौन से वैज्ञानिक इसके उद्भव के मूल में थे)।
दूसरा समूह(इस बारे में जानकारी प्राप्त करें कि क्या कॉम्बिनेटरिक्स वास्तविक जीवन में मौजूद है, और यदि हां, तो इसका उपयोग किन उद्योगों में किया जाता है)।

3 समूह (इस बारे में जानकारी प्राप्त करें कि किन समस्याओं को कॉम्बिनेटोरियल कहा जाता है और उन्हें कैसे हल किया जा सकता है, प्रत्येक समाधान विधि पर विचार करें और एक विशिष्ट विधि द्वारा हल की गई कई समस्याओं का चयन करें)।
3.1. 1 समूह.
विभिन्न प्रकार की विशिष्टताओं के प्रतिनिधियों को उन समस्याओं को हल करना होता है जिनमें अक्षरों, संख्याओं और अन्य वस्तुओं से बने कुछ संयोजन शामिल होते हैं।
सबसे सरल संभाव्य समस्याओं पर विचार करते समय, हमें विभिन्न परिणामों (संयोजनों) की संख्या की गणना करनी थी। कम संख्या में तत्वों के लिए ऐसी गणनाएँ करना आसान है। अन्यथा, ऐसा कार्य एक महत्वपूर्ण कठिनाई उत्पन्न करता है। (स्लाइड 1)

साहचर्यगणित की एक शाखा है जो दिए गए तत्वों से बनाए जा सकने वाले विभिन्न संयोजनों (कुछ शर्तों को पूरा करने वाले) की संख्या के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करती है।
साहचर्य- गणित की एक शाखा जिसमें सबसे सरल "कनेक्शन" का अध्ययन किया जाता है। क्रमपरिवर्तन ऐसे यौगिक हैं जो n वस्तुओं से बने हो सकते हैं, उनके क्रम को सभी संभावित तरीकों से बदल सकते हैं; उनके प्लेसमेंट की संख्या - दी गई संख्या n से m ऑब्जेक्ट वाले यौगिक, या तो ऑब्जेक्ट के क्रम में या स्वयं ऑब्जेक्ट में भिन्न होते हैं; उनकी संख्या संयोजन - n में से m आइटम वाले यौगिक, कम से कम एक आइटम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं (आधुनिक व्याख्यात्मक शब्दकोश में, "बिग सोवियत इनसाइक्लोपीडिया" द्वारा प्रकाशित)।
लोगों को ऐसी समस्याओं का सामना करना पड़ा जिसमें उन्हें कुछ वस्तुओं को चुनना था, उन्हें एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करना था और प्रागैतिहासिक युग में विभिन्न व्यवस्थाओं में से सर्वश्रेष्ठ को ढूंढना था, शिकार के दौरान शिकारियों के लिए सबसे अच्छी स्थिति का चयन करना था, युद्ध के दौरान योद्धाओं के लिए, काम के दौरान औजारों के लिए। . (स्लाइड 2)

· शब्द "कॉम्बिनेटरिक्स" को गणितीय उपयोग में लाइबनिज़ द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने 1666 में अपना काम "संयोजन की कला पर प्रवचन" प्रकाशित किया था। (स्लाइड 3)
· कॉम्बिनेटरिक्स मूल रूप से उत्पन्न हुआ XVI विभिन्न जुआ खेलों के प्रसार के संबंध में। (स्लाइड 4)
…
3.1. दूसरा समूह.(स्लाइड 1)
यह उल्लेखनीय है कि जो विज्ञान जुए के विचार से शुरू हुआ वह मानव ज्ञान का सबसे महत्वपूर्ण उद्देश्य बनने का वादा करता है। आख़िरकार, जीवन के अधिकांश प्रश्न वास्तव में संभाव्यता सिद्धांत की समस्याएँ हैं।
पी. लाप्लास

कॉम्बिनेटरिक्स के अनुप्रयोग के क्षेत्र:
. शैक्षणिक संस्थान (शेड्यूलिंग) (स्लाइड 2)
. खानपान उद्योग (मेनू योजना)
. भाषाविज्ञान (अक्षर संयोजनों के विकल्पों पर विचार)
. भूगोल (मानचित्र रंग) (स्लाइड 3)
…
…
3.1. 3 समूह
वे समस्याएँ जिनमें वस्तुओं के कुछ निश्चित संयोजन शामिल होते हैं, कहलाती हैं संयोजक.(स्लाइड 1)
अतिरिक्त नियम: यदि कुछ वस्तु A का चयन किया जा सकता हैएम तरीके, और अन्य ऑब्जेक्ट बी का चयन किया जा सकता हैएन तरीके, तो विकल्प "या तो ए या बी" बनाया जा सकता हैएम + एन तरीके।
(स्लाइड 2)
उदाहरण के लिए:
· एक प्लेट में 5 सेब और 4 संतरे हैं। आप एक फल को कितने प्रकार से चुन सकते हैं?
समस्या की स्थिति के अनुसार, एक सेब को पांच तरीकों से चुना जा सकता है, एक संतरे को चार तरीकों से। चूँकि समस्या "या तो एक सेब या एक संतरा" चुनने की है, तो, जोड़ नियम के अनुसार, इसे 5 + 4 = 9 तरीकों से किया जा सकता है।
· आइए इस समस्या को देखें: अंक 1,4,7 से कितनी दो अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जिनमें से प्रत्येक का संख्या लिखने में एक से अधिक बार उपयोग नहीं किया जा सकता है? (स्लाइड 3)
· समाधान: कोई भी संख्या छूटने या दोहराने से बचने के लिए, हम उन्हें आरोही क्रम में लिखेंगे। पहले हम संख्या 1 से शुरू होने वाली संख्याएँ लिखते हैं, फिर संख्या 4 से, और अंत में संख्या 7 से:
14, 17, 41, 47, 71, 74.
उत्तर: 6.
इस विधि को कहा जाता है विकल्पों की गणना.इस प्रकार, इन तीन अंकों से कुल 6 अलग-अलग दो अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।
इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है. उसका नाम - संभावित विकल्पों का वृक्ष.इस कार्य के लिए एक विशेष सर्किट बनाया गया है। (स्लाइड 4) (स्लाइड 5)
हम एक तारांकन चिह्न लगाते हैं. यह संभावित विकल्पों की संख्या बताएगा.
अगला, हम तारांकन से 3 खंड लेते हैं। समस्या कथन में 3 संख्याएँ दी गई हैं - 1, 4, 7.
हम इन नंबरों को खंडों के अंत में रखते हैं। वे किसी दी गई संख्या में दहाई की संख्या दर्शाएंगे।
इसके बाद, हम प्रत्येक संख्या से 2 खंड बनाते हैं।
इन खंडों के अंत में हम संख्याएँ 1, 4, 7 भी लिखते हैं। वे इकाइयों की संख्या का संकेत देंगे।
आइए देखें कि हमें कितनी संख्याएँ मिलीं: 14, 17, 41, 47, 71, 74। यानी हमें कुल मिलाकर 6 संख्याएँ मिलीं।
उत्तर: 6.

यह आरेख वास्तव में एक पेड़ जैसा दिखता है, यद्यपि "उल्टा" और बिना तने के।
गुणन नियम: यदि ऑब्जेक्ट ए का चयन किया जा सकता है एम तरीकों और यदि ऐसी प्रत्येक पसंद के बाद वस्तु बी को एन तरीकों से चुना जा सकता है, तो निर्दिष्ट क्रम में जोड़ी (ए, बी) का चयन किया जा सकता है म∙एन तौर तरीकों। (स्लाइड 6)
· अंक 1,4,7 से कितनी दो अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक से अधिक बार उपयोग नहीं किया जा सकता है?
संभावित विकल्पों का समूह बनाए बिना, इस समस्या को अलग ढंग से और बहुत तेजी से हल किया जा सकता है। आइए ऐसे सोचें. दो अंकों की संख्या का पहला अंक तीन प्रकार से चुना जा सकता है। चूंकि पहला अंक चुनने के बाद दो अंक बचेंगे, इसलिए शेष अंकों में से दूसरा अंक दो तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, आवश्यक तीन अंकों की संख्याओं की कुल संख्या उत्पाद 3∙2 के बराबर है, अर्थात। 6.
· संख्या 5, 9, 0, 6 से पाँच अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

गुणन नियम के अनुसार हमें प्राप्त होता है: 4∙4∙4∙4=256 संख्याएँ।
(स्लाइड 7)
पुनर्व्यवस्था -कनेक्शन, जिनमें से प्रत्येक में शामिल हैएन विभिन्न तत्वों को एक निश्चित क्रम में लिया गया। (स्लाइड 8)
पीएन=एन! = 1 · 2 · 3 · … · (एन -2) · (एन -1) · एन
काम।(स्लाइड 9)
एक शेल्फ पर सात अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
समाधान:
ऐसे तरीकों की संख्या सात तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है,
वे। पी 7 = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = 5040.
उत्तर: 5040.
काम।(स्लाइड 10)
10 अलग-अलग पुस्तकें हैं, जिनमें से तीन संदर्भ पुस्तकें हैं। कितने तरीकों से
क्या इन पुस्तकों को एक शेल्फ पर व्यवस्थित करना संभव है ताकि सभी संदर्भ पुस्तकें एक-दूसरे के बगल में हों?
समाधान:
क्योंकि यदि सन्दर्भ पुस्तकें एक साथ खड़ी हों तो हम उन्हें एक ही पुस्तक मानेंगे। फिर आपको शेल्फ पर 10 किताबें व्यवस्थित करनी होंगी - 3+1=8 किताबें। यह किया जा सकता हैपी 8 तौर तरीकों। प्रत्येक परिणामी संयोजन के लिए आप ऐसा कर सकते हैंपी 3 निर्देशिका पुनर्व्यवस्था.
इसलिए, शेल्फ पर पुस्तकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या उत्पाद के बराबर है:
पी 8 पी 3 = 8! ·3! = 40320 · 6 =241920.
उत्तर: 241920.
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