गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है। यादृच्छिक चर

जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है। हालाँकि, वितरण कानून अक्सर अज्ञात होता है और व्यक्ति को स्वयं को कम जानकारी तक सीमित रखना पड़ता है। कभी-कभी उन संख्याओं का उपयोग करना और भी अधिक लाभदायक होता है जो कुल मिलाकर एक यादृच्छिक चर का वर्णन करते हैं; ऐसे नंबरों को कॉल किया जाता है एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ.

गणितीय अपेक्षा महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य के लगभग बराबर है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाइसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

यदि एक यादृच्छिक चर को एक परिमित वितरण श्रृंखला द्वारा चित्रित किया जाता है:

एक्स	एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	…	एक्स एन
आर	पी 1	पी 2	पी 3	…	आर पी

फिर गणितीय अपेक्षा एम(एक्स)सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समानता द्वारा निर्धारित की जाती है:

यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व कहां है एक्स.

उदाहरण 4.7.एक पासा फेंकने पर निकलने वाले अंकों की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यादृच्छिक मूल्य एक्समान 1, 2, 3, 4, 5, 6 लेता है। आइए इसके वितरण का नियम बनाएं:

एक्स
आर

तब गणितीय अपेक्षा है:

गणितीय अपेक्षा के गुण:

1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(एस)=एस.

2. स्थिर कारक को अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

एम(सीएक्स) = सीएम(एक्स)।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

एम(एक्सवाई) = एम(एक्स)एम(वाई).

उदाहरण 4.8. स्वतंत्र यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

एक्स					वाई
आर	0,6	0,1	0,3		आर	0,8	0,2

एक यादृच्छिक चर XY की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान.

आइए इनमें से प्रत्येक मात्रा की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात करें:

यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईस्वतंत्र, इसलिए वांछित गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्सवाई) = एम(एक्स)एम(वाई)=

परिणाम।कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

एम(एक्स + वाई) = एम(एक्स) + एम(वाई).

परिणाम।कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

उदाहरण 4.9.लक्ष्य पर प्रहार करने की संभावनाओं के बराबर 3 गोलियाँ चलाई जाती हैं पी 1 = 0,4; पी2= 0.3 और पी 3= 0.6. हिट की कुल संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान।

पहले शॉट पर हिट की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स 1, जो संभाव्यता के साथ केवल दो मान ले सकता है: 1 (हिट)। पी 1= 0.4 और 0 (मिस) प्रायिकता के साथ प्रश्न 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

पहले शॉट में हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा हिट की संभावना के बराबर है:

इसी प्रकार, हम दूसरे और तीसरे शॉट में हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षाएँ पाते हैं:

एम(एक्स 2)= 0.3 और एम (एक्स 3) = 0,6.

हिट की कुल संख्या भी एक यादृच्छिक चर है जिसमें तीन शॉट्स में से प्रत्येक में हिट का योग शामिल है:

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3।

वांछित गणितीय अपेक्षा एक्सहम गणितीय प्रमेय द्वारा योग की अपेक्षा ज्ञात करते हैं।

प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य पूरी तरह से उसके वितरण कार्य द्वारा निर्धारित होता है। इसके अलावा, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, कई संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है, जिसके लिए यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताओं को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करना संभव हो जाता है।

ये मात्राएँ मुख्यतः हैं अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव .

अपेक्षित मूल्य- संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य। के रूप में नामित ।

सबसे सरल तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स(डब्ल्यू), के रूप में पाए जाते हैं अभिन्नलेब्सग्यूसंभाव्यता माप के संबंध में आर मूल संभाव्यता स्थान

आप किसी मान की गणितीय अपेक्षा भी पा सकते हैं लेब्सग इंटीग्रलसे एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा आर एक्समात्रा एक्स:

सभी संभावित मानों का सेट कहां है एक्स.

यादृच्छिक चर से कार्यों की गणितीय अपेक्षा एक्सवितरण के माध्यम से है आर एक्स. उदाहरण के लिए, अगर एक्स- और में मानों के साथ यादृच्छिक चर एफ(एक्स)- असंदिग्ध बोरेलसमारोह एक्स , वह:

अगर एफ(एक्स)- वितरण समारोह एक्स, तो गणितीय अपेक्षा प्रतिनिधित्व योग्य है अभिन्नलेबेस्गुए - स्टिल्टजेस (या रीमैन - स्टिल्टजेस):

जबकि अभिन्नता एक्सके अनुसार ( * ) अभिन्न की परिमितता से मेल खाता है

विशिष्ट मामलों में, यदि एक्ससंभावित मानों के साथ एक पृथक वितरण है एक्स क, क=1, 2, . , और संभावनाएँ , फिर

अगर एक्ससंभाव्यता घनत्व के साथ बिल्कुल निरंतर वितरण होता है पी(एक्स), वह

इस मामले में, गणितीय अपेक्षा का अस्तित्व संबंधित श्रृंखला या अभिन्न के पूर्ण अभिसरण के बराबर है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण।

• एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस मान के बराबर है:

सी- स्थिर;

• एम=सी.एम[एक्स]

• यादृच्छिक रूप से लिए गए मानों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा = उनकी गणितीय अपेक्षाओं का उत्पाद:

एम=एम[एक्स]+एम[वाई]

अगर एक्सऔर वाईस्वतंत्र।

यदि श्रृंखला अभिसरित होती है:

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिदम।

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मानों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुनः क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को गैर-शून्य संभावना के साथ बराबर करें।

1. जोड़ियों को बारी-बारी से गुणा करें: एक्स मैंपर अनुकरणीय.

2. प्रत्येक जोड़ी का गुणनफल जोड़ें एक्स आई पी आई.

उदाहरण के लिए, के लिए एन = 4 :

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यचरणबद्ध रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाओं पर सकारात्मक संकेत होता है।

उदाहरण:सूत्र द्वारा गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

डीएसडब्ल्यू की विशेषताएं और उनके गुण। गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन

वितरण कानून पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है। हालाँकि, जब वितरण कानून को खोजना असंभव है, या इसकी आवश्यकता नहीं है, तो कोई खुद को मूल्यों को खोजने तक सीमित कर सकता है, जिसे यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं कहा जाता है। ये मान कुछ औसत मान निर्धारित करते हैं जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान समूहीकृत होते हैं, और इस औसत मान के आसपास उनके फैलाव की डिग्री निर्धारित करते हैं।

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

गणितीय अपेक्षा तब मौजूद होती है जब समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

संभाव्यता के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर है।

उदाहरण। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम ज्ञात है। गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

एक्स
पी	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान:

9.2 अपेक्षा गुण

1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है।

2. प्रत्याशा चिह्न से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

यह संपत्ति यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के लिए मान्य है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

यह गुण यादृच्छिक चरों की मनमानी संख्या के लिए भी सत्य है।

मान लीजिए कि n स्वतंत्र परीक्षण किए गए हैं, जिसमें घटना A के घटित होने की संभावना p के बराबर है।

प्रमेय. n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा M(X) परीक्षणों की संख्या और प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण। यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात हैं, तो एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y।

समाधान:

9.3 असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

हालाँकि, गणितीय अपेक्षा किसी यादृच्छिक प्रक्रिया को पूरी तरह से चित्रित नहीं कर सकती है। गणितीय अपेक्षा के अलावा, एक ऐसा मूल्य पेश करना आवश्यक है जो गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के मूल्यों के विचलन को दर्शाता है।

यह विचलन यादृच्छिक चर और उसकी गणितीय अपेक्षा के बीच अंतर के बराबर है। इस मामले में, विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, अन्य नकारात्मक हैं, और उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप शून्य प्राप्त होता है।

फैलाव (बिखराव)असतत यादृच्छिक चर को उसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

व्यवहार में, विचरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि यादृच्छिक चर के मानों की बड़ी संख्या के लिए बोझिल गणना की ओर ले जाता है।

इसलिए, दूसरी विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय. विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है.

सबूत। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा एम (एक्स) और गणितीय अपेक्षा एम 2 (एक्स) का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण। वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एक्स
एक्स 2
आर	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान: ।

9.4 फैलाव गुण

1. किसी अचर मान का विचरण शून्य होता है। .

2. एक अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है। .

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

4. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

प्रमेय. एन स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या का भिन्नता, जिनमें से प्रत्येक में घटना की घटना की संभावना पी स्थिर है, परीक्षणों की संख्या और घटना और गैर-घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है प्रत्येक परीक्षण में घटना का.

9.5 असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन

मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

प्रमेय. परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक सीमित संख्या के योग का मानक विचलन इन चरों के वर्ग मानक विचलनों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

असतत संभाव्यता स्थान पर दिए गए एक यादृच्छिक चर

सेवा असाइनमेंट. एक ऑनलाइन सेवा के साथ गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें). इसके अलावा, वितरण फ़ंक्शन F(X) का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: M[C]=C , C एक स्थिरांक है;
2. एम=सी एम[एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: M=M[X]+M[Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: एम=एम[एक्स] एम[वाई] यदि एक्स और वाई स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का फैलाव शून्य के बराबर है: D(c)=0.
2. फैलाव चिह्न के नीचे से स्थिर कारक को इसका वर्ग करके निकाला जा सकता है: D(k*X)= k 2 D(X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का प्रसरण प्रसरण के योग के बराबर है: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y निर्भर हैं: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. विचरण के लिए, कम्प्यूटेशनल सूत्र मान्य है:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y की गणितीय अपेक्षाएं और प्रसरण ज्ञात हैं: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . यादृच्छिक चर Z=9X-8Y+7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
फैलाव गुणों के आधार पर: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिदम

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मानों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुनः क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना निर्दिष्ट करें।

1. जोड़ियों को एक-एक करके गुणा करें: x i को p i से।
2. हम प्रत्येक जोड़ी का गुणनफल x i p i जोड़ते हैं।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यचरणबद्ध रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं।

उदाहरण 1।

एक्स मैं	1	3	4	7	9
अनुकरणीय	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

गणितीय अपेक्षा सूत्र m = ∑x i p i द्वारा पाई जाती है।
गणितीय अपेक्षा एम[एक्स].
एम[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
फैलाव सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 द्वारा पाया जाता है।
फैलाव डी[एक्स].
डी[एक्स] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

उदाहरण #2. एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एक्स	-10	-5	0	5	10
आर	ए	0,32	2ए	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान a, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात करें।

समाधान। मान a संबंध से पाया जाता है: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 ए = 1 या 0.24=3 ए, जहां से ए = 0.08

उदाहरण #3. एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम निर्धारित करें यदि इसका विचरण ज्ञात हो, और x 1 एक्स 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
पी 1 =0.3; पी2=0.3; p3=0.1; पी 4 = 0.3
d(x)=12.96

समाधान।
यहां आपको प्रसरण d (x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाने की आवश्यकता है:
डी(एक्स) = एक्स 1 2 पी 1 +एक्स 2 2 पी 2 +एक्स 3 2 पी 3 +एक्स 4 2 पी 4 -एम(एक्स) 2
जहां अपेक्षा m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
हमारे डेटा के लिए
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x+96)=0
तदनुसार, समीकरण की जड़ें ढूंढना आवश्यक है, और उनमें से दो होंगे।
x 3 = 8, x 3 = 12
हम उसे चुनते हैं जो शर्त x 1 को पूरा करता है x3=12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 =6; x2=9; x 3 = 12; x4=15
पी 1 =0.3; पी2=0.3; p3=0.1; पी 4 = 0.3

वितरण कानून पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है। हालाँकि, वितरण कानून अक्सर अज्ञात होता है और व्यक्ति को स्वयं को कम जानकारी तक सीमित रखना पड़ता है। कभी-कभी उन संख्याओं का उपयोग करना और भी अधिक लाभदायक होता है जो कुल मिलाकर एक यादृच्छिक चर का वर्णन करते हैं, ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं संख्यात्मक विशेषताएँअनियमित परिवर्तनशील वस्तु। गणितीय अपेक्षा महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक है।

गणितीय अपेक्षा, जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, यादृच्छिक चर के औसत मूल्य के लगभग बराबर है। कई समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय अपेक्षा को जानना ही काफी है। उदाहरण के लिए, यदि यह ज्ञात है कि पहले निशानेबाज द्वारा प्राप्त अंकों की गणितीय अपेक्षा दूसरे निशानेबाज से अधिक है, तो पहला निशानेबाज, औसतन, दूसरे की तुलना में अधिक अंक निकालता है, और इसलिए उससे बेहतर निशाना लगाता है। दूसरा।

परिभाषा 4.1: गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर को उसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग कहा जाता है।

चलो यादृच्छिक चर एक्सकेवल मान ले सकते हैं एक्स 1, एक्स 2, … एक्स एन, जिनकी सम्भावनाएँ क्रमशः बराबर हैं पी 1, पी 2, … पी एन।फिर गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्ससमानता द्वारा परिभाषित किया गया है

एम (एक्स) = एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2 + …+ एक्स एन पी एन।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सफिर, संभावित मूल्यों का एक गणनीय सेट लेता है

,

इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा तब मौजूद होती है जब समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

उदाहरण।किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एएक परीक्षण में, यदि किसी घटना की प्रायिकता एके बराबर है पी.

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एबर्नौली वितरण है, इसलिए

इस प्रकार, एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा इस घटना की संभावना के बराबर है.

गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ

चलो उत्पादन किया एनपरीक्षण जिसमें यादृच्छिक चर एक्सस्वीकृत मी 1गुना मूल्य एक्स 1, एम2गुना मूल्य x2 ,…, एम केगुना मूल्य एक्स क, और एम 1 + एम 2 + …+ एम के = एन. फिर सभी मूल्यों का योग लिया गया एक्स, के बराबर है एक्स 1 एम 1 + एक्स 2 एम 2 + …+ एक्स के एम के .

यादृच्छिक चर द्वारा लिये गये सभी मानों का अंकगणितीय माध्य होगा

नज़रिया एम आई/एन- सापेक्ष आवृत्ति वाई केमान एक्स मैंघटना के घटित होने की प्रायिकता लगभग बराबर होती है अनुकरणीय, कहाँ , इसीलिए

प्राप्त परिणाम का संभाव्य अर्थ इस प्रकार है: गणितीय अपेक्षा लगभग बराबर है(जितना अधिक सटीक, परीक्षणों की संख्या उतनी ही अधिक) यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य.

अपेक्षा गुण

संपत्ति1:किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है

संपत्ति2:स्थिर कारक को अपेक्षा चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है

परिभाषा 4.2: दो यादृच्छिक चरबुलाया स्वतंत्र, यदि उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरे मूल्य ने कौन से संभावित मूल्य लिए हैं। अन्यथा यादृच्छिक चर निर्भर हैं.

परिभाषा 4.3: कई यादृच्छिक चरबुलाया परस्पर स्वतंत्र, यदि उनमें से किसी भी संख्या के वितरण नियम इस पर निर्भर नहीं हैं कि अन्य मात्राओं ने क्या संभावित मान लिए हैं।

संपत्ति3:दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है।

परिणाम:कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

संपत्ति4:दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

परिणाम:कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

उदाहरण।एक द्विपद यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करें एक्स-घटना के घटित होने की तारीख एवी एनप्रयोग.

समाधान:कुल गणना एक्सघटना घटनाएँ एइन परीक्षणों में व्यक्तिगत परीक्षणों में घटना की घटनाओं की संख्या का योग होता है। हम यादृच्छिक चर प्रस्तुत करते हैं एक्स मैंमें घटना के घटित होने की संख्या है मैंवें परीक्षण, जो गणितीय अपेक्षा के साथ बर्नौली यादृच्छिक चर हैं, जहां . गणितीय अपेक्षा की संपत्ति से, हमारे पास है

इस प्रकार, पैरामीटर n और p के साथ द्विपद वितरण का माध्य np के उत्पाद के बराबर है.

उदाहरण।बंदूक चलाते समय किसी लक्ष्य पर वार करने की संभावना पी = 0.6.यदि 10 गोलियाँ चलाई गईं तो हिट की कुल संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान:प्रत्येक शॉट पर हिट अन्य शॉट्स के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए विचाराधीन घटनाएं स्वतंत्र हैं और, परिणामस्वरूप, वांछित गणितीय अपेक्षा