Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis. Tikimybių teorijos pagrindai
2. Tikimybių teorijos pagrindai
Tikėtina vertė
Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį su skaitinėmis reikšmėmis. Su šia funkcija dažnai pravartu susieti skaičių – jo „vidutinę reikšmę“ arba, kaip sakoma, „vidutinę reikšmę“, „centrinės tendencijos rodiklį“. Dėl daugelio priežasčių, kai kurios iš jų paaiškės toliau, įprasta naudoti vidurkį kaip vidurkį.
3 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis X paskambino numeriu
tie. matematinė atsitiktinio dydžio lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kurios svoriai yra lygūs atitinkamų elementarių įvykių tikimybei.
6 pavyzdys Apskaičiuokime matematinį skaičių, kuris nukrito ant kauliuko viršutinės pusės. Iš 3 apibrėžimo tiesiogiai išplaukia, kad
2 teiginys. Tegul atsitiktinis dydis X paima vertybes x 1, x 2, ..., xm. Tada lygybė
(5)
tie. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kurios svoriai yra lygūs tikimybei, kad atsitiktinis dydis įgis tam tikras reikšmes.
Priešingai nei (4), kai sumavimas atliekamas tiesiogiai per elementarius įvykius, atsitiktinis įvykis gali būti sudarytas iš kelių elementarių įvykių.
Kartais santykis (5) laikomas matematinio lūkesčio apibrėžimu. Tačiau naudojant 3 apibrėžimą, kaip parodyta toliau, lengviau nustatyti matematinių lūkesčių savybes, reikalingas realių reiškinių tikimybiniams modeliams sukurti, nei naudojant ryšį (5).
Norėdami įrodyti ryšį (5), sugrupuojame į (4) terminus su tomis pačiomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis:
Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada
Pagal įvykio tikimybės apibrėžimą
Paskutinių dviejų ryšių pagalba gauname norimą:
Matematinio lūkesčio samprata tikimybinėje-statistinėje teorijoje atitinka svorio centro sampratą mechanikoje. Sudėkime į taškus x 1, x 2, ..., xm masės skaitinėje ašyje P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) atitinkamai. Tada lygybė (5) parodo, kad šios materialių taškų sistemos svorio centras sutampa su matematiniu lūkesčiu, kuris parodo 3 apibrėžimo natūralumą.
3 teiginys. Leisti X- atsitiktinė vertė, M(X) yra jo matematinis lūkestis, A- kažkoks skaičius. Tada
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 mln [(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Norėdami tai įrodyti, pirmiausia nagrinėjame atsitiktinį dydį, kuris yra pastovus, t.y. funkcija susieja elementariųjų įvykių erdvę į vieną tašką A. Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada
Jei kiekvienas sumos narys yra padalintas į du narius, tada visa suma taip pat padalijama į dvi sumas, iš kurių pirmoji susideda iš pirmųjų, o antroji iš antrojo. Todėl matematinis dviejų atsitiktinių dydžių sumos lūkestis X+Y, apibrėžtas toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje, yra lygus matematinių lūkesčių sumai M(X) Ir M(U)šie atsitiktiniai kintamieji:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Ir todėl M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kaip parodyta aukščiau, M(M(X)) = M(X). Vadinasi, M(X-M(X)) = M(X) – M(X) = 0.
Nes (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Tai M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Supaprastinkime paskutinę lygybę. Kaip parodyta 3 teiginio įrodymo pradžioje, konstantos lūkestis yra pati konstanta, todėl M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Paskutinės lygybės dešinė pusė yra 0, nes, kaip parodyta aukščiau, M(X-M(X))=0. Vadinasi, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , kas turėjo būti įrodyta.
Iš to, kas pasakyta, išplaukia M[(X- a) 2 ] pasiekia minimumą A lygus M[(X- M(X)) 2 ], adresu a = M(X), kadangi 3) lygybės antrasis narys visada yra neneigiamas ir lygus 0 tik nurodytai reikšmei A.
4 teiginys. Tegul atsitiktinis kintamasis X paima vertybes x 1, x 2, ..., xm, o f yra tam tikra skaitmeninio argumento funkcija. Tada
Norėdami tai įrodyti, dešinėje lygybės (4) pusėje, kuri lemia matematinį lūkestį, sugrupuokime terminus su tomis pačiomis reikšmėmis:
Naudodamiesi tuo, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš sumos ženklo, ir nustatę atsitiktinio įvykio tikimybę (2), gauname
Q.E.D.
5 teiginys. Leisti X Ir At yra atsitiktiniai dydžiai, apibrėžti toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje, A Ir b- kai kurie skaičiai. Tada M(aX+ pateikė Y)= esu(X)+ bM(Y).
Naudodamiesi matematinio lūkesčio apibrėžimu ir sumavimo simbolio savybėmis, gauname lygybių grandinę:
Reikalingas yra įrodytas.
Aukščiau parodyta, kaip matematinis lūkestis priklauso nuo perėjimo į kitą kilmę ir kitą matavimo vienetą (perėjimą Y=aX+b), taip pat atsitiktinių dydžių funkcijoms. Gauti rezultatai nuolat naudojami atliekant techninę ir ekonominę analizę, vertinant įmonės finansinę ir ūkinę veiklą, pereinant nuo vienos valiutos į kitą vykdant užsienio ekonominius atsiskaitymus, norminėje ir techninėje dokumentacijoje ir kt. Apžvelgti rezultatai leidžia panaudoti tos pačios skaičiavimo formulės įvairių parametrų skalei ir poslinkiui.
| Ankstesnis |
Matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Tegu atsitiktinis dydis gali būti tik kurio tikimybės yra atitinkamai lygios, tada atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą lemia lygybė
Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis įgauna skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį, tada
Be to, matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.
komentuoti. Iš apibrėžimo išplaukia, kad matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) kintamasis.
Matematinio lūkesčio apibrėžimas bendruoju atveju
Apibrėžkime atsitiktinio dydžio, kurio pasiskirstymas nebūtinai yra diskretus, matematinį lūkestį. Pradėkime nuo neneigiamų atsitiktinių dydžių atvejo. Idėja bus aproksimuoti tokius atsitiktinius dydžius, naudojant diskrečius, kuriems matematinis lūkestis jau nustatytas, ir matematinį lūkestį nustatyti lygią jį aproksimuojančių diskrečiųjų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių ribai. Beje, tai labai naudinga bendra idėja, susidedanti iš to, kad paprastiems objektams pirmiausia nustatoma kokia nors charakteristika, o po to sudėtingesniems objektams ji nustatoma aproksimuojant juos su paprastesniais.
Lema 1. Tegul yra savavališkas neneigiamas atsitiktinis kintamasis. Tada yra tokia diskrečiųjų atsitiktinių dydžių seka, kad
Įrodymas. Padalinkime pusašį į vienodus ilgio segmentus ir apibrėžkime
Tada 1 ir 2 savybės lengvai išplaukia iš atsitiktinio dydžio apibrėžimo ir
Lema 2. Tegul yra neneigiamas atsitiktinis dydis ir dvi sekos diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, kurių savybės yra 1-3 iš 1 lemos.
Įrodymas. Atkreipkite dėmesį, kad leidžiame naudoti neneigiamus atsitiktinius kintamuosius
Pagal 3 savybę nesunku pastebėti, kad yra tokia teigiamų skaičių seka, kad
Iš to išplaukia
Naudodami diskrečiųjų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių savybes, gauname
Pereinama prie ribos, kai gauname 2 lemos teiginį.
Apibrėžimas 1. Tegul yra neneigiamas atsitiktinis dydis, tai yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių seka, kurios savybės yra 1-3 iš 1 lemos. Atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis
2 lema garantuoja, kad ji nepriklauso nuo aproksimacinės sekos pasirinkimo.
Tegul dabar yra savavališkas atsitiktinis kintamasis. Apibrėžkime
Iš apibrėžimo ir tai lengvai išplaukia
Apibrėžimas 2. Savavališko atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra skaičius
Jei bent vienas iš skaičių dešinėje šios lygybės pusėje yra baigtinis.
Laukimo savybės
Savybė 1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:
Įrodymas. Konstantą laikysime diskrečiu atsitiktiniu dydžiu, kuris turi vieną galimą reikšmę ir priima ją su tikimybe, todėl
Pastaba 1. Konstantos vertės sandaugą diskrečiu atsitiktiniu dydžiu apibrėžiame kaip diskrečiąjį atsitiktinį dydį, kurio galimos reikšmės yra lygios konstantos sandaugoms pagal galimas reikšmes; galimų reikšmių tikimybės yra lygios atitinkamų galimų reikšmių tikimybei. Pavyzdžiui, jei galimos reikšmės tikimybė yra lygi, tada tikimybė, kad reikšmė įgis reikšmę, taip pat lygi
2 savybė. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį:
Įrodymas. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas tikimybių skirstinio dėsniu:
Atsižvelgdami į 1 pastabą, rašome atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį
2 pastaba. Prieš pereinant prie kitos savybės, nurodome, kad du atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes turi kitas kintamasis. Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Keli atsitiktiniai dydžiai vadinami vienas nuo kito nepriklausomais, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes turi kiti kintamieji.
Pastaba 3. Apibrėžiame nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugą ir kaip atsitiktinį dydį, kurio galimos reikšmės yra lygios kiekvienos galimos reikšmės sandaugoms iš kiekvienos galimos sandaugos galimų reikšmių tikimybių reikšmės. į galimų veiksnių verčių tikimybių sandaugas. Pavyzdžiui, jei galimos vertės tikimybė yra, galimos vertės tikimybė yra tada galimos vertės tikimybė yra
Savybė 3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
Įrodymas. Tegul nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai pateikiami pagal jų tikimybių pasiskirstymo dėsnius:
Sugalvokime visas reikšmes, kurias gali įgauti atsitiktinis kintamasis. Norėdami tai padaryti, visas galimas reikšmes padauginame iš kiekvienos galimos reikšmės; dėl to gauname ir, atsižvelgdami į 3 pastabą, surašome paskirstymo dėsnį, paprastumo dėlei darydami prielaidą, kad visos galimos gaminio reikšmės yra skirtingos (jei taip nėra, tada įrodymas atliekamas panašiai):
Matematinis lūkestis yra lygus visų galimų verčių ir jų tikimybių sandaugų sumai:
Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Savybė 4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:
Įrodymas. Tegul atsitiktiniai dydžiai yra pateikti pagal šiuos skirstymo dėsnius:
Sudarykite visas galimas kiekio reikšmes Norėdami tai padaryti, pridėkite kiekvieną galimą reikšmę prie kiekvienos galimos vertės; gauname Tarkime dėl paprastumo, kad šios galimos reikšmės yra skirtingos (jei taip nėra, tada įrodymas atliekamas panašiai), ir pažymime jų tikimybes ir atitinkamai
Matematinis vertės lūkestis yra lygus galimų verčių sandaugų sumai pagal jų tikimybes:
Įrodykime, kad įvykis, susidedantis iš reikšmės paėmimo (šio įvykio tikimybė yra lygi), apima įvykį, kurį sudaro reikšmės paėmimas arba (šio įvykio tikimybė yra lygi sudėjimo teorema), ir atvirkščiai. Iš to išplaukia, kad lygybės
Pakeitę teisingas šių lygybių dalis į santykį (*), gauname
arba pagaliau
Dispersija ir standartinis nuokrypis
Praktikoje dažnai reikia įvertinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę. Pavyzdžiui, artilerijoje svarbu žinoti, kaip arti sviediniai kris arti taikinio, į kurį reikėtų pataikyti.
Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad lengviausias būdas įvertinti sklaidą yra apskaičiuoti visas įmanomas atsitiktinio dydžio nuokrypio reikšmes ir tada rasti jų vidutinę vertę. Tačiau šis kelias nieko neduos, nes vidutinė nuokrypio reikšmė, t.y. bet kuriam atsitiktiniam dydžiui yra lygus nuliui. Ši savybė paaiškinama tuo, kad vieni galimi nukrypimai yra teigiami, o kiti – neigiami; dėl jų abipusio panaikinimo vidutinė nuokrypio reikšmė lygi nuliui. Šie svarstymai rodo, kad tikslinga galimus nuokrypius pakeisti jų absoliučiomis reikšmėmis arba kvadratais. Taip jie tai daro praktiškai. Tiesa, tuo atveju, kai galimi nuokrypiai pakeičiami jų absoliučiomis reikšmėmis, tenka operuoti su absoliučiomis reikšmėmis, o tai kartais sukelia rimtų sunkumų. Todėl dažniausiai jie eina kitu keliu, t.y. apskaičiuokite vidutinę kvadratinio nuokrypio reikšmę, kuri vadinama dispersija.
Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.
Matematinės lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius skirstinio požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Matematinis lūkestis dažnai vadinamas tiesiog vidurkiu. atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinio dydžio sklaida - dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo matematinius lūkesčius.
Daugelyje praktikos problemų pilnas, išsamus atsitiktinio dydžio – pasiskirstymo dėsnio – aprašymas arba negali būti gautas, arba jo visai nereikia. Tokiais atvejais jie apsiriboja apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis
Pereikime prie matematinio lūkesčio sampratos. Tegul kokios nors medžiagos masė pasiskirsto tarp x ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n. Be to, kiekvienas materialus taškas turi masę, atitinkančią jį su tikimybe p1 , p 2 , ..., p n. Reikia pasirinkti vieną tašką x ašyje, kuris apibūdina visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, kuriame kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Taip gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.
Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:
1 pavyzdys Organizavo loteriją, kurioje laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra po 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas 200-100 rublių kiekvienas. ir po 100-200 rublių. Kokį vidutinį laimėjimą gauna žmogus, perkantis vieną bilietą?
Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri lygi 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio padidėjimo apskaičiavimo išraiška taip pat gali būti pateikta tokia forma:
Kita vertus, tokiomis sąlygomis laimėjimų suma yra atsitiktinis dydis, kuris gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Todėl numatomas vidutinis atlygis yra lygus išmokų dydžio ir tikimybės juos gauti sandaugų sumai.
2 pavyzdys Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis ketina parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 atiteks jam, 50 – knygynui, 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kainą ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.
Raskite numatomą leidėjo pelną.
Sprendimas. Atsitiktinis dydis „pelnas“ yra lygus skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų kaštų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o leidybos kaina - 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:
| Skaičius | Pelnas xi | Tikimybė pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Iš viso: | 1,00 | 25000 |
Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:
.
3 pavyzdys Galimybė pataikyti vienu šūviu p= 0,2. Nustatykite apvalkalų sunaudojimą, kuris suteikia matematinį paspaudimų skaičių, lygų 5.
Sprendimas. Išreiškiame tą pačią lūkesčių formulę, kurią naudojome iki šiol x- kriauklių suvartojimas:
.
4 pavyzdys Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trimis šūviais, jei tikimybė pataikyti kiekvienu šūviu p = 0,4 .
Užuomina: suraskite atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybę pagal Bernulio formulė .
Laukimo savybės
Apsvarstykite matematinių lūkesčių savybes.
1 nuosavybė. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai konstantai:
2 nuosavybė. Pastovus veiksnys gali būti pašalintas iš lūkesčio ženklo:
3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:
Kai negali apsiriboti tik matematiniais lūkesčiais
Daugeliu atvejų tik matematinis lūkestis negali tinkamai apibūdinti atsitiktinio kintamojo.
Tegul atsitiktiniai kintamieji X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| Reikšmė X | Tikimybė |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Reikšmė Y | Tikimybė |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:
Tačiau jų pasiskirstymas skiriasi. Atsitiktinė vertė X gali imti tik tas vertes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio ir atsitiktinio kintamojo Y gali priimti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: vidutinis darbo užmokestis neleidžia spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų proporciją. Kitaip tariant, pagal matematinius lūkesčius negalima spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.
Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida
dispersija diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematiniu lūkesčiu:
Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X yra jos dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė vertė:
.
5 pavyzdys Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X Ir Y, kurių pasiskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.
Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X Ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę E(X)=E(y)=0 gauname:
Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X Ir Y sudaryti
.
Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X labai mažas ir atsitiktinis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumo pasekmė.
6 pavyzdys Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinami duomenys apie numatomą pelną šiuose projektuose.
| 1 projektas | 2 projektas | 3 projektas | 4 projektas |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Sprendimas. Parodykime, kaip šie dydžiai apskaičiuojami trečiajai alternatyvai:
Lentelėje apibendrinamos rastos visų alternatyvų reikšmės.
Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, kuris nenori didelės rizikos, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas teikia pirmenybę rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis rinksis projektą su didžiausiu standartiniu nuokrypiu – 4 projektą.
Dispersijos savybės
Pateiksime dispersijos savybes.
1 nuosavybė. Pastovios vertės dispersija lygi nuliui:
2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:
.
3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šios reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas pačios reikšmės matematinio lūkesčio kvadratas:
,
Kur 
.
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):
7 pavyzdys Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
Sprendimas. Pažymėti p tikimybė, su kuria atsitiktinis dydis įgauna reikšmę x1 = −3 . Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1 − p. Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 − p = 0,7 .
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame naudodami formulę iš 3 dispersijos savybės:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pats suraskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pamatykite sprendimą
8 pavyzdys Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji turi didesnę reikšmę 3 su 0,4 tikimybe. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6 . Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą.
9 pavyzdys Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos paimami 3 rutuliukai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.
Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Taigi matematinis šio atsitiktinio kintamojo lūkestis:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Tam tikro atsitiktinio dydžio dispersija yra tokia:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir sklaida
Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras masės vienetui, nuolat paskirstytam x ašyje su tankiu. f(x). Priešingai nei diskretiškasis atsitiktinis kintamasis, kurio funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi, nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui argumentas keičiasi nuolat. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.
Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti apibrėžtuosius integralus . Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, ji patenka tiesiai į integrandą. Jei pateikiama tikimybių skirstinio funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.
Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba .
Sprendimas:
6.1.2 Tikėjimo ypatybės
1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai.
2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį. 
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Ši savybė galioja bet kokiam atsitiktinių dydžių skaičiui.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
Ši savybė galioja ir savavališkam atsitiktinių dydžių skaičiui.
Pavyzdys: M(X) = 5, M(Y)= 2. Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą Z, taikant matematinio lūkesčio savybes, jei žinoma, kad Z = 2X + 3Y.
Sprendimas: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) matematinis sumos lūkestis yra lygus matematinių lūkesčių sumai
2) pastovųjį veiksnį galima išimti iš lūkesčio ženklo
Tegu bus atlikta n nepriklausomų bandymų, kurių tikimybė, kad įvyks įvykis A, lygi p. Tada galioja ši teorema:
Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus matematinė prognozė M(X) n nepriklausomų bandymų yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio pasireiškimo tikimybės sandaugai kiekviename bandyme.
6.1.3 Diskretaus atsitiktinio dydžio sklaida
Matematinis lūkestis negali visiškai apibūdinti atsitiktinio proceso. Be matematinio lūkesčio, būtina įvesti reikšmę, kuri apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypį nuo matematinio lūkesčio.
Šis nuokrypis yra lygus skirtumui tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio. Šiuo atveju matematinis nuokrypio lūkestis yra lygus nuliui. Tai paaiškinama tuo, kad vieni galimi nukrypimai yra teigiami, kiti – neigiami ir dėl jų abipusio panaikinimo gaunamas nulis.
Sklaida (sklaidymas) Diskrečiasis atsitiktinis dydis vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu.
Praktiškai toks dispersijos apskaičiavimo būdas yra nepatogus, nes dėl to reikia atlikti sudėtingus daugelio atsitiktinio dydžių verčių skaičiavimus.
Todėl naudojamas kitas metodas.
Teorema. Dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato.
Įrodymas. Atsižvelgiant į tai, kad matematinis lūkestis M (X) ir matematinio lūkesčio kvadratas M 2 (X) yra pastovios reikšmės, galime rašyti:
Pavyzdys. Raskite pasiskirstymo dėsniu pateiktą diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Sprendimas:.
6.1.4 Dispersijos savybės
1. Pastovios reikšmės sklaida lygi nuliui. .
2. Pastovų koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu. 
.
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
4. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija yra lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio įvykio tikimybė p yra pastovi, yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio bei neįvykimo tikimybės sandaugai įvykį kiekviename bandyme.
Pavyzdys: Raskite DSV X dispersiją - įvykio A atvejų skaičių 2 nepriklausomuose bandymuose, jei įvykio tikimybė šiuose bandymuose yra vienoda ir žinoma, kad M(X) = 1,2.
Taikome 6.1.2 skirsnio teoremą:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Rasti p:
1,2 = 2∙p
p = 1,2/2
q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4
Raskime dispersiją pagal formulę:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis
Standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi.
(25)
Teorema. Baigtinio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos standartinis nuokrypis yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadratų sumos kvadratinei šakniai.
6.1.6 Diskretaus atsitiktinio dydžio režimas ir mediana
Mada M o DSV vadinama labiausiai tikėtina atsitiktinio kintamojo reikšmė (t. y. ta, kurios tikimybė yra didžiausia)
Mediana M e DSV yra atsitiktinio dydžio, dalijančio skirstinio eilutę per pusę, reikšmė. Jei atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius yra lygus, mediana randama kaip dviejų vidutinių verčių aritmetinis vidurkis.
Pavyzdys: DSW paieškos režimas ir mediana X:
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Aš = = 5,5
Progresas
1. Susipažinkite su šio darbo teorine dalimi (paskaitos, vadovėlis).
2. Atlikite užduotį pagal savo pasirinkimą.
3. Sudaryti darbo ataskaitą.
4. Apsaugokite savo darbą.
2. Darbo tikslas.
3. Darbo eiga.
4. Jūsų pasirinkimo sprendimas.
6.4 Savarankiško darbo užduočių variantai
1 variantas
1. Raskite paskirstymo dėsnio DSV X matematinę lūkesčius, dispersiją, standartinį nuokrypį, modą ir medianą.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Raskite DSV X dispersiją – įvykio A pasireiškimų skaičių dviejuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykių tikimybės šiuose bandymuose yra vienodos ir žinoma, kad M (X) = 1.
4. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmių sąrašas X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, o šio dydžio ir jo kvadrato matematiniai lūkesčiai taip pat žinomi: , . Raskite tikimybes , , , atitinkančias galimas reikšmes, ir sudarykite DSW pasiskirstymo dėsnį.
2 variantas
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Raskite DSV X dispersiją – įvykio A pasikartojimų skaičių trijuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykių tikimybės šiuose bandymuose yra vienodos ir žinoma, kad M (X) = 0,9.
4. Pateikiamas diskretinio atsitiktinio dydžio X galimų reikšmių sąrašas: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, o šio dydžio ir jo kvadrato matematiniai lūkesčiai taip pat žinomi: , . Raskite tikimybes , , , atitinkančias galimas reikšmes, ir sudarykite DSV skirstymo dėsnį.
Pasirinkimo numeris 3
1. Raskite paskirstymo dėsniu pateiktą DSV X matematinę lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Raskite DSV X dispersiją – įvykio A pasikartojimų skaičių keturiuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykių tikimybės šiuose bandymuose yra vienodos ir žinoma, kad M (x) = 1,2.
Kaip jau žinoma, pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau platinimo dėsnis dažnai nežinomas ir tenka apsiriboti mažesne informacija. Kartais netgi labiau apsimoka naudoti skaičius, apibūdinančius atsitiktinį kintamąjį sumoje; tokie numeriai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.
Matematinis lūkestis yra viena iš svarbių skaitinių charakteristikų.
Matematinis lūkestis yra maždaug lygus vidutinei atsitiktinio dydžio reikšmei.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų jo verčių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Jei atsitiktiniam dydžiui būdinga baigtinė skirstinio seka:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | 1 p | 2 p | 3 p | … | r p |
tada matematinis lūkestis M(X) nustatoma pagal formulę:
Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį lemia lygybė:
kur yra atsitiktinio dydžio tikimybės tankis X.
4.7 pavyzdys. Raskite matematinį taškų, kurie iškrenta metant kauliuką, skaičių.
Sprendimas:
Atsitiktinė vertė X ima reikšmes 1, 2, 3, 4, 5, 6. Padarykime jo pasiskirstymo dėsnį:
| X | ||||||
| R |
Tada matematinė viltis yra tokia:
Matematinės lūkesčių savybės:
1. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:
M(S) = S.
2. Pastovus veiksnys gali būti pašalintas iš lūkesčio ženklo:
M(CX) = CM(X).
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
M(XY) = M(X)M(Y).
4.8 pavyzdys. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Raskite atsitiktinio dydžio XY matematinį tikėjimą.
Sprendimas.
Raskime kiekvieno iš šių dydžių matematinius lūkesčius:
atsitiktiniai dydžiai X Ir Y nepriklausomas, taigi norimas matematinis lūkestis:
M(XY) = M(X)M(Y) =
Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Pasekmė. Kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
4.9 pavyzdys. Paleidžiami 3 šūviai, kurių tikimybė pataikyti į taikinį yra lygi 1 p = 0,4; p2= 0,3 ir 3 p= 0,6. Raskite matematinį viso paspaudimų skaičiaus lūkestį.
Sprendimas.
Pirmojo šūvio smūgių skaičius yra atsitiktinis dydis X 1, kuri gali turėti tik dvi reikšmes: 1 (patikimas) su tikimybe 1 p= 0,4 ir 0 (netaikoma) su tikimybe q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematinė pirmojo šūvio smūgių skaičiaus prognozė yra lygi pataikymo tikimybei:
Panašiai randame matematinius lūkesčius dėl antrojo ir trečiojo smūgių skaičiaus:
M(X 2)= 0,3 ir M (X 3) \u003d 0,6.
Bendras įvykių skaičius taip pat yra atsitiktinis dydis, sudarytas iš kiekvieno iš trijų kadrų įvykių sumos:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Norimas matematinis lūkestis X randame pagal matematikos teoremą, sumos lūkestį.
