Oczekiwanie matematyczne to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Zmienne losowe
Jak już wiadomo, prawo dystrybucji całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Często jednak prawo dystrybucji jest nieznane i trzeba ograniczyć się do mniejszej ilości informacji. Czasem jeszcze bardziej opłaca się zastosować liczby opisujące w sumie zmienną losową; takie liczby się nazywają charakterystyka liczbowa zmiennej losowej.
Jedną z ważnych cech liczbowych jest oczekiwanie matematyczne.
Oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej.
Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości i ich prawdopodobieństw.
Jeżeli zmienna losowa charakteryzuje się skończonym szeregiem rozkładów:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x rz |
| R | str. 1 | str. 2 | str. 3 | … | r str |
następnie oczekiwanie matematyczne M(X) określone wzorem:
Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej jest określone przez równość:
gdzie jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Przykład 4.7. Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby punktów, które pojawią się podczas rzucania kostką.
Rozwiązanie:
Losowa wartość X przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6. Stwórzmy prawo jego rozkładu:
| X | ||||||
| R |
Zatem oczekiwanie matematyczne wynosi:
Właściwości oczekiwań matematycznych:
1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej:
M (S) = S.
2. Stały współczynnik można wyjąć z matematycznego znaku oczekiwania:
M (CX) = CM (X).
3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych:
M(XY) = M(X)M(Y).
Przykład 4.8. Niezależne zmienne losowe X I Y wynikają z następujących praw dystrybucji:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej XY.
Rozwiązanie.
Znajdźmy matematyczne oczekiwania każdej z tych wielkości:
Zmienne losowe X I Y niezależne, dlatego wymagane oczekiwanie matematyczne wynosi:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Konsekwencja. Oczekiwanie matematyczne iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Konsekwencja. Oczekiwanie matematyczne sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych tych terminów.
Przykład 4.9. Oddaje się 3 strzały z prawdopodobieństwem trafienia w cel równym str. 1 = 0,4; p2= 0,3 i str. 3= 0,6. Znajdź matematyczne oczekiwanie całkowitej liczby trafień.
Rozwiązanie.
Liczba trafień przy pierwszym strzale jest zmienną losową X 1, które może przyjmować tylko dwie wartości: 1 (trafienie) z prawdopodobieństwem str. 1= 0,4 i 0 (chyba) z prawdopodobieństwem q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematyczne oczekiwanie liczby trafień przy pierwszym strzale jest równe prawdopodobieństwu trafienia:
Podobnie znajdujemy matematyczne oczekiwania dotyczące liczby trafień przy drugim i trzecim strzale:
M(X 2)= 0,3 i M(X 3)= 0,6.
Całkowita liczba trafień jest również zmienną losową składającą się z sumy trafień w każdym z trzech strzałów:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Wymagane oczekiwanie matematyczne X Znajdujemy to korzystając z twierdzenia o matematycznym oczekiwaniu sumy.
Każda indywidualna wartość jest całkowicie zdeterminowana przez jej funkcję rozkładu. Również do rozwiązywania problemów praktycznych wystarczy znać kilka charakterystyk numerycznych, dzięki czemu możliwe staje się przedstawienie w krótkiej formie głównych cech zmiennej losowej.
Ilości te obejmują przede wszystkim wartość oczekiwana I dyspersja .
Wartość oczekiwana— średnia wartość zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oznaczone jako .
Najprościej mówiąc, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w), znajdź jak całkaLebesgue'a w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa R oryginalny przestrzeń prawdopodobieństwa
Można również znaleźć matematyczne oczekiwanie wartości jako Całka Lebesgue’a z X poprzez rozkład prawdopodobieństwa RX wielkie ilości X:
gdzie jest zbiorem wszystkich możliwych wartości X.
Matematyczne oczekiwanie funkcji od zmiennej losowej X znalezione poprzez dystrybucję RX. Na przykład, Jeśli X- zmienna losowa o wartościach w i k(x)- jednoznaczne Borelafunkcjonować X , To:
Jeśli F(x)- funkcja dystrybucyjna X, to oczekiwanie matematyczne jest reprezentowalne całkaLebesgue – Stieltjes (lub Riemann – Stieltjes):
w tym przypadku całkowalność X Pod względem ( * ) odpowiada skończoności całki
W konkretnych przypadkach, jeśli X ma rozkład dyskretny z wartościami prawdopodobnymi x k, k=1, 2, . , a następnie prawdopodobieństwa
Jeśli X ma rozkład absolutnie ciągły z gęstością prawdopodobieństwa p(x), To
w tym przypadku istnienie oczekiwania matematycznego jest równoznaczne z absolutną zbieżnością odpowiedniego szeregu lub całki.
Własności oczekiwań matematycznych zmiennej losowej.
- Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe tej wartości:
C- stała;
- M=C.M[X]
- Oczekiwanie matematyczne sumy losowo wybranych wartości jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych:
- Oczekiwanie matematyczne iloczynu niezależnych zmiennych losowo wybranych = iloczyn ich oczekiwań matematycznych:
M=M[X]+M[Y]
Jeśli X I Y niezależny.
jeśli szereg jest zbieżny:
Algorytm obliczania oczekiwań matematycznych.
Właściwości dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; przypisz każdej wartości niezerowe prawdopodobieństwo.
1. Pomnóż pary jeden po drugim: x ja NA Liczba Pi.
2. Dodaj iloczyn każdej pary x i p ja.
Na przykład, Dla N = 4 :
Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej stopniowo wzrasta gwałtownie w tych punktach, których prawdopodobieństwa mają znak dodatni.
Przykład: Znajdź oczekiwanie matematyczne, korzystając ze wzoru.
Charakterystyka DSV i ich właściwości. Oczekiwanie, wariancja, odchylenie standardowe
Prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową. Jeżeli jednak znalezienie prawa rozkładu nie jest możliwe lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości zwanych charakterystykami liczbowymi zmiennej losowej. Wartości te wyznaczają jakąś wartość średnią, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozproszenia wokół tej wartości średniej.
Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.
Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny bezwzględnie.
Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.
Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź oczekiwanie matematyczne.
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rozwiązanie:
9.2 Właściwości oczekiwań matematycznych
1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej.
2. Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego.
3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Ta właściwość jest prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.
4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów.
Właściwość ta jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.
Przeprowadźmy n niezależnych prób, a prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A będzie równe p.
Twierdzenie. Oczekiwanie matematyczne M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.
Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli znane są matematyczne oczekiwania X i Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Rozwiązanie:
9.3 Rozproszenie dyskretnej zmiennej losowej
Jednak oczekiwanie matematyczne nie może w pełni scharakteryzować procesu losowego. Oprócz oczekiwania matematycznego należy wprowadzić wartość charakteryzującą odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.
Odchylenie to jest równe różnicy między zmienną losową a jej oczekiwaniem matematycznym. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, a w wyniku ich wzajemnego zniesienia uzyskuje się zero.
Dyspersja (rozpraszanie) dyskretnej zmiennej losowej jest oczekiwaniem matematycznym kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.
W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennych losowych.
Dlatego stosuje się inną metodę.
Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między matematycznym oczekiwaniem kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej matematycznego oczekiwania.
Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M(X) i kwadrat oczekiwania matematycznego M2(X) są wielkościami stałymi, możemy zapisać:
Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo dystrybucji.
| X | ||||
| X2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rozwiązanie: .
9.4 Właściwości dyspersyjne
1. Wariancja stałej wartości wynosi zero. .
2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu. .
3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .
4. Wariancja różnicy między dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .
Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w których każde prawdopodobieństwo p zajścia zdarzenia jest stałe, jest równa iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwa wystąpienia i nie- wystąpienie zdarzenia w każdej próbie.
9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej
Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji.
Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych zmiennych.
Oczekiwanie matematyczne (wartość średnia) zmiennej losowej X danej na dyskretnej przestrzeni prawdopodobieństwa jest liczbą m =M[X]=∑x i p i, jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie.
Cel usługi. Korzystanie z serwisu internetowego obliczane są oczekiwania matematyczne, wariancja i odchylenie standardowe(patrz przykład). Dodatkowo wykreślany jest wykres funkcji rozkładu F(X).
Własności oczekiwań matematycznych zmiennej losowej
- Matematyczne oczekiwanie wartości stałej jest sobie równe: M[C]=C, C – stała;
- M=C M[X]
- Oczekiwanie matematyczne sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych: M=M[X]+M[Y]
- Oczekiwanie matematyczne iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych: M=M[X] M[Y] , jeśli X i Y są niezależne.
Właściwości dyspersyjne
- Wariancja stałej wartości wynosi zero: D(c)=0.
- Stały współczynnik można wyjąć spod znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
- Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to wariancja sumy jest równa sumie wariancji: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Jeżeli zmienne losowe X i Y są zależne: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dla dyspersji obowiązuje następujący wzór obliczeniowy:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Przykład. Znane są matematyczne oczekiwania i wariancje dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej Z=9X-8Y+7.
Rozwiązanie. Bazując na własnościach oczekiwań matematycznych: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Bazując na własnościach dyspersji: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algorytm obliczania oczekiwań matematycznych
Właściwości dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; Przypisz każdej wartości niezerowe prawdopodobieństwo.- Pary mnożymy jeden po drugim: x i przez p i .
- Dodaj iloczyn każdej pary x i p i .
Na przykład dla n = 4: m = ∑x i p ja = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Przykład nr 1.
| x ja | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| Liczba Pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Oczekiwanie matematyczne znajdujemy za pomocą wzoru m = ∑x i p i .
Oczekiwanie M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Wariancję znajdujemy za pomocą wzoru d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Wariancja D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Odchylenie standardowe σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Przykład nr 2. Dyskretna zmienna losowa ma następujący szereg rozkładów:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Rozwiązanie. Wartość a wyznaczamy z zależności: Σp i = 1
Σp ja = za + 0,32 + 2 za + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 za = 1
0,76 + 3 a = 1 lub 0,24=3 a , skąd a = 0,08
Przykład nr 3. Wyznacz prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej, jeśli znana jest jej wariancja, oraz x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Rozwiązanie.
Tutaj musisz utworzyć wzór na znalezienie wariancji d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
gdzie oczekiwanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Dla naszych danych
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
lub -9/100 (x 2 -20x+96)=0
W związku z tym musimy znaleźć pierwiastki równania, a będą dwa z nich.
x 3 = 8, x 3 = 12
Wybierz ten, który spełnia warunek x 1
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej
x 1 = 6; x2 =9; x 3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 =0,3
Prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową. Często jednak prawo dystrybucji jest nieznane i trzeba ograniczyć się do mniejszej ilości informacji. Czasami jeszcze bardziej opłacalne jest użycie liczb opisujących w sumie zmienną losową; takie liczby nazywane są charakterystyki numeryczne zmienna losowa. Jedną z ważnych cech liczbowych jest oczekiwanie matematyczne.
Oczekiwanie matematyczne, jak zostanie pokazane poniżej, jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej. Aby rozwiązać wiele problemów, wystarczy znać oczekiwania matematyczne. Na przykład, jeśli wiadomo, że matematyczne oczekiwanie liczby punktów zdobytych przez pierwszego strzelca jest większe niż drugiego strzelca, wówczas pierwszy strzelec zdobywa średnio więcej punktów niż drugi strzelec i dlatego strzela lepiej niż drugi.
Definicja 4.1: Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i ich prawdopodobieństw.
Niech zmienna losowa X może przyjmować tylko wartości x 1, x 2, … x n, których prawdopodobieństwa są odpowiednio równe s. 1, s. 2, … s. n. Następnie oczekiwanie matematyczne M(X) zmienna losowa X jest określona przez równość
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Jeśli dyskretna zmienna losowa X pobiera wówczas przeliczalny zbiór możliwych wartości
,
Co więcej, oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny bezwzględnie.
Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia A w jednej próbie, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A równy P.
Rozwiązanie: Losowa wartość X– liczba wystąpień zdarzenia A ma rozkład Bernoulliego, więc
Zatem, matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w jednej próbie jest równe prawdopodobieństwu tego zdarzenia.
Probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych
Niech się wyprodukuje N testy, w których zmienna losowa X przyjęty m 1 razy wartość x 1, m 2 razy wartość x 2 ,…, m k razy wartość x k, I m 1 + m 2 + …+ m k = n. Następnie suma wszystkich pobranych wartości X, jest równy x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Średnia arytmetyczna wszystkich wartości przyjętych przez zmienną losową będzie wynosić
Postawa m i/n- częstotliwość względna W ja wartości x ja w przybliżeniu równe prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia Liczba Pi, Gdzie , Dlatego
Prawdopodobne znaczenie otrzymanego wyniku jest następujące: oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe(im dokładniejsza, tym większa liczba testów) średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej.
Właściwości oczekiwań matematycznych
Właściwość 1:Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej
Właściwość 2:Stały współczynnik można przyjąć poza znak oczekiwania matematycznego
Definicja 4.2: Dwie zmienne losowe są nazywane niezależny, jeśli prawo podziału jednego z nich nie zależy od tego, jakie możliwe wartości przyjęła druga ilość. W przeciwnym razie zmienne losowe są zależne.
Definicja 4.3: Kilka zmiennych losowych zwany wzajemnie niezależne, jeśli prawa rozkładu dowolnej ich liczby nie zależą od tego, jakie możliwe wartości przyjęły inne wielkości.
Właściwość 3:Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Konsekwencja:Oczekiwanie matematyczne iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.
Właściwość 4:Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych.
Konsekwencja:Oczekiwanie matematyczne sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych.
Przykład. Obliczmy matematyczne oczekiwanie dwumianowej zmiennej losowej X - datę wystąpienia zdarzenia A V N eksperymenty.
Rozwiązanie:Łączna X wystąpienia zdarzenia A w tych próbach jest sumą liczby wystąpień zdarzenia w poszczególnych próbach. Wprowadźmy zmienne losowe X ja– liczba wystąpień zdarzenia w I test, które są zmiennymi losowymi Bernoulliego z oczekiwaniem matematycznym, gdzie . Dzięki właściwości oczekiwań matematycznych mamy
Zatem, matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego z parametrami n i p jest równe iloczynowi np.
Przykład. Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania p = 0,6. Znajdź matematyczne oczekiwanie całkowitej liczby trafień, jeśli zostanie oddanych 10 strzałów.
Rozwiązanie: Trafienie każdego strzału nie zależy od wyników innych strzałów, dlatego rozpatrywane zdarzenia są niezależne, a w konsekwencji pożądane oczekiwanie matematyczne
