Istota, modele, granice zastosowania metody funkcji produkcji. Funkcja produkcji jako model procesu produkcyjnego

Funkcja produkcji- jest to związek pomiędzy ilością i strukturą wykorzystanych zasobów (L-pracy, K-kapitału) a maksymalną możliwą wielkością produkcji (Q), jaką przedsiębiorstwo jest w stanie wyprodukować w określonym czasie.

Funkcja produkcji charakteryzuje tę technologię. Udoskonalenie technologii, które zapewnia nową osiągniętą wielkość produkcji dla dowolnej kombinacji czynników, znajduje odzwierciedlenie w nowej funkcji produkcji.

Zbiór czynników produkcji lub zasobów można przedstawić w postaci kosztu pracy, kapitału (narzędzi i materiałów), wówczas funkcję produkcji można opisać w następujący sposób:

Q = f (L, K),

gdzie Q jest maksymalną wielkością produktów wytworzonych przy danej technologii i przy danym stosunku pracy - L, kapitału - K.

2.2.Własności funkcji produkcji

Wszystkie funkcje produkcji mają wspólne właściwości:

Istnieją ograniczenia wzrostu produkcji, który można osiągnąć poprzez zwiększenie kosztu jednego zasobu, podczas gdy inne zasoby pozostają niezmienione.

Możliwa jest pewna wzajemna komplementarność (komplementarność) czynników produkcji, ale bez zmniejszania wielkości produkcji możliwa jest także pewna wymienność tych czynników.

Zmiany wykorzystania czynników produkcji są bardziej elastyczne w długim okresie niż w krótkim okresie działalności przedsiębiorstwa.

Krótki okres czasu- jest to okres produkcji, w którym wszystkie zasoby poza jednym pozostają niezmienione, wówczas cały wzrost produkcji wiąże się ze wzrostem wykorzystania tego konkretnego czynnika.

Długoterminowy okres czasu- jest to okres, w którym producent może zmienić wszystkie czynniki produkcji tego produktu. Teoretycznie długi okres czasu uważa się za następujące po sobie krótkie okresy.

Produkt całkowity zmiennego czynnika produkcji (TR)- jest to ilość produktów wytworzonych przy określonej zawartości tego czynnika i przy niezmienionych pozostałych czynnikach produkcji.

Produkt przeciętny zmiennego czynnika produkcji jest stosunkiem całkowitego produktu czynnika zmiennego do ilości tego czynnika użytego. Na przykład średni produkt pracy AP(L) to całkowity produkt pracy TP(L) podzielony przez liczbę godzin pracy (L):

Prezentowana wartość to produktywność pracy lub wielkość produkcji na każdą godzinę pracy.

Przeciętny produkt kapitałowy:

Produkt krańcowy zmiennego czynnika produkcji jest zmianą całkowitego iloczynu tego czynnika (na przykład TR L), gdy zastosowany współczynnik zmienia się o jedną jednostkę (na przykład współczynnik pracy (L) zmienia się o jeden, i kapitał się nie zmienia).

gdzie F jest czynnikiem produkcji (L lub K).

Prawo malejących przychodów(produktywność krańcowa czynników produkcji):

W kontekście działalności produkcyjnej przedsiębiorstwo musi wykorzystywać główne czynniki produkcji w określonej proporcji pomiędzy zasobami stałymi i zmiennymi. Jeżeli przedsiębiorstwo zwiększa tylko liczbę czynników zmiennych bez zmiany współczynnika stałego, to w tym przypadku prawo malejących przychodów.

Prawo malejącej produktywności krańcowej czynników produkcji stwierdza, że ​​jeśli firma zwiększy wykorzystanie tylko niektórych lub jednego z czynników produkcji, to wzrost produkcji wynikający z dodatkowej ilości tych czynników w końcu zacznie spadać.

Zgodnie z prawem ciągłe zwiększanie wykorzystania jednego zmiennego zasobu w połączeniu ze stałą ilością innych zasobów na pewnym etapie doprowadzi do zaprzestania rosnących przychodów, a następnie ich zmniejszenia. Należy zaznaczyć, że dość często prawo zakłada stały poziom technologiczny produkcji, dlatego przejście na bardziej zaawansowaną technologię może zwiększyć zyski niezależnie od stosunku czynników stałych i zmiennych.

Rozważ następujący przykład. Jak zmieni się rentowność czynnika zmiennego w krótkim okresie w przedsiębiorstwie, jeśli część zasobów lub czynników produkcji pozostanie stała? W krótkim okresie przedsiębiorstwo nie jest w stanie uruchomić nowych warsztatów, zainstalować nowego sprzętu itp.

Załóżmy, że przedsiębiorstwo w swojej działalności wykorzystuje tylko jeden zasób zmienny – pracę, której zwrotem jest produktywność. Należy określić, jak będą się zmieniać koszty firmy wraz ze stopniowym wzrostem zasobu zmiennego (liczby pracowników).

W małym warsztacie na 3 sztuki sprzętu jeden pracownik wytwarza 5 sztuk na zmianę. Przy zaangażowaniu drugiego pracownika wspólnie wyrobią 12 produktów na zmianę, trzeci – 20, czwarty – 25, piąty – także 25, szósty – 20. Dodanie drugiego pracownika powoduje wzrost 7 jednostek, trzecia - 8 jednostek, czwarta - 5 jednostek, piąta - w ogóle nie daje wzrostu. Zatem już od czwartej jednostki czynnika zmiennego ustalamy malejące zyski. To samo widzimy w przypadku średniej wielkości produkcji. Jeden pracownik – 5 sztuk, dwa – 6, trzy – 6,7, cztery – 6,2, pięć – 5, sześć – 3,3. Powstaje pytanie, dlaczego stopa zwrotu spada tak gwałtownie? Ponieważ przy tej samej mocy produkcyjnej (trzy maszyny) piąty i szósty pracownik nie są już po prostu zbędni, lecz zakłócają racjonalny proces produkcji.

Tabela 5.3

Liczba pracowników (L)	Całkowita wydajność (TP)	Najwyższa wydajność (MP)	Średnia produktywność (AP)

Zapiszmy podane dane w tabeli. 5.3 i skonstruuj odpowiednie wykresy 5.6 i 5.7.

Te tabele i oparte na nich wykresy wskazują, że od pewnego momentu spada zarówno produktywność całkowita, krańcowa, jak i średnia. To jest esencja prawo malejących przychodów.

Korzyści skali

Efekt prawa malejących przychodów można wyeliminować w przypadku otwarcia przez spółkę dodatkowych zakładów produkcyjnych, czyli uruchomienia nowych mocy produkcyjnych. W istocie nastąpi wzrost potencjału produkcyjnego – zasób stały (okres długoterminowy)

W dłuższej perspektywie wykorzystanie czynników produkcji (L i K) należy traktować jako zmienne. Wynika to z faktu, że przedsiębiorstwo może aktywnie zmieniać przyciągane zasoby produkcyjne. W takim przypadku wszystkie koszty przedsiębiorstwa będą działać jako zmienne.

Charakteryzuje się zależnością pomiędzy wzrostem czynników produkcji a wielkością produkcji korzyści skali:

Korzyści skali
Stan odrzutu	Stosunek wielkości produkcji do kosztów	Stan kosztów
Rosnące korzyści skali (dodatnie korzyści skali)	Wielkość produkcji rośnie szybciej niż koszty	Koszty przeciętne spadają
Malejące korzyści skali (niekorzyści skali)	Wolumen produkcji rośnie wolniej niż koszty	Koszty przeciętne rosną
Stałe zyski skali	Wielkość produkcji i koszty rosną w tym samym tempie	Koszty przeciętne pozostają bez zmian

Korzyści skali będą dodatnie, jeśli wraz ze wzrostem wielkości produkcji maleją średnie koszty brutto, a ujemne, jeśli wzrosną.

Analiza kosztów przedsiębiorstwa w perspektywie krótko- i długoterminowej jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym do planowania produkcji wyrobów w najbliższej i przyszłej przyszłości. Minimalizacja kosztów nie jest celem samym w sobie, a jedynie sposobem na zwiększenie zysków lub ograniczenie strat, a w efekcie – zapewnienie stabilności i trwałości pozycji firmy na rynku.

Zatem jeśli w krótkim okresie dla przedsiębiorstwa ważne jest znalezienie optymalnego stosunku czynników produkcji (K, L), to w dłuższej perspektywie przedsiębiorstwo rozwiązuje problem wyboru wymaganej skali działania przedsiębiorstwa.

Zależność ilości wyprodukowanego dobra od odpowiednich czynników produkcji, za pomocą których jest on wytwarzany. Przyjrzyjmy się tej koncepcji bardziej szczegółowo.

Funkcja produkcji zawsze ma określoną postać, ponieważ jest przeznaczona dla określonej technologii. Wprowadzenie nowych osiągnięć technologicznych pociąga za sobą zmianę lub utworzenie nowego rodzaju zależności.

Funkcja ta służy do znalezienia optymalnej (minimalnej) wysokości kosztów, które są niezbędne do wyprodukowania określonej liczby towarów. Wszystkie funkcje produkcji, niezależnie od tego, co wyrażają, charakteryzują się następującymi ogólnymi właściwościami:

Wzrost wolumenu wyprodukowanego towaru dzięki tylko jednemu czynnikowi (zasobowi) ma skończoną granicę (w jednym pomieszczeniu może normalnie pracować tylko określona liczba pracowników, ponieważ liczba miejsc jest ograniczona obszarem);

Czynniki produkcji mogą być wymienne i komplementarne (pracownicy i narzędzia).

W najbardziej ogólnej formie funkcja produkcji wygląda następująco:

Q = f(K, L, M, T, N), w tym wzorze

Q to ilość wyprodukowanych towarów;

K - sprzęt (kapitał);

M - koszt materiałów i surowców;

T - zastosowane technologie;

N - zdolności przedsiębiorcze.

Rodzaje funkcji produkcji

Istnieje wiele rodzajów tej zależności, które uwzględniają wpływ jednego lub kilku najważniejszych czynników. Najbardziej znane są jednak dwa główne typy funkcji produkcji: model dwuczynnikowy w postaci Q = f (L; K) oraz funkcja Cobba-Douglasa.

Model dwuczynnikowy Q = f (L; K)

Model ten uwzględnia zależność produkcji (Q) od (L) i kapitału (L). Dość często do analizy tego modelu wykorzystuje się grupę izokwantów. Izokwanta to krzywa łącząca wszystkie możliwe punkty kombinacji, które pozwalają na wyprodukowanie określonej ilości towaru. Oś X zwykle pokazuje koszty pracy, a oś Y zwykle pokazuje koszty kapitału. Na tym samym wykresie narysowanych jest kilka izokwantów, z których każda odpowiada określonej wielkości produkcji przy zastosowaniu określonej technologii. Rezultatem jest mapa izokwantów z różną ilością wyprodukowanych towarów. Będzie to funkcja produkcyjna dla tego przedsiębiorstwa.

Izokwanty mają następujące ogólne właściwości:

Wklęsły i skierowany w dół izokwant wynika z faktu, że zmniejszenie wykorzystania kapitału przy stabilnej wielkości wyprodukowanych dóbr powoduje wzrost kosztów pracy;

Wklęsły kształt krzywej izokwanty zależy od maksymalnej dopuszczalnej stopy substytucji technologicznej (ilości kapitału, która może zastąpić 1 dodatkową jednostkę pracy).

Funkcja Cobba-Douglasa

Ta funkcja produkcji, nazwana na cześć dwóch amerykańskich odkrywców, gdzie całkowita wielkość produkcji Y zależy od zasobów wykorzystanych w procesie produkcyjnym, na przykład pracy L i kapitału K. Jej wzór jest następujący:

gdzie α i b są stałymi (α>0 i b>0);

K i L to odpowiednio kapitał i praca.

Jeżeli suma stałych α i b jest równa jedności, to ogólnie przyjmuje się, że taka funkcja ma stałą produkcji. Jeśli parametry K i L zostaną pomnożone przez dowolny współczynnik, wówczas Y również należy pomnożyć przez ten sam współczynnik.

Model Cobba-Douglasa można zastosować w przypadku dowolnej indywidualnej firmy. W tym przypadku α to udział całkowitych kosztów przeznaczanych na kapitał, a β to udział w pracy. Modele Cobba-Douglasa mogą również zawierać więcej niż dwie zmienne. Na przykład, jeśli N jest, to funkcja produkcji przyjmuje postać Y=AKαLβNγ, gdzie γ jest stałą (γ>0), a α + β + γ = 1.

Produkcja to proces tworzenia różnych rodzajów produktu gospodarczego. Pojęcie produkcji charakteryzuje specyficznie ludzki rodzaj wymiany substancji z przyrodą, a dokładniej proces aktywnego przekształcania przez ludzi zasobów naturalnych w celu stworzenia niezbędnych warunków materialnych dla ich egzystencji.

Proces produkcyjny to celowy proces przekształcania różnych przedmiotów w produkty produkcji, regulowany przez człowieka za pomocą środków pracy.

Funkcja produkcji charakteryzuje techniczną zależność między zasobami a produkcją i opisuje cały zestaw metod efektywnych technologicznie. Każdą metodę można opisać funkcją produkcji.

Funkcja produkcji opisuje zbiór technicznie efektywnych metod produkcji. Każda metoda produkcji (lub proces produkcyjny) charakteryzuje się pewną kombinacją zasobów, która nie jest warunkowo konieczna do uzyskania jednostki produkcji na danym poziomie technologii. Metodę A uważa się za skuteczną technicznie w porównaniu z metodą B, jeżeli polega ona na wykorzystaniu przynajmniej jednego zasobu w mniejszej ilości, a wszystkich pozostałych nie w większych ilościach niż metoda B. Ta ostatnia jest uważana za nieskuteczną technicznie w porównaniu z metodą A. Metody nieskuteczne technicznie nie są używany racjonalny przedsiębiorca. Jeżeli metoda A polega na zużyciu jednych zasobów w większych, a innych w mniejszych ilościach niż metoda B, to metody te są nieporównywalne pod względem efektywności technicznej. W tym przypadku obydwie metody uznawane są za efektywne technicznie i zaliczane do funkcji produkcji. To, który z nich faktycznie zostanie wybrany i przydzielony, zależy od stosunku cen odpowiednich zasobów. Wybór ten opiera się na związanych z tym kryteriach efektywności ekonomicznej ^Porównaj z aksjomatem nienasycenia w teorii zachowań konsumenckich, który omówimy na końcu rozdziału. Tutaj ważne jest pod. Należy podkreślić, że istnieje zasadnicza różnica pomiędzy pojęciami efektywności technicznej i ekonomicznej. Należy także pamiętać, że zmiana relacji cen surowców może sprawić, że wybrana wcześniej, skuteczna technicznie i ekonomicznie metoda, stanie się nieefektywna ekonomicznie i odwrotnie.

Firmy ponoszą koszty, gdy pozyskują zasoby do produkcji dóbr*: usług, które zamierzają sprzedać. Funkcję produkcji można wykorzystać do zbadania związku między procesem produkcyjnym firmy a jej kosztami całkowitymi.

Funkcja produkcji to równanie ekonomiczne i matematyczne, które łączy zmienne wartości kosztów (zasobów) z wartościami produkcji (produkcji). Funkcja produkcji służy do analizy wpływu różnych kombinacji czynników na wielkość produkcji w określonym momencie (wersja statyczna) oraz do analizy i przewidywania stosunku wielkości czynników do wielkości produkcji w różnych punktach czasu. czasu (wersja dynamiczna) na różnych poziomach gospodarki – od firmy (przedsiębiorstwa) do gospodarki narodowej jako całości. W pojedynczej firmie, korporacji itp. funkcja produkcji opisuje maksymalną wielkość produkcji, jaką są w stanie wyprodukować dla każdej kombinacji zastosowanych czynników produkcji.

W teorii produkcji tradycyjnie stosuje się dwuczynnikową funkcję produkcji, charakteryzującą zależność pomiędzy maksymalną możliwą wielkością produkcji (Q) a ilością wykorzystanych zasobów pracy (L) i kapitału (K):

Wyjaśnia to nie tylko wygoda wyświetlania graficznego, ale także fakt, że specyficzne zużycie materiałów w wielu przypadkach słabo zależy od wielkości produkcji, a taki czynnik, jak przestrzeń produkcyjna, jest zwykle brany pod uwagę wraz z kapitałem. W tym przypadku zasoby L i K oraz produkcja Q są rozpatrywane w kategoriach przepływu, tj. w jednostkach użytkowania (produkcji) na jednostkę czasu. Graficznie każdą metodę produkcji można przedstawić za pomocą punktu, którego współrzędne charakteryzują minimalne ilości zasobów L i A niezbędnych do wytworzenia danej wielkości produkcji, a funkcję produkcji można przedstawić za pomocą linii równej produkcji, lub izokwantowy, tak jak w teorii konsumpcji krzywa obojętności charakteryzuje ten sam poziom zadowolenia, czyli użyteczności, z różnych kombinacji dóbr konsumpcyjnych.

Zatem na mapie produkcji każda izokwanta reprezentuje zbiór minimalnych wymaganych kombinacji zasobów produkcyjnych lub technicznie efektywnych sposobów wytworzenia określonej wielkości produkcji. Im dalej izokwant jest położony od początku układu współrzędnych, tym większą wielkość produkcji reprezentuje. Co więcej, w przeciwieństwie do krzywych obojętności, każda izokwanta charakteryzuje ilościowo określoną wielkość produkcji.

Dany poziom produkcji można osiągnąć stosując różne kombinacje nakładów kapitału i pracy. Krzywe opisane warunkami j(K, L) = const. nazywane są izokwantami. Zwykle przyjmuje się, że wraz ze wzrostem wartości jednej ze zmiennych niezależnych maleje krańcowa stopa substytucji danego czynnika produkcji. Zatem przy zachowaniu stałego wolumenu produkcji, oszczędności jednego rodzaju kosztów związane ze wzrostem kosztów innego czynnika stopniowo maleją. Na przykładzie funkcji produkcji Cobba-Douglasa rozważmy główne wnioski, jakie można uzyskać na podstawie propozycji tego lub innego rodzaju funkcji produkcji. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa, która obejmuje dwa czynniki produkcji, ma postać

gdzie A, b, c są parametrami modelu. Wartość A zależy od jednostek miary Q, K i L, a także od efektywności procesu produkcyjnego.

Dla ustalonych wartości K i L funkcja Q charakteryzująca się większą wartością parametru A ma większą wartość, dlatego proces produkcyjny opisywany taką funkcją jest bardziej efektywny. Opisana funkcja produkcji jest jednoznaczna i ciągła (dla dodatnich K i L). Parametry b i c nazywane są współczynnikami sprężystości. Pokazują, o ile średnio Q zmieni się, jeśli b lub c wzrośnie o 1%.

Rozważmy zachowanie funkcji Q przy zmianie skali produkcji. Załóżmy, że koszty każdego czynnika produkcji wzrosły 100%. Następnie nowa wartość funkcji zostanie wyznaczona w następujący sposób:

Co więcej, jeśli b + c = 1, to poziom efektywności nie zależy od skali produkcji. Jeśli b + c< 1, то средние издержки, рассчитанные на единицу продукции, растут, а при б + в >1 – zmniejsza się wraz ze wzrostem skali produkcji. Należy zauważyć, że właściwości te nie zależą od wartości liczbowych K, L funkcji produkcji. Aby określić parametry i rodzaj funkcji produkcji, należy przeprowadzić dodatkowe obserwacje. Z reguły stosuje się dwa rodzaje danych – szeregi dynamiczne (czasowe) i dane z jednoczesnej obserwacji (informacje przestrzenne). Szeregi czasowe wskaźników ekonomicznych charakteryzują zachowanie tej samej firmy w czasie, natomiast dane drugiego typu dotyczą zazwyczaj tego samego momentu, ale różnych firm. W przypadku, gdy badacz dysponuje szeregiem czasowym, np. danymi rocznymi charakteryzującymi działalność tej samej firmy, pojawiają się trudności, jakich nie napotkałby pracując z danymi przestrzennymi. Tym samym ceny względne zmieniają się w czasie, a co za tym idzie, zmienia się także optymalna kombinacja kosztów poszczególnych czynników produkcji. Ponadto poziom zarządzania administracyjnego zmienia się w czasie. Jednak główne problemy przy stosowaniu szeregów czasowych generują konsekwencje postępu technicznego, w wyniku którego zmieniają się stawki kosztów czynników produkcji, stosunki, w jakich mogą się one wzajemnie zastępować, a także parametry wydajności. W rezultacie nie tylko parametry, ale także formy funkcji produkcji mogą zmieniać się w czasie. Korektę na postęp technologiczny można wprowadzić wykorzystując pewien trend czasowy zawarty w funkcji produkcji. Następnie

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa, biorąc pod uwagę postęp techniczny, ma postać

W wyrażeniu tym parametr a, za pomocą którego charakteryzuje się postęp techniczny, pokazuje, że wielkość produkcji wzrasta corocznie o i procent, niezależnie od zmian kosztów czynników produkcji, a w szczególności wielkości nowych inwestycji. Ta forma postępu technicznego, niezwiązana z żadnym wkładem pracy ani kapitału, nazywana jest „niematerialnym postępem technicznym”. Jednak takie podejście nie jest do końca realistyczne, gdyż nowe odkrycia nie mogą mieć wpływu na funkcjonowanie starych maszyn, a zwiększanie wolumenu produkcji możliwe jest jedynie poprzez nowe inwestycje. Przy odmiennym podejściu do postępu technicznego, dla każdej „grupy wiekowej” kapitału konstruowana jest jej własna funkcja produkcji. W tym przypadku funkcja Cobba-Douglasa będzie miała postać

gdzie Qt(v) to ilość produktów wyprodukowanych w okresie t na sprzęcie oddanym do użytku w okresie v; Lt(v) to koszty pracy w okresie t związane z obsługą urządzeń oddanych do użytku w okresie v, a Kt(v) to środki trwałe oddane do użytku w okresie v i wykorzystane w okresie t. Parametr v w takiej funkcji produkcji odzwierciedla stan postępu technicznego. Następnie dla okresu t konstruowana jest zagregowana funkcja produkcji, która przedstawia zależność całkowitej wielkości produkcji Qt od całkowitych kosztów pracy Lt i kapitału Kt w chwili t. W przypadku wykorzystania informacji przestrzennej do skonstruowania funkcji produkcji, tj. danych dotyczących kilku firm w tym samym momencie, pojawiają się problemy innego rodzaju. Ponieważ wyniki obserwacji odnoszą się do różnych firm, przy ich wykorzystaniu zakłada się, że zachowanie wszystkich firm można opisać za pomocą tej samej funkcji. Dla pomyślnej interpretacji ekonomicznej powstałego modelu pożądane jest, aby wszystkie te firmy należały do ​​tej samej branży. Ponadto uważa się, że mają one w przybliżeniu takie same możliwości produkcyjne i poziomy zarządzania administracyjnego. Omówione powyżej funkcje produkcji miały charakter deterministyczny i nie uwzględniały wpływu zaburzeń losowych właściwych każdemu zjawisku gospodarczemu. Dlatego w każdym równaniu, którego parametry mają być szacowane, konieczne jest wprowadzenie zmiennej losowej e, która będzie odzwierciedlać wpływ na proces produkcji wszystkich tych czynników, które nie są jawnie ujęte w funkcji produkcji. Zatem ogólnie funkcję produkcji Cobba-Douglasa można przedstawić jako

Otrzymaliśmy model regresji potęgowej, oszacowania parametrów A, b i c można znaleźć metodą najmniejszych kwadratów, jedynie stosując transformację logarytmiczną. Następnie mamy i-tą obserwację

gdzie Qi, Ki i Li to odpowiednio wielkość produkcji, koszty kapitału i pracy dla i-tej obserwacji (i = 1, 2, ..., n), a n to wielkość próby, tj. liczba obserwacji wykorzystanych do otrzymania oszacowań ln, oraz - parametry funkcji produkcji. W odniesieniu do ei zwykle przyjmuje się, że są one od siebie niezależne oraz ei O N(0, y). Bazując na rozważaniach apriorycznych, wartości b i c muszą spełniać warunki 0< б < 1 и 0 < в < 1. Если предположить, что с изменением масштабов производства уровень эффективности остается постоянным, то, приняв, что в = 1 -- б, имеем

Stosując tę ​​formę wyrażenia funkcji produkcji, można wyeliminować wpływ wieloliniowości pomiędzy ln K i ln L.

Należy również zauważyć, że z koncepcją funkcji produkcji przedsiębiorstwa powiązane są trzy następujące ważne pojęcia: produkt całkowity (całkowity), średni i krańcowy.

Na ryc. 22.1 a przedstawia krzywą iloczynu całkowitego (TP), która zmienia się w zależności od wartości zmiennej współczynnika X. Na krzywej TP zaznaczono trzy punkty: B – punkt przegięcia, C – punkt należący do stycznej pokrywającej się z prostą łącząc ten punkt ze współrzędnymi początkowymi, D - punkt maksymalnej wartości TP. Punkt A porusza się wzdłuż krzywej TP. Łącząc punkt A z początkiem, otrzymujemy linię OA. Zrzucając prostopadłą z punktu A na oś x, otrzymujemy trójkąt OAM, gdzie tg a jest stosunkiem boku AM do OM, czyli wyrażeniem iloczynu średniego (AP).

Obrazek 1. a) Krzywa produktu całkowitego (TR); b) krzywa produktu przeciętnego (AP) i produktu krańcowego (MP)

Rysując styczną przez punkt A, otrzymujemy kąt P, którego tangens wyrazi iloczyn ograniczający MP. Porównując trójkąty LAM i OAM, stwierdzamy, że do pewnego punktu styczna P jest większa niż tg a. Zatem produkt krańcowy (MP) jest większy niż produkt przeciętny (AP). W przypadku, gdy punkt A pokrywa się z punktem B, styczna P przyjmuje swoją wartość maksymalną i tym samym iloczyn krańcowy (MP) osiąga największą objętość. Jeśli punkt A pokrywa się z punktem C, wówczas wartości iloczynu średniego i krańcowego są równe. Produkt krańcowy (MP), osiągając maksymalną wartość w punkcie B (ryc. 22, b), zaczyna się kurczyć i w punkcie C przecina się z wykresem produktu przeciętnego (AP), który w tym momencie osiąga maksimum wartość. Zmniejsza się wtedy zarówno produkt krańcowy, jak i przeciętny, ale produkt krańcowy zmniejsza się w szybszym tempie. W punkcie maksymalnego produktu całkowitego (TP) produkt krańcowy MP = 0.

Widzimy, że najbardziej efektywną zmianę współczynnika zmiennej X obserwuje się na odcinku od punktu B do punktu C. Tutaj iloczyn krańcowy (MP) po osiągnięciu wartości maksymalnej zaczyna się zmniejszać, produkt przeciętny (AP) nadal rośnie największy wzrost odnotowuje produkt całkowity (TP).

Zatem produkcja odnosi się do wszelkiej działalności człowieka, która przekształca ograniczone zasoby - materialne, robociznę, naturalne - w gotowe produkty. Funkcja produkcji charakteryzuje relację pomiędzy ilością wykorzystanych zasobów (czynników produkcji) a maksymalną możliwą do osiągnięcia produkcją przy pełnym i najbardziej efektywnym wykorzystaniu wszystkich dostępnych zasobów. Funkcja produkcji ma następujące właściwości: istnieje granica wzrostu produkcji, jaki można osiągnąć przy wzroście jednego zasobu, przy niezmienionym poziomie pozostałych zasobów. Jeśli np. w rolnictwie zwiększymy ilość pracy przy stałej ilości kapitału i ziemi, to prędzej czy później nadejdzie moment, w którym produkcja przestanie rosnąć; zasoby uzupełniają się, ale w pewnych granicach możliwa jest ich wymienność bez zmniejszania produkcji.

Federalna Agencja Edukacji Federacji Rosyjskiej

Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej

„Uniwersytet Państwowy Uralu Południowego”

Wydział Mechaniki i Matematyki

Katedra Matematyki Stosowanej i Informatyki

Funkcja produkcyjna przedsiębiorstwa: istota, rodzaje, zastosowanie.

NOTA OBJAŚNIAJĄCA DO PRACY KURSU (PROJEKT)

w dyscyplinie (specjalizacji) „Mikroekonomia”

SUSU–080116 . 2010.705.PZ KR

Kierownik, profesor nadzwyczajny

wiceprezes Borodkin

Uczeń grupy MM-140

N.N. Basałajewa

2010

Praca (projekt) zabezpieczona

z oceną (słownie, liczbowo)

___________________________

2010

Czelabińsk 2010

WSTĘP……………………………………………………………………………..3

POJĘCIE PRODUKCJI I FUNKCJE PRODUKCJI…..7

2.1. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa……………………………..13

2.2. Funkcja produkcji CES…………………………………………………13

2.3. Funkcja produkcji o stałych proporcjach………...14

2.4. Funkcja wejścia-wyjścia produkcji (funkcja Leontiefa)…14

2.5. Funkcja produkcji analizy metod działalności produkcyjnej……………………………………………………………………………14

2.6. Liniowa funkcja produkcji……………………………………………………15

2.7. Izokwant i jego rodzaje……………………………………………………….16

PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIE FUNKCJI PRODUKCJI.

3.1 Modelowanie kosztów i zysków przedsiębiorstwa (firmy)………...21

3.2 Metody rozliczania postępu naukowo-technicznego………………………..28

WNIOSEK……………………………………………………………...34

Bibliografia…………………………………………………35

WSTĘP

Działalność gospodarcza może być prowadzona przez różne podmioty - osoby fizyczne, rodzinę, państwo itp., ale główne funkcje produkcyjne w gospodarce dotyczą przedsiębiorstwa lub firmy. Z jednej strony firma jest złożonym systemem materialnym, technologicznym i społecznym, zapewniającym wytwarzanie dóbr ekonomicznych. Z drugiej strony jest to sama działalność polegająca na organizowaniu produkcji różnych towarów i usług. Jako system wytwarzający dobra ekonomiczne, firma jest integralna i działa jako niezależna jednostka reprodukcyjna, stosunkowo odizolowana od innych jednostek. Firma samodzielnie prowadzi swoją działalność, zarządza wytwarzanymi produktami i uzyskanym zyskiem, pozostałym po opłaceniu podatków i innych płatności.

Czym zatem jest funkcja produkcji? Zajrzyjmy do słownika i dowiedzmy się, co następuje:

FUNKCJA PRODUKCJI to równanie ekonomiczne i matematyczne, które łączy zmienne wartości kosztów (zasobów) z wartościami produkcji (produkcji). Funkcje produkcji służą do analizy wpływu różnych kombinacji czynników na wielkość produkcji w określonym momencie (statyczna wersja funkcji produkcji) oraz do analizy i przewidywania stosunku wielkości czynników do wielkości produkcji w danym momencie. różnych momentach w czasie (dynamiczna wersja funkcji produkcji) na różnych poziomach gospodarki - od firmy (przedsiębiorstwa) do gospodarki narodowej jako całości (zagregowana funkcja produkcji, w której produkcja jest wskaźnikiem całkowitego produktu społecznego lub narodowego dochody itp.). W pojedynczej firmie, korporacji itp. funkcja produkcji opisuje maksymalną wielkość produkcji, jaką są w stanie wyprodukować dla każdej kombinacji zastosowanych czynników produkcji. Można go przedstawić za pomocą wielu izokwantów powiązanych z różnymi poziomami wydajności.

Ten typ funkcji produkcji, gdy ustalono wyraźną zależność wielkości produkcji od dostępności lub zużycia zasobów, nazywa się funkcją produkcji.

W szczególności funkcje produkcji znajdują szerokie zastosowanie w rolnictwie, gdzie wykorzystuje się je do badania wpływu na plonowanie takich czynników jak np. różne rodzaje i składy nawozów oraz metody uprawy gleby. Oprócz podobnych funkcji produkcji stosuje się odwrotne do nich funkcje kosztów produkcji. Charakteryzują zależność kosztów zasobów od wielkości produkcji (ściśle rzecz biorąc, są one odwrotne tylko do funkcji produkcji przy zasobach wymiennych). Szczególne przypadki funkcji produkcji można uznać za funkcję kosztu (zależność między wielkością produkcji a kosztami produkcji), funkcję inwestycyjną (zależność wymaganych inwestycji kapitałowych od zdolności produkcyjnej przyszłego przedsiębiorstwa) itp.

Matematycznie funkcje produkcji można przedstawić w różnych postaciach - od tak prostej, jak liniowa zależność wyniku produkcji od jednego badanego czynnika, po bardzo złożone układy równań zawierające relacje rekurencyjne, które wiążą stany badanego obiektu w różnych okresach czasu.

Najszerzej stosowane są multiplikatywne formy potęgi reprezentujące funkcje produkcji. Ich osobliwość jest następująca: jeśli jeden z czynników jest równy zero, wynik staje się zerowy. Łatwo zauważyć, że realistycznie odzwierciedla to fakt, że w większości przypadków w produkcji zaangażowane są wszystkie analizowane zasoby pierwotne i bez któregokolwiek z nich produkcja nie jest możliwa. W najbardziej ogólnej formie (zwanej kanoniczną) funkcja ta jest zapisana w następujący sposób:

Lub

Tutaj współczynnik A przed znakiem mnożenia uwzględnia wymiar, zależy to od wybranej jednostki miary wejść i wyjść. Czynniki od pierwszego do n-tego mogą mieć różną zawartość w zależności od tego, jakie czynniki wpływają na ogólny wynik (produkt). Na przykład w funkcji produkcji, która służy do badania gospodarki jako całości, za efektywny wskaźnik można przyjąć wielkość produktu końcowego, a czynnikami są liczba zatrudnionych x 1, suma stałych i kapitał obrotowy x 2, a powierzchnia użytkowanego gruntu x 3. W funkcji Cobba-Douglasa występują tylko dwa czynniki, za pomocą których podjęto próbę oceny związku czynników takich jak praca i kapitał ze wzrostem dochodu narodowego USA w latach 20-30. XX wiek:

N = ZA L α K β,

gdzie N jest dochodem narodowym; L i K to odpowiednio wielkość zastosowanej pracy i kapitału.

Współczynniki (parametry) mocy multiplikatywnej funkcji produkcji mocy pokazują udział procentowy wzrostu produktu końcowego, na który składa się każdy z czynników (lub o ile procent produkt wzrośnie, jeśli koszty odpowiedniego zasobu wzrosną o jeden procent); są to współczynniki elastyczności produkcji w stosunku do kosztów odpowiednich zasobów. Jeśli suma współczynników wynosi 1, oznacza to, że funkcja jest jednorodna: rośnie proporcjonalnie do wzrostu liczby zasobów. Ale możliwe są również przypadki, gdy suma parametrów jest większa lub mniejsza niż jeden; pokazuje to, że wzrost nakładów prowadzi do nieproporcjonalnie większego lub nieproporcjonalnie mniejszego wzrostu produkcji (ekonomia skali).

W wersji dynamicznej stosowane są różne formy funkcji produkcji. Na przykład (w przypadku dwuczynnikowym): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), gdzie współczynnik A(t) zwykle rośnie w czasie, odzwierciedlając ogólny wzrost efektywność czynników produkcji w czasie.

Biorąc logarytm, a następnie różniczkując tę ​​funkcję ze względu na t, można otrzymać zależność pomiędzy tempem wzrostu produktu końcowego (dochodu narodowego) a wzrostem czynników produkcji (tempo wzrostu zmiennych jest tu zwykle opisywane jako procent ).

Dalsza „dynamizacja” funkcji produkcji może polegać na zastosowaniu zmiennych współczynników sprężystości.

Zależności opisane funkcją produkcji mają charakter statystyczny, tj. występują jedynie przeciętnie w dużej liczbie obserwacji, gdyż w rzeczywistości na wynik produkcji wpływają nie tylko czynniki analizowane, ale także wiele nieuwzględnionych. Ponadto zastosowane wskaźniki zarówno kosztów, jak i wyników są nieuchronnie produktami złożonej agregacji (na przykład uogólniony wskaźnik kosztów pracy w funkcji makroekonomicznej obejmuje koszty pracy o różnej produktywności, intensywności, kwalifikacjach itp.).

Szczególnym problemem jest uwzględnienie czynnika postępu technicznego w makroekonomicznych funkcjach produkcji. Za pomocą funkcji produkcji bada się także równoważną wymienność czynników produkcji, która może być stała lub zmienna (tj. zależna od wielkości zasobów). W związku z tym funkcje dzieli się na dwa typy: ze stałą elastycznością podstawienia (CES – Constant Elasticity of Substitution) i ze zmienną (VES – Variable Elasticity of Substitution).

W praktyce do wyznaczania parametrów makroekonomicznych funkcji produkcji stosuje się trzy główne metody: opartą na przetwarzaniu szeregów czasowych, opartą na danych o elementach strukturalnych agregatów oraz o podziale dochodu narodowego. Ostatnia metoda nazywa się dystrybucją.

Konstruując funkcje produkcji, należy pozbyć się zjawisk współliniowości parametrów i autokorelacji - w przeciwnym razie rażące błędy są nieuniknione.

Oto kilka ważnych funkcji produkcyjnych

Liniowa funkcja produkcji:

P = za 1 x 1 + ... + za n x n,

gdzie a 1, ..., an są oszacowanymi parametrami modelu: tutaj czynniki produkcji są podstawione w dowolnych proporcjach.

Funkcja CES:

P = ZA [(1 – α) K - b + αL - b ] - do / b ,

w tym przypadku elastyczność substytucji zasobów nie zależy ani od K, ani od L i dlatego jest stała:

Stąd wzięła się nazwa funkcji.

Funkcja CES, podobnie jak funkcja Cobba-Douglasa, opiera się na założeniu stałego zmniejszania się krańcowej stopy substytucji zużywanych zasobów. Tymczasem elastyczność substytucji kapitału za pracę i odwrotnie, pracy za kapitał w funkcji Cobba-Douglasa, równa jedności, może tutaj przyjmować różne wartości, które nie są równe jedności, chociaż jest stała. Wreszcie, w odróżnieniu od funkcji Cobba-Douglasa, przyjęcie logarytmu funkcji CES nie prowadzi jej do postaci liniowej, co wymusza zastosowanie bardziej złożonych metod analizy regresji nieliniowej do estymacji parametrów.

1. POJĘCIE PRODUKCJI I FUNKCJE PRODUKCJI.

Produkcja to każda działalność polegająca na wykorzystaniu zasobów naturalnych, materialnych, technicznych i intelektualnych w celu uzyskania korzyści zarówno materialnych, jak i niematerialnych.

Wraz z rozwojem społeczeństwa ludzkiego zmienia się charakter produkcji. We wczesnych stadiach rozwoju człowieka dominowały naturalne, naturalne, naturalnie występujące elementy sił wytwórczych. A sam człowiek w tamtym czasie był w dużej mierze wytworem natury. Produkcja w tym okresie nazywana była naturalną.

Wraz z rozwojem środków produkcji zaczynają dominować historycznie stworzone elementy materialne i techniczne sił wytwórczych. To jest era kapitału. Obecnie decydujące znaczenie mają wiedza, technologia i zasoby intelektualne samego człowieka. Nasza era to era informatyzacji, era dominacji elementów naukowo-technicznych sił wytwórczych. Posiadanie wiedzy i nowych technologii jest kluczowe w produkcji. W wielu krajach rozwiniętych za cel stawia się powszechną informatyzację społeczeństwa. Światowa sieć komputerowa Internet rozwija się w niesamowitym tempie.

Tradycyjnie rolę ogólnej teorii produkcji pełni teoria produkcji materialnej, rozumianej jako proces przekształcania zasobów produkcyjnych w produkt. Głównymi zasobami produkcyjnymi są praca ( L) i kapitał ( K). Metody produkcji lub istniejące technologie produkcji określają, ile produktu zostanie wyprodukowane przy danej ilości pracy i kapitału. Matematycznie istniejące technologie wyrażają się poprzez funkcja produkcyjna. Jeśli oznaczymy wielkość produkcji przez Y, to można zapisać funkcję produkcji

Y= F(K, L).

Wyrażenie to oznacza, że ​​produkcja jest funkcją ilości kapitału i ilości pracy. Funkcja produkcji opisuje zbiór obecnie istniejących technologii. Jeśli zostanie wynaleziona lepsza technologia, to przy takim samym nakładzie pracy i kapitału produkcja wzrośnie. W konsekwencji zmiany technologiczne zmieniają funkcję produkcji. Metodologicznie teoria produkcji jest pod wieloma względami symetryczna w stosunku do teorii konsumpcji. Jeśli jednak w teorii konsumpcji główne kategorie są mierzone jedynie subiektywnie lub w ogóle nie podlegają pomiarowi, to główne kategorie teorii produkcji mają obiektywną podstawę i można je mierzyć w określonych jednostkach naturalnych lub kosztowych.

Pomimo tego, że pojęcie produkcji może wydawać się bardzo szerokie, niejasno wyrażone, a nawet niejasne, gdyż w praktyce przez produkcję rozumie się przedsiębiorstwo, plac budowy, gospodarstwo rolne, przedsiębiorstwo transportowe oraz bardzo dużą organizację, np. gałąź gospodarki narodowej, jednak modelowanie ekonomiczne i matematyczne podkreśla coś wspólnego dla wszystkich tych obiektów. Cechą wspólną jest proces przekształcania zasobów pierwotnych (czynników produkcji) w końcowe rezultaty tego procesu. Dlatego główną koncepcją wyjściową w opisie obiektu gospodarczego staje się metoda technologiczna, która jest zwykle przedstawiana jako wektor kosztów produkcji w, który obejmuje wyliczenie wolumenów wydatkowanych zasobów (wektor X) oraz informacje o wynikach ich przekształcenia w produkty końcowe lub inne cechy (zysk, rentowność itp.) (wektor y):

w= (X; y).

Wymiar wektorów X I y, a także sposoby ich pomiaru (w jednostkach naturalnych lub kosztowych) w istotny sposób zależą od badanego problemu, od poziomów, na których stawiane są określone zadania planowania i zarządzania gospodarczego. Zbiór wektorów metod technologicznych, które mogą służyć do opisu (z akceptowalną z punktu widzenia badacza dokładnością) procesu produkcyjnego faktycznie wykonalnego na określonym obiekcie, nazywa się zbiorem technologicznym V tego obiektu. Dla pewności założymy, że wymiar wektora kosztów X równy N i wektor uwalniania y odpowiednio M. Tym samym technologiczne w jest wektorem wymiaru ( M+ N) oraz zestaw technologiczny magnetowid +   M + N. Wśród wszystkich metod technologicznych wdrażanych w zakładzie szczególne miejsce zajmują metody, które wypadają korzystnie na tle wszystkich innych, ponieważ wymagają albo niższych kosztów przy tej samej wydajności, albo odpowiadają większej wydajności przy tych samych kosztach. Te z nich, które w pewnym sensie zajmują pozycję ograniczającą w zbiorze V, są szczególnie interesujące, ponieważ stanowią opis wykonalnego i marginalnie opłacalnego rzeczywistego procesu produkcyjnego.

Powiedzmy, że wektor ν (1) =(x (1) ;t (1) ) preferowane zamiast wektora ν (2) =(x (2) ;t (2) ) z oznaczeniem ν (1) > ν (2) jeśli spełnione są następujące warunki:

1) Na I (1) ≥ y I (2) (I=1,…,M);

2) X J (1) ≤ X J (2) (J=1,...M);

i zachodzi co najmniej jedno z poniższych:

a) istnieje taka liczba I 0 co Na I 0 (1) > y I 0 (2)

b) istnieje taka liczba J 0 co X J 0 (1) X J 0 (2)

Metodę technologiczną ۷ nazywamy efektywną, jeśli należy do zbioru technologicznego V i nie ma innego wektora ν Є V, który byłby lepszy od ۷. Powyższa definicja oznacza, że ​​za skuteczne uważa się te metody, których nie da się ulepszyć w żadnym elemencie kosztu ani w żadnej pozycji wytwarzanego produktu, nie przestając być akceptowalnymi. Zbiór wszystkich metod efektywnych technologicznie będzie oznaczony przez V*. Jest podzbiorem zbioru technologicznego V lub zbiega się z nim. Zasadniczo zadanie planowania działalności gospodarczej zakładu produkcyjnego można interpretować jako zadanie wyboru efektywnej metody technologicznej, która najlepiej odpowiada określonym warunkom zewnętrznym. Przy rozwiązywaniu takiego problemu wyboru dość istotne okazuje się pojęcie o samej naturze zestawu technologicznego. V, jak również jego efektywny podzbiór V*.

W wielu przypadkach okazuje się, że możliwe jest dopuszczenie w ramach stałej produkcji możliwości wymienności określonych zasobów (różne rodzaje paliw, maszyny i pracownicy itp.). Jednocześnie analiza matematyczna takich postępowań opiera się na założeniu o ciągłym charakterze zbioru V, a co za tym idzie, na zasadniczej możliwości przedstawienia wariantów wzajemnego zastępowania za pomocą zdefiniowanych funkcji ciągłych, a nawet różniczkowalnych V. Podejście to osiągnęło największy rozwój w teorii funkcji produkcji.

Korzystając z koncepcji efektywnego zbioru technologicznego, funkcję produkcji można zdefiniować jako odwzorowanie

y= F(X),

Gdzie ν=(x;y) ЄV*.

Wskazane odwzorowanie, najogólniej mówiąc, jest wielowartościowe, tj. pęczek F(X) zawiera więcej niż jeden punkt. Jednak dla wielu realistycznych sytuacji funkcje produkcji okazują się jednoznaczne, a nawet, jak wspomniano powyżej, różniczkowalne. W najprostszym przypadku funkcją produkcji jest funkcja skalarna N argumenty:

y = F(X 1 ,…, X N ).

Tutaj wartość y Z reguły ma charakter kosztowy, wyrażający w wartościach pieniężnych wielkość wytworzonych produktów. Argumentami są wielkości zasobów wydanych na wdrożenie odpowiedniej skutecznej metody technologicznej. Zatem powyższa zależność opisuje granicę zbioru technologicznego V, ponieważ dla danego wektora kosztów ( X 1 , ..., X N) do wytwarzania produktów w ilościach większych niż y, jest niemożliwe, a wytwarzanie wyrobów w ilościach mniejszych niż określone odpowiada nieefektywnej metodzie technologicznej. Wyrażenie na funkcję produkcji można wykorzystać do oceny efektywności przyjętego w danym przedsiębiorstwie sposobu zarządzania. W rzeczywistości dla danego zbioru zasobów można wyznaczyć rzeczywistą produkcję i porównać ją z tą obliczoną za pomocą funkcji produkcji. Powstała różnica dostarcza użytecznego materiału do oceny efektywności w wartościach bezwzględnych i względnych.

Funkcja produkcji jest bardzo przydatnym narzędziem do obliczeń planistycznych, dlatego obecnie opracowano statystyczne podejście do konstruowania funkcji produkcji dla konkretnych jednostek biznesowych. W tym przypadku zwykle stosuje się pewien standardowy zestaw wyrażeń algebraicznych, których parametry znajdują się za pomocą metod statystyki matematycznej. Podejście to zasadniczo oznacza oszacowanie funkcji produkcji w oparciu o ukryte założenie, że obserwowane procesy produkcyjne są efektywne. Spośród różnych typów funkcji produkcji najczęściej stosuje się funkcje liniowe postaci

ponieważ dla nich łatwo jest rozwiązać problem estymacji współczynników na podstawie danych statystycznych, a także funkcji potęgowych

dla których zadanie znalezienia parametrów sprowadza się do oszacowania postaci liniowej poprzez przejście do logarytmów.

Przy założeniu, że funkcja produkcji jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru X możliwe kombinacje wydatkowanych zasobów, warto rozważyć pewne wielkości związane z funkcją produkcji.

W szczególności mechanizm różnicowy

reprezentuje zmianę kosztu produkcji przy odchodzeniu od kosztów zestawu zasobów X=(X 1 , ..., X N) ustawić X+dx=(X 1 +dx 1 ,..., X N +dx N) pod warunkiem zachowania skuteczności odpowiednich metod technologicznych. Następnie wartość pochodnej cząstkowej

można interpretować jako krańcową (różnicową) produktywność zasobów lub innymi słowy współczynnik krańcowej produktywności, który pokazuje, o ile produkcja wzrośnie w wyniku wzrostu kosztu liczby zasobu J na małą jednostkę. Wartość krańcowej produktywności zasobu można interpretować jako górną granicę ceny P J, jaką zakład produkcyjny może zapłacić za dodatkową jednostkę J-tego zasobu, aby nie ponieść straty po jego nabyciu i wykorzystaniu. W rzeczywistości oczekiwany wzrost produkcji w tym przypadku będzie

i dlatego stosunek

wygeneruje dodatkowy zysk.

W krótkim okresie, gdy jeden zasób uważa się za stały, a drugi za zmienny, większość funkcji produkcji ma właściwość malejącego produktu krańcowego. Produkt krańcowy zasobu zmiennego to przyrost produktu całkowitego w wyniku wzrostu wykorzystania danego zasobu zmiennego o jedną jednostkę.

Krańcowy produkt pracy można zapisać jako różnicę

MPL= F(K, L+ 1) - F(K, L),

Gdzie MPL krańcowy produkt pracy.

Krańcowy produkt kapitału można również zapisać jako różnicę

MPK= F(K+ 1, L) - F(K, L),

Gdzie MPK krańcowy produkt kapitału.

Cechą charakterystyczną zakładu produkcyjnego jest także wartość przeciętnej produktywności zasobów (produktywności czynnika produkcyjnego)

mający jasne znaczenie ekonomiczne w postaci ilości produktów wytworzonych na jednostkę wykorzystanego zasobu (czynnik produkcji). Odwrotność efektywności wykorzystania zasobów

zwykle nazywana intensywnością zasobu, ponieważ wyraża ilość zasobu J wymagane do wytworzenia jednej jednostki produktu pod względem wartości. Bardzo powszechnymi i zrozumiałymi pojęciami są kapitałochłonność, materiałochłonność, energochłonność i pracochłonność, których wzrost zwykle wiąże się z pogorszeniem stanu gospodarki, a ich spadek uważa się za wynik korzystny.

Iloraz zróżnicowanej produktywności podzielony przez średnią

nazywany współczynnikiem elastyczności produktu według współczynnika produkcji J i daje wyrażenie względnego wzrostu produkcji (w procentach) przy względnym wzroście kosztów czynników produkcji o 1%. Jeśli mi J 0, wówczas następuje bezwzględny spadek produkcji wraz ze wzrostem zużycia czynników produkcji J; Taka sytuacja może mieć miejsce w przypadku korzystania z nieodpowiednich technologicznie produktów lub trybów. Przykładowo nadmierne zużycie paliwa spowoduje nadmierny wzrost temperatury i reakcja chemiczna niezbędna do wytworzenia produktu nie nastąpi. Jeśli 0 E J 1, wówczas każda kolejna dodatkowa jednostka wydanego zasobu powoduje mniejszy dodatkowy wzrost produkcji niż poprzednia.

Jeśli mi J> 1, to wartość produktywności przyrostowej (różnicowej) przekracza produktywność przeciętną. Zatem dodatkowa jednostka zasobu zwiększa nie tylko wielkość produkcji, ale także średnią charakterystykę efektywności wykorzystania zasobów. Zatem proces zwiększania produktywności kapitału następuje w momencie uruchomienia bardzo postępowych, wydajnych maszyn i urządzeń. Dla liniowej funkcji produkcji współczynnik A J liczbowo równa wartości produktywności różnicowej J-tego współczynnika, a dla funkcji potęgowej wykładnik a J ma znaczenie współczynnika sprężystości J-ten zasób.

2. RODZAJE FUNKCJI PRODUKCYJNYCH.

2.1. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa.

Pierwsze udane doświadczenia w konstruowaniu funkcji produkcji w postaci równania regresji na podstawie danych statystycznych uzyskali amerykańscy naukowcy - matematyk D. Cobb i ekonomista P. Douglas w 1928 roku. Zaproponowana przez nich funkcja początkowo wyglądała następująco:

gdzie Y to wielkość produkcji, K to wartość majątku produkcyjnego (kapitału), L to koszty pracy, - parametry numeryczne (numer skali i wskaźnik sprężystości). Ze względu na swoją prostotę i racjonalność funkcja ta jest nadal szeroko stosowana i doczekała się dalszych uogólnień w różnych kierunkach. Czasami będziemy pisać funkcję Cobba-Douglasa jako

Łatwo to sprawdzić

Ponadto funkcja (1) jest liniowo jednorodna:

Zatem funkcja Cobba-Douglasa (1) ma wszystkie powyższe właściwości.

W przypadku produkcji wieloczynnikowej funkcja Cobba-Douglasa ma postać:

Aby uwzględnić postęp techniczny, do funkcji Cobba-Douglasa wprowadza się specjalny mnożnik (postęp techniczny), gdzie t jest parametrem czasu, stałą liczbą charakteryzującą tempo rozwoju. W efekcie funkcja przyjmuje postać „dynamiczną”:

gdzie nie jest to konieczne. Jak zostanie pokazane w następnym akapicie, wykładniki funkcji (1) mają znaczenie elastyczności produkcji względem kapitału i pracy.

2.2. Funkcja produkcjiCES(ze stałą elastycznością podstawienia)

Wygląda jak:

Gdzie jest współczynnik skali, jest współczynnikiem podziału, jest współczynnikiem zastąpienia, jest stopniem jednorodności. Jeśli spełnione są warunki:

wówczas funkcja (2) spełnia nierówności i . Biorąc pod uwagę postęp technologiczny, funkcję CES zapisuje się:

Nazwa tej funkcji wynika z faktu, że dla niej elastyczność podstawienia jest stała.

2.3. Funkcja produkcji o stałych proporcjach. Funkcja ta jest otrzymywana z (2) w i ma postać:

2.4. Funkcja wejścia-wyjścia produkcji (funkcja Leontiefa) otrzymane od (3) pod adresem:

Oto kwota kosztów typu k wymagana do wytworzenia jednej jednostki produkcji, a y to produkcja.

2.5. Funkcja produkcji analizująca metody działalności produkcyjnej.

Funkcja ta uogólnia funkcję produkcji przepływów międzygałęziowych na przypadek, gdy istnieje pewna liczba (r) podstawowych procesów (metod działalności produkcyjnej), z których każdy może zachodzić z dowolną nieujemną intensywnością. Ma postać „problemu optymalizacji”

Oto wynik przy jednostkowej intensywności j-tego procesu podstawowego, poziom intensywności i wysokość kosztów typu k wymaganych dla jednostkowej intensywności metody j. Jak widać z (5), jeśli znana jest wielkość produkcji przy jednostkowej intensywności i koszty wymagane na jednostkę intensywności, wówczas całkowitą produkcję i koszty całkowite oblicza się poprzez dodanie odpowiednio produkcji i kosztów dla każdego podstawowego procesu przy wybranych intensywnościach. Należy zauważyć, że problem maksymalizacji funkcji f w (5) przy zadanych nierównościach jest modelem do analizy działalności produkcyjnej (maksymalizacji produkcji przy ograniczonych zasobach).

2.6. Liniowa funkcja produkcji(funkcja z wzajemną substytucją zasobów)

Stosuje się go, gdy istnieje liniowa zależność produkcji od kosztów:

Gdzie jest stopa kosztów k-tego typu za wytworzenie jednostki produkcji (krańcowy produkt fizyczny kosztów).

Spośród podanych tutaj funkcji produkcyjnych najczęstszą jest funkcja CES.

Analizować proces produkcyjny i jego różne wskaźniki wraz z produktami marginalnymi,

(górne linie oznaczają stałe wartości zmiennych), pokazując kwoty dodatkowego dochodu uzyskanego poprzez wykorzystanie dodatkowych kwot kosztów, stosuje się pojęcia produktów przeciętnych.

Produktem przeciętnym dla k-tego rodzaju kosztów jest wielkość produkcji przypadająca na jednostkę kosztu k-tego rodzaju przy stałym poziomie kosztów pozostałych rodzajów:

Ustalmy koszty drugiego typu na pewnym poziomie i porównajmy wykresy trzech funkcji:

Ryc.1. Zwolnij krzywe.

Niech wykres funkcji ma trzy punkty krytyczne (jak pokazano na rys. 1): - punkt przegięcia, - punkt styczności z promieniem wychodzącym ze środka, - punkt maksymalny. Punkty te odpowiadają trzem etapom produkcji. Pierwszy etap odpowiada segmentowi i charakteryzuje się przewagą produktu krańcowego nad średnim: Dlatego już na tym etapie wskazane jest poniesienie dodatkowych kosztów. Drugi etap odpowiada segmentowi i charakteryzuje się przewagą produktu przeciętnego nad marginalnym: (dodatkowe koszty nie są rozsądne). Na trzecim etapie dodatkowe koszty prowadzą do odwrotnego efektu. Tłumaczy się to tym, że jest to optymalna wysokość kosztów i ich dalsze zwiększanie jest nieuzasadnione.

Dla określonych rodzajów zasobów wartości średnie i maksymalne nabierają znaczenia określonych wskaźników ekonomicznych. Rozważmy na przykład funkcję Cobba-Douglasa (1), gdzie jest kapitałem, a pracą. Przeciętne produkty

mają sens, odpowiednio, średnia produktywność pracy i średnia produktywność kapitału (średnia produktywność kapitału). Można zauważyć, że przeciętna wydajność pracy maleje wraz ze wzrostem zasobów pracy. Jest to zrozumiałe, ponieważ aktywa produkcyjne (K) pozostają niezmienione, w związku z czym nowo przyciągnięta siła robocza nie otrzymuje dodatkowych środków produkcji, co prowadzi do spadku wydajności pracy. Podobne rozumowanie można zastosować w przypadku produktywności kapitału jako funkcji kapitału.

Dla funkcji (1) produkty krańcowe

ma sens w świetle krańcowej produktywności pracy i krańcowej produktywności kapitału (krańcowej produktywności kapitału). W mikroekonomicznej teorii produkcji uważa się, że krańcowa produktywność pracy jest równa płacom (cena pracy), a krańcowa produktywność kapitału jest równa opłatom za wynajem (cena usług w zakresie dóbr kapitałowych). Wynika to z warunku, że przy stałych środkach trwałych (kosztach pracy) wzrost liczby pracowników (wielkości środków trwałych) prowadzi do spadku krańcowej produktywności pracy (krańcowej produktywności kapitału). Można zauważyć, że dla funkcji Cobba-Douglasa produkty krańcowe są proporcjonalne do produktów przeciętnych i są od nich mniejsze.

2.7. Izokwant i jego rodzaje

Podczas modelowania popytu konsumenckiego ten sam poziom użyteczności różnych kombinacji dóbr konsumpcyjnych jest przedstawiany graficznie za pomocą krzywej obojętności.

W ekonomicznych i matematycznych modelach produkcji każdą technologię można przedstawić graficznie za pomocą punktu, którego współrzędne odzwierciedlają minimalne wymagane koszty zasobów K i L do wytworzenia danej wielkości produkcji. Zbiór takich punktów tworzy linię o równym wyjściu lub izokwantę. Zatem funkcja produkcji jest graficznie reprezentowana przez rodzinę izokwantów. Im dalej izokwant jest położony od początku, tym większą wielkość produkcji odzwierciedla. W przeciwieństwie do krzywej obojętności, każda izokwanta charakteryzuje ilościowo określoną wielkość produkcji.

Ryc.2. Izokwanty odpowiadające różnym wielkościom produkcji

Na ryc. Rysunek 2 przedstawia trzy izokwanty odpowiadające wielkościom produkcji wynoszącym 200, 300 i 400 jednostek produkcyjnych. Można powiedzieć, że do wytworzenia 300 jednostek produkcji potrzeba K 1 jednostek kapitału i L 1 jednostek pracy lub K 2 jednostek kapitału i L 2 jednostek pracy lub dowolna inna ich kombinacja ze zbioru reprezentowanego przez izokwantę Y2 = 300.

W ogólnym przypadku w zbiorze X dopuszczalnych zbiorów czynników produkcji identyfikuje się podzbiór, zwany izokwantą funkcji produkcji, który charakteryzuje się tym, że dla dowolnego wektora równość

Zatem dla wszystkich zbiorów zasobów odpowiadających izokwantowi wielkości produkcji okazują się równe. Zasadniczo izokwant jest opisem możliwości wzajemnego zastępowania się czynników w procesie wytwarzania produktów, które zapewniają stałą wielkość produkcji. W związku z tym okazuje się, że możliwe jest określenie współczynnika wzajemnej wymiany zasobów za pomocą stosunku różnicowego wzdłuż dowolnej izokwanty

Stąd współczynnik równoważnego zastąpienia pary czynników j i k jest równy:

Otrzymana zależność pokazuje, że jeśli zasoby produkcyjne zostaną zastąpione w stosunku równym współczynnikowi produktywności przyrostowej, to wielkość produkcji pozostanie niezmieniona. Trzeba stwierdzić, że znajomość funkcji produkcji pozwala scharakteryzować skalę możliwości wzajemnego zastępowania zasobów w efektywny sposób technologiczny. Aby osiągnąć ten cel, wykorzystuje się współczynnik elastyczności zastępowalności zasobów za produkty.

który jest obliczany wzdłuż izokwanty przy stałym poziomie kosztów pozostałych czynników produkcji. Wartość s jk jest cechą względnej zmiany współczynnika wzajemnej wymiany zasobów przy zmianie stosunku między nimi. Jeżeli stosunek zasobów wymiennych zmieni się o s jk procent, wówczas współczynnik wzajemnej wymiany sjk zmieni się o jeden procent. W przypadku liniowej funkcji produkcji współczynnik wzajemnej substytucji pozostaje niezmienny dla dowolnego stosunku wykorzystanych zasobów i dlatego możemy założyć, że elastyczność s jk = 1. Zatem duże wartości s jk wskazują, że możliwa jest większa swoboda zastępując czynniki produkcji wzdłuż izokwanty, a jednocześnie główne cechy funkcji produkcji (produktywność, współczynnik wymiany) zmienią się bardzo niewiele.

Dla potęgowych funkcji produkcji dla dowolnej pary zasobów wymiennych obowiązuje równość s jk = 1. W praktyce prognozowania i obliczeń przedplanowych często wykorzystuje się funkcje stałej elastyczności substytucji (CES), mające postać:

Dla takiej funkcji współczynnik elastyczności substytucji zasobów

i nie zmienia się w zależności od wielkości i stosunku wydatkowanych zasobów. Przy małych wartościach s jk zasoby mogą się wzajemnie zastępować jedynie w znikomym stopniu, a w granicy przy s jk = 0 tracą właściwość zamienności i pojawiają się w procesie produkcyjnym jedynie w stałym stosunku, tj. uzupełniają się. Przykładem funkcji produkcji opisującej produkcję w warunkach wykorzystania zasobów komplementarnych jest funkcja uwolnienia kosztów, która ma postać

gdzie a j jest stałym współczynnikiem produktywności zasobów j czynnika produkcji. Łatwo zauważyć, że tego typu funkcja produkcji określa wielkość produkcji w wąskim gardle zestawu wykorzystywanych czynników produkcji. Na wykresie przedstawiono różne przypadki zachowania izokwantów funkcji produkcji dla różnych wartości elastyczności współczynników podstawienia (rys. 3).

Reprezentacja efektywnego zestawu technologicznego za pomocą skalarnej funkcji produkcji jest niewystarczająca w przypadkach, gdy nie można obejść się za pomocą jednego wskaźnika opisującego wyniki zakładu produkcyjnego, lecz konieczne jest zastosowanie kilku (M) wskaźników produktu. W tych warunkach można zastosować funkcję produkcji wektorowej

Ryż. 3. Różne przypadki zachowania izokwantowego

Ważną koncepcję produktywności krańcowej (różnicowej) wprowadza relacja

Wszystkie pozostałe główne cechy skalarnych funkcji produkcji pozwalają na podobne uogólnienie.

Podobnie jak krzywe obojętności, izokwanty również dzielą się na różne typy.

Dla liniowej funkcji produkcji formy

gdzie Y jest wielkością produkcji; Parametry A, b 1, b 2; Koszty K, L kapitału i pracy oraz całkowite zastąpienie jednego zasobu innym izokwantem będą miały postać liniową (rys. 4).

Dla funkcji produkcji opartej na prawie potęgowym

izokwanty będą wyglądać jak krzywe (ryc. 5).

Jeżeli izokwanta odzwierciedla tylko jedną metodę technologiczną wytworzenia danego produktu, wówczas praca i kapitał łączą się w jedyną możliwą kombinację (ryc. 6).

Ryż. 6. Izokwanty o ścisłej komplementarności zasobów

Ryż. 7. Izokwanty rozbite

Takie izokwanty nazywane są czasami izokwantami typu Leontiefa od nazwiska amerykańskiego ekonomisty V.V. Leontieva, który wykorzystał ten typ izokwanty jako podstawę opracowanej przez siebie metody wejścia-wyjścia.

Złamany izokwant zakłada obecność ograniczonej liczby technologii F (rys. 7).

Izokwanty o podobnej konfiguracji są wykorzystywane w programowaniu liniowym w celu uzasadnienia teorii optymalnej alokacji zasobów. Złamane izokwanty najbardziej realistycznie odzwierciedlają możliwości technologiczne wielu zakładów produkcyjnych. Jednak w teorii ekonomii tradycyjnie wykorzystuje się głównie zakrzywione izokwanty, które uzyskuje się z linii przerywanych, gdy wzrasta liczba technologii i odpowiednio zwiększają się punkty przerwania.

3. PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIE FUNKCJI PRODUKCJI.

3.1 Modelowanie kosztów i zysków przedsiębiorstwa (firmy)

Podstawą konstruowania modeli zachowań producenta (pojedynczego przedsiębiorstwa lub firmy, stowarzyszenia lub branży) jest przekonanie, że producent dąży do osiągnięcia stanu, w którym przy obecnych warunkach rynkowych zapewniałby mu największy zysk, tj. Przede wszystkim biorąc pod uwagę istniejący system cen.

Najprostszy model optymalnego zachowania producenta w warunkach doskonałej konkurencji ma postać: pozwolić przedsiębiorstwu (firmie) wyprodukować jeden produkt w ilościach y jednostki fizyczne. Jeśli P egzogenicznie zadaną cenę tego produktu i firma sprzedaje w całości swoją produkcję, wówczas uzyskuje dochód (przychód) brutto w wysokości

W procesie tworzenia takiej ilości produktu firma ponosi koszty wytworzenia C(y). Jednocześnie naturalne jest takie założenie C"(y) > 0, tj. koszty rosną wraz ze wzrostem wielkości produkcji. Zwykle też tak się uważa C""(y) > 0. Oznacza to, że dodatkowy (krańcowy) koszt wytworzenia każdej dodatkowej jednostki produkcji rośnie wraz ze wzrostem wielkości produkcji. Założenie to wynika z faktu, że przy racjonalnie zorganizowanej produkcji, przy małych wolumenach, można wykorzystać najlepsze maszyny i wysoko wykwalifikowanych pracowników, którymi przedsiębiorstwo nie będzie już dysponowało w momencie zwiększenia wolumenu produkcji. Na koszty produkcji składają się następujące elementy:

1) koszty materiałów C M, który obejmuje koszty surowców, materiałów, półproduktów itp.

Nazywa się różnicę między dochodem brutto a kosztami materialnymi wartość dodana(produkty warunkowo czyste):

2) koszty pracy C L ;

Ryż. 8. Linie przychodów i kosztów przedsiębiorstwa

3) wydatki związane z użytkowaniem i naprawą maszyn i urządzeń, amortyzacją, tzw. zapłatą za usługi kapitałowe C k ;

4) koszty dodatkowe C R, związane z rozbudową produkcji, budową nowych budynków, dróg dojazdowych, linii komunikacyjnych itp.

Całkowite koszty produkcji:

Jak wspomniano wyżej,

jednak ta zależność od wielkości wyjściowej ( Na) jest różny dla różnych rodzajów kosztów. Mianowicie istnieją:

a) koszty stałe C 0 , od których praktycznie nie zależy y, m.in. opłacenie personelu administracyjnego, wynajem i utrzymanie budynków i lokali, amortyzacja, odsetki od pożyczek, usługi komunikacyjne itp.;

b) koszty proporcjonalne do wielkości produkcji (liniowe) C 1, obejmuje to koszty materiałów C M, wynagrodzenie personelu produkcyjnego (cz C L), koszty utrzymania istniejących urządzeń i maszyn (cz C k) i tak dalej.:

Gdzie A uogólniony wskaźnik kosztów tego typu na produkt;

c) koszty superproporcjonalne (nieliniowe). Z 2, które obejmują zakup nowych maszyn i technologii (tj. koszty m.in Z R), wynagrodzenie za nadgodziny itp. Do matematycznego opisu tego typu kosztów zwykle stosuje się zależność potęgową

W ten sposób można zastosować model do przedstawienia kosztów całkowitych

(Pamiętaj, że warunki C"(y) > 0, C""(y) > 0 dla tej funkcji są spełnione.)

Rozważmy możliwe opcje zachowania przedsiębiorstwa (firmy) w dwóch przypadkach:

1. Przedsiębiorstwo posiada dość duży zapas mocy produkcyjnych i nie dąży do zwiększania produkcji, więc możemy tak przypuszczać C 2 = 0, a koszty całkowite są liniową funkcją produkcji:

Zysk będzie

Oczywiście przy małych wolumenach wyjściowych

firma ponosi straty, ponieważ

Tutaj y w próg rentowności (próg rentowności), wyznaczany współczynnikiem

Jeśli y> y w, wówczas firma osiąga zysk, a ostateczna decyzja o wielkości produkcji zależy od stanu rynku wytwarzanych produktów (patrz ryc. 8).

2. W bardziej ogólnym przypadku, kiedy Z 2 0, istnieją dwa progi rentowności, a firma otrzyma dodatni zysk, jeśli wielkość produkcji y spełnia warunek

W tym segmencie w momencie osiągana jest najwyższa wartość zysku. Istnieje zatem optymalne rozwiązanie problemu maksymalizacji zysku. W punkcie A, odpowiadający kosztom przy optymalnej produkcji, styczny do krzywej kosztów Z równolegle do linii prostej dochodu R.

Należy zaznaczyć, że ostateczna decyzja firmy zależy także od stanu rynku, jednak z punktu widzenia zachowania interesów ekonomicznych zalecana jest optymalizacja wartości produkcji (rys. 9).

Ryż. 9. Optymalna głośność wyjściowa

Z definicji zysk to kwota

Punkty progowe wyznaczane są od warunku, że zysk jest równy zeru, a jego maksymalną wartość osiąga się w punkcie spełniającym równanie

Zatem optymalna wielkość produkcji charakteryzuje się tym, że w tym stanie krańcowy dochód brutto ( R(y)) jest dokładnie równa kosztom krańcowym C(y).

Faktycznie, jeśli y R ( y) > C(y), a następnie należy zwiększyć produkcję, ponieważ oczekiwany dodatkowy dochód przewyższy oczekiwane dodatkowe koszty. Jeśli y> wtedy R(y) C ( y), a każdy wzrost wolumenu zmniejszy zyski, dlatego naturalne jest zalecenie zmniejszenia wolumenu produkcji i dojścia do stanu y= (ryc. 10).

Ryż. 10. Maksymalny punkt zysku i strefa progu rentowności

Łatwo zauważyć, że wraz ze wzrostem ceny ( R) optymalna produkcja i wzrost zysku, tj.

Odnosi się to również do ogólnego przypadku, ponieważ

Przykład. Firma produkuje maszyny rolnicze w ilościach Na sztuk, a wielkość produkcji w zasadzie może wahać się od 50 do 220 sztuk miesięcznie. Jednocześnie wzrost wielkości produkcji będzie oczywiście wymagał wzrostu kosztów, zarówno proporcjonalnego, jak i superproporcjonalnego (nieliniowego), ponieważ niezbędny będzie zakup nowego sprzętu i powiększenie obszarów produkcyjnych.

W konkretnym przykładzie wyjdziemy z faktu, że całkowite koszty (koszt) wytworzenia produktów w ilości Na produkty wyraża się wzorem

C(y) = 1000 + 20 y+ 0,1 y 2 (tysiące rubli).

Oznacza to koszty stałe

C 0 = 1000 (t. pocierać),

koszty proporcjonalne

C 1 = 20 y,

te. uogólniony wskaźnik tych kosztów na produkt jest równy: A= 20 tysięcy rubli, a koszty będą nieliniowe C 2 = 0,1 y 2 (B= 0,1).

Powyższy wzór na koszty jest szczególnym przypadkiem wzoru ogólnego, w którym wskaźnik H= 2.

Aby znaleźć optymalną wielkość produkcji, korzystamy ze wzoru na punkt maksymalnego zysku (*), zgodnie z którym mamy:

Jest rzeczą oczywistą, że wielkość produkcji, przy której osiągany jest maksymalny zysk, jest w bardzo istotny sposób determinowana przez cenę rynkową produktu P.

W tabeli Rycina 1 przedstawia wyniki obliczeń optymalnych wolumenów dla różnych wartości cen od 40 do 60 tysięcy rubli za produkt.

Pierwsza kolumna tabeli pokazuje możliwe wielkości produkcji Na druga kolumna zawiera dane o kosztach całkowitych Z(Na), trzecia kolumna pokazuje koszt produktu:

Tabela 1

Dane o wielkości produkcji, kosztach i zyskach

Wolumeny i koszty				Ceny i zyski
				0
					210
						440
Kontynuacja tabeli 1
							1250
								1890
									3000

Czwarta kolumna charakteryzuje wartości powyższych kosztów krańcowych SM, które pokazują, ile kosztuje wytworzenie jednego dodatkowego produktu w danej sytuacji. Łatwo zauważyć, że koszty krańcowe rosną wraz ze wzrostem produkcji, co jest zgodne ze stanowiskiem wyrażonym na początku tego akapitu. Rozważając tabelę, należy zwrócić uwagę na fakt, że optymalne objętości znajdują się dokładnie na przecięciu linii (koszty krańcowe SM) i kolumna (cena P) z ich równymi wartościami, co dość dobrze koreluje z ustaloną powyżej zasadą optymalności.

Powyższa analiza odnosi się do sytuacji konkurencji doskonałej, gdy producent swoimi działaniami nie może wpływać na system cen, a co za tym idzie na cenę P dla towarów y pełni w modelu producenta wielkość egzogeniczną.

W przypadku konkurencji niedoskonałej producent może bezpośrednio wpływać na cenę. Dotyczy to szczególnie monopolistycznego producenta produktu, który ustala cenę w oparciu o rozsądną rentowność.

Rozważmy firmę z liniową funkcją kosztu, która ustala swoją cenę w taki sposób, że zysk wynosi określony procent (udział 0

Stąd mamy

Dochód brutto

a produkcja osiąga próg rentowności, zaczynając od najmniejszych wielkości produkcji ( y w 0). Łatwo zauważyć, że cena zależy od objętości, tj. P= P(y) oraz przy wzroście wolumenu produkcji ( Na) cena produktu spada, tj. P"(y)

Wymóg maksymalizacji zysku dla monopolisty ma postać

Zakładając, że jak poprzednio >0, mamy równanie pozwalające znaleźć optymalny wynik ():

Warto zauważyć, że optymalna produkcja monopolisty () zwykle nie przekracza optymalnej produkcji konkurencyjnego producenta we wzorze oznaczonym gwiazdką.

Stosowany jest bardziej realistyczny (ale także prostszy) model przedsiębiorstwa, który uwzględnia ograniczenia zasobów, które odgrywają bardzo dużą rolę w działalności gospodarczej producentów. Model wyróżnia jeden z najbardziej deficytowych zasobów (pracę, środki trwałe, rzadkie materiały, energię itp.) i zakłada, że ​​przedsiębiorstwo może zużyć nie więcej niż Q. Firma może produkować N różne produkty. Pozwalać y 1 , ..., y J , ..., y N wymagane wielkości produkcji tych produktów; P 1 , ..., P J , ..., P N ich ceny. Niech także Q cena jednostkowa rzadkiego zasobu. Wtedy wynosi dochód brutto firmy

i zysk będzie

Łatwo to zobaczyć dla stałych Q I Q problem maksymalizacji zysku zostaje przekształcony w problem maksymalizacji dochodu brutto.

Załóżmy dalej, że funkcja kosztu zasobów dla każdego produktu C J (y J) ma te same właściwości, które podano powyżej dla funkcji Z(Na). Zatem, C J " (y J) > 0 i C J "" (y J) > 0.

W ostatecznej postaci model optymalnego zachowania firmy z jednym ograniczonym zasobem wygląda następująco:

Łatwo zauważyć, że w dość ogólnym przypadku rozwiązanie tego problemu optymalizacji można znaleźć badając układ równań:

Należy pamiętać, że optymalny wybór firmy zależy od całego zestawu cen produktów ( P 1 , ..., P N), a wybór ten jest jednorodną funkcją systemu cen, tj. Kiedy ceny zmieniają się jednocześnie tę samą liczbę razy, optymalna produkcja nie ulega zmianie. Łatwo też zauważyć, że z równań oznaczonych gwiazdką (***) wynika, że ​​wraz ze wzrostem ceny produktu N(przy stałych cenach innych produktów), należy zwiększyć produkcję, aby uzyskać maksymalny zysk

i produkcja innych towarów spadnie, ponieważ

Zależności te razem pokazują, że w tym modelu wszystkie produkty konkurują. Wzór (***) również implikuje oczywistą zależność

te. wraz ze wzrostem wolumenu zasobów (inwestycje kapitałowe, praca itp.) optymalna produkcja wzrasta.

Możesz podać kilka prostych przykładów, które pomogą Ci lepiej zrozumieć zasadę optymalnego wyboru firmy w oparciu o zasadę maksymalnego zysku:

1) niech N = 2; P 1 = P 2 = 1; A 1 = A 2 = 1; Q = 0,5; Q = 0,5.

Następnie z (***) mamy:

0,5; = 0,5; P = 0,75; = 1;

2) niech teraz wszystkie warunki pozostaną takie same, ale cena pierwszego produktu podwoiła się: P 1 = 2.

Wtedy plan optymalnego zysku firmy: = 0,6325; = 0,3162.

Oczekiwany maksymalny zysk wzrasta zauważalnie: P = 1,3312; = 1,58;

3) zwróć uwagę, że w poprzednim przykładzie 2 firma musi zmienić wielkość produkcji, zwiększając produkcję pierwszego produktu i zmniejszając produkcję drugiego produktu. Załóżmy jednak, że firma nie dąży do maksymalnych zysków i nie zmieni ustalonej produkcji, tj. wybierz program y 1 = 0,5; y 2 = 0,5.

Okazuje się, że w tym przypadku zysk wyniesie P = 1,25. Oznacza to, że gdy ceny na rynku rosną, firma może uzyskać znaczny wzrost zysków bez zmiany planu produkcji.

3.2 Metody rozliczania postępu naukowo-technicznego

Za ogólnie przyjęte należy uznać, że z czasem w przedsiębiorstwie utrzymującym stałą liczbę pracowników i stały wolumen środków trwałych produkcja wzrasta. Oznacza to, że oprócz zwykłych czynników produkcji związanych z nakładami zasobów istnieje czynnik, który jest zwykle nazywany postęp naukowo-techniczny (NTP). Czynnik ten można uznać za cechę syntetyczną, odzwierciedlającą łączny wpływ na rozwój gospodarczy wielu istotnych zjawisk, wśród których należy wymienić:

a) z biegiem czasu poprawa jakości siły roboczej dzięki podnoszeniu kwalifikacji pracowników i opanowaniu przez nich metod stosowania bardziej zaawansowanych technologii;

b) podnoszenie jakości maszyn i urządzeń powoduje, że pewna wielkość inwestycji kapitałowych (w cenach stałych) pozwala z czasem na zakup bardziej wydajnej maszyny;

c) doskonalenie wielu aspektów organizacji produkcji, w tym zaopatrzenia i sprzedaży, operacji bankowych i innych wzajemnych płatności, rozwój bazy informacyjnej, tworzenie różnego rodzaju stowarzyszeń, rozwój międzynarodowej specjalizacji i handlu itp.

W tym kontekście postęp naukowo-techniczny można interpretować jako ogół wszystkich zjawisk, które przy ustalonych ilościach zużywanych czynników produkcji umożliwiają zwiększenie produkcji konkurencyjnych produktów o wysokiej jakości. Bardzo niejasny charakter tej definicji prowadzi do tego, że badanie wpływu postępu naukowo-technicznego prowadzi się jedynie jako analizę owego dodatkowego wzrostu produkcji, którego nie można wytłumaczyć czysto ilościowym wzrostem czynników produkcji. Główne podejście do rozliczania postępu naukowo-technicznego sprowadza się do tego, że do zbioru cech produktu lub kosztów wprowadza się czas ( T) jako niezależny czynnik produkcji i uwzględnia transformację w czasie funkcji produkcji lub zbioru technologicznego.

Zastanówmy się nad metodami rozliczania postępu naukowo-technicznego poprzez transformację funkcji produkcji, a za podstawę przyjmiemy dwuczynnikową funkcję produkcji:

gdzie czynnikami produkcji są kapitał ( DO) i praca ( L). Zmodyfikowana funkcja produkcji w ogólnym przypadku ma postać

i warunek jest spełniony

co odzwierciedla fakt wzrostu produkcji w czasie przy stałych kosztach pracy i kapitału.

Opracowując konkretne zmodyfikowane funkcje produkcji, zazwyczaj starają się odzwierciedlić charakter postępu naukowo-technicznego w obserwowanej sytuacji. W tym przypadku wyróżnia się cztery przypadki:

a) znacząca poprawa jakości siły roboczej w czasie pozwala na osiągnięcie tych samych wyników przy mniejszej liczbie zatrudnionych osób; Ten rodzaj postępu naukowo-technicznego często nazywany jest oszczędzaniem pracy. Zmodyfikowana funkcja produkcji ma postać gdzie jest funkcją monotoniczną l(T) charakteryzuje wzrost produktywności pracy;

Ryż. 11. Wzrost produkcji w czasie przy stałych kosztach pracy i kapitału

b) pierwotna poprawa jakości maszyn i urządzeń zwiększa produktywność kapitału, następuje oszczędzający kapitał postęp naukowo-techniczny i odpowiadająca mu funkcja produkcji:

gdzie jest funkcją rosnącą k(T) odzwierciedla zmiany w produktywności kapitału;

c) jeżeli występuje istotny wpływ obu wymienionych zjawisk, wówczas stosuje się funkcję produkcji w postaci

d) jeżeli nie można określić wpływu postępu naukowo-technicznego na czynniki produkcji, wówczas funkcję produkcji stosuje się w postaci

Gdzie A(T) rosnąca funkcja wyrażająca wzrost produkcji przy stałych wartościach kosztów czynników produkcji. Do badania właściwości i cech postępu naukowo-technologicznego wykorzystuje się pewne zależności między wynikami produkcji a kosztami czynników produkcji. Obejmują one:

a) średnia produktywność pracy

B) średnia produktywność kapitału

c) stosunek kapitału pracowniczego do pracy

d) równość poziomu wynagrodzeń i krańcowej (krańcowej) wydajności pracy

e) równość krańcowej produktywności kapitału i bankowej stopy procentowej

Mówią, że NTP jest neutralne, jeśli nie zmienia w czasie pewnych zależności pomiędzy danymi wielkościami.

1) postęp nazywa się neutralnym Hicksem, jeśli stosunek kapitału do pracy nie zmienia się w czasie ( X) i krańcową stopę substytucji czynników ( w/R). W szczególności, jeśli w/R=const, wówczas zastąpienie pracy kapitałem i odwrotnie nie przyniesie żadnej korzyści ani stosunku kapitału do pracy X=K/L również pozostanie stała. Można wykazać, że w tym przypadku zmodyfikowana funkcja produkcji ma postać

a neutralność Hicksa jest równoznaczna z omawianym powyżej wpływem postępu naukowo-technicznego bezpośrednio na wielkość produktu. W rozpatrywanej sytuacji izokwanta przesuwa się w czasie w dół w lewo, przekształcając podobieństwo, tj. pozostaje dokładnie w tym samym kształcie, co w pierwotnej pozycji;

2) postęp nazywa się według Harroda neutralnym, jeśli w badanym okresie stopa procentowa banku ( R) zależy wyłącznie od produktywności kapitału ( k), tj. NTP nie ma na to wpływu. Oznacza to, że maksymalny zwrot z kapitału ustalany jest na poziomie stopy procentowej i dalsze podwyższanie kapitału jest niepraktyczne. Można wykazać, że tego typu postępowi naukowo-technicznemu odpowiada funkcja produkcji

te. postęp technologiczny oszczędza pracę;

3) postęp jest według Solowa neutralny, jeśli równość poziomu płac pozostaje niezmieniona ( w) i krańcowej wydajności pracy, a dalszy wzrost kosztów pracy jest nieopłacalny. Można wykazać, że w tym przypadku funkcja produkcji ma postać

te. NTP okazuje się oszczędzać fundusze. Przedstawmy graficznie trzy rodzaje postępu naukowo-technicznego na przykładzie liniowej funkcji produkcji

W przypadku neutralności Hicksa mamy zmodyfikowaną funkcję produkcji

Gdzie A(T) funkcja rosnąca T. Oznacza to, że z biegiem czasu izokwant Q(odcinek AB) zostaje przesunięty do początku poprzez równoległe przesunięcie (ryc. 12) do pozycji A 1 B 1 .

W przypadku neutralności Harroda zmodyfikowana funkcja produkcji ma postać

Gdzie l(T) funkcja rosnąca.

Oczywiste jest, że z czasem o to chodzi A pozostaje na miejscu, a izokwanta jest przesuwana do punktu początkowego poprzez obrót do pozycji AB 1 (ryc. 13).

Dla postępu neutralnego Solowa odpowiednia zmodyfikowana funkcja produkcji

Gdzie k(T) funkcja rosnąca. Izokwanta zostaje przesunięta do początku, ale do punktu W nie porusza się i obraca się do pozycji A 1 B(ryc. 14).

Ryż. 12. Przesunięcie izokwantowe przy neutralnym NTP według Hicksa

Ryż. 13. Przesunięcie izokwantowe wraz z postępem naukowo-technicznym oszczędzającym pracę

Ryż. 14. Przesunięcie izokwantowe w ramach NTP oszczędzającego fundusze

Konstruując modele produkcyjne z uwzględnieniem postępu naukowo-technicznego, stosuje się głównie następujące podejścia:

a) idea egzogenicznego (lub autonomicznego) postępu technicznego, który istnieje również w przypadku, gdy główne czynniki produkcji nie ulegają zmianie. Szczególnym przypadkiem takiego NTP jest postęp neutralny Hicksiana, który zwykle uwzględnia się za pomocą mnożnika wykładniczego, na przykład:

Tutaj l > 0 charakteryzuje tempo postępu naukowo-technicznego. Łatwo zauważyć, że czas działa tu jako niezależny czynnik wzrostu produkcji, stwarza to jednak wrażenie, że postęp naukowo-techniczny dokonuje się sam, bez konieczności dodatkowych kosztów pracy i inwestycji kapitałowych;

b) idea postępu technicznego ucieleśnionego w kapitale łączy wzrost wpływów postępu naukowo-technicznego ze wzrostem inwestycji kapitałowych. Aby sformalizować to podejście, za podstawę przyjmuje się neutralny model postępu Solowa:

co jest zapisane w formie

Gdzie K 0 środków trwałych na początek okresu, D K akumulację kapitału w okresie równym zainwestowanej kwocie.

Oczywiście, jeśli nie zostanie dokonana żadna inwestycja, wówczas D K= 0 i nie następuje wzrost produkcji w wyniku postępu naukowo-technicznego;

c) omówione powyżej podejścia do modelowania NTP mają wspólną cechę: postęp działa jako zewnętrzna wartość, która wpływa na produktywność pracy lub produktywność kapitału i tym samym wpływa na wzrost gospodarczy.

Jednak w dłuższej perspektywie postęp naukowo-techniczny jest zarówno skutkiem rozwoju, jak i w dużej mierze jego przyczyną. Bo to właśnie rozwój gospodarczy pozwala zamożnym społeczeństwom finansować tworzenie nowych typów technologii, a następnie czerpać korzyści z rewolucji naukowo-technologicznej. Całkiem zasadne jest zatem traktowanie NTP jako zjawiska endogenicznego spowodowanego (wywołanego) wzrostem gospodarczym.

Istnieją dwa główne kierunki modelowania postępu naukowo-technicznego:

1) model postępu indukowanego opiera się na wzorze

Ponadto zakłada się, że społeczeństwo może dystrybuować inwestycje służące postępowi naukowo-technicznemu pomiędzy różnymi swoimi kierunkami. Na przykład pomiędzy wzrostem produktywności kapitału ( k(T)) (poprawa jakości maszyn) i wzrost wydajności pracy ( l(T)) (podnoszenie kwalifikacji pracowników) lub wybór najlepszego (optymalnego) kierunku rozwoju technicznego dla danej wielkości przeznaczonych inwestycji kapitałowych;

2) model procesu uczenia się w trakcie produkcji, zaproponowany przez K. Arrowa, opiera się na zaobserwowanym fakcie wzajemnego wpływu wzrostu wydajności pracy i liczby nowych wynalazków. Podczas produkcji pracownicy zdobywają doświadczenie, a czas wytworzenia produktu ulega skróceniu, tj. Wydajność pracy i sam nakład pracy zależą od wielkości produkcji

Z kolei wzrost czynnika pracy, zgodnie z funkcją produkcji

prowadzi do wzrostu produkcji. W najprostszej wersji modelu stosuje się następujące wzory:

te. produktywność kapitału wzrasta.

WNIOSEK

Dlatego też w trakcie tego kursu zbadałem wiele ważnych i interesujących z mojego punktu widzenia faktów. Stwierdzono na przykład, że funkcja produkcji to matematyczna zależność pomiędzy maksymalną wielkością produkcji w jednostce czasu a kombinacją czynników ją tworzących, przy danym poziomie wiedzy i technologii. W teorii produkcji posługują się głównie dwuczynnikową funkcją produkcji, która ogólnie wygląda następująco: Q = f(K,L), gdzie Q jest wielkością produkcji; K - kapitał; L – praca. Zagadnienie relacji między kosztami czynników produkcji, które się wzajemnie zastępują, rozwiązuje się za pomocą takiej koncepcji, jak elastyczność substytucji czynników produkcji. Elastyczność substytucji to stosunek kosztów czynników produkcji, które się wzajemnie zastępują przy stałej wielkości produkcji. Jest to rodzaj współczynnika, który pokazuje stopień efektywności zastąpienia jednego czynnika produkcji innym. Miarą zamienności czynników produkcji jest krańcowa stopa substytucji technicznej MRTS, która pokazuje, o ile jednostek można zmniejszyć jeden z czynników, zwiększając o jeden inny czynnik, utrzymując produkcję na niezmienionym poziomie. Krańcowa stopa substytucji technicznej charakteryzuje się nachyleniem izokwantów. MRTS wyraża się wzorem: Izokwant jest krzywą reprezentującą wszystkie możliwe kombinacje dwóch kosztów, które zapewniają daną stałą wielkość produkcji. Fundusze są zwykle ograniczone. Zatem optymalną kombinacją czynników dla konkretnego przedsiębiorstwa jest ogólne rozwiązanie równań izokwantowych.

Bibliografia:

Grebennikov P.I. itp. Mikroekonomia. Petersburg, 1996.

Galperin V.M., Ignatiev S.M., Morgunov V.I. Mikroekonomia: W 2 tomach - St. Petersburg: Szkoła Ekonomiczna, 2002.T.1. - 349 s.

Nurejew R.M. Podstawy teorii ekonomii: mikroekonomia - M., 1996.

Teoria ekonomii: Podręcznik dla uniwersytetów / wyd. Nikołajewa I.P. – M.: Finanstatinform, 2002. – 399 s.

Ekonomia polityczna Barra. W 2 tomach - M., 1994.

Pindyke R., Rubinfeld D. Mikroekonomia – M., 1992.

Bemorer Thomas. Zarządzanie przedsiębiorstwem. // Problematyka teorii i praktyki zarządzania, 2001, nr 2

Varian HR Mikroekonomia. Podręcznik dla uczelni wyższych - M., 1997.

Dolan E.J., Lindsay D.E. Mikroekonomia - St. Petersburg: Peter, 2004. - 415 s.

Mankiw N.G. Zasady ekonomii. - Petersburg, 1999.

Fischer S., Dornbusch R., Shmalenzi R. Ekonomia – M., 1993.

Frolova N.L., Chekansky A.N. Mikroekonomia - M.: TEIS, 2002. - 312 s.

Charakter firmy / wyd. Williamson O.I., Winter S.J. - M.: Norma, 2001. - 298 s.

Teoria ekonomii: Podręcznik dla studentów. wyższy podręcznik instytucje / pod redakcją V.D. Kamajew, wyd. 1. przerobione i dodatkowe - M.: Centrum Wydawnicze Humanitarne VLADOS, 2003. - 614 s.

Golubkow E.P. Badanie konkurencji i zdobywanie przewag w konkurencji // Marketing w Rosji i za granicą.-1999, nr 2

Lyubimov L.L., Ranneva N.A. Podstawy wiedzy ekonomicznej – M.: „Vita-Press”, 2002. – 496 s.

Zuev G.M., Zh.V. Samokhvalova Metody i modele ekonomiczne i matematyczne. Analiza międzybranżowa. - Wzrost Nie dotyczy: „Phoenix”, 2002. - 345 s.

Frolova N.L., Chekansky A.N. Mikroekonomia - M.: TEIS, 2002.

Chechevitsyna L.N. Mikroekonomia. Ekonomika przedsiębiorstwa (firmy) – Wzrost nd: „Phoenix”, 2003. – 200 s.

Volsky A. Warunki poprawy zarządzania gospodarczego // Ekonomista. – 2001, nr 9

Milgrom D.A. Ocena konkurencyjności technologii gospodarczych // Marketing w Rosji i za granicą, 1999, nr 2. - s. 44-57 produkcja funkcjonować firmy to mapa izokwant o różnych poziomach...

1. Produkcja funkcjonować i technologiczną produktywność produkcji

   Prawo >> Teoria ekonomii

   Dla stosunkowo małych objętości wyjściowych produkcja funkcjonować firmy charakteryzuje się rosnącymi korzyściami skali... dla każdej konkretnej kombinacji czynników produkcji. Produkcja funkcjonować firmy można przedstawić za pomocą szeregu izokwantów...

2. Produkcja funkcjonować, właściwości, elastyczność

   Streszczenie >> Matematyka

   ... produkcja Funkcje i główne cechy produkcja Funkcje…………………………………………………..19 Rozdział II. Rodzaje produkcja Funkcje……………………………..23 2.1. Definicja liniowo jednorodna produkcja Funkcje ...

3. Teoria krańcowej produktywności czynników produkcji. Produkcja funkcjonować

   Streszczenie >> Ekonomia

   Dostępne metody produkcji firma, używają ekonomiści produkcja funkcjonować firmy.2 Powstała koncepcja..., stosunkowo mało kapitału i dużo pracy.1 Produkcja funkcjonować firmy jak już powiedziano, pokazuje...

Charakteryzuje zależność pomiędzy ilością wykorzystanych zasobów () a maksymalną możliwą wielkością produkcji, jaką można osiągnąć przy najbardziej racjonalnym wykorzystaniu wszystkich dostępnych zasobów.

Funkcja produkcji ma następujące właściwości:

1. Istnieje granica wzrostu produkcji, który można osiągnąć poprzez zwiększenie jednego zasobu i utrzymanie pozostałych na stałym poziomie. Jeśli np. w rolnictwie zwiększymy ilość pracy przy stałej ilości kapitału i ziemi, to prędzej czy później nadejdzie moment, w którym produkcja przestanie rosnąć.

2. Zasoby uzupełniają się, ale w pewnych granicach możliwa jest ich wymienność bez zmniejszania produkcji. Na przykład pracę ręczną można zastąpić użyciem większej liczby maszyn i odwrotnie.

3. Im dłuższy okres, tym więcej zasobów można zweryfikować. Pod tym względem rozróżnia się okresy chwilowe, krótkie i długie. Okres chwilowy - okres, w którym wszystkie zasoby są ustalone. Krótki okres— okres, w którym co najmniej jeden zasób jest stały. Długi okres - okres, w którym wszystkie zasoby są zmienne.

Zazwyczaj w mikroekonomii analizuje się dwuczynnikową funkcję produkcji, odzwierciedlającą zależność produkcji (q) od ilości wykorzystanej pracy () i kapitału (). Przypomnijmy, że kapitał odnosi się do środków produkcji, czyli tzw. liczba maszyn i urządzeń wykorzystywanych w produkcji mierzona w godzinach maszynowych (temat 2, p. 2.2). Z kolei ilość pracy mierzona jest w osobogodzinach.

Zazwyczaj dana funkcja produkcji wygląda następująco:

A, α, β to określone parametry. Parametr A jest współczynnikiem całkowitej produktywności czynników produkcji. Odzwierciedla wpływ postępu technologicznego na produkcję: jeśli producent wprowadza zaawansowane technologie, wartość A wzrasta, tj. Produkcja wzrasta przy tej samej ilości pracy i kapitału. Opcje α I β są współczynnikami elastyczności produktu odpowiednio dla kapitału i pracy. Innymi słowy, pokazują, o ile procent zmieni się produkcja, gdy kapitał (praca) zmieni się o jeden procent. Współczynniki te są dodatnie, ale mniejsze niż jeden. To drugie oznacza, że ​​gdy praca ze stałym kapitałem (lub kapitałem ze stałą pracą) wzrasta o jeden procent, produkcja wzrasta w mniejszym stopniu.

Budowa izokwanty

Podana funkcja produkcji sugeruje, że producent może zastąpić pracę kapitałem, a kapitał pracą, pozostawiając produkcję bez zmian. Na przykład w rolnictwie krajów rozwiniętych praca jest wysoce zmechanizowana, tj. Na jednego pracownika przypada wiele maszyn (kapitału). Wręcz przeciwnie, w krajach rozwijających się ten sam produkt osiąga się dzięki dużej ilości pracy przy niewielkim kapitale. Pozwala to na skonstruowanie izokwanty (ryc. 8.1).

Izokwant(jednakowa linia produktów) odzwierciedla wszystkie kombinacje dwóch czynników produkcji (pracy i kapitału), dla których produkcja pozostaje niezmieniona. Na ryc. 8.1 obok izokwanty wskazane jest odpowiednie uwolnienie. Zatem produkt można osiągnąć przy użyciu pracy i kapitału lub przy użyciu pracy i kapitału.

Ryż. 8.1. Izokwant

Możliwe są inne kombinacje wolumenu pracy i kapitału, czyli minimum wymaganego do osiągnięcia danej produkcji.

Odzwierciedlają się wszystkie kombinacje zasobów odpowiadające danej izokwantie sprawny technicznie metody produkcji. Sposób produkcji A jest technicznie skuteczna w porównaniu z metodą W, jeżeli wymaga użycia przynajmniej jednego zasobu w mniejszych ilościach, a wszystkich pozostałych w nie dużych ilościach w porównaniu z metodą W. Odpowiednio metoda W jest technicznie nieskuteczny w porównaniu do A. Nieefektywne technicznie metody produkcji nie są stosowane przez racjonalnych przedsiębiorców i nie są częścią funkcji produkcji.

Z powyższego wynika, że ​​izokwanta nie może mieć nachylenia dodatniego, jak pokazano na ryc. 8.2.

Linia przerywana odzwierciedla wszystkie technicznie nieefektywne metody produkcji. W szczególności w porównaniu z metodą A sposób W zapewnienie tej samej produkcji () wymaga tej samej ilości kapitału, ale więcej pracy. Wiadomo zatem, że w ten sposób B nie jest racjonalne i nie może być brane pod uwagę.

Na podstawie izokwanty można wyznaczyć krańcową stopę substytucji technicznej.

Krańcowa stopa technicznego zastąpienia czynnika Y czynnikiem X (MRTS XY)- jest to ilość czynnika (np. kapitału), z której można zrezygnować, gdy czynnik (np. pracy) wzrośnie o 1 jednostkę, tak że produkcja się nie zmieni (pozostaniemy przy tym samym izokwantach).

Ryż. 8.2. Produkcja sprawna technicznie i nieefektywna

W rezultacie krańcową stopę technicznego zastąpienia kapitału pracą oblicza się ze wzoru

Dla nieskończenie małych zmian L I K wynosi

Zatem krańcowa stopa substytucji technicznej jest pochodną funkcji izokwantowej w danym punkcie. Geometrycznie reprezentuje nachylenie izokwanty (ryc. 8.3).

Ryż. 8.3. Limit stawki technicznej wymiany

Podczas przemieszczania się od góry do dołu wzdłuż izokwanty, krańcowa stopa wymiany technicznej cały czas maleje, o czym świadczy malejące nachylenie izokwanty.

Jeśli producent zwiększy zarówno siłę roboczą, jak i kapitał, wówczas pozwoli mu to osiągnąć większą produkcję, tj. przejdź do wyższej izokwanty (q 2). Izokwanta znajdująca się po prawej stronie i nad poprzednią odpowiada większej objętości wyjściowej. Tworzy się zbiór izokwantów mapa izokwantowa(ryc. 8.4).

Ryż. 8.4. Mapa izokwantowa

Szczególne przypadki izokwantów

Przypomnijmy, że odpowiadają one funkcji produkcji formy. Ale istnieją inne funkcje produkcyjne. Rozważmy przypadek, gdy istnieje doskonała substytucyjność czynników produkcji. Załóżmy np., że w pracach magazynowych można używać wykwalifikowanych i niewykwalifikowanych ładowaczy, a wydajność wykwalifikowanego ładowarki wynosi N razy więcej niż osoby niewykwalifikowane. Oznacza to, że w proporcji możemy zastąpić dowolną liczbę zakwalifikowanych przeprowadzek niekwalifikowanymi N do jednego. I odwrotnie, możesz zastąpić N niewykwalifikowanych ładowaczy jednym wykwalifikowanym.

Funkcja produkcji ma wówczas postać: gdzie jest liczbą pracowników wykwalifikowanych, jest liczbą pracowników niewykwalifikowanych, A I B— stałe parametry odzwierciedlające produktywność odpowiednio jednego pracownika wykwalifikowanego i jednego pracownika niewykwalifikowanych. Współczynnik współczynnika I B— maksymalny wskaźnik wymiany technicznej niewykwalifikowanych ładowarek na kwalifikowane. Jest stała i równa N: MRTxy= a/b = N.

Niech np. wykwalifikowany ładowacz będzie w stanie przerobić 3 tony ładunku w jednostce czasu (będzie to współczynnik a w funkcji produkcji), a niewykwalifikowany ładowacz – tylko 1 tonę (współczynnik b). Oznacza to, że pracodawca może odmówić trzem niekwalifikowanym załadowcom, zatrudniając dodatkowo jednego wykwalifikowanego załadowcę, dzięki czemu uzysk (całkowita waga przerabianego ładunku) pozostaje taki sam.

Izokwanta w tym przypadku jest liniowa (ryc. 8.5).

Ryż. 8,5. Izokwant o doskonałej zastępowalności czynników

Tangens nachylenia izokwanty jest równy maksymalnemu wskaźnikowi technicznej wymiany niewykwalifikowanych ładowarek na wykwalifikowanych.

Inną funkcją produkcji jest funkcja Leontiefa. Zakłada ścisłą komplementarność czynników produkcji. Oznacza to, że czynniki można stosować jedynie w ściśle określonej proporcji, której naruszenie jest technologicznie niemożliwe. Na przykład lot linią lotniczą można wykonać normalnie z udziałem co najmniej jednego statku powietrznego i pięciu członków załogi. Jednocześnie nie jest możliwe zwiększenie liczby godzin pracy samolotu (kapitału) przy jednoczesnej redukcji roboczogodzin (robocizny) i odwrotnie, przy jednoczesnym utrzymaniu stałej wydajności. Izokwanty w tym przypadku mają postać kątów prostych, tj. maksymalne stawki wymiany technicznej są równe zeru (ryc. 8.6). Jednocześnie możliwe jest zwiększenie produkcji (liczby lotów) poprzez zwiększenie w tej samej proporcji pracy i kapitału. Graficznie oznacza to przejście do wyższej izokwanty.

Ryż. 8.6. Izokwanty w przypadku ścisłej komplementarności czynników produkcji

Analitycznie taka funkcja produkcji ma postać: Q =min (ak; bL), Gdzie A I B— stałe współczynniki odzwierciedlające odpowiednio produktywność kapitału i pracy. Stosunek tych współczynników określa proporcję wykorzystania kapitału i pracy.

W naszym przykładzie lotu linią lotniczą funkcja produkcji wygląda następująco: q = min(1K; 0,2L). Faktem jest, że produktywność kapitału wynosi tutaj jeden lot na samolot, a wydajność pracy to jeden lot na pięć osób lub 0,2 lotu na osobę. Jeśli linia lotnicza posiada flotę samolotów składającą się z 10 samolotów i 40 personelu pokładowego, wówczas maksymalna wydajność wyniesie: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 lotów. Jednocześnie dwa samoloty będą bezczynne na ziemi ze względu na brak personelu.

Przyjrzyjmy się na koniec funkcji produkcji, która zakłada, że ​​istnieje ograniczona liczba technologii produkcji pozwalających wytworzyć daną wielkość produkcji. Każdy z nich odpowiada pewnemu stanowi pracy i kapitału. W rezultacie w przestrzeni „kapitał-praca” mamy szereg punktów odniesienia, łącząc je, otrzymujemy izokwantę łamaną (rys. 8.7).

Ryż. 8.7. Złamane izokwanty przy ograniczonej liczbie metod wytwarzania

Z rysunku wynika, że ​​produkcja produktu w wysokości Q 1 można uzyskać za pomocą czterech kombinacji pracy i kapitału odpowiadających punktom A, B, C I D. Możliwe są także kombinacje pośrednie, osiągalne w przypadku, gdy przedsiębiorstwo wspólnie wykorzystuje dwie technologie w celu uzyskania określonego efektu całkowitego. Jak zawsze, zwiększając ilość pracy i kapitału, przechodzimy do wyższej izokwanty.