تبدیل بیان نظریه تفصیلی (2020)

(1) a m ⋅ a n = a m + n

مثال:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

مثال:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

مثال:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

مثال:

$$(\left((\frac(a)(b)) \راست)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (یک متر ) n = a m ⋅ n

مثال:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a - n = 1 a n

مثال ها:

$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

خواص ریشه مربع:

(1) a b = a ⋅ b، برای a ≥ 0، b ≥ 0

مثال:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b، برای ≥ 0، b > 0

مثال:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a، برای ≥ 0

مثال:

(4) a 2 = | یک | برای هر الف

مثال ها:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

اعداد گویا و غیر منطقی

اعداد گویا اعدادی هستند که می توان آنها را به عنوان یک کسری مشترک m n نشان داد که در آن m یک عدد صحیح است (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …)، n یک عدد طبیعی است (ℕ = 1, 2, 3, 4 …).

نمونه هایی از اعداد گویا:

1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.

اعداد گنگ - اعدادی که نمی توانند به عنوان یک کسری معمولی m n نمایش داده شوند، اینها کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی هستند.

نمونه هایی از اعداد غیر منطقی:

e = 2.71828182845…

π = 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

به زبان ساده، اعداد غیرمنطقی اعدادی هستند که علامت جذر را در نماد خود دارند. اما همه چیز به این سادگی نیست. برخی از اعداد گویا خود را به عنوان اعداد غیرمنطقی پنهان می کنند، به عنوان مثال، عدد 4 دارای یک علامت ریشه مربع در نماد خود است، اما ما به خوبی می دانیم که می توانیم نماد 4 = 2 را ساده کنیم. یعنی عدد 4 یک عدد گویا است.

به همین ترتیب، عدد 4 81 = 4 81 = 2 9 یک عدد گویا است.

برخی از مشکلات شما را ملزم می کند که تعیین کنید کدام اعداد گویا و کدام غیر منطقی هستند. وظیفه این است که بفهمیم کدام اعداد غیر منطقی هستند و کدام اعداد پنهان شده اند. برای این کار باید بتوانید عملیات خارج کردن ضریب را از زیر علامت جذر و معرفی عامل زیر علامت ریشه انجام دهید.

درج و حذف عامل برای علامت جذر

با خارج کردن عامل از علامت جذر، می توانید برخی از عبارات ریاضی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

مثال:

عبارت 2 8 2 را ساده کنید.

1 راه (درآوردن ضریب از زیر علامت ریشه): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

روش 2 (معرفی ضریب زیر علامت ریشه): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

فرمول ضرب اختصاری (FSU)

مجموع مربع

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

مثال:

(3 x + 4 سال) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 سال + (4 سال) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

مربع تفاوت

(2) (a - b) 2 = a 2 - 2 a b + b 2

مثال:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 سال) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

مجموع مربع ها فاکتور ندارد

تفاوت مربع ها

(3) a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

مثال:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

مکعب جمع

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

مثال:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 سال) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 سال) 2 + (3 سال) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

مکعب تفاوت

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

مثال:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

مجموع مکعب ها

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - a b + b 2)

مثال:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

تفاوت مکعب ها

(7) a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + a b + b 2)

مثال:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

فرم استاندارد شماره

برای درک چگونگی آوردن یک عدد گویا دلخواه به فرم استاندارد، باید بدانید اولین رقم مهم عدد چیست.

اولین رقم مهم یک عدد آن را اولین رقم غیر صفر سمت چپ بنامید.

مثال ها:
2 5 ; 3, 05; 0 , 143 ; 0 , 00 1 2 . اولین رقم مهم با رنگ قرمز مشخص شده است.

برای تبدیل یک عدد به فرم استاندارد:

کاما را جابجا کنید تا بلافاصله بعد از اولین رقم مهم قرار گیرد.
عدد حاصل را در 10 n ضرب کنید که n عددی است که به صورت زیر تعریف می شود:
n > 0 اگر کاما به چپ منتقل شده باشد (ضرب در 10 n نشان می دهد که کاما در واقع باید به سمت راست باشد).
n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
قدر مطلق عدد n برابر با تعداد ارقامی است که کاما با آن جابه جا شده است.

مثال ها:

25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1

کاما یک رقمی به سمت چپ رفته است. از آنجایی که نقطه اعشار به سمت چپ منتقل می شود، توان مثبت است.

قبلاً به فرم استاندارد آورده شده است، لازم نیست کاری با آن انجام دهید. می توان آن را به صورت 3.05 ⋅ 10 0 نوشت، اما از آنجایی که 10 0 = 1 است، عدد را به شکل اصلی خود می گذاریم.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

کاما یک رقمی به سمت راست رفته است. از آنجایی که نقطه اعشار به سمت راست منتقل می شود، توان آن منفی است.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

کاما سه جا به سمت راست حرکت کرده است. از آنجایی که نقطه اعشار به سمت راست منتقل می شود، توان آن منفی است.

عبارت جبری

عبارتی متشکل از حروف و اعداد که با علائم عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، افزایش به یک عدد صحیح و استخراج ریشه به هم متصل می شوند (نمادها و ریشه باید اعداد ثابت باشند). الف در با توجه به برخی از حروف درج شده در آن اگر در زیر علامت استخراج ریشه نباشد عقلی نامیده می شود.

منطقی با توجه به a، b و c. الف در اگر شامل تقسیم بر عبارات حاوی این حروف نباشد، برای برخی از حروف، یک عدد صحیح نامیده می شود، به عنوان مثال 3a / c + bc 2 - 3ac / 4 نسبت به a و b عدد صحیح است. اگر برخی از حروف (یا همه) متغیر در نظر گرفته شوند، A. c. یک تابع جبری است.

دایره المعارف بزرگ شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «عبارت جبری» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

عبارتی ساخته شده از حروف و اعداد که با علائم عملیات جبری به هم متصل می شوند: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، افزایش به توان، استخراج ریشه ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

عبارت جبری- - موضوعات صنعت نفت و گاز EN بیان جبری ... کتابچه راهنمای مترجم فنی

یک عبارت جبری یک یا چند کمیت جبری (اعداد و حروف) است که با علائم عملیات جبری به هم مرتبط هستند: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم، و همچنین استخراج ریشه و افزایش به یک عدد صحیح ... ... ویکی پدیا

عبارتی متشکل از حروف و اعداد که با علائم عملیات جبری به هم متصل می شوند: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، افزایش به توان، استخراج ریشه. * * * بیان جبری بیان جبری، بیان، ... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

عبارت جبری- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: انگلیسی. عبارت جبری vok. algebraischer Ausdruck, m rus. بیان جبری، n شوخی. عبارت algebrique, f … Fizikos terminų žodynas

عبارتی ساخته شده از حروف و اعداد که با علائم جبر به هم متصل می شوند. اعمال: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان، استخراج ریشه ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

یک عبارت جبری با توجه به یک متغیر معین، بر خلاف یک استعلایی، عبارتی است که شامل توابع دیگری از یک کمیت معین نیست، به جز مجموع، محصولات یا توان های این کمیت، علاوه بر این، اصطلاحات ... فرهنگ لغت دایره المعارف F.A. بروکهاوس و I.A. افرون

EXPRESSION، عبارات، ر.ک. 1. عمل طبق چ. اکسپرس کلماتی برای ابراز قدردانی پیدا نمی کنم. 2. اغلب تجسم یک ایده در اشکال نوعی هنر (فلسفی). فقط یک هنرمند بزرگ قادر به خلق چنین بیانی است، ... ... فرهنگ لغت توضیحی اوشاکوف

معادله ای که از معادل سازی دو عبارت جبری به دست می آید (به بیان جبری مراجعه کنید). A. y. با یک مجهول، اگر مجهول در مخرج گنجانده شود، کسری و اگر مجهول زیر ... دایره المعارف بزرگ شوروی

اصطلاح- یک مفهوم ریاضی اولیه، که به معنی رکوردی از حروف و اعداد است که با علائم عملیات حسابی متصل می شوند، در حالی که می توان از براکت ها، نمادهای تابع و غیره استفاده کرد. معمولا B فرمول میلیون قسمت آن است. تمایز در (1) ...... دایره المعارف بزرگ پلی تکنیک

ما می توانیم برخی از عبارات ریاضی را به روش های مختلف بنویسیم. بسته به اهدافمان، اینکه آیا داده های کافی داریم و غیره. عبارات عددی و جبریاین تفاوت در این است که ما اولین را فقط به صورت اعداد می نویسیم که با کمک علائم عملیات حسابی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) و پرانتز ترکیب شده اند.

اگر به جای اعداد، حروف لاتین (متغیرها) را در عبارت وارد کنید، جبری می شود. عبارات جبری از حروف، اعداد، علائم جمع و تفریق، ضرب و تقسیم استفاده می کنند. و همچنین می توان از علامت ریشه، درجه، براکت استفاده کرد.

در هر صورت، چه این عبارت عددی یا جبری باشد، نمی تواند فقط مجموعه ای تصادفی از کاراکترها، اعداد و حروف باشد - باید معنی داشته باشد. این بدان معنی است که حروف، اعداد، علائم باید با نوعی رابطه به هم متصل شوند. مثال صحیح: 7x + 2: (y + 1). مثال بد): + 7x - * 1.

کلمه "متغیر" در بالا ذکر شد - به چه معنی است؟ این یک حرف لاتین است که به جای آن می توانید یک عدد را جایگزین کنید. و اگر در مورد متغیرها صحبت می کنیم، در این مورد، عبارات جبری را می توان تابع جبری نامید.

متغیر می تواند مقادیر مختلفی به خود بگیرد. و با جایگزین کردن مقداری به جای آن، می‌توانیم مقدار عبارت جبری را برای این مقدار خاص از متغیر پیدا کنیم. وقتی مقدار متغیر متفاوت باشد، مقدار عبارت نیز متفاوت خواهد بود.

چگونه عبارات جبری را حل کنیم؟

برای محاسبه مقادیری که باید انجام دهید تبدیل عبارات جبری. و برای این شما هنوز باید چند قانون را در نظر بگیرید.

اول: دامنه یک عبارت جبری همه مقادیر ممکن یک متغیر است که عبارت می تواند برای آن معنا داشته باشد. منظور چیست؟ به عنوان مثال، شما نمی توانید مقداری را جایگزین متغیری کنید که باید آن را بر صفر تقسیم کنید. در عبارت 1 / (x - 2)، 2 باید از دامنه تعریف حذف شود.

دوم، به یاد داشته باشید که چگونه عبارات را ساده کنید: فاکتورسازی، متغیرهای یکسان براکت و غیره. به عنوان مثال: اگر شرایط را با هم عوض کنید، مجموع تغییر نخواهد کرد (y + x = x + y). به طور مشابه، در صورت تعویض فاکتورها (x * y \u003d y * x) محصول تغییر نخواهد کرد.

به طور کلی، آنها برای ساده سازی عبارات جبری عالی هستند. فرمول ضرب مختصر. کسانی که هنوز آنها را یاد نگرفته اند باید حتما این کار را انجام دهند - آنها هنوز هم بیش از یک بار مفید خواهند بود:

ما تفاوت متغیرها را به صورت مربع پیدا می کنیم: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y)؛

مجموع مجذور را پیدا می کنیم: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2.

ما اختلاف را به صورت مجذور محاسبه می کنیم: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2.

مجموع را مکعب می کنیم: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 یا (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y)؛

مکعب تفاوت: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 یا (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y)؛

مجموع متغیرهای مکعبی را پیدا می کنیم: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2)؛

ما تفاوت متغیرهای مکعب شده را محاسبه می کنیم: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2)؛

ما از ریشه ها استفاده می کنیم: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2) و 1 و a 2 ریشه های عبارت xa 2 + ya + z هستند.

همچنین باید در مورد انواع عبارات جبری ایده ای داشته باشید. آن ها هستند:

منطقی، و آنها به نوبه خود به موارد زیر تقسیم می شوند:

اعداد صحیح (تقسیم به متغیرها ندارند، ریشه از متغیرها استخراج نمی شود و به یک توان کسری افزایش نمی یابد): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). دامنه همه مقادیر ممکن است. از متغیرها؛

کسری (به جز سایر عملیات های ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب، در این عبارات آنها بر یک متغیر تقسیم می شوند و به توان (با توان طبیعی) می رسند: (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 دامنه تعریف - همه مقادیر متغیرهایی که عبارت برای آنها برابر با صفر نیست.

غیر منطقی - برای اینکه یک عبارت جبری به این صورت در نظر گرفته شود، باید شامل توان متغیرها به توان با توان کسری و / یا استخراج ریشه ها از متغیرها باشد: √a + b 3/4. دامنه تعریف همه مقادیر متغیرها است، به استثنای آنهایی که عبارت زیر ریشه یک درجه زوج یا زیر یک درجه کسری به عدد منفی تبدیل می شود.

تبدیل هویت عبارات جبرییکی دیگر از تکنیک های مفید برای حل آنها است هویت عبارتی است که برای هر متغیری که در دامنه تعریف قرار می گیرد و جایگزین آن می شود صادق است.

یک عبارت که به برخی از متغیرها بستگی دارد، اگر به متغیرهای یکسانی بستگی داشته باشد و اگر مقادیر هر دو عبارت برابر باشد، هر کدام از مقادیر متغیرها انتخاب شده باشد، می تواند به طور یکسان با عبارت دیگری برابر باشد. به عبارت دیگر، اگر یک عبارت را بتوان به دو روش مختلف (عبارت) که مقادیر آنها یکسان است بیان کرد، این عبارات به طور یکسان برابر هستند. به عنوان مثال: y + y \u003d 2y یا x 7 \u003d x 4 * x 3 یا x + y + z \u003d z + x + y.

هنگام انجام وظایف با عبارات جبری، تبدیل یکسان برای اطمینان از جایگزینی یک عبارت دیگر، مشابه با آن، به کار می رود. به عنوان مثال، x 9 را با محصول x 5 * x 4 جایگزین کنید.

نمونه های راه حل

برای روشن تر شدن موضوع، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم. تبدیل عبارات جبری. وظایف این سطح را می توان در KIMها برای آزمون یکپارچه دولتی یافت.

وظیفه 1: مقدار عبارت ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1) را بیابید.

راه حل: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

وظیفه 2: مقدار عبارت (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3) را بیابید.

راه حل: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.

نتیجه

هنگام آماده شدن برای آزمون های مدرسه، امتحانات USE و GIA، همیشه می توانید از این مطالب به عنوان یک اشاره استفاده کنید. به خاطر داشته باشید که عبارت جبری ترکیبی از اعداد و متغیرهایی است که با حروف لاتین بیان می شوند. و همچنین علائم عملیات حسابی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم)، براکت، درجه، ریشه.

از فرمول های ضرب کوتاه و دانش معادلات هویت برای تبدیل عبارات جبری استفاده کنید.

نظرات و خواسته های خود را در نظرات برای ما بنویسید - برای ما مهم است که بدانیم شما ما را می خوانید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

این نشریه منطق تفاوت در عبارات جبری را برای دانش آموزان آموزش عمومی عمومی پایه و متوسطه (کامل) به عنوان مرحله انتقالی در شکل گیری منطق تفاوت در عبارات ریاضی مورد استفاده در فیزیک و غیره ارائه می دهد. برای شکل گیری در آینده مفاهیمی در مورد پدیده ها، وظایف، طبقه بندی آنها و روش شناسی رویکرد به حل آنها.

دانلود:

پیش نمایش:

عبارات جبری و ویژگی های آنها

جبر به عنوان یک علم، الگوهای اعمال روی مجموعه ها را که با حروف مشخص می شوند، مطالعه می کند.عملیات جبری شامل جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه است.در نتیجه این اعمال، عبارات جبری شکل گرفت.عبارت جبری - عبارتی متشکل از اعداد و حروف که مجموعه ها را نشان می دهد و با آنها عملیات جبری انجام می شود.این اعمال از حساب به جبر منتقل شدند. در جبر، یکی در نظر می گیردمعادل سازی یک عبارت جبری با عبارت دیگر، که برابری یکسان آنهاست. نمونه هایی از عبارات جبری در §1 آورده شده است.روش های تبدیل و روابط عبارات نیز از حساب وام گرفته شده است. آگاهی از الگوهای حسابی اعمال روی عبارات حسابی به شما امکان می دهد تا در عبارات جبری مشابه تبدیل ها را انجام دهید، آنها را تبدیل کنید، ساده کنید، مقایسه کنید، تجزیه و تحلیل کنید.جبر علم قاعده مندی دگرگونی عبارات است که شامل مجموعه هایی است که به شکل حروف ارائه می شوند و با علائم اعمال مختلف به هم مرتبط هستند.عبارات جبری پیچیده تری نیز در مؤسسات آموزش عالی مورد مطالعه قرار می گیرند. در حالی که آنها را می توان به انواع تقسیم کرد، که بیشتر در دوره مدرسه استفاده می شود.

1 انواع عبارات جبری

مورد 1 عبارات ساده: 4a; (الف + ب)؛ (a + b) 3c; ; .

مورد 2 برابری های هویتی:(a + b)c = ac + bc; ;

مورد 3 نابرابری ها: به عنوان ; a + c .

p.4 فرمول: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0.5d 2 +2;

p.5 نسبت ها:

سطح اول دشواری

سطح دوم سختی

سطح سوم سختیاز نظر یافتن مقادیر برای مجموعه ها

الف، ب، ج، م، ک، د:

سطح چهارم سختیاز نقطه نظر جستجوی مقادیر برای مجموعه های a, y:

p.6 معادلات:

تبر + c \u003d -5bx؛ 4x 2 + 2x = 42;

و غیره.

مورد 7 وابستگی های عملکردی: y=3x; y=ax 2 +4b; y \u003d 0.5x 2 +2;

و غیره.

2 عبارات جبری را در نظر بگیرید

2.1 بخش 1 عبارات جبری ساده را ارائه می دهد. یک دید وجود دارد و

سخت تر، به عنوان مثال:

به عنوان یک قاعده، چنین عباراتی علامت "="" ندارند. وظیفه در نظر گرفتن چنین عباراتی تبدیل آنها و به دست آوردن آنها به شکل ساده شده است. هنگام تبدیل عبارت جبری مربوط به ادعای 1، یک عبارت جبری جدید به دست می آید که از نظر معنایی معادل قبلی است. گفته می شود که چنین عباراتی به طور یکسان معادل هستند. آن ها عبارت جبری سمت چپ علامت مساوی از نظر معنایی معادل عبارت جبری سمت راست است. در این مورد، یک عبارت جبری از نوع جدیدی به دست می آید که برابری یکسان نامیده می شود (به مورد 2 مراجعه کنید).

2.2 بخش 2 برابری های هویت جبری را ارائه می کند, که با روش‌های جبری تبدیل شکل می‌گیرند، عبارات جبری در نظر گرفته می‌شوند که بیشتر به عنوان روش‌هایی در حل مسائل فیزیک استفاده می‌شوند. نمونه هایی از برابری های یکسان تبدیل های جبری که اغلب در ریاضیات و فیزیک استفاده می شوند:

قانون جابجایی جمع: a + b = b + a.

قانون جمعی:(a + b) + c = a + (b + c).

قانون جابجایی ضرب: ab=ba.

قانون تداعی ضرب:(ab)c = a(bc).

قانون توزیعی ضرب با توجه به جمع:

(a + b)c = ac + bc.

قانون توزیعی ضرب با توجه به تفریق:

(a - b)c \u003d ac - bc.

برابری های هویتیعبارات جبری کسری(فرض می شود که مخرج کسرها غیر صفر هستند):

برابری های هویتیعبارات جبری با توان:

آ) ،

کجا (n بار، ) - درجه با توان عدد صحیح

ب) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .

برابری های هویتیعبارات جبری با ریشهدرجه نهم:

اصطلاح - ریشه حسابی n درجه ام از میانبه خصوص، - مربع حسابی

درجه با توان کسری (گویا).ریشه:

عبارات معادل معادل ارائه شده در بالا برای تبدیل عبارات جبری پیچیده تر که حاوی علامت "=" نیستند استفاده می شود.

اجازه دهید مثالی را در نظر بگیریم که در آن، برای تبدیل یک عبارت جبری پیچیده تر، از دانش به دست آمده در طی تبدیل عبارات جبری ساده تر به شکل برابری های یکسان استفاده می شود.

2.3 بخش 3 جبری را ارائه می دهدبرابری، که برای آن عبارت جبری سمت چپ با سمت راست برابر نیست، یعنی. یکسان نیستند. در این مورد، آنها نابرابری هستند. به عنوان یک قاعده، هنگام حل برخی از مسائل در فیزیک، ویژگی های نابرابری مهم است:

1) اگر a، سپس برای هر c: a + c .

2) اگر الف و c > 0، سپس به عنوان .

3) اگر الف و سی سپس ac > bc .

4) اگر الف ، الف و ب پس یک نشانه 1/a > 1/b .

5) اگر الف و سی ، سپس a + c ، آگهی .

6) اگر الف ، ج , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , سپس ac .

7) اگر الف , a > 0 , b > 0 , سپس

8) اگر، پس

2.4 بخش 4 فرمول های جبری را ارائه می دهدآن ها عبارات جبری که دارای یک حرف در سمت چپ علامت مساوی هستند و مجموعه ای را نشان می دهند که مقدار آن ناشناخته است و باید تعیین شود. و در سمت راست علامت مساوی مجموعه هایی وجود دارد که مقادیر آنها مشخص است. در این حالت به این عبارت جبری فرمول جبری می گویند.

فرمول جبری یک عبارت جبری حاوی علامت مساوی است که در سمت چپ آن مجموعه‌ای وجود دارد که مقدار آن مجهول است و در سمت راست مجموعه‌هایی با مقادیر معلوم بر اساس شرط مسئله وجود دارد.برای تعیین مقدار مجهول مجموعه سمت چپ علامت "برابر"، مقادیر شناخته شده کمیت های سمت راست علامت "برابر" جایگزین می شوند و عملیات محاسباتی حسابی در عبارت جبری در این نشان داده شده است. بخشی انجام می شود.

مثال 1:

داده شده: راه حل:

a=25 عبارت جبری داده شود:

x=؟ x=2a+5.

این عبارت جبری یک فرمول جبری است در سمت چپ علامت تساوی مجموعه ای است که مقدار آن پیدا می شود و در سمت راست مجموعه هایی با مقادیر شناخته شده قرار دارند.

بنابراین، می توان مقدار شناخته شده را جایگزین مجموعه "a" کرد، تا مقدار مجهول مجموعه "x" را تعیین کرد:

x=2 25+5=55. پاسخ: x=55.

مثال 2:

داده شده: راه حل:

a=25 عبارت جبرییک فرمول است

b=4 بنابراین می توان جایگزینی با معلومات انجام داد

c=8 مقدار برای مجموعه ها در سمت راست علامت تساوی،

d=3 برای تعیین مقدار مجهول مجموعه "k"،

m=20 ایستادن در سمت چپ:

n=6 پاسخ: k=3.2.

پرسش ها

1 عبارت جبری چیست؟

2 چه نوع عبارات جبری را می شناسید؟

3 کدام عبارت جبری را برابری یکسان می نامند؟

4 چرا شناخت الگوهای برابری های یکسان ضروری است؟

5 کدام عبارت جبری را فرمول می نامند؟

6 کدام عبارت جبری معادله نامیده می شود؟

7 کدام عبارت جبری را وابستگی تابعی می نامند؟

عبارات عددی و جبری. تبدیل بیان

یک عبارت در ریاضیات چیست؟ چرا تبدیل عبارت مورد نیاز است؟

سوال به قول خودشان جالب است... واقعیت این است که این مفاهیم اساس همه ریاضیات هستند. تمام ریاضیات از عبارات و تبدیل آنها تشکیل شده است. خیلی واضح نیست؟ بگذار توضیح بدهم.

فرض کنید شما یک مثال شیطانی دارید. بسیار بزرگ و بسیار پیچیده. فرض کنید شما در ریاضیات خوب هستید و از هیچ چیز نمی ترسید! میشه فورا جواب بدی؟

تو مجبوری تصميم گرفتناین مثال به ترتیب، گام به گام، این مثال ساده کردن. البته طبق قوانین خاصی. آن ها انجام دادن تبدیل بیان. چقدر این تحولات را با موفقیت انجام می دهید، بنابراین در ریاضیات قوی هستید. اگر نمی دانید که چگونه تبدیل های درست را انجام دهید، در ریاضیات نمی توانید انجام دهید هیچ چی...

برای جلوگیری از چنین آینده ناخوشایندی (یا حال ...)، درک این موضوع ضرری ندارد.

برای شروع، بیایید دریابیم عبارت در ریاضی چیست. چه اتفاقی افتاده است بیان عددیو چیست عبارت جبری.

یک عبارت در ریاضیات چیست؟

بیان در ریاضیاتیک مفهوم بسیار گسترده است. تقریباً هر چیزی که در ریاضیات با آن سروکار داریم مجموعه ای از عبارات ریاضی است. هر مثال، فرمول، کسری، معادله، و غیره - همه از آن تشکیل شده است عبارات ریاضی.

3+2 یک عبارت ریاضی است. ج 2 - د 2همچنین یک عبارت ریاضی است. و یک کسری سالم و حتی یک عدد - اینها همه عبارات ریاضی هستند. معادله به عنوان مثال این است:

5x + 2 = 12

شامل دو عبارت ریاضی است که با علامت تساوی به هم متصل شده اند. یک عبارت در سمت چپ و دیگری در سمت راست است.

به طور کلی، اصطلاح بیان ریاضی" بیشتر اوقات برای اینکه زیر و رو نشود استفاده می شود. از شما می پرسند که مثلاً کسری معمولی چیست؟ و چگونه پاسخ دهید؟!

پاسخ 1: "این ... m-m-m-m... چنین چیزی ... که در آن ... آیا می توانم کسری را بهتر بنویسم؟ کدام را میخواهی؟"

گزینه دوم پاسخ: "کسری معمولی است (با شادی و خوشحالی!) بیان ریاضی ، که از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده است!"

گزینه دوم به نوعی تاثیرگذارتر است، درست است؟)

برای این منظور عبارت « بیان ریاضی "بسیار خوب. هم درست و هم محکم. اما برای کاربرد عملی، باید به خوبی در این زمینه مسلط باشید انواع خاص عبارات در ریاضیات .

نوع خاص بحث دیگری است. این چیز کاملاً دیگری!هر نوع بیان ریاضی دارای مال خودممجموعه ای از قوانین و تکنیک هایی که باید در تصمیم گیری استفاده شود. برای کار با کسری - یک مجموعه. برای کار با عبارات مثلثاتی - دوم. برای کار با لگاریتم - سوم. و غیره. در جایی این قوانین منطبق هستند، در جایی به شدت متفاوت هستند. اما از این کلمات وحشتناک نترسید. لگاریتم ها، مثلثات و چیزهای مرموز دیگری که در بخش های مربوطه به آن ها تسلط خواهیم داشت.

در اینجا ما به دو نوع اصلی از عبارت های ریاضی (یا - تکرار کنید، همانطور که دوست دارید ...) مسلط خواهیم شد. عبارات عددی و عبارات جبری.

عبارات عددی

چه اتفاقی افتاده است بیان عددی? این یک مفهوم بسیار ساده است. خود نام نشان می دهد که این عبارت با اعداد است. همان طوری است که میبینی. یک عبارت ریاضی که از اعداد، کروشه ها و نشانه های عملیات حسابی تشکیل شده باشد، عبارت عددی نامیده می شود.

7-3 یک عبارت عددی است.

(8+3.2) 5.4 نیز یک عبارت عددی است.

و این هیولا:

همچنین یک عبارت عددی، بله ...

یک عدد معمولی، یک کسری، هر مثال محاسبه ای بدون x و حروف دیگر - همه اینها عبارت های عددی هستند.

ویژگی اصلی عددیعبارات در آن بدون حروف. هیچ یک. فقط اعداد و آیکون های ریاضی (در صورت لزوم). ساده است، درست است؟

و با عبارات عددی چه می توان کرد؟ عبارات عددی معمولاً قابل شمارش هستند. برای انجام این کار، گاهی اوقات، باز کردن پرانتزها، تغییر علائم، مخفف کردن، تعویض اصطلاحات اتفاق می افتد - یعنی. انجام دادن تبدیل بیان. اما بیشتر در مورد آن در زیر.

در اینجا با یک عبارت عددی به چنین مورد خنده‌داری می‌پردازیم شما مجبور نیستید کاری انجام دهیدخب اصلا هیچی! این عملیات خوب هیچ کاری نکردن)- زمانی اجرا می شود که عبارت معنی ندارد.

چه زمانی یک عبارت عددی معنی ندارد؟

البته اگر نوعی ابراکادابرا در مقابل خود ببینیم مانند

پس ما هیچ کاری نمی کنیم از آنجایی که معلوم نیست با آن چه باید کرد. یه سری مزخرفات مگر اینکه تعداد مثبت ها را بشماریم ...

اما عبارات ظاهری کاملاً مناسبی وجود دارد. برای مثال این:

(2+3): (16 - 2 8)

با این حال، این عبارت نیز است معنی ندارد! به این دلیل ساده که در پرانتز دوم - اگر بشمارید - صفر می گیرید. شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید! این یک عمل ممنوع در ریاضیات است. بنابراین با این عبارت هم نیازی به انجام کاری نیست. برای هر کار با چنین عبارتی، پاسخ همیشه یکسان خواهد بود: "این بیان معنی ندارد!"

برای دادن چنین پاسخی، البته، باید محاسبه می‌کردم که چه چیزی در پرانتز است. و گاهی اوقات در پرانتز چنین پیچ و تاب ... خوب، شما هیچ کاری نمی توانید در مورد آن انجام دهید.

در ریاضیات عملیات ممنوعه چندانی وجود ندارد. فقط یک مورد در این تاپیک وجود دارد. تقسیم بر صفر. ممنوعیت های اضافی ناشی از ریشه ها و لگاریتم ها در موضوعات مربوطه بحث شده است.

بنابراین، ایده ای از آنچه هست بیان عددی- بدست آورد. مفهوم عبارت عددی معنی ندارد- متوجه شد بیایید جلوتر برویم.

عبارات جبری

اگر حروف در یک عبارت عددی ظاهر شوند، این عبارت می شود ... عبارت می شود ... بله! می شود عبارت جبری. مثلا:

5a 2 ; 3x-2y; 3 (z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (الف + ب) 2; ...

چنین عباراتی نیز نامیده می شود عبارات تحت اللفظییا عبارات با متغیرهاعملاً همین است. اصطلاح 5a + cبه عنوان مثال - هر دو تحت اللفظی و جبری، و بیان با متغیرها.

مفهوم عبارت جبری -گسترده تر از عددی آی تی شامل می شودو تمام عبارات عددی آن ها یک عبارت عددی نیز یک عبارت جبری است، فقط بدون حروف. هر شاه ماهی یک ماهی است، اما هر ماهی شاه ماهی نیست...)

چرا تحت اللفظی- واضح است. خوب، از آنجایی که حروف وجود دارد ... عبارت بیان با متغیرهاهمچنین خیلی گیج کننده نیست اگر متوجه شدید که اعداد زیر حروف پنهان هستند. انواع اعداد را می توان در زیر حروف پنهان کرد ... و 5، و -18، و هر چیزی که دوست دارید. یعنی یک حرف می تواند جایگزین کردنبرای اعداد مختلف به همین دلیل حروف نامیده می شوند متغیرها.

در بیان y+5، مثلا، در- متغیر. یا فقط بگو" متغیر"، بدون کلمه "ارزش". برخلاف پنج که یک مقدار ثابت است. یا به سادگی - ثابت.

مدت، اصطلاح عبارت جبریبه این معنی که برای کار با این عبارت، باید از قوانین و قوانین استفاده کنید جبر. اگر حسابیپس با اعداد خاص کار می کند جبر- با تمام اعداد به طور همزمان. یک مثال ساده برای روشن شدن مطلب

در حساب می توان آن را نوشت

اما اگر یک برابری مشابه را از طریق عبارات جبری بنویسیم:

a + b = b + a

بلافاصله تصمیم خواهیم گرفت همهسوالات برای همه اعدادسکته. برای بی نهایت چیز. چون زیر حروف آو بضمنی همهشماره. و نه تنها اعداد، بلکه حتی سایر عبارات ریاضی. جبر اینگونه عمل می کند.

چه زمانی یک عبارت جبری معنی ندارد؟

همه چیز در مورد عبارت عددی روشن است. شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. و آیا با حروف می توان فهمید که ما بر چه چیزی تقسیم می کنیم؟!

بیایید عبارت متغیر زیر را به عنوان مثال در نظر بگیریم:

2: (آ - 5)

آیا منطقی است؟ اما چه کسی او را می شناسد؟ آ- هر تعداد ...

هر، هر... اما یک معنی وجود دارد آ، که برای آن این عبارت دقیقامعنی ندارد! و آن عدد چیست؟ آره! 5 است! اگر متغیر آبا عدد 5 جایگزین کنید (آنها می گویند - "جایگزین") ، در پرانتز ، صفر معلوم می شود. که قابل تقسیم نیست پس معلوم می شود که بیان ما معنی ندارد، اگر a = 5. اما برای ارزش های دیگر آآیا منطقی است؟ آیا می توانید اعداد دیگری را جایگزین کنید؟

قطعا. در چنین مواردی به سادگی گفته می شود که بیان

2: (آ - 5)

برای هر ارزشی منطقی است آ, به جز a = 5 .

کل مجموعه اعداد می توانجایگزین به عبارت داده شده نامیده می شود محدوده معتبراین بیان

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد. ما به عبارت با متغیرها نگاه می کنیم و فکر می کنیم: عملیات ممنوعه (تقسیم بر صفر) در چه مقدار متغیر به دست می آید؟

و سپس حتما به سوال تکلیف نگاه کنید. آنها چه می پرسند؟

معنی ندارد، قدر حرام ما جواب خواهد داد.

اگر بپرسند این عبارت در چه مقدار متغیر است معنی دارد(تفاوت را احساس کنید!)، پاسخ خواهد بود همه اعداد دیگرجز حرام

چرا به معنای عبارت نیاز داریم؟ او هست، نیست... چه فرقی می کند؟! واقعیت این است که این مفهوم در دبیرستان اهمیت زیادی پیدا می کند. بسیار مهم! این مبنای مفاهیم محکمی مانند محدوده مقادیر معتبر یا محدوده یک تابع است. بدون این، شما به هیچ وجه نمی توانید معادلات یا نابرابری های جدی را حل کنید. مثل این.

تبدیل بیان دگرگونی های هویت

با عبارات عددی و جبری آشنا شدیم. معنی عبارت "بیان معنی ندارد" را درک کنید. حالا باید بفهمیم چیه تبدیل بیانپاسخ ساده است، به طرز فجیعی.) این هر عملی است که دارای بیان است. و بس. شما از کلاس اول این تحولات را انجام داده اید.

عبارت عددی جالب 3+5 را در نظر بگیرید. چگونه می توان آن را تبدیل کرد؟ بله، خیلی راحت! محاسبه:

این محاسبه تبدیل عبارت خواهد بود. می توانید همان عبارت را به روش دیگری بنویسید:

ما اینجا چیزی حساب نکردیم. فقط عبارت را یادداشت کنید به شکلی متفاوتاین نیز دگرگونی بیان خواهد بود. می توان اینگونه نوشت:

و این نیز دگرگونی یک بیان است. شما می توانید به تعداد دلخواه از این تغییرات ایجاد کنید.

هرعمل بر روی یک بیان هرنوشتن آن به شکل دیگری تبدیل بیان نامیده می شود. و همه چیز. همه چیز بسیار ساده است. اما اینجا یک چیز وجود دارد قانون بسیار مهمآنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را نامید قانون اصلیتمام ریاضیات شکستن این قانون به ناچارمنجر به خطا می شود. می فهمیم؟)

بیایید بگوییم که بیان خود را خودسرانه تغییر داده ایم، مانند این:

دگرگونی؟ قطعا. ما عبارت را به شکل دیگری نوشتیم، اینجا چه اشکالی دارد؟

اینطور نیست.) واقعیت این است که تحولات "هر چه"ریاضیات به هیچ وجه علاقه ای ندارد.) تمام ریاضیات بر روی دگرگونی هایی ساخته شده اند که در آن ظاهر تغییر می کند. اما ماهیت بیان تغییر نمی کند.سه به اضافه پنج را می توان به هر شکلی نوشت، اما باید هشت باشد.

تحولات، عباراتی که ماهیت را تغییر نمی دهندتماس گرفت همسان.

دقیقا تحولات یکسانو به ما اجازه می دهد که گام به گام، یک مثال پیچیده را به یک عبارت ساده تبدیل کنیم، حفظ کنیم اصل مثالاگر در زنجیره دگرگونی ها اشتباه کنیم، یک تبدیل نه یکسان خواهیم داشت، سپس تصمیم خواهیم گرفت. یکی دیگرمثال. با پاسخ های دیگری که به پاسخ های صحیح مربوط نمی شوند.)

در اینجا قانون اصلی برای حل هر کار است: مطابقت با هویت تحولات.

برای وضوح مثالی با عبارت عددی 3 + 5 آوردم. در عبارات جبری، تبدیل های یکسان با فرمول ها و قوانین ارائه می شود. فرض کنید یک فرمول در جبر وجود دارد:

a(b+c) = ab + ac

بنابراین، در هر مثال، ما می توانیم به جای عبارت a(b+c)با خیال راحت یک عبارت بنویسید ab+ac. و بالعکس. این تبدیل یکسانریاضیات به ما امکان انتخاب این دو عبارت را می دهد. و اینکه کدام یک بنویسیم بستگی به مثال خاص دارد.

مثالی دیگر. یکی از مهم‌ترین و ضروری‌ترین تبدیل‌ها، ویژگی اساسی یک کسر است. شما می توانید جزئیات بیشتر را در لینک مشاهده کنید، اما در اینجا فقط قانون را یادآوری می کنم: اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد یا عبارتی که برابر با صفر نباشد ضرب (تقسیم) شود، کسر تغییر نخواهد کرد.در اینجا نمونه ای از تبدیل های یکسان برای این ویژگی آمده است:

همانطور که احتمالا حدس زدید این زنجیره می تواند تا بی نهایت ادامه پیدا کند...) یک خاصیت بسیار مهم. این است که به شما امکان می دهد انواع هیولاهای نمونه را به سفید و کرکی تبدیل کنید.)

فرمول های زیادی وجود دارد که تبدیل های یکسان را تعریف می کند. اما مهمترین - مقدار بسیار معقول. یکی از تحولات اساسی، فاکتورسازی است. در تمام ریاضیات - از ابتدایی تا پیشرفته - استفاده می شود. بیایید با او شروع کنیم. در درس بعدی.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.