Vzorce pro zápis obecných řešení goniometrických rovnic. Řešení goniometrických rovnic

Kapitola 15. Goniometrické rovnice

15.6. Řešení složitějších goniometrických rovnic

V předchozích odstavcích 3-5 jsou uvedena řešení nejjednodušších goniometrických rovnic: , , a . Složitější goniometrické rovnice obsahující několik goniometrických funkcí stejných nebo různých argumentů se na ně redukují pomocí identických transformací nebo řešením pomocné algebraické rovnice.

Obecnou technikou řešení takových rovnic je nahradit všechny goniometrické funkce zahrnuté v rovnici jednou funkcí založenou na vzorcích spojujících tyto funkce. Při řešení rovnice se snažíme o transformace, které vedou k rovnicím ekvivalentním dané rovnici. V opačném případě musíte zkontrolovat získané kořeny.

Ztráta kořenů je běžná chyba. Dalšími takovými chybami jsou nepřesná znalost vzorců pro řešení nejjednodušších rovnic a také neschopnost správně najít požadovanou hodnotu obloukové funkce.

Podívejme se na příklady.

Vyřešte rovnici.

Příklad 2. (příklad redukce na jeden argument).

Vyřešte rovnici.

Řešení:
Je vhodné přejít k argumentaci. Dílo nám připomíná vzorec pro sinus dvojího argumentu: .
Dosazením do rovnice dostaneme: .
Na levé straně opět použijeme vzorec sinusový dvojitý argument, ale nejprve vynásobíme obě strany rovnice číslem .
; ; .
Získali jsme nejjednodušší rovnici tohoto typu a přirovnali celý argument k řešení nejjednodušší rovnice:
, kde .

Vyřešte rovnici.

Řešení:
Pomocí jednoho ze vzorců pro snížení stupně dostaneme .

Po dosazení do rovnice máme

Vyřešte rovnici.

Řešení:
Převedením na pravou stranu dostaneme, že se rovná:
; ; .
Zde jsme museli zvýšit stupeň rovnice, ale dostali jsme příležitost použít dobrou techniku řešení - přesunout všechny členy do jedné části a zohlednit výsledný výraz:
.
Přirovnáme-li každý faktor samostatně k nule, získáme sadu rovnic,

což je zpravidla ekvivalentní této rovnici (výjimka z tohoto pravidla je popsána v následujícím příkladu).
Řešíme rovnici, máme
, A .
Řešíme rovnici nebo , máme , a .

Vyřešte rovnici.

Zahrnutí cizího kořene do odpovědi se považuje za hrubou chybu. Abyste se tomu vyhnuli, musíte zajistit, aby výsledné kořeny nenulovaly žádnou z funkcí ve jmenovateli zlomku dané rovnice (pokud tam zlomky jsou) a aby s těmito kořeny žádná z funkcí v původní rovnice ztrácí smysl (pokud jsou tam zahrnuty). Je třeba si zapamatovat, při jakých hodnotách argumentu funkce zaniká a definiční obor každé goniometrické funkce. Analogicky hovoří o definičním oboru rovnice (obor přípustných hodnot, neboli VA, neznámý). Definiční obor goniometrické rovnice je společnou částí (průsečíkem) oborů definice levé a pravé strany této rovnice. Pokud výsledný kořen nepatří do oboru definice rovnice, pak je cizí a musí být vyřazen.

Vyřešte rovnici
.

Řešení:
Přejděme k jedné funkci. Pokud to vyjádříme pomocí , dostaneme iracionální rovnici, což je nežádoucí. Nahradit přes:
; .
Řešme výslednou rovnici jako kvadratickou rovnici vzhledem k .
nebo .
Rovnice nemá kořeny.
Pro rovnici máme:
. Ale také znamenají stejná lichá čísla, takže řešení napíšeme jednodušeji: .

Vyřešte rovnici
.

Pro získání homogenní rovnice (všechny členy stejného stupně - druhý) vynásobíme pravou stranu výrazem, který se rovná .
;
.
Protože kořeny rovnice nejsou kořeny původní rovnice (to lze snadno ověřit substitucí), abychom přešli na jednu funkci, vydělíme obě strany rovnice .

Řešíme kvadratickou rovnici pro .
nebo .
Pro rovnici máme: .
Pro rovnici dostaneme .

Vyřešte rovnici.

Vyjádřeme to prostřednictvím a , dostaneme
. Zde se musí lišit od nuly (jinak rovnice nedává smysl), takže doménou definice rovnice je all . Protože obě strany rovnice vynásobíme, abychom se zbavili zlomků.
;
;
.
Pro rovnici, kterou máme

Třída: 10

"Rovnice budou trvat věčně."

A. Einstein

Cíle lekce:

Vzdělávací:
- prohloubení porozumění metodám řešení goniometrických rovnic;
- rozvíjet dovednosti rozlišovat a správně vybírat metody řešení goniometrických rovnic.
Vzdělávací:
- pěstovat kognitivní zájem o vzdělávací proces;
- rozvoj schopnosti analyzovat zadaný úkol;
- přispět ke zlepšení psychického klimatu ve třídě.
Vývojový:
- podporovat rozvoj dovednosti samostatného získávání znalostí;
- podporovat schopnost studentů argumentovat svým názorem;

Zařízení: plakát se základními trigonometrickými vzorci, počítač, projektor, plátno.

1 lekce

I. Aktualizace referenčních znalostí

Řešte rovnice ústně:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; do Z.

II. Učení nového materiálu

– Dnes se podíváme na složitější goniometrické rovnice. Podívejme se na 10 způsobů, jak je vyřešit. Dále budou dvě lekce na upevňování a na další lekci bude test. Na stánku „For Lesson“ jsou vyvěšeny úkoly, které jsou podobné těm, které budou v testu, musíte je před testem vyřešit. (Den před testem vyvěste řešení těchto úloh na stojan).

Pojďme tedy k úvahám o způsobech řešení goniometrických rovnic. Některé z těchto metod se vám pravděpodobně budou zdát obtížné, zatímco jiné se vám budou zdát snadné, protože... Některé techniky řešení rovnic již znáte.

Čtyři studenti ve třídě dostali individuální úkol: pochopit a ukázat vám 4 způsoby řešení goniometrických rovnic.

(Hovořící studenti mají předem připravené snímky. Zbytek třídy si zapisuje hlavní kroky k řešení rovnic do sešitu.)

1 student: 1 způsob. Řešení rovnic faktoringem

hřích 4x = 3 cos 2x

K řešení rovnice použijeme vzorec sinusového dvojitého úhlu sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Součin těchto faktorů je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule.

2x = + k, k Z nebo sin 2x = 1,5 – řešení neexistují, protože | hřích| 1
x = + k; do Z.
Odpověď: x = + k, k Z.

2 student. Metoda 2. Řešení rovnic převodem součtu nebo rozdílu goniometrických funkcí na součin

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

K řešení rovnice použijeme vzorec sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Výsledná rovnice je ekvivalentní soustavě dvou rovnic:

Množina řešení druhé rovnice je zcela zahrnuta v množině řešení první rovnice. Prostředek

Odpovědět:

3 student. 3 způsob. Řešení rovnic převodem součinu goniometrických funkcí na součet

hřích 5x cos 3x = hřích 6x cos2x.

K vyřešení rovnice použijeme vzorec

Odpovědět:

4 student. 4 způsob. Řešení rovnic redukujících na kvadratické rovnice

3 hříchy x – 2 cos 2 x = 0,
3 hříchy x – 2 (1 – hřích 2 x) = 0,
2 hříchy 2 x + 3 hříchy x – 2 = 0,

Nechť sin x = t, kde | t |. Získáme kvadratickou rovnici 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Tím pádem . nesplňuje podmínku | t |.

Takže hřích x = . Proto .

Odpovědět:

III. Upevnění toho, co se naučilo z učebnice A. N. Kolmogorova

1. č. 164 (a), 167 (a) (kvadratická rovnice)
2. č. 168 (a) (faktorizace)
3. č. 174 (a) (převod částky na součin)
4. (převést produkt na součet)

(Na konci lekce ukažte řešení těchto rovnic na obrazovce pro ověření)

№ 164 (A)

2 hřích 2 x + hřích x – 1 = 0.
Nechť sin x = t, | t | 1. Potom
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t=. Kde

Odpovědět: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Nechť tg x = 1, pak dostaneme rovnici 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Odpovědět:

№ 168 (A)

Odpovědět:

№ 174 (A)

Řešte rovnici:

Odpovědět:

Lekce 2 (lekce-přednáška)

IV. Učení nového materiálu(pokračování)

– Pokračujme tedy ve studiu způsobů řešení goniometrických rovnic.

5 způsobem. Řešení homogenních goniometrických rovnic

Rovnice formuláře a sin x + b cos x = 0, kde a a b jsou nějaká čísla, se nazývají homogenní rovnice prvního stupně vzhledem k sin x nebo cos x.

Zvažte rovnici

sin x – cos x = 0. Vydělme obě strany rovnice cos x. To lze provést; ke ztrátě kořenů nedojde, protože , Pokud cos x = 0,Že hřích x = 0. To je ale v rozporu se základní goniometrickou identitou hřích 2 x+cos 2 x = 1.

Dostaneme tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Rovnice formuláře jako v 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Kde a, b, c – některá čísla se nazývají homogenní rovnice druhého stupně s ohledem na sin x nebo cos x.

Zvažte rovnici

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Vydělme obě strany rovnice cos x a kořen se neztratí, protože cos x = 0 není kořen této rovnice.

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0.

Nechť tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Pak tedy tg x = 2 nebo tg x = 1.

V důsledku toho x = arctan 2 + , x =

Odpověď: arctg 2 + ,

Zvažte jinou rovnici: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Transformujme pravou stranu rovnice do tvaru 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Pak dostaneme:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 sin 2 x – 2 sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Dostali jsme 2. rovnici, kterou jsme již analyzovali).

Odpověď: arctan 2 + k,

6 způsobem. Řešení lineárních goniometrických rovnic

Lineární goniometrická rovnice je rovnice tvaru a sin x + b cos x = c, kde a, b, c jsou nějaká čísla.

Zvažte rovnici hřích x + cos x= – 1.
Přepišme rovnici takto:

Když to vezmeme v úvahu a dostaneme:

Odpovědět:

7 způsobem. Uvádíme další argument

Výraz a cos x + b sin x lze převést:

(tuto transformaci jsme již použili při zjednodušování goniometrických výrazů)

Uveďme další argument - úhel je takový, že

Pak

Uvažujme rovnici: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Domácí práce:Č. 164-170 (c, d).

Vyžaduje znalost základních vzorců trigonometrie - součet druhých mocnin sinu a kosinu, vyjádření tečny přes sinus a kosinus a další. Pro ty, kteří je zapomněli nebo je neznají, doporučujeme přečíst si článek "".
Základní trigonometrické vzorce tedy známe, je čas je využít v praxi. Řešení goniometrických rovnic se správným přístupem je to docela vzrušující činnost, jako například luštění Rubikovy kostky.

Již ze samotného názvu je zřejmé, že goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá pod znaménkem goniometrické funkce.
Existují tzv. nejjednodušší goniometrické rovnice. Takto vypadají: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Uvažujme jak řešit takové goniometrické rovnice, pro názornost použijeme již známý trigonometrický kruh.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

postýlka x = a

Jakákoli goniometrická rovnice se řeší ve dvou fázích: rovnici zredukujeme na její nejjednodušší tvar a poté ji vyřešíme jako jednoduchou goniometrickou rovnici.
Existuje 7 hlavních metod, kterými se goniometrické rovnice řeší.

Variabilní substituce a substituční metoda

Vyřešte rovnici 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pomocí redukčních vzorců dostaneme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Nahraďte cos(x + /6) y, abyste zjednodušili a získali obvyklou kvadratickou rovnici:

2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0

Jejich kořeny jsou y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyní pojďme v opačném pořadí

Dosadíme nalezené hodnoty y a dostaneme dvě možnosti odpovědi:

Řešení goniometrických rovnic pomocí faktorizace

Jak vyřešit rovnici sin x + cos x = 1?

Posuňte vše doleva tak, aby 0 zůstala vpravo:

sin x + cos x – 1 = 0

Použijme výše uvedené identity pro zjednodušení rovnice:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Pojďme faktorizovat:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dostáváme dvě rovnice

Redukce na homogenní rovnici

Rovnice je homogenní s ohledem na sinus a kosinus, pokud jsou všechny její členy relativní k sinu a kosinu stejného stupně stejného úhlu. Chcete-li vyřešit homogenní rovnici, postupujte takto:

a) převést všechny své členy na levou stranu;

b) vyjmout všechny společné faktory ze závorek;

c) přirovnat všechny faktory a závorky k 0;

d) v závorkách je získána homogenní rovnice nižšího stupně, která je dále rozdělena na sinus nebo kosinus vyššího stupně;

e) řeš výslednou rovnici pro tg.

Vyřešte rovnici 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Použijme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 a zbavme se otevřené dvojky vpravo:

3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Vydělit cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Nahraďte tan x za y a získáte kvadratickou rovnici:

y 2 + 4y +3 = 0, jejichž kořeny jsou y 1 = 1, y 2 = 3

Odtud najdeme dvě řešení původní rovnice:

x 2 = arctan 3 + k

Řešení rovnic přechodem do polovičního úhlu

Vyřešte rovnici 3sin x – 5cos x = 7

Pojďme na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Přesuneme vše doleva:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Vydělit cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Zavedení pomocného úhlu

Pro zvážení si vezměme rovnici ve tvaru: a sin x + b cos x = c,

kde a, b, c jsou nějaké libovolné koeficienty a x je neznámá.

Vydělme obě strany rovnice takto:

Nyní mají koeficienty rovnice podle goniometrických vzorců vlastnosti sin a cos, totiž: jejich modul není větší než 1 a součet čtverců = 1. Označme je příslušně jako cos a sin, kde - to je tzv. pomocný úhel. Potom bude mít rovnice tvar:

cos * sin x + sin * cos x = C

nebo sin(x + ) = C

Řešení této nejjednodušší goniometrické rovnice je

x = (-1) k * arcsin C - + k, kde

Je třeba poznamenat, že zápisy cos a sin jsou zaměnitelné.

Vyřešte rovnici sin 3x – cos 3x = 1

Koeficienty v této rovnici jsou:

a = , b = -1, takže obě strany vydělte = 2

Příklady:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Jak řešit goniometrické rovnice:

Jakákoli goniometrická rovnice by měla být redukována na jeden z následujících typů:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kde \(t\) je výraz s x, \(a\) je číslo. Takové goniometrické rovnice se nazývají nejjednodušší. Lze je snadno vyřešit pomocí () nebo speciálních vzorců:

Podívejte se na infografiku o řešení jednoduchých goniometrických rovnic zde: a.

Příklad . Vyřešte goniometrickou rovnici \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Řešení:

Odpovědět: \(\left[ \začátek(shromážděno)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \konec (shromážděno)\vpravo.\) \(k,n∈Z\)

Co každý symbol znamená ve vzorci pro kořeny goniometrických rovnic, viz.

Pozornost! Rovnice \(\sin⁡x=a\) a \(\cos⁡x=a\) nemají řešení, jestliže \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Protože sinus a kosinus pro libovolné x jsou větší nebo rovné \(-1\) a menší nebo rovné \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Příklad . Vyřešte rovnici \(\cos⁡x=-1,1\).
Řešení: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odpovědět : žádná řešení.

Příklad . Vyřešte goniometrickou rovnici tg\(⁡x=1\).
Řešení:

Vyřešme rovnici pomocí číselného kruhu. Pro tohle:
1) Vytvořte kruh)
2) Sestrojte osy \(x\) a \(y\) a tečnou osu (prochází bodem \((0;1)\) rovnoběžným s osou \(y\)).
3) Na tečně ose označte bod \(1\).
4) Spojte tento bod a počátek souřadnic - přímku.
5) Označte průsečíky této přímky a číselného kruhu.
6) Podepišme hodnoty těchto bodů: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Zapište si všechny hodnoty těchto bodů. Protože jsou umístěny ve vzdálenosti přesně \(π\) od sebe, lze všechny hodnoty zapsat do jednoho vzorce:

Odpovědět: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Příklad . Vyřešte goniometrickou rovnici \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Řešení:

Opět použijeme číselný kruh.
1) Sestrojte kružnici, osy \(x\) a \(y\).
2) Na ose kosinus (osa \(x\) označte \(0\).
3) Tímto bodem nakreslete kolmici na kosinusovou osu.
4) Označte průsečíky kolmice a kružnice.
5) Podepišme hodnoty těchto bodů: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Zapíšeme si celou hodnotu těchto bodů a přirovnáme je ke kosinu (k tomu, co je uvnitř kosinu).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Jako obvykle vyjádříme \(x\) v rovnicích.
Nezapomeňte zacházet s čísly pomocí \(π\), stejně jako \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) atd. Jsou to stejná čísla jako všechna ostatní. Žádná číselná diskriminace!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Odpovědět: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Redukce goniometrických rovnic na nejjednodušší je kreativní úkol; zde musíte použít obě a speciální metody pro řešení rovnic:
- Metoda (nejoblíbenější v Jednotné státní zkoušce).
- Metoda.
- Metoda pomocných argumentů.

Uvažujme příklad řešení kvadratické goniometrické rovnice

Příklad . Vyřešte goniometrickou rovnici \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Řešení:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Udělejme náhradu \(t=\cos⁡x\).

	Naše rovnice se stala typickou. Můžete to vyřešit pomocí .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Provádíme zpětnou výměnu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	První rovnici řešíme pomocí číselného kruhu. Druhá rovnice nemá řešení, protože \(\cos⁡x∈[-1;1]\) a nemůže se rovnat dvěma pro žádné x.
	Zapišme si všechna čísla ležící v těchto bodech.

Odpovědět: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Příklad řešení goniometrické rovnice se studiem ODZ:

Příklad (USE) . Vyřešte goniometrickou rovnici \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Existuje zlomek a kotangens - to znamená, že to musíme zapsat. Dovolte mi připomenout, že kotangens je ve skutečnosti zlomek: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Proto ODZ pro ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Označme „neřešení“ na číselném kroužku.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Zbavme se jmenovatele v rovnici vynásobením ctg\(x\). Můžeme to udělat, protože jsme výše napsali, že ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Použijme vzorec dvojitého úhlu pro sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Pokud se vaše ruce natáhnou, abyste je rozdělili kosinusem, zatáhněte je zpět! Můžete dělit výrazem s proměnnou, pokud se rozhodně nerovná nule (například tyto: \(x^2+1,5^x\)). Místo toho vyjmeme \(\cos⁡x\) z hranatých závorek.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	„Rozdělme“ rovnici na dvě.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Vyřešme první rovnici pomocí číselného kruhu. Vydělme druhou rovnici \(2\) a přesuňte \(\sin⁡x\) na pravou stranu.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Výsledné kořeny nejsou zahrnuty do ODZ. Proto je nebudeme v odpovědi zapisovat. Druhá rovnice je typická. Vydělme to \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nemůže být řešením rovnice, protože v tomto případě \(\cos⁡x=1\) nebo \(\cos⁡ x=-1\)).
	Opět použijeme kruh.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Tyto kořeny ODZ nevylučuje, takže je můžete napsat do odpovědi.

Odpovědět: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Lekce a prezentace na téma: "Řešení jednoduchých goniometrických rovnic"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru
Softwarové prostředí "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrické rovnice?

3. Dvě hlavní metody řešení goniometrických rovnic.
4. Homogenní goniometrické rovnice.
5. Příklady.

Co jsou goniometrické rovnice?

Kluci, už jsme studovali arcsinus, arkkosinus, arktangens a arkkotangens. Nyní se podíváme na goniometrické rovnice obecně.

Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod znaménkem goniometrické funkce.

Zopakujme si formu řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

1)Pokud |a|≤ 1, pak rovnice cos(x) = a má řešení:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jestliže |a|≤ 1, pak rovnice sin(x) = a má řešení:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemají řešení 4) Rovnice tg(x)=a má řešení: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnice ctg(x)=a má řešení: x=arcctg(a)+ πk

Pro všechny vzorce je k celé číslo

Nejjednodušší goniometrické rovnice mají tvar: T(kx+m)=a, T je nějaká goniometrická funkce.

Příklad.

Řešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Řešení:

A) Označme 3x=t, pak naši rovnici přepíšeme do tvaru:

Řešení této rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vraťme se k naší proměnné: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpověď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n – mínus jedna na mocninu n.

Další příklady goniometrických rovnic.

Řešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Řešení:

A) Tentokrát se rovnou přesuneme k výpočtu kořenů rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpověď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Zapíšeme jej ve tvaru: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Víme, že: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpověď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Řešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A najděte všechny kořeny v segmentu.

Řešení:

Řešme naši rovnici v obecném tvaru: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Nyní se podívejme, jaké kořeny padají na náš segment. Při k Při k=0, x= π/16 jsme v daném segmentu.
Při k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 se trefíme znovu.
Pro k=2 platí x= π/16+ π=17π/16, ale zde jsme se netrefili, což znamená, že pro velké k se také samozřejmě netrefíme.

Odpověď: x= π/16, x= 9π/16

Dvě hlavní metody řešení.

Podívali jsme se na nejjednodušší goniometrické rovnice, ale existují i složitější. K jejich řešení se používá metoda zavedení nové proměnné a metoda faktorizace. Podívejme se na příklady.

Pojďme řešit rovnici:

Řešení:
K řešení naší rovnice použijeme metodu zavedení nové proměnné, označující: t=tg(x).

V důsledku nahrazení dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Nalezneme kořeny kvadratické rovnice: t=-1 a t=1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostaneme nejjednodušší goniometrickou rovnici, najdeme její kořeny.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpověď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Příklad řešení rovnice

Řešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Řešení:

Použijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naše rovnice bude mít tvar: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zaveďme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice jsou kořeny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Protože cosinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna, pak cos(x)=2 nemá kořeny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpověď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogenní goniometrické rovnice.

Definice: Rovnice tvaru a sin(x)+b cos(x) se nazývají homogenní goniometrické rovnice prvního stupně.

Rovnice formuláře

homogenní goniometrické rovnice druhého stupně.

Chcete-li vyřešit homogenní goniometrickou rovnici prvního stupně, vydělte ji cos(x): Nemůžete dělit kosinusem, pokud se rovná nule, ujistěte se, že tomu tak není:
Nechť cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnají nule zároveň, dostaneme rozpor, takže můžeme klidně dělit nulou.

Řešte rovnici:
Příklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Řešení:

Vyjmeme společný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak musíme vyřešit dvě rovnice:

Cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 při x= π/2 + πk;

Uvažujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vydělte naši rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpověď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Jak řešit homogenní goniometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, vždy dodržujte tato pravidla!

1. Podívejte se, čemu se rovná koeficient a, je-li a=0 pak naše rovnice bude mít tvar cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), jehož příklad řešení je na předchozím snímku

2. Pokud a≠0, pak musíte obě strany rovnice vydělit kosinusovou druhou mocninou, dostaneme:

Změníme proměnnou t=tg(x) a dostaneme rovnici: