Převod výrazů. Podrobná teorie (2020)
(1) a m ⋅ a n = a m + n
Příklad:
$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n
Příklad:
$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Příklad:
$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n
Příklad:
$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n
Příklad:
$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n
Příklady:
$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$
Vlastnosti odmocniny:
(1) a b = a ⋅ b, pro a ≥ 0, b ≥ 0
Příklad:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b, pro a ≥ 0, b > 0
Příklad:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a, pro a ≥ 0
Příklad:
(4) a 2 = | a | pro jakékoli a
Příklady:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Racionální a iracionální čísla
Racionální čísla – čísla, která lze znázornit jako společný zlomek m n, kde m je celé číslo (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n je přirozené číslo (ℕ = 1, 2, 3, 4 . ...).
Příklady racionálních čísel:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
Iracionální čísla – čísla, která nelze vyjádřit jako společný zlomek m n, jedná se o nekonečné neperiodické desetinné zlomky.
Příklady iracionálních čísel:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
Jednoduše řečeno, iracionální čísla jsou čísla, která ve svém zápisu obsahují znaménko druhé odmocniny. Ale není to tak jednoduché. Některá racionální čísla jsou maskována jako iracionální čísla, například číslo 4 obsahuje ve svém zápisu znaménko odmocniny, ale dobře víme, že zápis můžeme zjednodušit ve tvaru 4 = 2. To znamená, že číslo 4 je racionální číslo.
Podobně číslo 4 81 = 4 81 = 2 9 je racionální číslo.
Některé problémy vyžadují, abyste určili, která čísla jsou racionální a která iracionální. Úkolem je pochopit, která čísla jsou iracionální a která čísla se za ně maskují. Chcete-li to provést, musíte být schopni provádět operace odstranění násobitele pod znaménkem druhé odmocniny a zavedení násobitele pod znaménkem odmocniny.
Sčítání a odečítání násobitele za znaménkem druhé odmocniny
Přesunutím faktoru za odmocninu můžete výrazně zjednodušit některé matematické výrazy.
Příklad:
Zjednodušte výraz 2 8 2.
Metoda 1 (odstranění násobitele z kořenového znaménka): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
Metoda 2 (zadání násobitele pod kořenový znak): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Zkrácené vzorce násobení (FSU)
Čtverec součtu
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Příklad:
(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Čtvercový rozdíl
(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Příklad:
(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Součet čtverců se nerozkládá
Rozdíl čtverců
(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)
Příklad:
25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)
Kostka součtu
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Příklad:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
Rozdílová kostka
(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
Příklad:
(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
Součet kostek
(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)
Příklad:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)
Rozdíl kostek
(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)
Příklad:
x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Standardní typ čísla
Abyste pochopili, jak zmenšit libovolné racionální číslo na standardní formu, musíte vědět, jaká je první významná číslice čísla.
První platná číslice čísla nazvěte ji první nenulovou číslicí zleva.
Příklady:
2 5; 3, 05; 0,143; 0,00 1 2. První platná číslice je zvýrazněna červeně.
Chcete-li převést číslo do standardního formuláře, musíte:
- Posuňte desetinnou čárku tak, aby byla bezprostředně za první platnou číslicí.
- Vynásobte výsledné číslo 10 n, kde n je číslo, které je definováno takto:
- n > 0, pokud byla čárka posunuta doleva (vynásobení 10 n znamená, že čárka by ve skutečnosti měla být více vpravo);
- n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- absolutní hodnota čísla n je rovna počtu číslic, o které byla posunuta desetinná čárka.
Příklady:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Čárka se posunula doleva o 1 místo. Protože desetinný posun je doleva, je stupeň kladný.
Již byl převeden do standardní podoby, nemusíte s ním nic dělat. Můžete to napsat jako 3,05 ⋅ 10 0, ale protože 10 0 = 1, necháme číslo v původním tvaru.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Čárka se posunula o 1 místo doprava. Protože desetinný posun je doprava, je stupeň záporný.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Čárka se posunula o tři místa doprava. Protože desetinný posun je doprava, je stupeň záporný.
Algebraický výraz výraz tvořený písmeny a číslicemi spojenými znaménky pro operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování na celé číslo a vyjímání odmocniny (exponenty a odmocniny musí být konstantní čísla). A.v. se nazývá racionální s ohledem na některá písmena v něm obsažená, pokud je například neobsahuje pod znaménkem extrakce kořene racionální s ohledem na a, b a c. A.v. se nazývá celé číslo vzhledem k některým písmenům, pokud neobsahuje dělení na výrazy obsahující tato písmena, například 3a/c + bc 2 - 3ac/4
je celé číslo vzhledem k a a b. Pokud jsou některá z písmen (nebo všechna) považována za proměnné, pak A.c. je algebraická funkce.
Velká sovětská encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. 1969-1978 .
Podívejte se, co je „algebraický výraz“ v jiných slovnících:
Výraz tvořený písmeny a číslicemi spojenými znaménky algebraických operací: sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování, odmocňování... Velký encyklopedický slovník
algebraický výraz- - Témata ropný a plynárenský průmysl EN algebraické vyjádření ... Technická příručka překladatele
Algebraický výraz je jedna nebo více algebraických veličin (čísla a písmena) spojených znaky algebraických operací: sčítání, odčítání, násobení a dělení, stejně jako odmocňování a zvyšování na celá čísla... ... Wikipedia
Výraz tvořený písmeny a číslicemi spojenými znaménky algebraických operací: sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování, odmocňování. * * * ALGEBRAIC EXPRESSION ALGEBRAIC EXPRESSION, expression,... ... encyklopedický slovník
algebraický výraz- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. algebraický výraz vok. algebraischer Ausdruck, m rus. algebraický výraz, n pranc. výraz algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Výraz složený z písmen a číslic spojených algebraickými znaky. operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování, odmocňování... Přírodní věda. encyklopedický slovník
Algebraický výraz pro danou proměnnou je na rozdíl od transcendentálního výraz, který neobsahuje jiné funkce dané veličiny kromě součtů, součinů nebo mocnin této veličiny a členy... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Ephron
VÝRAZ, výrazy, srov. 1. Akce podle Ch. expresní expres. Nemohu najít slova, kterými bych vyjádřil svou vděčnost. 2. častěji jednotky. Ztělesnění myšlenky ve formách nějakého druhu umění (filosofie). Takový výraz dokáže vytvořit jen velký umělec... ... Ušakovův vysvětlující slovník
Rovnice vyplývající ze srovnávání dvou algebraických výrazů (viz Algebraický výraz). A.u. s jednou neznámou se nazývá zlomkové, pokud je neznámá zahrnuta ve jmenovateli, a iracionální, pokud je neznámá zahrnuta pod ... ... Velká sovětská encyklopedie
VÝRAZ- primární matematický pojem, kterým se rozumí záznam písmen a čísel spojených znaménky aritmetických operací, ve kterých lze použít závorky, zápisy funkcí atd.; Obvykle je vzorec v milionech částí. Existují B (1)…… Velká polytechnická encyklopedie
Některé matematické výrazy můžeme psát různými způsoby. V závislosti na našich cílech, zda máme dostatek dat atp. Numerické a algebraické výrazy Liší se tím, že první zapisujeme pouze jako čísla kombinovaná pomocí aritmetických znamének (sčítání, odčítání, násobení, dělení) a závorek.
Pokud místo čísel vložíte do výrazu latinská písmena (proměnné), stane se algebraickým. Algebraické výrazy používají písmena, čísla, sčítání a odčítání, násobení a dělení. Lze také použít znaménko kořene, stupně a závorky.
V každém případě, ať už je výraz číselný nebo algebraický, nemůže to být jen náhodná množina znaků, čísel a písmen – musí mít význam. To znamená, že písmena, čísla, znaky musí být spojeny nějakým vztahem. Správný příklad: 7x + 2: (y + 1). Špatný příklad): + 7x - * 1.
Slovo „proměnná“ bylo zmíněno výše - co to znamená? Toto je latinské písmeno, místo kterého můžete nahradit číslo. A pokud se bavíme o proměnných, v tomto případě lze algebraické výrazy nazvat algebraickou funkcí.
Proměnná může nabývat různých hodnot. A dosazením nějakého čísla na jeho místo můžeme najít hodnotu algebraického výrazu pro tuto konkrétní hodnotu proměnné. Když je hodnota proměnné jiná, bude se lišit i hodnota výrazu.
Jak řešit algebraické výrazy?
Chcete-li vypočítat hodnoty, které musíte udělat převod algebraických výrazů. A k tomu ještě musíte vzít v úvahu několik pravidel.
Za prvé, rozsahem algebraických výrazů jsou všechny možné hodnoty proměnné, pro které výraz může dávat smysl. co to znamená? Nemůžete například nahradit hodnotu proměnnou, která by vyžadovala dělení nulou. Ve výrazu 1/(x – 2) musí být 2 vyloučena z definičního oboru.
Zadruhé si pamatujte, jak zjednodušit výrazy: faktorizovat je, vyřadit identické proměnné ze závorek atd. Například: pokud vyměníte podmínky, součet se nezmění (y + x = x + y). Stejně tak se produkt nezmění, pokud jsou faktory prohozeny (x*y = y*x).
Obecně jsou vynikající pro zjednodušení algebraických výrazů. zkrácené násobící vzorce. Kdo se je ještě nenaučil, měl by tak rozhodně učinit – i tak se budou nejednou hodit:
zjistíme rozdíl mezi proměnnými na druhou: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);
zjistíme součet na druhou: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;
rozdíl vypočítáme na druhou: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;
kostka součet: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 nebo (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
kostka rozdíl: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 nebo (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);
zjistíme součet proměnných na kostky: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);
vypočítáme rozdíl mezi proměnnými na kostky: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);
používáme kořeny: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2) a 1 a a 2 jsou kořeny výrazu xa 2 + ua + z.
Měli byste také rozumět typům algebraických výrazů. Oni jsou:
racionální a ty se zase dělí na:
celá čísla (není zde žádné dělení na proměnné, žádná extrakce odmocnin z proměnných a žádné umocňování na zlomkové mocniny): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b). Definiční doménou jsou všechny možné hodnoty proměnných ;
zlomkové (kromě jiných matematických operací, jako je sčítání, odčítání, násobení, v těchto výrazech jsou děleny proměnnou a umocněny na mocninu (s přirozeným exponentem): (2/b - 3/a + c/4) 2. Definiční obor - všechny proměnné hodnot, pro které výraz není roven nule;
iracionální - má-li být algebraický výraz považován za takový, musí zahrnovat umocnění proměnných na mocninu se zlomkovým exponentem a/nebo extrahování odmocnin z proměnných: √a + b 3/4. Definiční doménou jsou všechny hodnoty proměnných, s výjimkou těch, pro které se výraz pod odmocninou sudé mocniny nebo pod zlomkovou mocninou stává záporným číslem.
Identické transformace algebraických výrazů Identita je výraz, který bude pravdivý pro všechny proměnné obsažené v doméně definice, které jsou do něj dosazeny.
Výraz, který závisí na některých proměnných, se může shodně rovnat jinému výrazu, pokud závisí na stejných proměnných a pokud jsou hodnoty obou výrazů stejné, bez ohledu na to, jaké hodnoty proměnných jsou vybrány. Jinými slovy, lze-li výraz vyjádřit dvěma různými způsoby (výrazy), jejichž významy jsou stejné, jsou tyto výrazy identicky stejné. Například: y + y = 2y nebo x 7 = x 4 * x 3 nebo x + y + z = z + x + y.
Při provádění úloh s algebraickými výrazy slouží transformace identity k tomu, aby bylo možné jeden výraz nahradit jiným, který je s ním shodný. Například nahraďte x 9 produktem x 5 * x 4.
Příklady řešení
Aby to bylo jasnější, podívejme se na pár příkladů. transformace algebraických výrazů. Úkoly této úrovně lze nalézt v KIM pro jednotnou státní zkoušku.
Úkol 1: Najděte hodnotu výrazu ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).
Řešení: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.
Úkol 2: Najděte hodnotu výrazu (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).
Řešení: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3 )(2x + 3) = 6.
Závěr
Při přípravě na školní testy, jednotné státní zkoušky a státní zkoušky můžete tento materiál vždy použít jako nápovědu. Mějte na paměti, že algebraický výraz je kombinací čísel a proměnných vyjádřených latinkou. A také znaménka aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení), závorky, mocniny, odmocniny.
Použijte zkrácené násobící vzorce a znalost identit k transformaci algebraických výrazů.
Napište nám své komentáře a přání do komentářů – je pro nás důležité vědět, že nás čtete.
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Publikace představuje logiku rozdílů v algebraických výrazech pro studenty základního všeobecného a středního (úplného) všeobecného vzdělání jako přechodnou fázi utváření logiky rozdílů v matematických výrazech používaných ve fyzice apod. pro další utváření pojmů o jevech, úkolech, jejich klasifikaci a metodice jejich řešení.
Stažení:
Náhled:
Algebraické výrazy a jejich charakteristiky
© Skarzhinsky Y.Kh.
Algebra jako věda studuje vzorce akcí na množinách označených písmeny.Algebraické operace zahrnují sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování.V důsledku těchto akcí se vytvořily algebraické výrazy.Algebraický výraz je výraz složený z čísel a písmen označujících množiny, se kterými se provádějí algebraické operace.Tyto operace byly převedeny do algebry z aritmetiky. V algebře uvažujízrovnoprávnění jednoho algebraického výrazu s druhým, což je jejich identická rovnost. Příklady algebraických výrazů jsou uvedeny v §1.Z aritmetiky byly také převzaty metody transformací a vztahy mezi výrazy. Znalost aritmetických zákonů operací na aritmetických výrazech umožňuje provádět transformace na podobných algebraických výrazech, transformovat je, zjednodušovat, porovnávat a analyzovat.Algebra je věda o vzorcích transformace výrazů skládajících se z množin reprezentovaných ve formě písmenných symbolů propojených znaky různých akcí.Na vysokých školách se studují i složitější algebraické výrazy. Zatím je lze rozdělit na typy nejčastěji používané ve školním vzdělávacím programu.
1 Typy algebraických výrazů
klauzule 1 Jednoduché výrazy: 4a; (a + b); (a + b) 3c; ; .
klauzule 2 Identické rovnosti:(a + b) c = ac + bc; ;
položka 3 Nerovnosti: ak ; a + c .
položka 4 Vzorce: x=2a+5; y=3b; y=0,5d2+2;
položka 5 Proporce:
První stupeň obtížnosti
Druhá úroveň obtížnosti
Třetí stupeň obtížnostiz pohledu hledání hodnot pro množiny
a, b, c, m, k, d:
Čtvrtá úroveň obtížnostiz pohledu hledání hodnot pro množiny a, y:
položka 6 Rovnice:
ax+c = -5bx; 4x 2 + 2x = 42;
Atd.
klauzule 7 Funkční závislosti: y=3x; y=ax2+4b; y=0,5x2+2;
Atd.
2 Zvažte algebraické výrazy
2.1 Část 1 představuje jednoduché algebraické výrazy. Je zde výhled a
obtížnější, např.
Takové výrazy zpravidla nemají znak „=“. Úkolem při zvažování takových výrazů je transformovat je a získat je ve zjednodušené podobě. Při transformaci algebraického výrazu souvisejícího s krokem 1 se získá nový algebraický výraz, který je svým významem ekvivalentní předchozímu. Říká se, že takové výrazy jsou identicky ekvivalentní. Tito. algebraický výraz nalevo od rovnítka je významově ekvivalentní algebraickému výrazu napravo. V tomto případě se získá algebraický výraz nového typu, který se nazývá identická rovnost (viz odstavec 2).
2.2 Sekce 2 představuje algebraické identitní rovnosti, které jsou tvořeny metodami algebraické transformace, jsou uvažovány algebraické výrazy, které se nejčastěji používají jako metody řešení úloh ve fyzice. Příklady identických rovností algebraických transformací, často používaných v matematice a fyzice:
Komutativní zákon sčítání: a + b = b + a.
Kombinační zákon sčítání:(a + b) + c = a + (b + c).
Komutativní zákon násobení: ab = ba.
Kombinační zákon násobení:(ab)c = a(bc).
Distributivní zákon násobení ve vztahu k sčítání:
(a + b) c = ac + bc.
Distributivní zákon násobení ve vztahu k odčítání:
(a - b) c = ac - bc.
Identické rovnostizlomkové algebraické výrazy(za předpokladu, že jmenovatelé zlomků jsou nenulové):
Identické rovnostialgebraické výrazy s mocninami:
A),
kde (nkrát, ) - celočíselný stupeň
b) (a + b) 2 = a 2 + 2ab+b 2.
Identické rovnostialgebraické výrazy s kořeny n-tý stupeň:
Výraz - aritmetický kořen n stupně z řad Zejména, - aritmetický čtverec.
Stupeň se zlomkovým (racionálním) exponentem vykořenit:
Výše uvedené ekvivalentní výrazy se používají k transformaci složitějších algebraických výrazů, které neobsahují znak „=“.
Uvažujme příklad, ve kterém k transformaci složitějšího algebraického výrazu použijeme znalosti získané při transformaci jednodušších algebraických výrazů ve formě identických rovností.
2.3 Část 3 představuje algebraické n rovnost, u nichž se algebraické vyjádření levé strany nerovná pravé, tzn. nejsou totožné. V tomto případě se jedná o nerovnosti. Při řešení některých problémů ve fyzice jsou zpravidla důležité vlastnosti nerovnic:
1) Pokud a, pak pro libovolné c: a + c .
2) Pokud a a c > 0, pak ac .
3) Pokud a a c , pak ac > bс .
4) Pokud a , a a b tedy jedno znamení 1/a > 1/b.
5) Pokud a a c , pak a + c , a - d .
6) Pokud a , c , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, pak ac .
7) Pokud a , a > 0, b > 0, pak
8) Pokud , tak
2.4 Část 4 představuje algebraické vzorcetěch. algebraické výrazy, ve kterých je na levé straně rovnítka písmeno označující množinu, jejíž hodnota je neznámá a musí být určena. A na pravé straně rovnítka jsou sady, jejichž hodnoty jsou známé. V tomto případě se tento algebraický výraz nazývá algebraický vzorec.
Algebraický vzorec je algebraický výraz obsahující rovnítko, na jehož levé straně je množina, jejíž hodnota je neznámá, a na pravé straně množiny se známými hodnotami podle podmínek úlohy.Pro určení neznámé hodnoty množiny nalevo od znaménka „rovná se“ se známé hodnoty veličin dosadí na pravou stranu znaménka „rovná se“ a provedou se aritmetické výpočetní operace uvedené v algebraickém výrazu v tato část.
Příklad 1:
Zadáno: Řešení:
a=25 Nechť je dán algebraický výraz:
x=? x=2a+5.
Tento algebraický výraz je algebraický vzorec, protože Vlevo od rovnítka je množina, jejíž hodnota by měla být nalezena, a vpravo množiny se známými hodnotami.
Proto je možné dosadit známou hodnotu za množinu „a“ a určit neznámou hodnotu množiny „x“:
x=2·25+5=55. Odpověď: x=55.
Příklad 2:
Zadáno: Řešení:
a=25 Algebraický výrazje vzorec.
b=4 Proto je možné dosadit známé
c=8 hodnot pro množiny napravo od rovnítka,
d=3 pro určení neznámé hodnoty množiny „k“,
m=20 stojící vlevo:
n=6 Odpověď: k=3,2.
OTÁZKY
1 Co je to algebraický výraz?
2 Jaké typy algebraických výrazů znáte?
3 Jaký algebraický výraz se nazývá rovnost identity?
4 Proč je nutné znát vzorce identity?
5 Jaký algebraický výraz se nazývá formule?
6 Jaký algebraický výraz se nazývá rovnice?
7 Jaký algebraický výraz se nazývá funkční závislost?
Numerické a algebraické výrazy. Převod výrazů.
Co je výraz v matematice? Proč potřebujeme výrazové konverze?
Otázka, jak se říká, je zajímavá... Faktem je, že tyto pojmy jsou základem veškeré matematiky. Veškerá matematika se skládá z výrazů a jejich transformací. Není to moc jasné? Nech mě to vysvětlit.
Řekněme, že máte před sebou zlý příklad. Velmi velké a velmi složité. Řekněme, že jste dobří v matematice a ničeho se nebojíte! Můžete dát odpověď hned?
Budeš muset rozhodni se tento příklad. Důsledně, krok za krokem, tento příklad zjednodušit. Samozřejmě podle určitých pravidel. Tito. dělat konverze výrazu. Čím úspěšněji tyto transformace provádíte, tím jste silnější v matematice. Pokud nevíte, jak udělat správné transformace, nebudete je umět v matematice. Nic...
Abyste se vyhnuli takové nepříjemné budoucnosti (nebo přítomnosti...), neuškodí tomuto tématu porozumět.)
Nejprve to zjistíme co je výraz v matematice. Co se stalo číselný výraz a co je algebraický výraz.
Co je výraz v matematice?
Výraz v matematice- to je velmi široký pojem. Téměř vše, čím se v matematice zabýváme, je soubor matematických výrazů. Jakékoli příklady, vzorce, zlomky, rovnice a tak dále - to vše se skládá matematické výrazy.
3+2 je matematický výraz. s 2 - d 2- to je také matematický výraz. Zdravý zlomek i sudé číslo jsou všechno matematické výrazy. Například rovnice je:
5x + 2 = 12
se skládá ze dvou matematických výrazů spojených rovnítkem. Jeden výraz je vlevo, druhý vpravo.
Obecně platí, že termín " matematický výraz"Používá se nejčastěji, aby se zabránilo hučení. Zeptají se vás například, co je to obyčejný zlomek? A jak odpovědět?!
První odpověď: "Tohle je... mmmmmm... taková věc... ve které... Mohu napsat zlomek lépe? Který chcete?"
Druhá odpověď: „Obyčejný zlomek je (vesele a radostně!) matematický výraz , která se skládá z čitatele a jmenovatele!"
Druhá možnost bude o něco působivější, že?)
To je účel věty " matematický výraz "velmi dobré. Správné a pevné. Ale pro praktické použití musíte dobře rozumět." specifické typy výrazů v matematice .
Konkrétní typ je jiná věc. Tento To je úplně jiná věc! Každý typ matematického výrazu má těžit soubor pravidel a technik, které je nutné použít při rozhodování. Pro práci se zlomky - jedna sada. Pro práci s goniometrickými výrazy - ten druhý. Pro práci s logaritmy - třetí. A tak dále. Někde se tato pravidla shodují, někde se výrazně liší. Ale nebojte se těchto děsivých slov. V příslušných částech si osvojíme logaritmy, trigonometrii a další záhadné věci.
Zde si osvojíme (nebo - zopakujeme, podle toho kdo...) dva hlavní typy matematických výrazů. Číselné výrazy a algebraické výrazy.
Číselné výrazy.
Co se stalo číselný výraz? Toto je velmi jednoduchý koncept. Už samotný název napovídá, že se jedná o výraz s čísly. Tak to je. Matematický výraz složený z čísel, závorek a aritmetických znaků se nazývá číselný výraz.
7-3 je číselné vyjádření.
(8+3,2) 5,4 je také číselné vyjádření.
A toto monstrum:
také číselné vyjádření, ano...
Obyčejné číslo, zlomek, jakýkoli příklad výpočtu bez X a dalších písmen - to vše jsou číselné výrazy.
Hlavní znamení číselné výrazy - v něm žádná písmena. Žádný. Pouze čísla a matematické symboly (v případě potřeby). Je to jednoduché, že?
A co můžete dělat s číselnými výrazy? Číselné výrazy lze obvykle počítat. K tomu se stává, že musíte otevírat závorky, měnit znaménka, zkracovat, zaměňovat pojmy - tzn. dělat konverze výrazů. Ale o tom více níže.
Zde se budeme zabývat takovým vtipným případem, kdy s číselným vyjádřením nemusíte dělat nic. No, vůbec nic! Tato příjemná operace - Nedělat nic)- se provede, když výraz nedává smysl.
Kdy číselný výraz nedává smysl?
Je jasné, že když před sebou vidíme nějaký druh abrakadabra, jako
pak neuděláme nic. Protože není jasné, co s tím dělat. Nějaký nesmysl. Možná si spočítejte počet plusů...
Ale jsou tam navenek docela slušné projevy. Například toto:
(2+3): (16 - 2 8)
Nicméně, tento výraz také nedává smysl! Z prostého důvodu, že v druhých závorkách – pokud počítáte – dostanete nulu. Ale nelze dělit nulou! To je v matematice zakázaná operace. Proto ani s tímto výrazem není potřeba nic dělat. Pro jakýkoli úkol s takovým výrazem bude odpověď vždy stejná: "Ten výraz nemá žádný význam!"
Abych dal takovou odpověď, musel jsem samozřejmě spočítat, co bude v závorkách. A někdy je v závorkách spousta věcí... No, s tím se nedá nic dělat.
V matematice není tolik zakázaných operací. V tomto tématu je pouze jeden. Dělení nulou. Další omezení vznikající v kořenech a logaritmech jsou diskutována v příslušných tématech.
Takže představa o tom, co to je číselný výraz- dostal. Pojem číselný výraz nedává smysl- uvědomil. Pokračujme.
Algebraické výrazy.
Pokud se v číselném výrazu objeví písmena, tento výraz se stane... Výraz se stane... Ano! Stává se algebraický výraz. Například:
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Takové výrazy se také nazývají doslovné výrazy. Nebo výrazy s proměnnými. Je to prakticky to samé. Výraz 5a + c, například jak doslovný, tak algebraický, a výraz s proměnnými.
Pojem algebraický výraz -širší než číselné. To zahrnuje a všechny číselné výrazy. Tito. číselný výraz je také algebraický výraz, pouze bez písmen. Každý sleď je ryba, ale ne každá ryba je sleď...)
Proč abecední- To je jasné. No, protože tam jsou písmena... Fráze výraz s proměnnými To také není příliš matoucí. Pokud chápete, že pod písmeny se skrývají čísla. Pod písmeny se mohou skrývat nejrůznější čísla... A 5, a -18 a cokoli jiného. To znamená, že dopis může být nahradit pro různá čísla. Proto se písmenům říká proměnné.
Ve výrazu y+5, Například, na- proměnná hodnota. Nebo jen říkají " proměnná", bez slova „velikost“. Na rozdíl od pěti, což je konstantní hodnota. Nebo prostě - konstantní.
Období algebraický výraz znamená, že pro práci s tímto výrazem musíte používat zákony a pravidla algebra. Li aritmetický pak pracuje s konkrétními čísly algebra- se všemi čísly najednou. Jednoduchý příklad pro upřesnění.
V aritmetice to můžeme napsat
Ale pokud takovou rovnost napíšeme pomocí algebraických výrazů:
a + b = b + a
rozhodneme se hned Všechno otázky. Pro všechna čísla mrtvice. Pro všechno nekonečné. Protože pod písmeny A A b implicitní Všechnočísla. A nejen čísla, ale dokonce i další matematické výrazy. Takto funguje algebra.
Kdy nedává algebraický výraz smysl?
Vše o číselném vyjádření je jasné. Tam nelze dělit nulou. A s písmeny se dá zjistit, podle čeho se rozdělujeme?!
Vezměme si například tento výraz s proměnnými:
2: (A - 5)
Dává to smysl? Kdo ví? A- jakékoliv číslo...
Jakýkoli, jakýkoli... Ale má to jeden význam A, pro který tento výraz přesně nedává smysl! A jaké je toto číslo? Ano! Tohle je 5! Pokud proměnná A nahraďte (říkají „náhrada“) číslem 5, v závorce dostanete nulu. Které nelze rozdělit. Ukazuje se tedy, že náš výraz nedává smysl, Pokud a = 5. Ale pro jiné hodnoty A Dává to smysl? Můžete nahradit jiná čísla?
Rozhodně. V takových případech jednoduše říkají, že výraz
2: (A - 5)
dává smysl pro jakékoli hodnoty A, kromě a = 5 .
Celá sada čísel, která Umět dosazení do daného výrazu se nazývá rozsah přijatelných hodnot tento výraz.
Jak vidíte, není to nic složitého. Podívejme se na výraz s proměnnými a zjistíme: při jaké hodnotě proměnné se dostane zakázaná operace (dělení nulou)?
A pak se určitě podívejte na otázku úkolu. na co se ptají?
nedává smysl, náš zakázaný význam bude odpovědí.
Pokud se zeptáte, na jakou hodnotu proměnné je výraz má význam(pociťte ten rozdíl!), odpověď bude všechna ostatní čísla kromě zakázaného.
Proč potřebujeme význam výrazu? Je tam, není... Jaký je rozdíl?! Jde o to, že tento pojem se na střední škole stává velmi důležitým. Extrémně důležité! To je základ pro takové pevné koncepty, jako je doména přijatelných hodnot nebo doména funkce. Bez toho nebudete schopni řešit vážné rovnice nebo nerovnice vůbec. Takhle.
Převod výrazů. Proměny identity.
Seznámili jsme se s číselnými a algebraickými výrazy. Pochopili jsme, co znamená výraz „výraz nemá žádný význam“. Nyní musíme zjistit, co to je transformace výrazů. Odpověď je jednoduchá, až potupná.) To je jakákoliv akce s výrazem. To je vše. Těmto proměnám se věnujete od první třídy.
Vezměme si cool číselné vyjádření 3+5. Jak to lze převést? Ano, velmi jednoduché! Vypočítat:
Tento výpočet bude transformací výrazu. Stejný výraz můžete napsat jinak:
Zde jsme nepočítali vůbec nic. Stačí napsat výraz v jiné podobě. To bude také transformace výrazu. Můžete to napsat takto:
A to je také transformace výrazu. Takových transformací můžete provést, kolik chcete.
Žádný akce na výraz žádný zápis v jiné formě se nazývá transformace výrazu. A to je vše. Vše je velmi jednoduché. Ale je tu jedna věc velmi důležité pravidlo. Tak důležité, že to lze bezpečně zavolat hlavní pravidlo veškerou matematiku. Porušení tohoto pravidla nevyhnutelně vede k chybám. Jdeme do toho?)
Řekněme, že jsme změnili svůj výraz náhodně, takto:
Konverze? Rozhodně. Napsali jsme výraz v jiné podobě, co je tady špatně?
Není to tak.) Jde o to, že transformace "nahodile" se o matematiku vůbec nezajímají.) Veškerá matematika je postavena na transformacích, při kterých se mění vzhled, ale podstata výrazu se nemění. Tři plus pět lze napsat v libovolném tvaru, ale musí to být osm.
proměny, výrazy, které nemění podstatu jsou nazývány identické.
Přesně proměny identity a dovolte nám krok za krokem převést složitý příklad do jednoduchého vyjádření při zachování podstatu příkladu. Pokud uděláme chybu v řetězci transformací, uděláme NE identickou transformaci, pak se rozhodneme další příklad. S dalšími odpověďmi, které nesouvisí s těmi správnými.)
Toto je hlavní pravidlo pro řešení jakýchkoli úkolů: zachování identity transformací.
Uvedl jsem pro názornost příklad s číselným vyjádřením 3+5. V algebraických výrazech jsou transformace identity dány vzorci a pravidly. Řekněme, že v algebře existuje vzorec:
a(b+c) = ab + ac
To znamená, že v jakémkoli příkladu můžeme místo výrazu a(b+c) klidně napište výraz ab + ac. A naopak. Tento identická transformace. Matematika nám dává na výběr mezi těmito dvěma výrazy. A který napsat záleží na konkrétním příkladu.
Další příklad. Jednou z nejdůležitějších a nezbytných transformací je základní vlastnost zlomku. Můžete se podívat na odkaz pro více podrobností, ale zde vám jen připomenu pravidlo: Pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí (vydělí) stejným číslem nebo výrazem, který se nerovná nule, zlomek se nezmění. Zde je příklad transformací identity pomocí této vlastnosti:
Jak asi tušíte, v tomto řetězci lze pokračovat donekonečna...) Velmi důležitá vlastnost. Je to to, co vám umožní proměnit všechny druhy příkladných monster na bílé a načechrané.)
Existuje mnoho vzorců definujících identické transformace. Ale těch nejdůležitějších je celkem rozumný počet. Jednou ze základních transformací je faktorizace. Používá se ve všech matematice – od základní až po pokročilé. Začněme s ním. V další lekci.)
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
