Karşılıklı kenarları eşit olan dörtgenlere denir. Dörtgenin özellikleri hakkında bilmeniz gereken her şey

Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir. B A C D ABIIDC, ADIIBC

Çizimde kaç tane paralelkenar görüyorsunuz? a de ca II c, d II e II f II b II g f b g

Paralelkenarın Özellikleri 10. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir. B 3 2 1 C İspat: 4 D A 1 = 2, ADIIBC ve kesen AC ile NLU olarak 3 = 4, ABIICD ve kesen AC ile NLU olarak AC – ortak kenar ABC = yanda CDA ve iki komşu açı AB = CD , AD =BC B= D A= C

Paralelkenarın özellikleri 20. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür. İspat: B 2 4 A C 1 = 2, NLU olarak 3 D ABIIDC ve sekant BD 3 = 4 olarak, NLU olarak ABIIDC ve sekant AC AB=CD, paralelkenar 1'in karşılıklı kenarları olarak ABO = CDO yanda ve iki komşu açıları AO=OS, VO=OD

Bu şekiller dikkate alınan tüm özellikleri göstermektedir B C B A D A B C O A C D D

Ek özellikler. Paralelkenarın komşu açılarının toplamı 1800'dür. B C D A ABIIDC, ADIIBC Yasla...

Paralelkenarın çevresi 20 cm'dir, köşegenlerden biri 11 cm olabilir mi? cm 11 Yarı çevre B On santimetre C A D Bu paralelkenarın köşegenlerinden birinin uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

Bitmiş çizimlere ilişkin eğitim görevleri. Çevresinin 24 cm olduğunu bilerek ABCD paralelkenarının kenarlarını bulun AD – AB = 3 cm B C AD kenarı AB kenarından 3 cm daha büyüktür x A x+3 DP = 24 cm 2(x+x+3) = 24 p=12 cm x+x+3 = 12

Çevresinin 24 cm olduğunu bilerek ABCD paralelkenarının kenarlarını bulun AB: BC = 1: 2 B 2 x C x A P = 24 cm 2(x + 2 x) = 24 D p = 12 cm x + 2 x = 12

Çevresinin 24 cm olduğunu bilerek ABCD paralelkenarının kenarlarını bulun MC – MV = 3 cm B x M x + 3 450 A P = 24 cm 2 (x + x + x + 3) = 24 MC kesiti 3 cm daha büyük segment MV C D р=12 cm x+x+x+3 = 12

Paralelkenarın bir kenarının uzunluğu diğer kenarının uzunluğunun %80'idir. Bu paralelkenarın yarı çevresi 18 cm ise kısa kenarının uzunluğunu bulun B x C 0,8 x A D p = 18 cm x + 0,8 x = 18

Paralelkenarın bir kenarının uzunluğu diğer kenarının uzunluğundan %15 daha fazladır. Yarı çevresi 8,6 cm ise bu paralelkenarın uzun kenarının uzunluğunu bulun B 1,15 x C x A D p = 8,6 cm x + 1,15 x = 8,6

ABCD paralelkenarının açılarını bulun. B – B C x + 30 A x D A = 300 B açısı, A açısından 300 derece büyüktür

Bir paralelkenarın üç açısının derece ölçülerinin toplamı 3000'dir. Bu paralelkenarın geniş açısının büyüklüğünü bulun. B C x A 180'ler D

ABCD paralelkenarının açılarını bulun (3600 - 400 2): 2 C B 1800 -400 140 A 400 D

No. 376 (c) B 1090 A 710 C 710 1090 D ise ABCD paralelkenarının açılarını bulun.

No. 376 (c) B C x 2 x A A = 2 B ise A açısı B D açısından 2 kat daha büyükse ABCD paralelkenarının açılarını bulun.

Bu yazıda tüm ana konulara bakacağız. dörtgenlerin özellikleri ve özellikleri.

Başlangıç ​​​​olarak, her tür dörtgeni böyle bir özet diyagram biçiminde düzenleyeceğim:

Diyagram, her satırdaki dörtgenlerin ÜSTÜNDE BULUNAN DÖRTGENLERİN TÜM ÖZELLİKLERİNE sahip olması açısından dikkat çekicidir. Bu nedenle çok az hatırlamanız gerekir.

Yamuk iki kenarı paralel, diğer ikisi paralel olmayan bir dörtgendir. Paralel kenarlara denir yamuk tabanlar, paralel değil - taraflar.

1 . Trapezde bir kenara bitişik açıların toplamı 180°'ye eşit: A+B=180°, C+D=180°

2 . Bir yamuğun herhangi bir açısının açıortayı tabanından kenara eşit bir parça keser:

3. Bir yamuğun bitişik köşelerinin açıortayları dik açılarda kesişir.

4 .Yamuk denir ikizkenar kenarları eşitse:

Bir ikizkenar yamukta

5. Yamuğun alanı tabanlar ile yüksekliğin toplamının yarısının çarpımına eşittir:

Paralelkenar karşıt kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir: Bir paralelkenarda:

• zıt kenarlar ve zıt açılar eşittir
• Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür:

Buna göre bir dörtgen bu özelliklere sahipse paralelkenardır.

Paralelkenarın alanı taban ve yüksekliğin çarpımına eşittir:

veya kenarların çarpımı ve aralarındaki açının sinüsü:

:

Eşkenar dörtgen tüm kenarların eşit olduğu bir paralelkenardır:

• zıt açılar eşittir
• köşegenler kesişme noktalarına göre ikiye bölünür
  
• köşegenler birbirine diktir
  
• Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıların açıortaylarıdır

Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısına eşit:

veya kenarın karesi ile kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımı:

Dörtgen, dört noktadan (köşelerden) ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan dört bölümden (kenarlardan) oluşan bir çokgendir.

Bugün geometrik bir şekli ele alacağız - bir dörtgen. Bu şeklin adından bu şeklin dört köşesi olduğu zaten anlaşılıyor. Ancak aşağıda bu şeklin kalan özelliklerini ve özelliklerini ele alacağız.

Dörtgen nedir

Dörtgen, dört noktadan (köşelerden) ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan dört bölümden (kenarlardan) oluşan bir çokgendir. Bir dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının ve aralarındaki açının yarısına eşittir.

Dörtgen, üçü düz bir çizgi üzerinde olmayan dört köşesi olan bir çokgendir.

Dörtgen türleri

• Karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
• Karşılıklı iki kenarı paralel, diğer ikisi paralel olmayan dörtgenlere yamuk denir.
• Tüm açıları dik olan bir dörtgen bir dikdörtgendir.
• Tüm kenarları eşit olan bir dörtgen eşkenar dörtgendir.
• Tüm kenarları eşit ve tüm açıları dik olan dörtgenlere kare denir.

Bir dörtgen şöyle olabilir:

Kendiliğinden kesişen

Dışbükey olmayan

Dışbükey

Kendiyle kesişen dörtgen herhangi bir tarafının kesişme noktasına sahip olduğu bir dörtgendir (şekilde mavi renktedir).

Dışbükey olmayan dörtgen iç açılarından birinin 180 dereceden fazla olduğu bir dörtgendir (şekilde turuncu renkle gösterilmiştir).

Açıların toplamı kendisiyle kesişmeyen herhangi bir dörtgen her zaman 360 dereceye eşittir.

Özel dörtgen türleri

Dörtgenler, özel geometrik şekiller oluşturan ek özelliklere sahip olabilir:

• Paralelkenar
• Dikdörtgen
• Kare
• Yamuk
• Deltoid
• Karşıparalelkenar

Dörtgen ve daire

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir dörtgen (bir dörtgen içine yazılmış bir daire).

Tanımlanan dörtgenin ana özelliği:

Bir dörtgen, ancak ve ancak karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı eşitse bir dairenin çevresine çizilebilir.

Bir daire içine yazılan dörtgen (bir dörtgen etrafında çevrelenen daire)

Yazılı bir dörtgenin ana özelliği:

Bir daireye bir dörtgen ancak ve ancak karşıt açıların toplamı 180 dereceye eşitse yazılabilir.

Bir dörtgenin kenar uzunluklarının özellikleri

Bir dörtgenin herhangi iki tarafı arasındaki farkın modülü diğer iki kenarının toplamını geçmez.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Önemli. Eşitsizlik bir dörtgenin kenarlarının herhangi bir kombinasyonu için geçerlidir. Çizim yalnızca algılama kolaylığı sağlamak amacıyla sağlanmıştır.

Herhangi bir dörtgende üç kenarının uzunluklarının toplamı dördüncü kenarın uzunluğundan az değildir.

Önemli. Okul müfredatındaki sorunları çözerken katı eşitsizliği kullanabilirsiniz (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Ders konusu

• Dörtgenin tanımı.

Dersin Hedefleri

• Eğitimsel – konuyla ilgili bilgilerin tekrarı, genelleştirilmesi ve test edilmesi: “Dörtgen”; temel becerilerin geliştirilmesi.
• Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini, mantıksal düşünmesini, matematiksel konuşmasını geliştirmek.
• Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı dikkatli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.

Dersin Hedefleri

• Ölçek cetveli ve çizim üçgeni kullanarak dörtgen oluşturma becerilerini geliştirin.
• Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.

Ders planı

1. Tarihsel referans. Öklid dışı geometri.
2. Dörtgen.
3. Dörtgen türleri.

Öklid dışı geometri

Öklid dışı geometri, geometriye benzer geometri ÖklidŞekillerin hareketini tanımlaması açısından, ancak beş önermesinden birinin (ikinci veya beşinci) olumsuzlanmasıyla değiştirilmesiyle Öklid geometrisinden farklıdır. Öklid önermelerinden birinin (1825) olumsuzlanması düşünce tarihinde önemli bir olaydı, çünkü bu, düşünce tarihinde önemli bir olaydı; görecelilik teorisi.

Öklid'in ikinci varsayımı şunu belirtir: herhangi bir doğru parçası süresiz olarak uzatılabilir. Görünüşe göre Öklid, bu varsayımın aynı zamanda düz bir çizginin sonsuz uzunluğa sahip olduğu ifadesini de içerdiğine inanıyordu. Fakat "Eliptik" geometride herhangi bir düz çizgi sonludur ve bir daire gibi kapalıdır.

Beşinci önermeye göre, eğer bir doğru belirli iki doğruyu, bir tarafındaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan daha az olacak şekilde keserse, o zaman bu iki doğru, süresiz olarak uzatılırsa, bulundukları tarafta kesişecektir. bu açıların toplamı iki doğrunun toplamından küçüktür. Ancak "hiperbolik" geometride, C noktasında belirli bir r çizgisine dik olan ve başka bir s çizgisiyle B noktasında dar bir açıyla kesişen bir CB çizgisi (şekle bakın) olabilir, ancak yine de sonsuz çizgiler r ve s olacaktır. asla kesişmez.

Bu revize edilmiş varsayımlardan, Öklid geometrisinde 180°'ye eşit olan bir üçgenin açılarının toplamının eliptik geometride 180°'den büyük ve hiperbolik geometride 180°'den küçük olduğu sonucu çıkmıştır.

Dörtgen