Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητής. Βασικές αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων
2. Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων
Αναμενόμενη αξία
Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή με αριθμητικές τιμές. Συχνά είναι χρήσιμο να συσχετίσετε έναν αριθμό με αυτήν τη συνάρτηση - τη "μέση τιμή" του ή, όπως λένε, "μέση τιμή", "έναν δείκτη της κεντρικής τάσης". Για διάφορους λόγους, ορισμένοι από τους οποίους θα γίνουν σαφείς στη συνέχεια, είναι σύνηθες να χρησιμοποιείται ο μέσος όρος ως μέσος όρος.
Ορισμός 3.Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητής Χκάλεσε έναν αριθμό
εκείνοι. η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα σταθμισμένο άθροισμα τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής με βάρη ίσα με τις πιθανότητες των αντίστοιχων στοιχειωδών γεγονότων.
Παράδειγμα 6Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού που έπεσε στην κορυφή του ζαριού. Από τον ορισμό 3 προκύπτει άμεσα ότι
Δήλωση 2.Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει αξίες x 1, x 2, ..., xΜ. Μετά η ισότητα
(5)
εκείνοι. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι το σταθμισμένο άθροισμα των τιμών της τυχαίας μεταβλητής με βάρη ίσα με τις πιθανότητες η τυχαία μεταβλητή να λάβει συγκεκριμένες τιμές.
Σε αντίθεση με το (4), όπου η άθροιση πραγματοποιείται απευθείας σε στοιχειώδη συμβάντα, ένα τυχαίο γεγονός μπορεί να αποτελείται από πολλά στοιχειώδη συμβάντα.
Μερικές φορές η σχέση (5) λαμβάνεται ως ο ορισμός της μαθηματικής προσδοκίας. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας τον ορισμό 3, όπως φαίνεται παρακάτω, είναι ευκολότερο να καθοριστούν οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας που απαιτούνται για την κατασκευή πιθανοτικών μοντέλων πραγματικών φαινομένων παρά η χρήση της σχέσης (5).
Για να αποδείξουμε τη σχέση (5), ομαδοποιούμε σε (4) όρους με τις ίδιες τιμές της τυχαίας μεταβλητής:
Αφού ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αθροίσματος, τότε
Εξ ορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος
Με τη βοήθεια των δύο τελευταίων σχέσεων, παίρνουμε το επιθυμητό:
Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας στην πιθανοτική-στατιστική θεωρία αντιστοιχεί στην έννοια του κέντρου βάρους στη μηχανική. Ας το βάλουμε στις τελείες x 1, x 2, ..., xΜστον αριθμητικό άξονα της μάζας Π(Χ= Χ 1 ), Π(Χ= Χ 2 ),…, Π(Χ= x m) αντίστοιχα. Τότε η ισότητα (5) δείχνει ότι το κέντρο βάρους αυτού του συστήματος υλικών σημείων συμπίπτει με τη μαθηματική προσδοκία, η οποία δείχνει τη φυσικότητα του ορισμού 3.
Δήλωση 3.Αφήνω Χ- τυχαία τιμή, M(X)είναι η μαθηματική προσδοκία του, ΕΝΑ- κάποιο νούμερο. Επειτα
1) M(a)=a; 2) Μ(Χ-Μ(Χ))=0; 3 εκ.[(Χ- ένα) 2 ]= Μ[(Χ- Μ(Χ)) 2 ]+(ένα- Μ(Χ)) 2 .
Για να το αποδείξουμε αυτό, θεωρούμε πρώτα μια τυχαία μεταβλητή που είναι σταθερή, δηλ. η συνάρτηση αντιστοιχίζει το χώρο των στοιχειωδών γεγονότων σε ένα μόνο σημείο ΕΝΑ. Αφού ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αθροίσματος, τότε
Αν κάθε όρος του αθροίσματος χωρίζεται σε δύο όρους, τότε ολόκληρο το άθροισμα χωρίζεται επίσης σε δύο αθροίσματα, από τα οποία ο πρώτος αποτελείται από τους πρώτους όρους και ο δεύτερος από τον δεύτερο. Επομένως, η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών Χ+Υ, που ορίζεται στον ίδιο χώρο στοιχειωδών γεγονότων, ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών M(X)Και M(U)αυτές οι τυχαίες μεταβλητές:
Μ(Χ+Υ) = Μ(Χ) + Μ(Υ).
Και ως εκ τούτου M(X-M(X)) = Μ(Χ) - Μ(Μ(Χ)).Όπως φαίνεται παραπάνω, M(M(X)) = Μ(Χ).Ως εκ τούτου, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Επειδή η (X - a) 2 = ((Χ – Μ(Χ)) + (Μ(Χ) - ένα)} 2 = (Χ - Μ(Χ)) 2 + 2(Χ - Μ(Χ))(Μ(Χ) - ένα) + (Μ(Χ) – ένα) 2 , Οτι Μ[(Χ - α) 2] =Μ(Χ - Μ(Χ)) 2 + Μ{2(Χ - Μ(Χ))(Μ(Χ) - ένα)} + Μ[(Μ(Χ) – ένα) 2 ]. Ας απλοποιήσουμε την τελευταία ισότητα. Όπως φαίνεται στην αρχή της απόδειξης της πρότασης 3, η προσδοκία μιας σταθεράς είναι η ίδια η σταθερά, και επομένως Μ[(Μ(Χ) – ένα) 2 ] = (Μ(Χ) – ένα) 2 . Αφού ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αθροίσματος, τότε Μ{2(Χ - Μ(Χ))(Μ(Χ) - ένα)} = 2(Μ(Χ) - ένα)Μ(Χ - Μ(Χ)). Η δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας είναι 0 γιατί, όπως φαίνεται παραπάνω, Μ(Χ-Μ(Χ))=0.Ως εκ τούτου, Μ[(Χ- ένα) 2 ]= Μ[(Χ- Μ(Χ)) 2 ]+(ένα- Μ(Χ)) 2 , που έπρεπε να αποδειχτεί.
Από όσα ειπώθηκαν, προκύπτει ότι Μ[(Χ- ένα) 2 ] φτάνει στο ελάχιστο ΕΝΑίσο με Μ[(Χ- Μ(Χ)) 2 ], στο a = M(X),αφού ο δεύτερος όρος στην ισότητα 3) είναι πάντα μη αρνητικός και ισούται με 0 μόνο για την καθορισμένη τιμή ΕΝΑ.
Δήλωση 4.Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει αξίες x 1, x 2, ..., xΜ, και η f είναι κάποια συνάρτηση ενός αριθμητικού ορίσματος. Επειτα
Για να το αποδείξουμε, ας ομαδοποιήσουμε στη δεξιά πλευρά της ισότητας (4), που καθορίζει τη μαθηματική προσδοκία, όρους με τις ίδιες τιμές:
Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αθροίσματος και προσδιορίζοντας την πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος (2), παίρνουμε
Q.E.D.
Δήλωση 5.Αφήνω ΧΚαι Στοείναι τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται στον ίδιο χώρο στοιχειωδών γεγονότων, ΕΝΑΚαι σι- κάποιοι αριθμοί. Επειτα Μ(τσεκούρι+ με)= είμαι(Χ)+ bM(Υ).
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας και τις ιδιότητες του συμβόλου άθροισης, λαμβάνουμε μια αλυσίδα ισοτήτων:
Το απαιτούμενο αποδεικνύεται.
Τα παραπάνω δείχνουν πώς η μαθηματική προσδοκία εξαρτάται από τη μετάβαση σε άλλη προέλευση και σε άλλη μονάδα μέτρησης (μετάβαση Υ=τσεκούρι+σι), καθώς και σε συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών. Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται χρησιμοποιούνται συνεχώς στην τεχνική και οικονομική ανάλυση, στην αξιολόγηση των χρηματοοικονομικών και οικονομικών δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης, στη μετάβαση από το ένα νόμισμα στο άλλο σε ξένους οικονομικούς διακανονισμούς, σε κανονιστική και τεχνική τεκμηρίωση κ.λπ. Τα εξεταζόμενα αποτελέσματα επιτρέπουν τη χρήση του ίδιοι τύποι υπολογισμού για διάφορες παραμέτρους κλίμακα και μετατόπιση.
| Προηγούμενος |
Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των πιθανοτήτων τους.
Έστω ότι μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο οι πιθανότητες της οποίας είναι αντίστοιχα ίσες.Τότε η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής καθορίζεται από την ισότητα
Εάν μια διακριτή τυχαία μεταβλητή λάβει ένα μετρήσιμο σύνολο πιθανών τιμών, τότε
Επιπλέον, η μαθηματική προσδοκία υπάρχει εάν η σειρά στη δεξιά πλευρά της ισότητας συγκλίνει απόλυτα.
Σχόλιο. Από τον ορισμό προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια μη τυχαία (σταθερή) μεταβλητή.
Ορισμός της μαθηματικής προσδοκίας στη γενική περίπτωση
Ας ορίσουμε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής της οποίας η κατανομή δεν είναι απαραίτητα διακριτή. Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση των μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών. Η ιδέα θα είναι να προσεγγίσουμε τέτοιες τυχαίες μεταβλητές με τη βοήθεια διακριτών, για τις οποίες η μαθηματική προσδοκία έχει ήδη καθοριστεί, και να ορίσουμε τη μαθηματική προσδοκία ίση με το όριο των μαθηματικών προσδοκιών των διακριτών τυχαίων μεταβλητών που την προσεγγίζουν. Παρεμπιπτόντως, αυτή είναι μια πολύ χρήσιμη γενική ιδέα, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι κάποιο χαρακτηριστικό προσδιορίζεται πρώτα για απλά αντικείμενα και στη συνέχεια για πιο σύνθετα αντικείμενα προσδιορίζεται προσεγγίζοντάς τα με πιο απλά.
Λήμμα 1. Έστω να υπάρχει μια αυθαίρετη μη αρνητική τυχαία μεταβλητή. Στη συνέχεια, υπάρχει μια ακολουθία διακριτών τυχαίων μεταβλητών έτσι ώστε
Απόδειξη. Ας χωρίσουμε τον ημιάξονα σε ίσα τμήματα μήκους και ας ορίσουμε
Στη συνέχεια, οι ιδιότητες 1 και 2 ακολουθούν εύκολα από τον ορισμό μιας τυχαίας μεταβλητής και
Λήμμα 2. Έστω μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή και δύο ακολουθίες διακριτών τυχαίων μεταβλητών με ιδιότητες 1-3 από το Λήμμα 1. Στη συνέχεια
Απόδειξη. Σημειώστε ότι για μη αρνητικές τυχαίες μεταβλητές επιτρέπουμε
Με την ιδιότητα 3, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι υπάρχει μια ακολουθία θετικών αριθμών τέτοια ώστε
Ως εκ τούτου προκύπτει ότι
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μαθηματικών προσδοκιών για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, λαμβάνουμε
Περνώντας στο όριο καθώς λαμβάνουμε τον ισχυρισμό του Λήμματος 2.
Ορισμός 1. Έστω μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή, είναι μια ακολουθία διακριτών τυχαίων μεταβλητών με ιδιότητες 1-3 από το Λήμμα 1. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ο αριθμός
Το Lemma 2 εγγυάται ότι δεν εξαρτάται από την επιλογή της κατά προσέγγιση ακολουθίας.
Έστω τώρα μια αυθαίρετη τυχαία μεταβλητή. Ας ορίσουμε
Από τον ορισμό και εύκολα προκύπτει ότι
Ορισμός 2. Η μαθηματική προσδοκία μιας αυθαίρετης τυχαίας μεταβλητής είναι ο αριθμός
Αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας είναι πεπερασμένος.
Ιδιότητες προσδοκίας
Ιδιότητα 1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
Απόδειξη. Θα θεωρήσουμε τη σταθερά ως μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που έχει μια πιθανή τιμή και την παίρνει με πιθανότητα, επομένως,
Παρατήρηση 1. Ορίζουμε το γινόμενο μιας σταθερής τιμής από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ως μια διακριτή τυχαία μεταβλητή της οποίας οι πιθανές τιμές είναι ίσες με τα γινόμενα μιας σταθεράς κατά πιθανές τιμές. οι πιθανότητες των πιθανών τιμών είναι ίσες με τις πιθανότητες των αντίστοιχων δυνατών τιμών. Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι ίση, τότε η πιθανότητα ότι η τιμή θα λάβει μια τιμή είναι επίσης ίση με
Ιδιότητα 2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας:
Απόδειξη. Έστω η τυχαία μεταβλητή που δίνεται από τον νόμο κατανομής πιθανότητας:
Λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση 1, γράφουμε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής
Παρατήρηση 2. Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα, υποδεικνύουμε ότι δύο τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται ανεξάρτητες εάν ο νόμος κατανομής μιας από αυτές δεν εξαρτάται από τις πιθανές τιμές που έχει λάβει η άλλη μεταβλητή. Διαφορετικά, οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες. Πολλές τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται αμοιβαία ανεξάρτητες εάν οι νόμοι κατανομής οποιουδήποτε αριθμού από αυτές δεν εξαρτώνται από τις πιθανές τιμές που έχουν λάβει οι άλλες μεταβλητές.
Παρατήρηση 3. Ορίζουμε το γινόμενο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών και ως τυχαία μεταβλητή οι πιθανές τιμές της οποίας είναι ίσες με τα γινόμενα κάθε πιθανής τιμής με κάθε πιθανή τιμή οι πιθανότητες των πιθανών τιμών του προϊόντος είναι ίσες στα γινόμενα των πιθανοτήτων των πιθανών τιμών των παραγόντων. Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι, η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι τότε η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι
Ιδιότητα 3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Απόδειξη. Έστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και δίνονται από τους δικούς τους νόμους κατανομής πιθανοτήτων:
Ας σχηματίσουμε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει μια τυχαία μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλες τις πιθανές τιμές με κάθε πιθανή τιμή. ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε και, λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση 3, γράφουμε τον νόμο διανομής υποθέτοντας για απλότητα ότι όλες οι πιθανές τιμές του προϊόντος είναι διαφορετικές (αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο):
Η μαθηματική προσδοκία είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών και των πιθανοτήτων τους:
Συνέπεια. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Ιδιότητα 4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Απόδειξη. Έστω τυχαίες μεταβλητές και δίνονται από τους ακόλουθους νόμους κατανομής:
Συνθέστε όλες τις πιθανές τιμές της ποσότητας Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε κάθε δυνατή τιμή σε κάθε πιθανή τιμή. λαμβάνουμε Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι αυτές οι πιθανές τιμές είναι διαφορετικές (αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο) και υποδηλώνουμε τις πιθανότητες τους με και αντίστοιχα
Η μαθηματική προσδοκία μιας τιμής είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών από τις πιθανότητες τους:
Ας αποδείξουμε ότι ένα Γεγονός που συνίσταται στη λήψη μιας τιμής (η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι ίση) συνεπάγεται ένα γεγονός που συνίσταται στη λήψη της τιμής ή (η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι ίση με το θεώρημα πρόσθεσης) και αντίστροφα. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι Οι ισότητες
Αντικαθιστώντας τα σωστά μέρη αυτών των ισοτήτων σε σχέση (*), λαμβάνουμε
ή τέλος
Διασπορά και τυπική απόκλιση
Στην πράξη, συχνά απαιτείται να εκτιμηθεί η διασπορά των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της. Για παράδειγμα, στο πυροβολικό είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πόσο κοντά θα πέσουν οι οβίδες κοντά στον στόχο που πρέπει να χτυπηθεί.
Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι ο ευκολότερος τρόπος για να εκτιμήσετε τη σκέδαση είναι να υπολογίσετε όλες τις πιθανές τιμές της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής και στη συνέχεια να βρείτε τη μέση τιμή τους. Ωστόσο, αυτή η διαδρομή δεν θα δώσει τίποτα, αφού η μέση τιμή της απόκλισης, δηλ. για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή είναι μηδέν. Αυτή η ιδιότητα εξηγείται από το γεγονός ότι ορισμένες πιθανές αποκλίσεις είναι θετικές, ενώ άλλες είναι αρνητικές. ως αποτέλεσμα της αμοιβαίας ακύρωσής τους, η μέση τιμή της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτές οι εκτιμήσεις υποδεικνύουν τη σκοπιμότητα αντικατάστασης πιθανών αποκλίσεων με τις απόλυτες τιμές ή τα τετράγωνά τους. Έτσι το κάνουν στην πράξη. Είναι αλήθεια ότι στην περίπτωση που οι πιθανές αποκλίσεις αντικατασταθούν από τις απόλυτες τιμές τους, πρέπει κανείς να λειτουργήσει με απόλυτες τιμές, κάτι που μερικές φορές οδηγεί σε σοβαρές δυσκολίες. Ως εκ τούτου, τις περισσότερες φορές πηγαίνουν προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλ. να υπολογίσετε τη μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης, η οποία ονομάζεται διακύμανση.
Θα υπάρχουν επίσης εργασίες για μια ανεξάρτητη λύση, στις οποίες μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.
Η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Χαρακτηρίζουν τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της κατανομής: τη θέση και τον βαθμό διασποράς της. Η μαθηματική προσδοκία συχνά αναφέρεται απλώς ως η μέση τιμή. τυχαία μεταβλητή. Διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής - ένα χαρακτηριστικό της διασποράς, της διασποράς μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μαθηματική του προσδοκία.
Σε πολλά προβλήματα πρακτικής, μια πλήρης, εξαντλητική περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής - ο νόμος της κατανομής - είτε δεν μπορεί να ληφθεί, είτε δεν χρειάζεται καθόλου. Σε αυτές τις περιπτώσεις, περιορίζονται σε μια κατά προσέγγιση περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας αριθμητικά χαρακτηριστικά.
Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Ας έρθουμε στην έννοια της μαθηματικής προσδοκίας. Αφήστε τη μάζα κάποιας ουσίας να κατανεμηθεί μεταξύ των σημείων του άξονα x Χ1 , Χ 2 , ..., Χ n. Επιπλέον, κάθε υλικό σημείο έχει μάζα που αντιστοιχεί σε αυτό με πιθανότητα Π1 , Π 2 , ..., Π n. Απαιτείται η επιλογή ενός σημείου στον άξονα x, το οποίο χαρακτηρίζει τη θέση ολόκληρου του συστήματος των υλικών σημείων, λαμβάνοντας υπόψη τις μάζες τους. Είναι φυσικό να λαμβάνεται ως τέτοιο σημείο το κέντρο μάζας του συστήματος των υλικών σημείων. Αυτός είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος της τυχαίας μεταβλητής Χ, στην οποία η τετμημένη κάθε σημείου ΧΕγώμπαίνει με «βάρος» ίσο με την αντίστοιχη πιθανότητα. Η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής που προκύπτει έτσι Χονομάζεται μαθηματική προσδοκία του.
Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και οι πιθανότητες αυτών των τιμών:
Παράδειγμα 1Διοργάνωσε λαχειοφόρο αγορά με κερδοφόρα. Υπάρχουν 1000 κέρδη, 400 από τα οποία είναι 10 ρούβλια το καθένα. 300 - 20 ρούβλια το καθένα 200 - 100 ρούβλια το καθένα. και 100 - 200 ρούβλια το καθένα. Ποιος είναι ο μέσος όρος των κερδών για ένα άτομο που αγοράζει ένα εισιτήριο;
Λύση. Θα βρούμε τη μέση νίκη αν το συνολικό ποσό των κερδών, που είναι ίσο με 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 ρούβλια, διαιρεθεί με το 1000 (το συνολικό ποσό των κερδών). Στη συνέχεια παίρνουμε 50000/1000 = 50 ρούβλια. Αλλά η έκφραση για τον υπολογισμό του μέσου κέρδους μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή:
Από την άλλη πλευρά, υπό αυτές τις συνθήκες, το ποσό των κερδών είναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει τις τιμές των 10, 20, 100 και 200 ρούβλια. με πιθανότητες ίσες με 0,4, αντίστοιχα. 0,3; 0,2; 0.1. Επομένως, η αναμενόμενη μέση απόδοση ισούται με το άθροισμα των προϊόντων του μεγέθους των πληρωμών και της πιθανότητας λήψης τους.
Παράδειγμα 2Ο εκδότης αποφάσισε να εκδώσει ένα νέο βιβλίο. Πρόκειται να πουλήσει το βιβλίο για 280 ρούβλια, από τα οποία τα 200 θα του δοθούν, τα 50 στο βιβλιοπωλείο και τα 30 στον συγγραφέα. Ο πίνακας παρέχει πληροφορίες σχετικά με το κόστος έκδοσης ενός βιβλίου και την πιθανότητα πώλησης ενός συγκεκριμένου αριθμού αντιτύπων του βιβλίου.
Βρείτε το αναμενόμενο κέρδος του εκδότη.
Λύση. Η τυχαία μεταβλητή «κέρδος» ισούται με τη διαφορά μεταξύ των εσόδων από την πώληση και του κόστους των δαπανών. Για παράδειγμα, εάν πωληθούν 500 αντίτυπα ενός βιβλίου, τότε τα έσοδα από την πώληση είναι 200 * 500 = 100.000 και το κόστος έκδοσης είναι 225.000 ρούβλια. Έτσι, ο εκδότης αντιμετωπίζει απώλεια 125.000 ρούβλια. Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις αναμενόμενες τιμές της τυχαίας μεταβλητής - κέρδος:
| Αριθμός | Κέρδος ΧΕγώ | Πιθανότητα ΠΕγώ | ΧΕγώ ΠΕγώ |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Σύνολο: | 1,00 | 25000 |
Έτσι, λαμβάνουμε τη μαθηματική προσδοκία του κέρδους του εκδότη:
.
Παράδειγμα 3Ευκαιρία να χτυπήσει με ένα σουτ Π= 0,2. Προσδιορίστε την κατανάλωση κελύφους που παρέχουν τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των χτυπημάτων ίσο με 5.
Λύση. Από τον ίδιο τύπο προσδοκίας που χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα, εκφραζόμαστε Χ- κατανάλωση κοχυλιών:
.
Παράδειγμα 4Προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χαριθμός χτυπημάτων με τρεις βολές, εάν η πιθανότητα να χτυπηθεί με κάθε βολή Π = 0,4 .
Συμβουλή: βρείτε την πιθανότητα των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής κατά Φόρμουλα Bernoulli .
Ιδιότητες προσδοκίας
Εξετάστε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.
Ιδιοκτησία 1.Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με αυτήν τη σταθερά:
Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το σημάδι της προσδοκίας:
Ιδιοκτησία 3.Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος (διαφορά) των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Ιδιοκτησία 4.Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Ιδιοκτησία 5.Εάν όλες οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χμείωση (αύξηση) κατά τον ίδιο αριθμό ΜΕ, τότε η μαθηματική του προσδοκία θα μειωθεί (αυξηθεί) κατά τον ίδιο αριθμό:
Όταν δεν μπορείς να περιοριστείς μόνο στη μαθηματική προσδοκία
Στις περισσότερες περιπτώσεις, μόνο η μαθηματική προσδοκία δεν μπορεί να χαρακτηρίσει επαρκώς μια τυχαία μεταβλητή.
Έστω τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υδίνονται από τους ακόλουθους νόμους διανομής:
| Εννοια Χ | Πιθανότητα |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Εννοια Υ | Πιθανότητα |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Οι μαθηματικές προσδοκίες αυτών των μεγεθών είναι οι ίδιες - ίσες με μηδέν:
Ωστόσο, η κατανομή τους είναι διαφορετική. Τυχαία τιμή Χμπορεί να λάβει μόνο τιμές που διαφέρουν ελάχιστα από τη μαθηματική προσδοκία και την τυχαία μεταβλητή Υμπορεί να λάβει τιμές που αποκλίνουν σημαντικά από τις μαθηματικές προσδοκίες. Παρόμοιο παράδειγμα: ο μέσος μισθός δεν επιτρέπει να κριθεί η αναλογία των εργαζομένων με υψηλή και χαμηλή αμοιβή. Με άλλα λόγια, με μαθηματική προσδοκία δεν μπορεί κανείς να κρίνει ποιες αποκλίσεις από αυτήν, τουλάχιστον κατά μέσο όρο, είναι δυνατές. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής.
Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
διασποράδιακριτή τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής του από τη μαθηματική προσδοκία:
Η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χείναι η αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας της διακύμανσής της:
.
Παράδειγμα 5Υπολογίστε τις διακυμάνσεις και τις τυπικές αποκλίσεις τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ, του οποίου οι νόμοι κατανομής δίνονται στους παραπάνω πίνακες.
Λύση. Μαθηματικές προσδοκίες τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ, όπως βρέθηκε παραπάνω, ισούνται με μηδέν. Σύμφωνα με τον τύπο διασποράς για μι(Χ)=μι(y)=0 παίρνουμε:
Στη συνέχεια οι τυπικές αποκλίσεις των τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υαπαρτίζω
.
Έτσι, με τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες, η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χπολύ μικρό και τυχαίο Υ- σημαντική. Αυτό είναι συνέπεια της διαφοράς στην κατανομή τους.
Παράδειγμα 6Ο επενδυτής έχει 4 εναλλακτικά επενδυτικά σχέδια. Ο πίνακας συνοψίζει τα στοιχεία για το αναμενόμενο κέρδος σε αυτά τα έργα με την αντίστοιχη πιθανότητα.
| Έργο 1 | Έργο 2 | Έργο 3 | Έργο 4 |
| 500, Π=1 | 1000, Π=0,5 | 500, Π=0,5 | 500, Π=0,5 |
| 0, Π=0,5 | 1000, Π=0,25 | 10500, Π=0,25 | |
| 0, Π=0,25 | 9500, Π=0,25 |
Βρείτε για κάθε εναλλακτική τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.
Λύση. Ας δείξουμε πώς υπολογίζονται αυτές οι ποσότητες για την 3η εναλλακτική:
Ο πίνακας συνοψίζει τις τιμές που βρέθηκαν για όλες τις εναλλακτικές.
Όλες οι εναλλακτικές έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα όλοι έχουν το ίδιο εισόδημα. Η τυπική απόκλιση μπορεί να ερμηνευθεί ως μέτρο κινδύνου - όσο μεγαλύτερη είναι, τόσο μεγαλύτερος είναι ο κίνδυνος της επένδυσης. Ένας επενδυτής που δεν θέλει πολύ ρίσκο θα επιλέξει το έργο 1 επειδή έχει τη μικρότερη τυπική απόκλιση (0). Εάν ο επενδυτής προτιμά τον κίνδυνο και τις υψηλές αποδόσεις σε σύντομο χρονικό διάστημα, τότε θα επιλέξει το έργο με τη μεγαλύτερη τυπική απόκλιση - έργο 4.
Ιδιότητες διασποράς
Ας παρουσιάσουμε τις ιδιότητες της διασποράς.
Ιδιοκτησία 1.Η διασπορά μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν:
Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:
.
Ιδιοκτησία 3.Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου αυτής της τιμής, από την οποία αφαιρείται το τετράγωνο της μαθηματικής προσδοκίας της ίδιας της τιμής:
,
Οπου 
.
Ιδιοκτησία 4.Η διακύμανση του αθροίσματος (διαφορά) των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των διακυμάνσεων τους:
Παράδειγμα 7Είναι γνωστό ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει μόνο δύο τιμές: −3 και 7. Επιπλέον, η μαθηματική προσδοκία είναι γνωστή: μι(Χ) = 4 . Βρείτε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Λύση. Σημειώστε με Πτην πιθανότητα με την οποία μια τυχαία μεταβλητή παίρνει μια τιμή Χ1 = −3 . Τότε η πιθανότητα της τιμής Χ2 = 7 θα είναι 1 − Π. Ας εξαγάγουμε την εξίσωση για τη μαθηματική προσδοκία:
μι(Χ) = Χ 1 Π + Χ 2 (1 − Π) = −3Π + 7(1 − Π) = 4 ,
όπου παίρνουμε τις πιθανότητες: Π= 0,3 και 1 − Π = 0,7 .
Ο νόμος της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής:
| Χ | −3 | 7 |
| Π | 0,3 | 0,7 |
Υπολογίζουμε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας τον τύπο από την ιδιότητα 3 της διακύμανσης:
ρε(Χ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Βρείτε μόνοι σας τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής και μετά δείτε τη λύση
Παράδειγμα 8Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει μόνο δύο τιμές. Παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή του 3 με πιθανότητα 0,4. Επιπλέον, η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστή ρε(Χ) = 6 . Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής.
Παράδειγμα 9Ένα δοχείο περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Λαμβάνονται 3 μπάλες από το δοχείο. Ο αριθμός των λευκών σφαιρών μεταξύ των συρόμενων σφαιρών είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.
Λύση. Τυχαία τιμή Χμπορεί να πάρει τις τιμές 0, 1, 2, 3. Οι αντίστοιχες πιθανότητες μπορούν να υπολογιστούν από κανόνας πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. Ο νόμος της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής:
| Χ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Π | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Εξ ου και η μαθηματική προσδοκία αυτής της τυχαίας μεταβλητής:
Μ(Χ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Η διακύμανση μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής είναι:
ρε(Χ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Μαθηματική προσδοκία και διασπορά συνεχούς τυχαίας μεταβλητής
Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η μηχανική ερμηνεία της μαθηματικής προσδοκίας θα διατηρήσει την ίδια σημασία: το κέντρο μάζας για μια μονάδα μάζας που κατανέμεται συνεχώς στον άξονα x με πυκνότητα φά(Χ). Σε αντίθεση με μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, για την οποία το όρισμα συνάρτησης ΧΕγώαλλάζει απότομα, για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, το όρισμα αλλάζει συνεχώς. Αλλά η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται επίσης με τη μέση τιμή της.
Για να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, πρέπει να βρείτε καθορισμένα ολοκληρώματα . Εάν δοθεί μια συνάρτηση πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, τότε αυτή μπαίνει απευθείας στο ολοκλήρωμα. Εάν δοθεί μια συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, τότε διαφοροποιώντας την, πρέπει να βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας.
Ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται δικός του μαθηματική προσδοκία, που συμβολίζεται με ή .
Λύση:
6.1.2 Ιδιότητες προσδοκίας
1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά.
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ζώδιο της προσδοκίας. 
3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Αυτή η ιδιότητα ισχύει για έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.
Αυτή η ιδιότητα ισχύει επίσης για έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών.
Παράδειγμα: M(X) = 5, ΜΟΥ)= 2. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, αν είναι γνωστό ότι Ζ=2Χ + 3Υ.
Λύση: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών
2) ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της προσδοκίας
Έστω να γίνουν n ανεξάρτητες δοκιμές, η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α στο οποίο είναι ίση με p. Τότε ισχύει το εξής θεώρημα:
Θεώρημα. Η μαθηματική προσδοκία M(X) του αριθμού των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης του συμβάντος σε κάθε δοκιμή.
6.1.3 Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Η μαθηματική προσδοκία δεν μπορεί να χαρακτηρίσει πλήρως μια τυχαία διαδικασία. Εκτός από τη μαθηματική προσδοκία, είναι απαραίτητο να εισαχθεί μια τιμή που να χαρακτηρίζει την απόκλιση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία.
Αυτή η απόκλιση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας της. Σε αυτή την περίπτωση, η μαθηματική προσδοκία της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι ορισμένες πιθανές αποκλίσεις είναι θετικές, άλλες είναι αρνητικές και ως αποτέλεσμα της αμοιβαίας ακύρωσης τους, προκύπτει μηδέν.
Διασπορά (σκέδαση)Διακεκριμένη τυχαία μεταβλητή ονομάζεται η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.
Στην πράξη, αυτή η μέθοδος υπολογισμού της διακύμανσης είναι άβολη, γιατί οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς για μεγάλο αριθμό τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής.
Επομένως, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος.
Θεώρημα. Η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της μαθηματικής προσδοκίας του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής Χ και του τετραγώνου της μαθηματικής της προσδοκίας.
Απόδειξη. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η μαθηματική προσδοκία M (X) και το τετράγωνο της μαθηματικής προσδοκίας M 2 (X) είναι σταθερές τιμές, μπορούμε να γράψουμε:
Παράδειγμα. Βρείτε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που δίνεται από τον νόμο κατανομής.
| Χ | ||||
| Χ 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Λύση: .
6.1.4 Ιδιότητες διασποράς
1. Η διασπορά μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν. .
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς το. 
.
3. Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. .
4. Η διακύμανση της διαφοράς δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. .
Θεώρημα. Η διακύμανση του αριθμού των περιστατικών του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα p της εμφάνισης του συμβάντος είναι σταθερή, είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης και μη εμφάνισης του γεγονότος σε κάθε δίκη.
Παράδειγμα: Βρείτε τη διακύμανση του DSV X - τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε 2 ανεξάρτητες δοκιμές, εάν η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος σε αυτές τις δοκιμές είναι η ίδια και είναι γνωστό ότι M(X) = 1,2.
Εφαρμόζουμε το θεώρημα από την Ενότητα 6.1.2:
Μ(Χ) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Βρείτε Π:
1,2 = 2∙Π
Π = 1,2/2
q = 1 – Π = 1 – 0,6 = 0,4
Ας βρούμε τη διασπορά με τον τύπο:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Τυπική απόκλισηΗ τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.
(25)
Θεώρημα. Η τυπική απόκλιση του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών τυπικών αποκλίσεων αυτών των μεταβλητών.
6.1.6 Τρόπος λειτουργίας και διάμεσος μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Fashion M o DSVονομάζεται η πιο πιθανή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής (δηλαδή η τιμή που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα)
Διάμεσος M e DSWείναι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που διαιρεί τη σειρά διανομής στο μισό. Εάν ο αριθμός των τιμών της τυχαίας μεταβλητής είναι άρτιος, τότε η διάμεσος βρίσκεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο μέσων τιμών.
Παράδειγμα: Εύρεση λειτουργίας και διάμεσος DSW Χ:
| Χ | ||||
| Π | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Μου = = 5,5
Πρόοδος
1. Εξοικειωθείτε με το θεωρητικό μέρος αυτής της εργασίας (διαλέξεις, σχολικό βιβλίο).
2. Ολοκληρώστε την εργασία σύμφωνα με την επιλογή σας.
3. Σύνταξη έκθεσης για την εργασία.
4. Προστατέψτε την εργασία σας.
2. Ο σκοπός της εργασίας.
3. Πρόοδος εργασιών.
4. Απόφαση της επιλογής σας.
6.4 Παραλλαγές εργασιών για ανεξάρτητη εργασία
Αριθμός επιλογής 1
1. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση, τον τρόπο και τη διάμεσο του DSV X που δίνεται από τον νόμο κατανομής.
| Χ | ||||
| Π | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ, αν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των Χ και Υ: Μ(Χ)=6, Μ(Υ)=4, Ζ=5Χ+3Υ.
3. Βρείτε τη διακύμανση του DSV X - τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε δύο ανεξάρτητες δοκιμές, εάν οι πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων σε αυτές τις δοκιμές είναι ίδιες και είναι γνωστό ότι M (X) = 1.
4. Δίνεται μια λίστα με πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, και οι μαθηματικές προσδοκίες αυτής της ποσότητας και του τετραγώνου της είναι επίσης γνωστές: , . Βρείτε τις πιθανότητες , , , που αντιστοιχούν στις πιθανές τιμές , και συντάξτε τον νόμο κατανομής του DSV.
Επιλογή αριθμός 2
| Χ | ||||
| Π | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ αν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των Χ και Υ: Μ(Χ)=5, Μ(Υ)=8, Ζ=6Χ+2Υ.
3. Βρείτε τη διακύμανση του DSV X - τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε τρεις ανεξάρτητες δοκιμές, εάν οι πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων σε αυτές τις δοκιμές είναι ίδιες και είναι γνωστό ότι M (X) = 0,9.
4. Δίνεται μια λίστα με πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, και οι μαθηματικές προσδοκίες αυτής της ποσότητας και του τετραγώνου της είναι επίσης γνωστές: , . Βρείτε τις πιθανότητες , , , που αντιστοιχούν στις πιθανές τιμές , και συντάξτε τον νόμο κατανομής του DSV.
Επιλογή αριθμός 3
1. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση του DSV X που δίνεται από τον νόμο κατανομής.
| Χ | ||||
| Π | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ, αν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των Χ και Υ: Μ(Χ)=3, Μ(Υ)=4, Ζ=4Χ+2Υ.
3. Βρείτε τη διακύμανση του DSV X - τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε τέσσερις ανεξάρτητες δοκιμές, εάν οι πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων σε αυτές τις δοκιμές είναι ίδιες και είναι γνωστό ότι M (x) = 1,2.
Όπως είναι ήδη γνωστό, ο νόμος κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, ο νόμος διανομής είναι συχνά άγνωστος και κάποιος πρέπει να περιοριστεί σε μικρότερες πληροφορίες. Μερικές φορές είναι ακόμη πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιείτε αριθμούς που περιγράφουν μια τυχαία μεταβλητή συνολικά. καλούνται τέτοιοι αριθμοί αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.
Η μαθηματική προσδοκία είναι ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά.
Η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση με τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.
Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςείναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών και των πιθανοτήτων τους.
Εάν μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται από μια πεπερασμένη σειρά κατανομής:
| Χ | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | σελ 1 | σελ 2 | σελ 3 | … | r p |
τότε η μαθηματική προσδοκία M(X)καθορίζεται από τον τύπο:
Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής καθορίζεται από την ισότητα:
όπου είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ.
Παράδειγμα 4.7.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που πέφτουν όταν ρίχνονται ένα ζάρι.
Λύση:
Τυχαία τιμή Χπαίρνει τις τιμές 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ας κάνουμε τον νόμο της κατανομής του:
| Χ | ||||||
| R |
Τότε η μαθηματική προσδοκία είναι:
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
M(S)=S.
2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το σημάδι της προσδοκίας:
M(CX) = CM(X).
3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Μ(ΧΥ) = Μ(Χ)Μ(Υ).
Παράδειγμα 4.8. Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υδίνονται από τους ακόλουθους νόμους διανομής:
| Χ | Υ | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής XY.
Λύση.
Ας βρούμε τις μαθηματικές προσδοκίες για καθεμία από αυτές τις ποσότητες:
τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υανεξάρτητη, άρα η επιθυμητή μαθηματική προσδοκία:
Μ(ΧΥ) = Μ(Χ)Μ(Υ)=
Συνέπεια.Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Μ(Χ + Υ) = Μ(Χ) + Μ(Υ).
Συνέπεια.Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος πολλών τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.
Παράδειγμα 4.9.Εκτελούνται 3 βολές με πιθανότητες να χτυπηθεί ο στόχος ίσες με σελ 1 = 0,4; p2= 0,3 και σελ 3= 0,6. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του συνολικού αριθμού επισκέψεων.
Λύση.
Ο αριθμός των χτυπημάτων στην πρώτη βολή είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ 1, το οποίο μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές: 1 (χτύπημα) με πιθανότητα σελ 1= 0,4 και 0 (αστοχία) με πιθανότητα q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των χτυπημάτων στην πρώτη βολή είναι ίση με την πιθανότητα χτυπήματος:
Ομοίως, βρίσκουμε τις μαθηματικές προσδοκίες για τον αριθμό των χτυπημάτων στη δεύτερη και τρίτη βολή:
M(X 2)= 0,3 και M (X 3) \u003d 0,6.
Ο συνολικός αριθμός χτυπημάτων είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή που αποτελείται από το άθροισμα των επιτυχιών σε καθεμία από τις τρεις βολές:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Η επιθυμητή μαθηματική προσδοκία Χβρίσκουμε με το θεώρημα των μαθηματικών, την προσδοκία του αθροίσματος.
