Η μαθηματική προσδοκία είναι η κατανομή πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής. τυχαίες μεταβλητές

Όπως είναι ήδη γνωστό, ο νόμος κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, ο νόμος διανομής είναι συχνά άγνωστος και κάποιος πρέπει να περιοριστεί σε μικρότερες πληροφορίες. Μερικές φορές είναι ακόμη πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιείτε αριθμούς που περιγράφουν μια τυχαία μεταβλητή συνολικά. καλούνται τέτοιοι αριθμοί αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Η μαθηματική προσδοκία είναι ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά.

Η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση με τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.

Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςείναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών και των πιθανοτήτων τους.

Εάν μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται από μια πεπερασμένη σειρά κατανομής:

Χ	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	σελ 1	σελ 2	σελ 3	…	r p

τότε η μαθηματική προσδοκία M(X)καθορίζεται από τον τύπο:

Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής καθορίζεται από την ισότητα:

όπου είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ.

Παράδειγμα 4.7.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που πέφτουν όταν ρίχνονται ένα ζάρι.

Λύση:

Τυχαία τιμή Χπαίρνει τις τιμές 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ας κάνουμε τον νόμο της κατανομής του:

Χ
R

Τότε η μαθηματική προσδοκία είναι:

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:

M(S)=S.

2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το σημάδι της προσδοκίας:

M(CX) = CM(X).

3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

Μ(ΧΥ) = Μ(Χ)Μ(Υ).

Παράδειγμα 4.8. Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υδίνονται από τους ακόλουθους νόμους διανομής:

Χ					Υ
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής XY.

Λύση.

Ας βρούμε τις μαθηματικές προσδοκίες για καθεμία από αυτές τις ποσότητες:

τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υανεξάρτητη, άρα η επιθυμητή μαθηματική προσδοκία:

Μ(ΧΥ) = Μ(Χ)Μ(Υ)=

Συνέπεια.Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:

Μ(Χ + Υ) = Μ(Χ) + Μ(Υ).

Συνέπεια.Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος πολλών τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.

Παράδειγμα 4.9.Εκτελούνται 3 βολές με πιθανότητες να χτυπηθεί ο στόχος ίσες με σελ 1 = 0,4; p2= 0,3 και σελ 3= 0,6. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του συνολικού αριθμού επισκέψεων.

Λύση.

Ο αριθμός των χτυπημάτων στην πρώτη βολή είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ 1, το οποίο μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές: 1 (χτύπημα) με πιθανότητα σελ 1= 0,4 και 0 (αστοχία) με πιθανότητα q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των χτυπημάτων στην πρώτη βολή είναι ίση με την πιθανότητα χτυπήματος:

Ομοίως, βρίσκουμε τις μαθηματικές προσδοκίες για τον αριθμό των χτυπημάτων στη δεύτερη και τρίτη βολή:

M(X 2)= 0,3 και M (X 3) \u003d 0,6.

Ο συνολικός αριθμός χτυπημάτων είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή που αποτελείται από το άθροισμα των επιτυχιών σε καθεμία από τις τρεις βολές:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

Η επιθυμητή μαθηματική προσδοκία Χβρίσκουμε με το θεώρημα των μαθηματικών, την προσδοκία του αθροίσματος.

Κάθε μεμονωμένη τιμή καθορίζεται πλήρως από τη συνάρτηση διανομής της. Επίσης, για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε πολλά αριθμητικά χαρακτηριστικά, χάρη στα οποία καθίσταται δυνατή η παρουσίαση των κύριων χαρακτηριστικών μιας τυχαίας μεταβλητής σε συνοπτική μορφή.

Αυτές οι ποσότητες είναι κατά κύριο λόγο αναμενόμενη αξίαΚαι διασπορά .

Αναμενόμενη αξία- η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Ορίζεται ως .

Με τον απλούστερο τρόπο, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής X(w), βρίσκονται ως αναπόσπαστοLebesgueως προς το μέτρο πιθανότητας R πρωτότυπο χώρο πιθανοτήτων

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τιμής ως Ολόκληρο Lebesgueαπό Χμε κατανομή πιθανοτήτων R Xποσότητες Χ:

όπου είναι το σύνολο όλων των πιθανών τιμών Χ.

Μαθηματική προσδοκία συναρτήσεων από τυχαία μεταβλητή Χγίνεται μέσω διανομής R X. Για παράδειγμα, Αν Χ- τυχαία μεταβλητή με τιμές σε και f(x)- μονοσήμαντο Μπορέλλειτουργία Χ , Οτι:

Αν F(x)- συνάρτηση διανομής Χ, τότε η μαθηματική προσδοκία είναι αναπαραστάσιμη αναπόσπαστοLebesgue - Stieltjes (ή Riemann - Stieltjes):

ενώ η ενσωμάτωση ΧΑπό την άποψη του ( * ) αντιστοιχεί στο πεπερασμένο του ολοκληρώματος

Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, εάν Χέχει διακριτή κατανομή με πιθανές τιμές x k, k=1, 2, . , και οι πιθανότητες, λοιπόν

Αν Χέχει απόλυτα συνεχή κατανομή με πυκνότητα πιθανότητας p(x), Οτι

Στην περίπτωση αυτή, η ύπαρξη μαθηματικής προσδοκίας ισοδυναμεί με την απόλυτη σύγκλιση της αντίστοιχης σειράς ή ολοκληρώματος.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής.

• Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με αυτήν την τιμή:

ντο- σταθερό

• M=C.M[X]

• Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαία λαμβανόμενων τιμών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους:

• Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών = το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

M=M[X]+M[Y]

Αν ΧΚαι Υανεξάρτητος.

αν η σειρά συγκλίνει:

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας.

Ιδιότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: όλες οι τιμές τους μπορούν να επαναριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. εξισώστε κάθε τιμή με μη μηδενική πιθανότητα.

1. Πολλαπλασιάστε τα ζεύγη με τη σειρά: x iεπί πι.

2. Προσθέστε το γινόμενο κάθε ζεύγους x i p i.

Για παράδειγμα, Για n = 4 :

Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςσταδιακά, αυξάνεται απότομα σε εκείνα τα σημεία των οποίων οι πιθανότητες έχουν θετικό πρόσημο.

Παράδειγμα:Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία με τον τύπο.

Χαρακτηριστικά των DSW και οι ιδιότητές τους. Μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση

Ο νόμος κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, όταν είναι αδύνατο να βρεθεί ο νόμος κατανομής ή αυτό δεν απαιτείται, μπορεί κανείς να περιοριστεί στην εύρεση τιμών, που ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτές οι τιμές καθορίζουν κάποια μέση τιμή γύρω από την οποία ομαδοποιούνται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και ο βαθμός διασποράς τους γύρω από αυτή τη μέση τιμή.

μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους.

Η μαθηματική προσδοκία υπάρχει εάν η σειρά στη δεξιά πλευρά της ισότητας συγκλίνει απόλυτα.

Από την άποψη της πιθανότητας, μπορούμε να πούμε ότι η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστός. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία.

Χ
Π	0.2	0.3	0.1	0.4

Λύση:

9.2 Ιδιότητες προσδοκίας

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά.

2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ζώδιο της προσδοκίας.

3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Αυτή η ιδιότητα ισχύει για έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών.

4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.

Αυτή η ιδιότητα ισχύει επίσης για έναν αυθαίρετο αριθμό τυχαίων μεταβλητών.

Έστω να γίνουν n ανεξάρτητες δοκιμές, η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α στο οποίο είναι ίση με p.

Θεώρημα.Η μαθηματική προσδοκία M(X) του αριθμού των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης του συμβάντος σε κάθε δοκιμή.

Παράδειγμα. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ αν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των Χ και Υ: Μ(Χ)=3, Μ(Υ)=2, Ζ=2Χ+3Υ.

Λύση:

9.3 Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Ωστόσο, η μαθηματική προσδοκία δεν μπορεί να χαρακτηρίσει πλήρως μια τυχαία διαδικασία. Εκτός από τη μαθηματική προσδοκία, είναι απαραίτητο να εισαχθεί μια τιμή που να χαρακτηρίζει την απόκλιση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία.

Αυτή η απόκλιση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας της. Σε αυτή την περίπτωση, η μαθηματική προσδοκία της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι ορισμένες πιθανές αποκλίσεις είναι θετικές, άλλες είναι αρνητικές και ως αποτέλεσμα της αμοιβαίας ακύρωσης τους, προκύπτει μηδέν.

Διασπορά (σκέδαση)Διακεκριμένη τυχαία μεταβλητή ονομάζεται η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.

Στην πράξη, αυτή η μέθοδος υπολογισμού της διακύμανσης είναι άβολη, γιατί οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς για μεγάλο αριθμό τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επομένως, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος.

Θεώρημα. Η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της μαθηματικής προσδοκίας του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής Χ και του τετραγώνου της μαθηματικής της προσδοκίας.

Απόδειξη. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η μαθηματική προσδοκία M (X) και το τετράγωνο της μαθηματικής προσδοκίας M 2 (X) είναι σταθερές τιμές, μπορούμε να γράψουμε:

Παράδειγμα. Βρείτε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που δίνεται από τον νόμο κατανομής.

Χ
Χ 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Λύση: .

9.4 Ιδιότητες διασποράς

1. Η διασπορά μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν. .

2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς το. .

3. Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. .

4. Η διακύμανση της διαφοράς δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. .

Θεώρημα. Η διακύμανση του αριθμού των περιστατικών του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα p της εμφάνισης του συμβάντος είναι σταθερή, είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης και μη εμφάνισης του γεγονότος σε κάθε δίκη.

9.5 Τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Τυπική απόκλισηΗ τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Θεώρημα. Η τυπική απόκλιση του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών τυπικών αποκλίσεων αυτών των μεταβλητών.

Η μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) μιας τυχαίας μεταβλητής X , που δίνεται σε ένα διακριτό χώρο πιθανοτήτων, είναι ο αριθμός m =M[X]=∑x i p i , εάν η σειρά συγκλίνει απόλυτα.

Ανάθεση υπηρεσίας. Με διαδικτυακή υπηρεσία υπολογίζεται η μαθηματική προσδοκία, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση(βλ. παράδειγμα). Επιπλέον, σχεδιάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής F(X).

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με τον εαυτό της: M[C]=C , C είναι μια σταθερά.
2. M=C M[X]
3. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: M=M[X]+M[Y]
4. Η μαθηματική προσδοκία του γινόμενου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: M=M[X] M[Y] αν τα X και Y είναι ανεξάρτητα.

Ιδιότητες διασποράς

1. Η διασπορά μιας σταθερής τιμής είναι ίση με μηδέν: D(c)=0.
2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το πρόσημο της διασποράς τετραγωνίζοντας το: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y εξαρτώνται: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Για τη διακύμανση, ισχύει ο υπολογιστικός τύπος:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Παράδειγμα. Οι μαθηματικές προσδοκίες και οι διακυμάνσεις δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και Y είναι γνωστές: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Z=9X-8Y+7 .
Λύση. Με βάση τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Με βάση τις ιδιότητες διασποράς: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας

Ιδιότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: όλες οι τιμές τους μπορούν να επαναριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. Εκχωρήστε σε κάθε τιμή μια πιθανότητα μη μηδενική.

1. Πολλαπλασιάστε τα ζεύγη ένα προς ένα: x i επί p i .
2. Προσθέτουμε το γινόμενο κάθε ζεύγους x i p i .
   Για παράδειγμα, για n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςσταδιακά, αυξάνεται απότομα σε εκείνα τα σημεία των οποίων οι πιθανότητες είναι θετικές.

Παράδειγμα #1.

x i	1	3	4	7	9
πι	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Η μαθηματική προσδοκία βρίσκεται από τον τύπο m = ∑x i p i .
Μαθηματική προσδοκία M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Η διασπορά βρίσκεται με τον τύπο d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Διασπορά D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Τυπική απόκλιση σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Παράδειγμα #2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη σειρά διανομής:

Χ	-10	-5	0	5	10
R	ΕΝΑ	0,32	2ένα	0,41	0,03

Βρείτε την τιμή a , τη μαθηματική προσδοκία και την τυπική απόκλιση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. Η τιμή a βρίσκεται από τη σχέση: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ή 0,24 = 3 a , εξ ου και a = 0,08

Παράδειγμα #3. Προσδιορίστε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής εάν η διακύμανσή της είναι γνωστή και x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Λύση.
Εδώ πρέπει να φτιάξετε έναν τύπο για την εύρεση της διακύμανσης d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
όπου προσδοκία m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Για τα δεδομένα μας
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ή -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Κατά συνέπεια, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης και θα υπάρχουν δύο από αυτές.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Επιλέγουμε αυτό που ικανοποιεί τη συνθήκη x 1 x3=12

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3

Ο νόμος κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, ο νόμος διανομής είναι συχνά άγνωστος και κάποιος πρέπει να περιοριστεί σε μικρότερες πληροφορίες. Μερικές φορές είναι ακόμη πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιείτε αριθμούς που περιγράφουν μια τυχαία μεταβλητή συνολικά, αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικάτυχαία μεταβλητή. Η μαθηματική προσδοκία είναι ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά.

Η μαθηματική προσδοκία, όπως θα φανεί παρακάτω, είναι περίπου ίση με τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής. Για την επίλυση πολλών προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική προσδοκία. Για παράδειγμα, εάν είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που σημείωσε ο πρώτος σουτέρ είναι μεγαλύτερη από αυτή του δεύτερου σουτέρ, τότε ο πρώτος σουτέρ, κατά μέσο όρο, αποκλείει περισσότερους πόντους από τον δεύτερο και επομένως σουτάρει καλύτερα από το δεύτερο.

Ορισμός 4.1: μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή ονομάζεται το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των πιθανοτήτων τους.

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει μόνο αξίες x 1, x 2, … x n, των οποίων οι πιθανότητες είναι αντίστοιχα ίσες με p 1, p 2, … p n .Μετά η μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) τυχαία μεταβλητή Χορίζεται από την ισότητα

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .

Εάν μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει ένα μετρήσιμο σύνολο πιθανών τιμών, τότε

,

Επιπλέον, η μαθηματική προσδοκία υπάρχει εάν η σειρά στη δεξιά πλευρά της ισότητας συγκλίνει απόλυτα.

Παράδειγμα.Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων ενός γεγονότος ΕΝΑσε μία δοκιμή, εάν η πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑείναι ίσο με Π.

Λύση:Τυχαία τιμή Χ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑέχει κατανομή Bernoulli, άρα

Ετσι, η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων ενός γεγονότος σε μια δοκιμή είναι ίση με την πιθανότητα αυτού του γεγονότος.

Πιθανολογική σημασία της μαθηματικής προσδοκίας

Αφήστε να παραχθεί nδοκιμές στις οποίες η τυχαία μεταβλητή Χαποδεκτό m 1επί της αξίας x 1, m2επί της αξίας x2 ,…, m kεπί της αξίας x k, και m 1 + m 2 + …+ m k = n. Στη συνέχεια, το άθροισμα όλων των τιμών που λαμβάνονται Χ, είναι ίσο με x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των τιμών που λαμβάνονται από την τυχαία μεταβλητή θα είναι

Στάση m i / n- σχετική συχνότητα Wiαξίες x iπερίπου ίση με την πιθανότητα να συμβεί το συμβάν πι, Οπου , Να γιατί

Η πιθανολογική σημασία του αποτελέσματος που προκύπτει είναι η εξής: η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση με(όσο πιο ακριβείς τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των δοκιμών) ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής.

Ιδιότητες προσδοκίας

Ιδιότητα 1:Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά

Ιδιότητα 2:Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ζώδιο της προσδοκίας

Ορισμός 4.2: Δύο τυχαίες μεταβλητέςπου ονομάζεται ανεξάρτητος, εάν ο νόμος κατανομής ενός από αυτούς δεν εξαρτάται από τις πιθανές τιμές που έχει λάβει η άλλη τιμή. Σε διαφορετική περίπτωση Οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες.

Ορισμός 4.3: Αρκετές τυχαίες μεταβλητέςπου ονομάζεται αμοιβαία ανεξάρτητη, εάν οι νόμοι κατανομής οποιουδήποτε αριθμού από αυτούς δεν εξαρτώνται από τις πιθανές τιμές που έχουν λάβει οι άλλες ποσότητες.

Ιδιότητα 3:Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Συνέπεια:Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Ιδιότητα 4:Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Συνέπεια:Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος πολλών τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Παράδειγμα.Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής Χ-ημερομηνία εκδήλωσης του συμβάντος ΕΝΑ V nπειράματα.

Λύση:Συνολικός αριθμός Χπεριστατικά συμβάντων ΕΝΑσε αυτές τις δοκιμές είναι το άθροισμα του αριθμού των περιστατικών του συμβάντος στις μεμονωμένες δοκιμές. Εισάγουμε τυχαίες μεταβλητές X iείναι ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος σε Εγώη δοκιμή, που είναι τυχαίες μεταβλητές Bernoulli με μαθηματική προσδοκία , όπου . Με την ιδιότητα της μαθηματικής προσδοκίας, έχουμε

Ετσι, ο μέσος όρος της διωνυμικής κατανομής με τις παραμέτρους n και p είναι ίσος με το γινόμενο του np.

Παράδειγμα.Πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος όταν πυροβολεί ένα όπλο p = 0,6.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του συνολικού αριθμού χτυπημάτων, εάν εκτελεστούν 10 βολές.

Λύση:Το χτύπημα σε κάθε βολή δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων βολών, επομένως τα γεγονότα που εξετάζονται είναι ανεξάρτητα και, κατά συνέπεια, η επιθυμητή μαθηματική προσδοκία