Формули за записване на общи решения на тригонометрични уравнения. Решаване на тригонометрични уравнения

Глава 15. Тригонометрични уравнения

15.6. Решаване на по-сложни тригонометрични уравнения

В предишните параграфи 3-5 са дадени решения на най-простите тригонометрични уравнения: , и . По-сложните тригонометрични уравнения, съдържащи няколко тригонометрични функции с еднакви или различни аргументи, се свеждат до тях чрез идентични трансформации или чрез решаване на спомагателно алгебрично уравнение.

Общата техника за решаване на такива уравнения е да се заменят всички тригонометрични функции, включени в уравнението, с една функция въз основа на формули, свързващи тези функции. Когато решаваме уравнение, ние се стремим да правим трансформации, които водят до уравнения, еквивалентни на даденото. В противен случай трябва да проверите получените корени.

Загубата на корени е често срещана грешка. Други такива грешки са неточното познаване на формулите за решения на най-простите уравнения, както и невъзможността да се намери правилно търсената стойност на дъговата функция.

Разгледайте примери.

Решете уравнението.

Пример 2. (пример за редукция до един аргумент).

Решете уравнението.

Решение:
Препоръчително е да преминем към аргумента. Работата ни напомня за формулата за синус на двоен аргумент: .
Замествайки в уравнението, получаваме: .
От лявата страна отново ще приложим формулата за двоен аргумент синус, но първо ще умножим двете страни на уравнението по .
; ; .
Получихме най-простото уравнение от типа и приравняваме целия аргумент към решението на най-простото уравнение:
, където .

Решете уравнението.

Решение:
Използвайки една от формулите за намаляване на степента, получаваме .

След заместване в уравнението имаме

Решете уравнението.

Решение:
Прехвърляйки към дясната страна, получаваме, че е равно на:
; ; .
Тук трябваше да отидем чрез увеличаване на степента на уравнението, но получихме възможността да използваме добра техника за решаване - преместете всички членове в една част и разложете получения израз на множители:
.
Приравнявайки всеки фактор поотделно на нула, получаваме набор от уравнения,

което по правило е еквивалентно на това уравнение (изключение от това правило е разгледано в следващия пример).
Решаваме уравнението, имаме
, И .
Решаваме уравнението или , имаме и .

Решете уравнението.

Включването на външен корен в отговора се счита за груба грешка. За да го избегнете, трябва да се уверите, че получените корени не превръщат в нула нито една от функциите в знаменателя на дробта на даденото уравнение (ако има дроби там) и че с тези корени никоя от функциите в оригиналното уравнение губи смисъл (ако е включено там). Трябва да запомните при какви стойности на аргумента функцията изчезва и областта на дефиниция на всяка тригонометрична функция.По аналогия те говорят за област на дефиниция на уравнение (домейнът на допустимите стойности или VA на неизвестното ). Областта на дефиниране на тригонометрично уравнение е общата част (пресечната точка) на областите на дефиниция на лявата и дясната страна на това уравнение. Ако полученият корен не принадлежи към областта на дефиниране на уравнението, тогава той е страничен и трябва да бъде изхвърлен.

Решете уравнението
.

Решение:
Да преминем към една функция. Ако го изразим чрез , получаваме ирационално уравнение, което е нежелателно. Замяна чрез:
; .
Нека решим полученото уравнение като квадратно уравнение по отношение на .
или .
Уравнението няма корени.
За уравнението имаме:
. Но те също означават едни и същи нечетни числа, така че ще напишем решението по-просто: .

Решете уравнението
.

За да получим хомогенно уравнение (всички членове от една и съща степен - втора) умножаваме дясната страна по израза, който е равен на .
;
.
Тъй като корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение (това може лесно да се провери чрез заместване), за да преминем към една функция, разделяме двете страни на уравнението на .

Решаваме квадратното уравнение за .
или .
За уравнението имаме: .
За уравнението получаваме .

Решете уравнението.

Нека го изразим чрез и , получаваме
. Тук трябва да е различно от нула (в противен случай уравнението няма смисъл), така че областта на дефиниция на уравнението е всичко. Тъй като , ние умножаваме двете страни на уравнението по, за да се отървем от дробите.
;
;
.
За уравнението, което имаме

клас: 10

„Уравненията ще продължат вечно.“

А. Айнщайн

Цели на урока:

Образователни:
- задълбочаване на разбирането на методите за решаване на тригонометрични уравнения;
- да развият умения за разграничаване и правилен избор на методи за решаване на тригонометрични уравнения.
Образователни:
- възпитаване на познавателен интерес към образователния процес;
- развиване на умение за анализ на поставена задача;
- допринасят за подобряване на психологическия климат в класната стая.
Развитие:
- насърчаване на развитието на уменията за самостоятелно придобиване на знания;
- насърчават способността на учениците да аргументират своята гледна точка;

Оборудване:плакат с основни тригонометрични формули, компютър, проектор, екран.

1 урок

I. Актуализиране на справочните знания

Решете устно уравненията:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; до Z.

II. Учене на нов материал

– Днес ще разгледаме по-сложни тригонометрични уравнения. Нека да разгледаме 10 начина за разрешаването им. Следват два урока за затвърдяване, а за следващия урок ще има контролна работа. На щанда „За урок“ има публикувани задачи, подобни на тези, които ще бъдат на теста, трябва да ги решите преди теста. (Денят преди теста залепете решенията на тези задачи на стенда).

И така, нека да преминем към разглеждане на начини за решаване на тригонометрични уравнения. Някои от тези методи вероятно ще ви се сторят трудни, докато други лесни, защото... Вече знаете някои техники за решаване на уравнения.

Четирима ученици от класа получиха индивидуална задача: да разберат и да ви покажат 4 начина за решаване на тригонометрични уравнения.

(Учениците, които говорят, са подготвили предварително слайдове. Останалите от класа записват основните стъпки за решаване на уравнения в тетрадка.)

1 ученик: 1 начин. Решаване на уравнения чрез разлагане на множители

sin 4x = 3 cos 2x

За да решим уравнението, използваме формулата за синус на двоен ъгъл sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведението от тези множители е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула.

2x = + k, k Z или sin 2x = 1,5 – няма решения, защото | грях| 1
x = + k; до Z.
Отговор: x = + k, k Z.

2 ученик. Метод 2. Решаване на уравнения чрез преобразуване на сбора или разликата на тригонометричните функции в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

За да решим уравнението, използваме формулата sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученото уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения:

Наборът от решения на второто уравнение е напълно включен в набора от решения на първото уравнение. Средства

Отговор:

3 ученик. 3 начина. Решаване на уравнения чрез преобразуване на произведението на тригонометрични функции в сума

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

За да решим уравнението, използваме формулата

Отговор:

4 ученик. 4 начин. Решаване на уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Нека sin x = t, където | t |. Получаваме квадратното уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

По този начин . не отговаря на условието | t |.

Така че sin x = . Ето защо .

Отговор:

III. Затвърдяване на наученото от учебника на А. Н. Колмогоров

1. № 164 (a), 167 (a) (квадратно уравнение)
2. № 168 (a) (факторизация)
3. № 174 (а) (преобразуване на сума в произведение)
4. (преобразуване на произведение в сума)

(В края на урока покажете решението на тези уравнения на екрана за проверка)

№ 164 (А)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Нека sin x = t, | t | 1. Тогава
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Където

Отговор: - .

№ 167 (А)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Нека tg x = 1, тогава получаваме уравнението 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Отговор:

№ 168 (А)

Отговор:

№ 174 (А)

Решете уравнението:

Отговор:

Урок 2 (урок-лекция)

IV. Учене на нов материал(продължение)

– И така, нека продължим да изучаваме начини за решаване на тригонометрични уравнения.

5 начин. Решаване на еднородни тригонометрични уравнения

Уравнения на формата a sin x + b cos x = 0, където a и b са някои числа, се наричат хомогенни уравнения от първа степен по отношение на sin x или cos x.

Помислете за уравнението

sin x – cos x = 0. Нека разделим двете страни на уравнението на cos x. Това може да се направи; няма да настъпи загуба на корен, защото , Ако cos x = 0,Че sin x = 0. Но това противоречи на основното тригонометрично тъждество грях 2 х+cos 2 х = 1.

Получаваме тен x – 1 = 0.

тен х = 1,

Уравнения на формата грях 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0,Където а, б, в –някои числа се наричат хомогенни уравнения от втора степен по отношение на sin x или cos x.

Помислете за уравнението

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Нека разделим двете страни на уравнението на cos x и коренът няма да бъде загубен, защото cos x = 0 не е коренът на това уравнение.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Нека tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Тогава следователно tg x = 2 или tg x = 1.

В резултат на това x = arctan 2 + , x =

Отговор: arctg 2 + ,

Помислете за друго уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Нека преобразуваме дясната страна на уравнението във формата 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогава получаваме:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получихме второто уравнение, което вече анализирахме).

Отговор: арктан 2 + k,

6 начин. Решаване на линейни тригонометрични уравнения

Линейното тригонометрично уравнение е уравнение на формата a sin x + b cos x = c, където a, b, c са някои числа.

Помислете за уравнението sin x + cos x= – 1.
Нека пренапишем уравнението като:

Имайки предвид това и получаваме:

Отговор:

7 начин. Въвеждане на допълнителен аргумент

Изразяване a cos x + b sin xможе да се преобразува:

(вече сме използвали тази трансформация при опростяване на тригонометрични изрази)

Нека въведем допълнителен аргумент - ъгълът е такъв, че

Тогава

Разгледайте уравнението: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Домашна работа:№ 164 -170 (c, d).

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сбор от квадратите на синус и косинус, изразяване на тангенс през синус и косинус и др. За тези, които са ги забравили или не ги знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилния подход това е доста вълнуващо занимание, като например решаването на кубчето на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Нека помислим как се решават такива тригонометрични уравнения, за яснота ще използваме вече познатата тригонометрична окръжност.

sinx = а

cos x = a

тен х = а

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: свеждаме уравнението до най-простата му форма и след това го решаваме като просто тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометрични уравнения.

Заместване на променливи и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменете cos(x + /6) с y, за да опростите и да получите обичайното квадратно уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корените на което са y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да вървим в обратен ред

Заменяме намерените стойности на y и получаваме две опции за отговор:

Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x – 1 = 0

Нека използваме идентичностите, обсъдени по-горе, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Нека разложим на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаваме две уравнения

Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове са относителни към синус и косинус от една и съща степен на същия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърлете всичките си членове от лявата страна;

б) извадете всички общи множители извън скоби;

в) приравнете всички множители и скоби на 0;

г) в скоби се получава хомогенно уравнение от по-ниска степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус от по-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две отдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменете tan x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 = арктан 3 + k

Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x – 5cos x = 7

Да преминем към x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Нека преместим всичко наляво:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Разделете на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Въвеждане на спомагателен ъгъл

За разглеждане нека вземем уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,

където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.

Нека разделим двете страни на уравнението на:

Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата sin и cos, а именно: модулът им е не повече от 1 и сумата на квадратите = 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където - това е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x = C

или sin(x + ) = C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x = (-1) k * arcsin C - + k, където

Трябва да се отбележи, че обозначенията cos и sin са взаимозаменяеми.

Решете уравнението sin 3x – cos 3x = 1

Коефициентите в това уравнение са:

a = , b = -1, така че разделете двете страни на = 2

Примери:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Как се решават тригонометрични уравнения:

Всяко тригонометрично уравнение трябва да бъде сведено до един от следните типове:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

където \(t\) е израз с x, \(a\) е число. Такива тригонометрични уравнения се наричат най-простият. Те могат лесно да бъдат решени с помощта на () или специални формули:

Вижте инфографики за решаване на прости тригонометрични уравнения тук: и.

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Решение:

Отговор: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Какво означава всеки символ във формулата за корените на тригонометричните уравнения, вижте.

внимание!Уравненията \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) нямат решения, ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тъй като синус и косинус за всеки x са по-големи или равни на \(-1\) и по-малки или равни на \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решете уравнението \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Отговор : няма решения.

Пример . Решете тригонометричното уравнение tg\(⁡x=1\).
Решение:

Нека решим уравнението с помощта на числовата окръжност. За това:
1) Конструирайте кръг)
2) Построете осите \(x\) и \(y\) и допирателната ос (тя минава през точката \((0;1)\), успоредна на оста \(y\)).
3) На допирателната ос маркирайте точката \(1\).
4) Свържете тази точка и началото на координатите - права линия.
5) Отбележете пресечните точки на тази права и числовата окръжност.
6) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Запишете всички стойности на тези точки. Тъй като те са разположени на разстояние точно \(π\) една от друга, всички стойности могат да бъдат записани в една формула:

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:

Нека отново използваме числовия кръг.
1) Построете окръжност, оси \(x\) и \(y\).
2) На косинусовата ос (\(x\) ос) маркирайте \(0\).
3) Начертайте перпендикуляр на косинусовата ос през тази точка.
4) Маркирайте пресечните точки на перпендикуляра и окръжността.
5) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Записваме цялата стойност на тези точки и ги приравняваме към косинуса (към това, което е вътре в косинуса).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Както обикновено, ще изразим \(x\) в уравнения.
Не забравяйте да третирате числата с \(π\), както и с \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) и т.н. Това са същите числа като всички останали. Без цифрова дискриминация!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Намаляването на тригонометричните уравнения до най-простите е творческа задача; тук трябва да използвате и двете, и специални методи за решаване на уравнения:
- Метод (най-популярният в Единния държавен изпит).
- Метод.
- Метод на спомагателните аргументи.

Нека разгледаме пример за решаване на квадратно тригонометрично уравнение

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Нека направим замяната \(t=\cos⁡x\).

	Нашето уравнение стана типично. Можете да го разрешите с помощта на.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Правим обратна замяна.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Решаваме първото уравнение с помощта на числовата окръжност. Второто уравнение няма решения, защото \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и не може да бъде равно на две за всяко x.
	Нека напишем всички числа, лежащи в тези точки.

Отговор: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример за решаване на тригонометрично уравнение с изследване на ODZ:

Пример (USE) . Решете тригонометричното уравнение \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Има дроб и има котангенс - това означава, че трябва да го запишем. Нека ви напомня, че котангенсът всъщност е дроб: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Следователно ODZ за ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Нека отбележим „нерешенията“ върху числовата окръжност.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Нека се отървем от знаменателя в уравнението, като го умножим по ctg\(x\). Можем да направим това, тъй като по-горе написахме, че ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Нека приложим формулата за двоен ъгъл за синус: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ако ръцете ви се протегнат да делите на косинус, дръпнете ги назад! Можете да разделите на израз с променлива, ако тя определено не е равна на нула (например тези: \(x^2+1.5^x\)). Вместо това нека извадим \(\cos⁡x\) извън скоби.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Нека "разделим" уравнението на две.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Нека решим първото уравнение с помощта на числовата окръжност. Нека разделим второто уравнение на \(2\) и преместим \(\sin⁡x\) в дясната страна.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Получените корени не се включват в ОДЗ. Затова няма да ги запишем в отговор. Второто уравнение е типично. Нека го разделим на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може да бъде решение на уравнението, защото в този случай \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡ x=-1\)).
	Отново използваме кръг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Тези корени не са изключени от ODZ, така че можете да ги напишете в отговора.

Отговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Урок и презентация на тема: "Решаване на прости тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Хомогенни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, вече изучихме аркуссинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометричните уравнения са уравнения, в които променлива се съдържа под знака на тригонометрична функция.

Нека повторим формата за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако |a|≤ 1, тогава уравнението cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |a|≤ 1, тогава уравнението sin(x) = a има решение:

3) Ако |a| > 1, тогава уравнението sin(x) = a и cos(x) = a няма решения 4) Уравнението tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнението ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат формата: T(kx+m)=a, T е някаква тригонометрична функция.

Пример.

Решете уравненията: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Нека означим 3x=t, тогава ще пренапишем нашето уравнение във формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

От таблицата със стойности получаваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Нека се върнем към нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогава x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Отговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, където n е цяло число. (-1)^n – минус едно на степен n.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решете уравненията: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

A) Този път нека веднага да преминем директно към изчисляването на корените на уравнението:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогава x/5= πk => x=5πk

Отговор: x=5πk, където k е цяло число.

B) Записваме го във формата: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаем, че: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Отговор: x=2π/9 + πk/3, където k е цяло число.

Решете уравненията: cos(4x)= √2/2. И намерете всички корени на сегмента.

Решение:

Нека решим нашето уравнение в общ вид: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега нека видим какви корени падат върху нашия сегмент. При k При k=0, x= π/16, ние сме в дадения сегмент.
С k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, уцелваме отново.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но тук не уцелихме, което означава, че за голямо k също очевидно няма да уцелим.

Отговор: x= π/16, x= 9π/16

Два основни метода за решение.

Разгледахме най-простите тригонометрични уравнения, но има и по-сложни. За решаването им се използват методът за въвеждане на нова променлива и методът на факторизиране. Нека да разгледаме примерите.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, ще използваме метода за въвеждане на нова променлива, обозначаваща: t=tg(x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 = 0

Нека намерим корените на квадратното уравнение: t=-1 и t=1/3

Тогава tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получаваме най-простото тригонометрично уравнение, нека намерим неговите корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Отговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Нека използваме идентичността: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашето уравнение ще приеме формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Нека въведем замяната t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение е корените: t=2 и t=-1/2

Тогава cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

защото косинус не може да приема стойности, по-големи от едно, тогава cos(x)=2 няма корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Отговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Определение: Уравнения от вида a sin(x)+b cos(x) се наричат хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен.

Уравнения на формата

хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решите хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, разделете го на cos(x): Не можете да разделите на косинуса, ако е равен на нула, нека се уверим, че това не е така:
Нека cos(x)=0, тогава asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус не са равни на нула едновременно, получаваме противоречие, така че можем безопасно да разделим с нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Нека извадим общия множител: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

След това трябва да решим две уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Разгледайте уравнението cos(x)+sin(x)=0 Разделете нашето уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Отговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как се решават хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, винаги спазвайте тези правила!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a=0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример за чието решение е на предишния слайд

2. Ако a≠0, тогава трябва да разделите двете страни на уравнението на косинуса на квадрат, получаваме:

Променяме променливата t=tg(x) и получаваме уравнението: