Fórmulas para escribir soluciones generales de ecuaciones trigonométricas. Resolver ecuaciones trigonométricas

Capítulo 15. Ecuaciones trigonométricas

15.6. Resolver ecuaciones trigonométricas más complejas

En los párrafos 3 a 5 anteriores, se dan soluciones a las ecuaciones trigonométricas más simples: , y . Las ecuaciones trigonométricas más complejas que contienen varias funciones trigonométricas de argumentos iguales o diferentes se reducen a ellas mediante transformaciones idénticas o resolviendo una ecuación algebraica auxiliar.

La técnica general para resolver este tipo de ecuaciones es reemplazar todas las funciones trigonométricas incluidas en la ecuación por una función basada en fórmulas que conectan estas funciones. Al resolver una ecuación, nos esforzamos por realizar transformaciones que conduzcan a ecuaciones equivalentes a la dada. De lo contrario, es necesario comprobar las raíces obtenidas.

Perder raíces es un error común. Otros errores similares son el conocimiento inexacto de las fórmulas para resolver las ecuaciones más simples, así como la incapacidad de encontrar correctamente el valor requerido de la función de arco.

Veamos ejemplos.

Resuelve la ecuación.

Ejemplo 2. (ejemplo de reducción a un argumento).

Resuelve la ecuación.

Solución:
Es recomendable pasar al argumento. La obra nos recuerda la fórmula del seno de un argumento doble: .
Sustituyendo en la ecuación obtenemos: .
En el lado izquierdo, aplicaremos una vez más la fórmula del seno de doble argumento, pero primero multiplicaremos ambos lados de la ecuación por.
; ; .
Hemos obtenido la ecuación más simple del tipo y equiparamos todo el argumento a la solución de la ecuación más simple:
, dónde .

Resuelve la ecuación.

Solución:
Usando una de las fórmulas para reducir el grado, obtenemos .

Después de sustituir en la ecuación tenemos

Resuelve la ecuación.

Solución:
Trasladando hacia el lado derecho, obtenemos que es igual a:
; ; .
Aquí tuvimos que aumentar el grado de la ecuación, pero tuvimos la oportunidad de usar una buena técnica de solución: mover todos los términos a una parte y factorizar la expresión resultante:
.
Al igualar cada factor por separado a cero, obtenemos un conjunto de ecuaciones,

que, por regla general, es equivalente a esta ecuación (en el siguiente ejemplo se analiza una excepción a esta regla).
Resolvemos la ecuación, tenemos
, Y .
Resolvemos la ecuación o, tenemos, y.

Resuelve la ecuación.

Incluir una raíz extraña en la respuesta se considera un grave error. Para evitarlo, debes asegurarte de que las raíces resultantes no conviertan a cero ninguna de las funciones en el denominador de la fracción de la ecuación dada (si hay fracciones allí) y que con estas raíces ninguna de las funciones en la La ecuación original pierde significado (si se incluyeron allí). Conviene recordar en qué valores del argumento desaparece la función y el dominio de definición de cada función trigonométrica. Por analogía, se habla del dominio de definición de una ecuación (el dominio de valores permisibles, o VA, de la incógnita ). El dominio de definición de una ecuación trigonométrica es la parte común (intersección) de los dominios de definición de los lados izquierdo y derecho de esta ecuación. Si la raíz resultante no pertenece al dominio de definición de la ecuación, entonces es extraña y debe descartarse.

Resuelve la ecuación
.

Solución:
Pasemos a una función. Si lo expresamos mediante , obtenemos una ecuación irracional, lo cual no es deseable. Reemplazar vía:
; .
Resolvamos la ecuación resultante como una ecuación cuadrática con respecto a .
o .
La ecuación no tiene raíces.
Para la ecuación tenemos:
. Pero también significan los mismos números impares, por lo que escribiremos la solución de forma más sencilla: .

Resuelve la ecuación
.

Para obtener una ecuación homogénea (todos los términos del mismo grado - el segundo) multiplicamos el lado derecho por la expresión, que es igual a .
;
.
Dado que las raíces de la ecuación no son las raíces de la ecuación original (esto se puede verificar fácilmente mediante sustitución), para pasar a una función, dividimos ambos lados de la ecuación por.

Resolvemos la ecuación cuadrática para .
o .
Para la ecuación tenemos: .
Para la ecuación obtenemos .

Resuelve la ecuación.

Expresémoslo mediante y obtenemos
. Aquí debe ser diferente de cero (de lo contrario la ecuación no tiene sentido), por lo que el dominio de definición de la ecuación es todo. Como , multiplicamos ambos lados de la ecuación por para deshacernos de las fracciones.
;
;
.
Para la ecuación tenemos

Clase: 10

"Las ecuaciones durarán para siempre".

A. Einstein

Objetivos de la lección:

Educativo:
- profundizar la comprensión de los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas;
- Desarrollar las habilidades para distinguir y seleccionar correctamente métodos de resolución de ecuaciones trigonométricas.
Educativo:
- fomentar el interés cognitivo en el proceso educativo;
- desarrollar la capacidad de analizar una tarea determinada;
- Contribuir a mejorar el clima psicológico en el aula.
De desarrollo:
- promover el desarrollo de la habilidad de adquirir conocimientos de forma independiente;
- promover la capacidad de los estudiantes para argumentar su punto de vista;

Equipo: cartel con fórmulas trigonométricas básicas, computadora, proyector, pantalla.

1 lección

I. Actualización de conocimientos de referencia

Resuelve las ecuaciones oralmente:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) pecado2x = 0;
5) senx = –;
6) senx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sen 2 x = 0

1)x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; a Z.

II. Aprendiendo nuevo material

– Hoy veremos ecuaciones trigonométricas más complejas. Veamos 10 formas de resolverlos. A continuación habrá dos lecciones para la consolidación y para la siguiente lección habrá una prueba. En el stand "Para la lección" hay tareas similares a las que estarán en el examen, debes resolverlas antes del examen. (El día antes de la prueba, publicar en el stand las soluciones a estas tareas).

Entonces, pasemos a considerar formas de resolver ecuaciones trigonométricas. Algunos de estos métodos probablemente te parecerán difíciles, mientras que otros te parecerán fáciles, porque... Ya conoces algunas técnicas para resolver ecuaciones.

Cuatro estudiantes de la clase recibieron una tarea individual: comprender y mostrarte 4 formas de resolver ecuaciones trigonométricas.

(Los estudiantes que hablan han preparado diapositivas con anticipación. El resto de la clase escribe los pasos principales para resolver ecuaciones en un cuaderno).

1 estudiante: 1 vía. Resolver ecuaciones factorizando

pecado 4x = 3 porque 2x

Para resolver la ecuación, usamos la fórmula del seno del ángulo doble sin 2 = 2 sin cos
2 sen 2x porque 2x – 3 porque 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. El producto de estos factores es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero.

2x = + k, k Z o sen 2x = 1,5 – no hay soluciones, porque | pecado| 1
x = +k; a Z.
Respuesta: x = + k, k Z.

2 estudiante. 2 vías. Resolver ecuaciones convirtiendo la suma o diferencia de funciones trigonométricas en un producto

cos 3x + sen 2x – sen 4x = 0.

Para resolver la ecuación usamos la fórmula sin– sin = 2 sin сos

porque 3x + 2 sen porque = 0,

cos 3x – 2 sen x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. La ecuación resultante es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones:

El conjunto de soluciones de la segunda ecuación está completamente incluido en el conjunto de soluciones de la primera ecuación. Medio

Respuesta:

3 estudiante. 3 vías. Resolver ecuaciones convirtiendo el producto de funciones trigonométricas en una suma.

sen 5x cos 3x = sen 6x cos2x.

Para resolver la ecuación usamos la fórmula

Respuesta:

4 estudiante. 4 maneras. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas.

3 pecado x – 2 porque 2 x = 0,
3 pecado x – 2 (1 – pecado 2 x) = 0,
2 pecado 2 x + 3 pecado x – 2 = 0,

Sea sen x = t, donde | t|. Obtenemos la ecuación cuadrática 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

De este modo . no cumple la condición | t|.

Entonces sen x = . Es por eso .

Respuesta:

III. Consolidación de lo aprendido en el libro de texto de A. N. Kolmogorov

1. N° 164 (a), 167 (a) (ecuación cuadrática)
2. N° 168 (a) (factorización)
3. No. 174 (a) (conversión de una suma en un producto)
4. (convertir producto en suma)

(Al final de la lección, muestre la solución de estas ecuaciones en la pantalla para su verificación)

№ 164 (A)

2 sen 2 x + sen x – 1 = 0.
Sea sen x = t, | t | 1. Entonces
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Dónde

Respuesta: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Sea tg x = 1, entonces obtenemos la ecuación 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Respuesta:

№ 168 (A)

Respuesta:

№ 174 (A)

Resuelve la ecuación:

Respuesta:

Lección 2 (lección-conferencia)

IV. Aprendiendo nuevo material(continuación)

– Entonces, sigamos estudiando formas de resolver ecuaciones trigonométricas.

5 vías. Resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Ecuaciones de la forma a pecado x + b porque x = 0, donde a y b son algunos números, se denominan ecuaciones homogéneas de primer grado con respecto a sen x o cos x.

Considere la ecuación

pecado x – porque x = 0. Dividamos ambos lados de la ecuación por cos x. Esto se puede hacer; no se producirá la pérdida de raíces, porque , Si porque x = 0, Eso pecado x = 0. Pero esto contradice la identidad trigonométrica básica. pecado 2 x + porque 2 x = 1.

Obtenemos tan x – 1 = 0.

bronceado x = 1,

Ecuaciones de la forma como en 2 x + b cos 2 x + c sen x porque x = 0 , Dónde a B C - algunos números se llaman ecuaciones homogéneas de segundo grado con respecto a sen x o cos x.

Considere la ecuación

sen 2 x – 3 sen x cos x + 2 cos 2 = 0. Dividamos ambos lados de la ecuación por cos x, y la raíz no se perderá, porque porque x = 0 no es la raíz de esta ecuación.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Sea tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Entonces, por lo tanto, tg x = 2 o tg x = 1.

Como resultado, x = arctan 2 + , x =

Respuesta: arctg 2 +,

Considere otra ecuación: 3 sen 2 x – 3 sen x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Transformemos el lado derecho de la ecuación en la forma 2 = 2 · 1 = 2 · (sen 2 x + cos 2 x). Entonces obtenemos:
3pecado 2 x – 3pecado x cos x + 4cos 2 x = 2 (pecado 2 x + cos 2 x),
3sen 2 x – 3sen x porque x + 4cos 2 x – 2sen 2 x – 2 porque 2 x = 0,
sen 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Obtuvimos la segunda ecuación, que ya hemos analizado).

Respuesta: arctan 2 + k,

6 vías. Resolver ecuaciones trigonométricas lineales

Una ecuación trigonométrica lineal es una ecuación de la forma a pecado x + b porque x = c, donde a, b, c son algunos números.

Considere la ecuación pecado x + porque x= – 1.
Reescribamos la ecuación como:

Considerando eso y, obtenemos:

Respuesta:

7 vías. Introduciendo un argumento adicional

Expresión a cos x + b sen x se puede convertir:

(ya hemos usado esta transformación al simplificar expresiones trigonométricas)

Introduzcamos un argumento adicional: el ángulo es tal que

Entonces

Considere la ecuación: 3 senx + 4 cosx = 1. =

Tarea: N° 164-170 (c, d).

Requiere conocimiento de las fórmulas básicas de trigonometría: la suma de los cuadrados del seno y el coseno, la expresión de la tangente a través del seno y el coseno, y otras. Para quienes los hayan olvidado o no los conozcan, recomendamos leer el artículo "".
Entonces conocemos las fórmulas trigonométricas básicas, es hora de usarlas en la práctica. Resolver ecuaciones trigonométricas Con el enfoque correcto, es una actividad bastante emocionante, como, por ejemplo, resolver un cubo de Rubik.

Según el nombre mismo, está claro que una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está bajo el signo de la función trigonométrica.
Existen las llamadas ecuaciones trigonométricas más simples. Así es como se ven: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Consideremos cómo resolver tales ecuaciones trigonométricas, para mayor claridad usaremos el ya familiar círculo trigonométrico.

sen x = a

porque x = a

bronceado x = a

cuna x = a

Cualquier ecuación trigonométrica se resuelve en dos etapas: reducimos la ecuación a su forma más simple y luego la resolvemos como una ecuación trigonométrica simple.
Hay 7 métodos principales mediante los cuales se resuelven ecuaciones trigonométricas.

Método de sustitución y sustitución de variables.

Resuelve la ecuación 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Usando las fórmulas de reducción obtenemos:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Reemplace cos(x + /6) con y para simplificar y obtener la ecuación cuadrática habitual:

2 años 2 – 3 años + 1 + 0

Cuyas raíces son y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ahora vayamos en orden inverso.

Sustituimos los valores encontrados de y y obtenemos dos opciones de respuesta:

Resolver ecuaciones trigonométricas mediante factorización.

¿Cómo resolver la ecuación sen x + cos x = 1?

Movamos todo hacia la izquierda para que 0 quede a la derecha:

seno x + cos x – 1 = 0

Usemos las identidades discutidas anteriormente para simplificar la ecuación:

sen x - 2 sen 2 (x/2) = 0

Factoricemos:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 pecado 2 (x/2) = 0

2sen(x/2) * = 0

Obtenemos dos ecuaciones

Reducción a una ecuación homogénea

Una ecuación es homogénea respecto al seno y al coseno si todos sus términos son relativos al seno y al coseno del mismo grado del mismo ángulo. Para resolver una ecuación homogénea se procede de la siguiente manera:

a) trasladar a todos sus miembros al lado izquierdo;

b) sacar todos los factores comunes de paréntesis;

c) igualar todos los factores y paréntesis a 0;

d) entre paréntesis se obtiene una ecuación homogénea de menor grado, que a su vez se divide en un seno o coseno de mayor grado;

e) resolver la ecuación resultante para tg.

Resuelve la ecuación 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Usemos la fórmula sin 2 x + cos 2 x = 1 y eliminemos los dos abiertos a la derecha:

3sen 2 x + 4 pecado x porque x + 5 porque x = 2sen 2 x + 2cos 2 x

sen 2 x + 4 sen x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividir por cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Reemplace tan x con y y obtenga una ecuación cuadrática:

y 2 + 4y +3 = 0, cuyas raíces son y 1 =1, y 2 = 3

A partir de aquí encontramos dos soluciones a la ecuación original:

x 2 = arctan 3 + k

Resolver ecuaciones mediante la transición a un medio ángulo.

Resuelve la ecuación 3sen x – 5cos x = 7

Pasemos a x/2:

6sen(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sen 2 (x/2) = 7sen 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Movamos todo hacia la izquierda:

2sen 2 (x/2) – 6sen(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividir por cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Introducción del ángulo auxiliar.

Para considerarlo, tomemos una ecuación de la forma: a sin x + b cos x = c,

donde a, b, c son algunos coeficientes arbitrarios y x es una incógnita.

Dividamos ambos lados de la ecuación por:

Ahora los coeficientes de la ecuación, según fórmulas trigonométricas, tienen las propiedades sin y cos, a saber: su módulo no es más que 1 y la suma de cuadrados = 1. Denotémoslos respectivamente como cos y sin, donde - esto es el llamado ángulo auxiliar. Entonces la ecuación tomará la forma:

cos * sen x + sen * cos x = C

o pecado(x + ) = C

La solución a esta ecuación trigonométrica más simple es

x = (-1) k * arcosen C - + k, donde

Cabe señalar que las notaciones cos y sin son intercambiables.

Resuelve la ecuación sen 3x – cos 3x = 1

Los coeficientes en esta ecuación son:

a = , b = -1, entonces divide ambos lados entre = 2

Ejemplos:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas:

Cualquier ecuación trigonométrica debe reducirse a uno de los siguientes tipos:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

donde \(t\) es una expresión con una x, \(a\) es un número. Estas ecuaciones trigonométricas se llaman lo más simple. Se pueden resolver fácilmente usando () o fórmulas especiales:

Vea infografías sobre cómo resolver ecuaciones trigonométricas simples aquí: y.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Solución:

Respuesta: \(\left[ \begin(reunidos)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(reunidos)\right.\) \(k,n∈Z\)

Qué significa cada símbolo en la fórmula de las raíces de ecuaciones trigonométricas, ver.

¡Atención! Las ecuaciones \(\sin⁡x=a\) y \(\cos⁡x=a\) no tienen soluciones si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Porque el seno y el coseno de cualquier x son mayores o iguales que \(-1\) y menores que o iguales a \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(\cos⁡x=-1,1\).
Solución: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Respuesta : sin soluciones.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica tg\(⁡x=1\).
Solución:

Resolvamos la ecuación usando el círculo numérico. Para esto:
1) Construye un círculo)
2) Construya los ejes \(x\) y \(y\) y el eje tangente (pasa por el punto \((0;1)\) paralelo al eje \(y\)).
3) En el eje tangente, marque el punto \(1\).
4) Conecte este punto y el origen de coordenadas: una línea recta.
5) Marque los puntos de intersección de esta línea y el círculo numérico.
6) Firmemos los valores de estos puntos: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Anota todos los valores de estos puntos. Dado que están ubicados a una distancia exacta de \(π\) entre sí, todos los valores se pueden escribir en una fórmula:

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solución:

Usemos el círculo numérico nuevamente.
1) Construye un círculo, con ejes \(x\) y \(y\).
2) En el eje coseno (eje \(x\)), marque \(0\).
3) Traza una perpendicular al eje coseno que pasa por este punto.
4) Marcar los puntos de intersección de la perpendicular y el círculo.
5) Firmemos los valores de estos puntos: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Anotamos el valor total de estos puntos y los equiparamos al coseno (a lo que hay dentro del coseno).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Como es habitual, expresaremos \(x\) en ecuaciones.
No olvides tratar los números con \(π\), así como \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Estos son los mismos números que todos los demás. ¡Sin discriminación numérica!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reducir las ecuaciones trigonométricas a lo más simple es una tarea creativa, aquí es necesario utilizar ambos métodos especiales para resolver ecuaciones:
- Método (el más popular en el Examen Estatal Unificado).
- Método.
- Método de argumentos auxiliares.

Consideremos un ejemplo de resolución de la ecuación trigonométrica cuadrática.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Solución:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Hagamos el reemplazo \(t=\cos⁡x\).

	Nuestra ecuación se ha vuelto típica. Puedes resolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Hacemos un reemplazo inverso.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Resolvemos la primera ecuación usando el círculo numérico. La segunda ecuación no tiene soluciones porque \(\cos⁡x∈[-1;1]\) y no puede ser igual a dos para cualquier x.
	Anotemos todos los números que se encuentran en estos puntos.

Respuesta: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un ejemplo de resolución de una ecuación trigonométrica con el estudio de ODZ:

Ejemplo (USO) . Resuelve la ecuación trigonométrica \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Hay una fracción y hay una cotangente, eso significa que debemos escribirla. Permítanme recordarles que una cotangente es en realidad una fracción: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Por lo tanto, la ODZ para ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\pecado⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Marquemos las “no soluciones” en el círculo numérico.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminemos el denominador de la ecuación multiplicándolo por ctg\(x\). Podemos hacer esto, ya que escribimos arriba que ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Apliquemos la fórmula del doble ángulo para el seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Si tus manos se extienden para dividir por el coseno, ¡retíralas! Puedes dividir por una expresión con una variable si definitivamente no es igual a cero (por ejemplo, estos: \(x^2+1.5^x\)). En lugar de ello, saquemos \(\cos⁡x\) de los corchetes.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividamos" la ecuación en dos.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Resolvamos la primera ecuación usando el círculo numérico. Dividamos la segunda ecuación por \(2\) y muevamos \(\sin⁡x\) al lado derecho.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sen⁡x\)	Las raíces resultantes no están incluidas en la ODZ. Por lo tanto, no los escribiremos en respuesta. La segunda ecuación es típica. Dividámoslo entre \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) no puede ser una solución a la ecuación porque en este caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usamos un círculo nuevamente.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ODZ no excluye estas raíces, por lo que puede escribirlas en la respuesta.

Respuesta: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Lección y presentación sobre el tema: "Resolución de ecuaciones trigonométricas simples"

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Qué estudiaremos:
1. ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

3. Dos métodos principales para resolver ecuaciones trigonométricas.
4. Ecuaciones trigonométricas homogéneas.
5. Ejemplos.

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Chicos, ya hemos estudiado arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. Ahora veamos las ecuaciones trigonométricas en general.

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que una variable está contenida bajo el signo de una función trigonométrica.

Repitamos la forma de resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

1)Si |a|≤ 1, entonces la ecuación cos(x) = a tiene solución:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Si |a|≤ 1, entonces la ecuación sin(x) = a tiene solución:

3) Si |a| > 1, entonces la ecuación sin(x) = a y cos(x) = a no tienen soluciones 4) La ecuación tg(x)=a tiene solución: x=arctg(a)+ πk

5) La ecuación ctg(x)=a tiene solución: x=arcctg(a)+ πk

Para todas las fórmulas k es un número entero

Las ecuaciones trigonométricas más simples tienen la forma: T(kx+m)=a, T es alguna función trigonométrica.

Ejemplo.

Resuelve las ecuaciones: a) sin(3x)= √3/2

Solución:

A) Denotemos 3x=t, luego reescribiremos nuestra ecuación en la forma:

La solución a esta ecuación será: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

De la tabla de valores obtenemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Volvamos a nuestra variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Entonces x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Respuesta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, donde n es un número entero. (-1)^n – menos uno elevado a n.

Más ejemplos de ecuaciones trigonométricas.

Resuelve las ecuaciones: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solución:

A) Esta vez pasemos directamente al cálculo de las raíces de la ecuación:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Entonces x/5= πk => x=5πk

Respuesta: x=5πk, donde k es un número entero.

B) Lo escribimos de la forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Respuesta: x=2π/9 + πk/3, donde k es un número entero.

Resuelve las ecuaciones: cos(4x)= √2/2. Y encuentra todas las raíces en el segmento.

Solución:

Resolvamos nuestra ecuación en forma general: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ahora veamos qué raíces caen en nuestro segmento. En k En k=0, x= π/16, estamos en el segmento dado.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, acertamos de nuevo.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, pero aquí no acertamos, lo que significa que para k grande obviamente tampoco acertaremos.

Respuesta: x= π/16, x= 9π/16

Dos métodos de solución principales.

Analizamos las ecuaciones trigonométricas más simples, pero también las hay más complejas. Para resolverlos se utiliza el método de introducción de una nueva variable y el método de factorización. Veamos ejemplos.

Resolvamos la ecuación:

Solución:
Para resolver nuestra ecuación, usaremos el método de introducir una nueva variable, que denota: t=tg(x).

Como resultado del reemplazo obtenemos: t 2 + 2t -1 = 0

Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-1 y t=1/3

Entonces tg(x)=-1 y tg(x)=1/3, obtenemos la ecuación trigonométrica más simple, encontremos sus raíces.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Respuesta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un ejemplo de resolución de una ecuación.

Resolver ecuaciones: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solución:

Usemos la identidad: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nuestra ecuación tomará la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 porque 2 (x) - 3 porque(x) -2 = 0

Introduzcamos el reemplazo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La solución a nuestra ecuación cuadrática son las raíces: t=2 y t=-1/2

Entonces cos(x)=2 y cos(x)=-1/2.

Porque el coseno no puede tomar valores mayores que uno, entonces cos(x)=2 no tiene raíces.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Respuesta: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Definición: Las ecuaciones de la forma a sin(x)+b cos(x) se denominan ecuaciones trigonométricas homogéneas de primer grado.

Ecuaciones de la forma

ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado.

Para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado, divídela por cos(x): No se puede dividir por el coseno si es igual a cero, asegurémonos de que no sea así:
Sea cos(x)=0, entonces asin(x)+0=0 => sin(x)=0, pero el seno y el coseno no son iguales a cero al mismo tiempo, obtenemos una contradicción, por lo que podemos dividir con seguridad por cero.

Resuelve la ecuación:
Ejemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solución:

Saquemos el factor común: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Entonces necesitamos resolver dos ecuaciones:

Cos(x)=0 y cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 en x= π/2 + πk;

Considere la ecuación cos(x)+sin(x)=0 Divida nuestra ecuación por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Respuesta: x= π/2 + πk y x= -π/4+πk

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado?
¡Chicos, sigan siempre estas reglas!

1. Vea a qué es igual el coeficiente a, si a=0 entonces nuestra ecuación tomará la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), cuyo ejemplo de solución se encuentra en la diapositiva anterior.

2. Si a≠0, entonces necesitas dividir ambos lados de la ecuación por el coseno al cuadrado, obtenemos:

Cambiamos la variable t=tg(x) y obtenemos la ecuación: