Conversión de expresiones. Teoría detallada (2020)

(1) un metro ⋅ un norte = un metro + norte

Ejemplo:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Ejemplo:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) norte = una norte ⋅ segundo norte

Ejemplo:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Ejemplo:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) norte = un metro ⋅ norte

Ejemplo:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Ejemplos:

$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Propiedades de la raíz cuadrada:

(1) a b = a ⋅ b , para a ≥ 0 , b ≥ 0

Ejemplo:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , para a ≥ 0 , b > 0

Ejemplo:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , para a ≥ 0

Ejemplo:

(4) a 2 = | un | para cualquier

Ejemplos:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Números racionales e irracionales

Numeros racionales son números que se pueden representar como una fracción común m n donde m es un número entero (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3…), n es un número natural (ℕ = 1, 2, 3, 4…).

Ejemplos de números racionales:

1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.

Numeros irracionales - números que no se pueden representar como una fracción ordinaria m n, son fracciones decimales infinitas no periódicas.

Ejemplos de números irracionales:

mi = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

En pocas palabras, los números irracionales son números que contienen el signo de raíz cuadrada en su notación. Pero no todo es tan sencillo. Algunos números racionales se disfrazan de irracionales, por ejemplo, el número 4 contiene un signo de raíz cuadrada en su notación, pero sabemos muy bien que podemos simplificar la notación 4 = 2. Esto significa que el número 4 es un número racional.

De manera similar, el número 4 81 = 4 81 = 2 9 es un número racional.

Algunos problemas requieren que determines qué números son racionales y cuáles son irracionales. La tarea es comprender qué números son irracionales y cuáles están disfrazados de ellos. Para hacer esto, debe poder realizar las operaciones de sacar el factor debajo del signo de la raíz cuadrada e introducir el factor debajo del signo de la raíz.

Inserción y eliminación del factor para el signo de la raíz cuadrada.

Al quitar el factor del signo de la raíz cuadrada, puedes simplificar significativamente algunas expresiones matemáticas.

Ejemplo:

Simplifica la expresión 2 8 2 .

1 vía (quitando el multiplicador de debajo del signo raíz): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Método 2 (introduciendo un multiplicador debajo del signo raíz): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Fórmulas de multiplicación abreviadas (FSU)

suma cuadrada

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Ejemplo:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

El cuadrado de la diferencia.

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Ejemplo:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

La suma de cuadrados no factoriza

diferencia de cuadrados

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Ejemplo:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

cubo de suma

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Ejemplo:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

cubo de diferencia

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Ejemplo:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

suma de cubos

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Ejemplo:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

diferencia de cubos

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Ejemplo:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Forma estándar de número

Para entender cómo llevar un número racional arbitrario a la forma estándar, necesitas saber cuál es el primer dígito significativo del número.

El primer dígito significativo de un número. llámelo el primer dígito distinto de cero a la izquierda.

Ejemplos:
2 5 ; 3, 05; 0, 143; 0, 00 1 2. El primer dígito significativo está resaltado en rojo.

Para convertir un número a su forma estándar:

Cambie la coma para que quede inmediatamente después del primer dígito significativo.
Multiplica el número resultante por 10 n, donde n es un número, que se define de la siguiente manera:
n > 0 si la coma se desplazó hacia la izquierda (multiplicar por 10 n indica que la coma en realidad debería estar hacia la derecha);
norte< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
el valor absoluto del número n es igual al número de dígitos que se desplazó la coma.

Ejemplos:

25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1

La coma se ha movido 1 dígito hacia la izquierda. Como el punto decimal se desplaza hacia la izquierda, el exponente es positivo.

Ya traído al formulario estándar, no necesita hacer nada con él. Se puede escribir como 3,05 ⋅ 10 0, pero como 10 0 = 1, dejamos el número en su forma original.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

La coma se ha movido 1 dígito hacia la derecha. Como el punto decimal se desplaza hacia la derecha, el exponente es negativo.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

La coma se ha movido tres lugares hacia la derecha. Como el punto decimal se desplaza hacia la derecha, el exponente es negativo.

Expresión algebraica

una expresión formada por letras y números conectados por los signos de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, elevación a una potencia entera y extracción de la raíz (los exponentes y la raíz deben ser números constantes). A. en. se llama racional con respecto a algunas de las letras incluidas en él si no las contiene bajo el signo de extracción de raíz, por ejemplo

racional con respecto a a, b y c. A. en. se llama número entero con respecto a algunas letras si no contiene división por expresiones que contienen estas letras, por ejemplo 3a/c + bc 2 - 3ac/4 es un número entero con respecto a a y b. Si algunas de las letras (o todas) se consideran variables, entonces A. c. es una función algebraica.

Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética. 1969-1978 .

Vea qué es "Expresión algebraica" en otros diccionarios:

Una expresión formada por letras y números unidos por signos de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, elevación a una potencia, extracción de raíz... Gran diccionario enciclopédico

expresión algebraica- - Temas industria del petróleo y el gas EN expresión algebraica ... Manual del traductor técnico

Una expresión algebraica es una o más cantidades algebraicas (números y letras) interconectadas por signos de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación y división, además de extraer la raíz y elevarla a un número entero ... ... Wikipedia

Expresión formada por letras y números conectados por signos de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, elevación a una potencia, extracción de raíz. * * * EXPRESIÓN ALGEBRAICA EXPRESIÓN ALGEBRAICA, expresión,... ... diccionario enciclopédico

expresión algebraica- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. expresión algebraica vok. algebraischer Ausdruck, m rus. expresión algebraica, n pranc. expresión algebrique, f … Fizikos terminų žodynas

Expresión formada por letras y números conectados por los signos de las álgebras. acciones: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíces... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Una expresión algebraica respecto de una variable dada, a diferencia de una trascendental, es una expresión que no contiene otras funciones de una determinada cantidad, salvo sumas, productos o potencias de esta cantidad, además, términos ... Diccionario enciclopédico F.A. Brockhaus y I.A. Efrón

EXPRESIÓN, expresiones, cf. 1. Acción según el cap. expreso expreso. No encuentro palabras para expresar mi agradecimiento. 2. la mayoría de las veces La encarnación de una idea en forma de algún tipo de arte (filosófico). Sólo un gran artista es capaz de crear tal expresión,... ... Diccionario explicativo de Ushakov

Una ecuación obtenida al igualar dos expresiones algebraicas (Ver Expresión Algebraica). A. y. con una incógnita se llama fraccionario si la incógnita está incluida en el denominador, e irracional si la incógnita está incluida en ... ... Gran enciclopedia soviética

EXPRESIÓN- el concepto matemático primario, que significa un registro de letras y números conectados por signos de operaciones aritméticas, mientras que se pueden utilizar paréntesis, símbolos de funciones, etc.; Por lo general, B es la fórmula en millones de partes. Distinguir en (1) ... ... Gran Enciclopedia Politécnica

Podemos escribir algunas expresiones matemáticas de diferentes maneras. Dependiendo de nuestros objetivos, si tenemos suficientes datos, etc. Expresiones numéricas y algebraicas. se diferencian en que escribimos los primeros solo como números combinados con la ayuda de signos de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) y paréntesis.

Si en lugar de números ingresa letras latinas (variables) en la expresión, se volverá algebraica. Las expresiones algebraicas utilizan letras, números, signos de suma y resta, multiplicación y división. Y también se puede utilizar el signo de la raíz, grado, paréntesis.

En cualquier caso, ya sea que esta expresión sea numérica o algebraica, no puede ser simplemente un conjunto aleatorio de caracteres, números y letras; debe tener un significado. Esto significa que las letras, los números y los signos deben estar conectados por algún tipo de relación. Ejemplo correcto: 7x + 2: (y + 1). Mal ejemplo): + 7x - * 1.

La palabra "variable" se mencionó anteriormente: ¿qué significa? Esta es una letra latina, en lugar de la cual puedes sustituirla por un número. Y si hablamos de variables, en este caso las expresiones algebraicas se pueden llamar función algebraica.

La variable puede tomar diferentes valores. Y sustituyendo algún número en su lugar, podemos encontrar el valor de la expresión algebraica para este valor particular de la variable. Cuando el valor de la variable es diferente, el valor de la expresión también será diferente.

¿Cómo resolver expresiones algebraicas?

Para calcular los valores que necesitas hacer. transformación de expresiones algebraicas. Y para ello todavía es necesario tener en cuenta algunas reglas.

Primero: el dominio de una expresión algebraica son todos los valores posibles de una variable para los cuales la expresión puede tener sentido. ¿Qué se quiere decir? Por ejemplo, no puede sustituir un valor por una variable que requeriría dividirla por cero. En la expresión 1/(x - 2), 2 debe excluirse del dominio de definición.

En segundo lugar, recuerde cómo simplificar expresiones: factorizar, poner entre paréntesis variables idénticas, etc. Por ejemplo: si intercambias los términos, la suma no cambiará (y + x = x + y). De manera similar, el producto no cambiará si se intercambian los factores (x * y \u003d y * x).

En general, son excelentes para simplificar expresiones algebraicas. fórmulas de multiplicación abreviadas. Aquellos que aún no los hayan aprendido definitivamente deberían hacer esto; todavía les serán útiles más de una vez:

encontramos la diferencia de las variables al cuadrado: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

encontramos la suma al cuadrado: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

calculamos la diferencia al cuadrado: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

elevamos la suma al cubo: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 o (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

la diferencia al cubo: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 o (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

encontramos la suma de las variables al cubo: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2);

calculamos la diferencia de las variables al cubo: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

usamos las raíces: xa 2 + ya + z = x (a - a 1) (a - a 2), y 1 y a 2 son las raíces de la expresión xa 2 + ya + z.

También deberías tener una idea sobre los tipos de expresiones algebraicas. Ellos son:

racionales, y éstos a su vez se dividen en:

números enteros (no tienen división en variables, no hay extracción de raíces de las variables y no hay elevación a una potencia fraccionaria): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). El alcance son todos los valores posibles de variables;

fraccionario (a excepción de otras operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación, en estas expresiones se divide por una variable y se eleva a una potencia (con exponente natural): (2/b - 3/a + c/4) 2 Dominio de definición: todos los valores de las variables para las cuales la expresión no es igual a cero;

irracional - para que una expresión algebraica sea considerada como tal, debe contener la exponenciación de variables a una potencia con exponente fraccionario y / o la extracción de raíces de variables: √a + b 3/4. El dominio de definición son todos los valores de las variables, excluidos aquellos en los que la expresión bajo la raíz de un grado par o bajo un grado fraccionario se convierte en un número negativo.

Transformaciones de identidad de expresiones algebraicas. es otra técnica útil para resolverlos. Una identidad es una expresión que será verdadera para cualquier variable incluida en el dominio de definición que se sustituya en ella.

Una expresión que depende de algunas variables puede ser idénticamente igual a otra expresión si depende de las mismas variables y si los valores de ambas expresiones son iguales, cualesquiera que sean los valores de las variables que se elijan. En otras palabras, si una expresión se puede expresar de dos maneras diferentes (expresiones) cuyos valores son iguales, estas expresiones son idénticamente iguales. Por ejemplo: y + y \u003d 2y, o x 7 \u003d x 4 * x 3, o x + y + z \u003d z + x + y.

Al realizar tareas con expresiones algebraicas, la transformación idéntica sirve para garantizar que una expresión pueda ser reemplazada por otra idéntica. Por ejemplo, reemplaza x 9 con el producto x 5 * x 4.

Ejemplos de soluciones

Para que quede más claro, veamos algunos ejemplos. transformaciones de expresiones algebraicas. Las tareas de este nivel se pueden encontrar en los KIM para el Examen Estatal Unificado.

Tarea 1: Encuentra el valor de la expresión ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).

Solución: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) = (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) = 12.

Tarea 2: Encuentra el valor de la expresión (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).

Solución: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.

Conclusión

Al prepararse para los exámenes escolares, USE y GIA, siempre puede utilizar este material como pista. Ten en cuenta que una expresión algebraica es una combinación de números y variables expresadas en letras latinas. Y también signos de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división), paréntesis, grados, raíces.

Utilice fórmulas de multiplicación breves y conocimiento de ecuaciones de identidad para transformar expresiones algebraicas.

Escríbanos sus comentarios y deseos en los comentarios; es importante para nosotros saber que nos está leyendo.

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La publicación presenta la lógica de diferencias en expresiones algebraicas para estudiantes de educación general básica general y secundaria (completa) como etapa de transición en la formación de la lógica de diferencias en expresiones matemáticas utilizadas en física, etc. para la formación en el futuro de conceptos sobre fenómenos, tareas, su clasificación y metodología del enfoque para su solución.

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Expresiones algebraicas y sus características.

El álgebra, como ciencia, estudia los patrones de acciones en conjuntos, indicados por letras.Las operaciones algebraicas incluyen suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces.Como resultado de estas acciones se formaron expresiones algebraicas.Expresión algebraica: expresión que consta de números y letras que denotan conjuntos con los que se realizan operaciones algebraicas.Estas acciones pasaron al álgebra desde la aritmética. En álgebra se consideraequiparar una expresión algebraica con otra, que es su igualdad idéntica. En el §1 se dan ejemplos de expresiones algebraicas.Los métodos de transformación y relación de expresiones también se tomaron prestados de la aritmética.. El conocimiento de los patrones aritméticos de acciones en expresiones aritméticas le permite realizar transformaciones en expresiones algebraicas similares, transformarlas, simplificarlas, compararlas y analizarlas.El álgebra es la ciencia de las regularidades de las transformaciones de expresiones, que consta de conjuntos presentados en forma de designaciones de letras, interconectados por signos de diversas acciones.También hay expresiones algebraicas más complejas que se estudian en instituciones de educación superior. Si bien se pueden dividir en tipos, los más utilizados en el curso escolar.

1 Tipos de expresiones algebraicas

Artículo 1 Expresiones simples: 4a; (a+b); (a+b)3c; ; .

elemento 2 Igualdades de identidad:(a + b)c = ca + antes de Cristo; ;

punto 3 Desigualdades: como ; a+c .

p.4 Fórmulas: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0,5d 2 +2;

p.5 Proporciones:

Primer nivel de dificultad

Segundo nivel de dificultad

Tercer nivel de dificultaden términos de encontrar valores para conjuntos

a, b, c, m, k, d:

Cuarto nivel de dificultaddesde el punto de vista de la búsqueda de valores para los conjuntos a, y:

p.6 Ecuaciones:

hacha + c = -5bx; 4x 2 + 2x = 42;

Etc.

artículo 7 Dependencias funcionales: y=3x; y=ax2+4b; y \u003d 0,5x 2 +2;

Etc.

2 Considere expresiones algebraicas

2.1 La sección 1 presenta expresiones algebraicas simples. Hay una vista y

más difícil, por ejemplo:

Como regla general, este tipo de expresiones no llevan el signo "=". La tarea al considerar tales expresiones es transformarlas y obtenerlas en forma simplificada. Al convertir la expresión algebraica relacionada con la reivindicación 1, se obtiene una nueva expresión algebraica, que tiene un significado equivalente a la anterior. Se dice que tales expresiones son idénticamente equivalentes. Aquellos. la expresión algebraica a la izquierda del signo igual es equivalente en su significado a la expresión algebraica a la derecha. En este caso, se obtiene una expresión algebraica de un nuevo tipo, llamada igualdad idéntica (ver punto 2).

2.2 La sección 2 presenta las igualdades de identidad algebraicas., que se forman con métodos algebraicos de transformación, se consideran expresiones algebraicas, que se utilizan con mayor frecuencia como métodos para resolver problemas en física. Ejemplos de igualdades idénticas de transformaciones algebraicas que se utilizan a menudo en matemáticas y física:

Ley conmutativa de la suma: a + b = b + a.

Ley asociativa de la suma:(a + b) + c = a + (b + c).

Ley conmutativa de la multiplicación: ab=ba.

Ley asociativa de la multiplicación:(ab)c = a(bc).

La ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

(a + b)c = ca + antes de Cristo.

La ley distributiva de la multiplicación con respecto a la resta:

(a - b)c \u003d ac - antes de Cristo.

Igualdades de identidadexpresiones algebraicas fraccionarias(se supone que los denominadores de las fracciones son distintos de cero):

Igualdades de identidadexpresiones algebraicas con potencias:

A) ,

donde (n veces, ) - grado con exponente entero

b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .

Igualdades de identidadexpresiones algebraicas con raíces enésimo grado:

Expresión - raíz aritmética norte grado de entre En particular, - cuadrado aritmético.

Grado con exponente fraccionario (racional) raíz:

Las expresiones equivalentes equivalentes dadas anteriormente se utilizan para transformar expresiones algebraicas más complejas que no contienen el signo "=".

Consideremos un ejemplo en el que, para transformaciones de una expresión algebraica más compleja, se utiliza el conocimiento adquirido durante las transformaciones de expresiones algebraicas más simples en forma de igualdades idénticas.

2.3 La sección 3 presenta el método algebraico. igualdad, para el cual la expresión algebraica del lado izquierdo no es igual al lado derecho, es decir no son identicos. En este caso, son desigualdades. Como regla general, al resolver algunos problemas de física, las propiedades de las desigualdades son importantes:

1) si a , entonces para cualquier c : a + c .

2) Si un y c > 0, entonces como .

3) Si un y C , luego ac > antes de Cristo .

4) Si un , a y B una señal, entonces 1/a > 1/b .

5) Si un y C , entonces a + c , a-d .

6) Si un , C , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , entonces ac .

7) Si un , a > 0 , b > 0 , entonces

8) Si, entonces

2.4 La sección 4 presenta las fórmulas algebraicas.aquellos. Expresiones algebraicas que tienen una letra en el lado izquierdo del signo igual, que denotan un conjunto cuyo valor se desconoce y debe ser determinado. Y en el lado derecho del signo igual hay conjuntos cuyos valores se conocen. En este caso, esta expresión algebraica se llama fórmula algebraica.

Una fórmula algebraica es una expresión algebraica que contiene un signo igual, en el lado izquierdo del cual hay un conjunto cuyo valor se desconoce, y en el lado derecho hay conjuntos con valores conocidos, según la condición del problema.Para determinar el valor desconocido del conjunto a la izquierda del signo "igual", se sustituyen los valores conocidos de las cantidades en el lado derecho del signo "igual" y se realizan las operaciones computacionales aritméticas indicadas en la expresión algebraica de este parte se realizan.

Ejemplo 1:

Dado: Solución:

a=25 Sea la expresión algebraica:

x=? x=2a+5.

Esta expresión algebraica es una fórmula algebraica ya que a la izquierda del signo igual está el conjunto cuyo valor se va a encontrar, y a la derecha están los conjuntos con valores conocidos.

Por tanto, es posible realizar la sustitución del valor conocido del conjunto "a", para determinar el valor desconocido del conjunto "x":

x=2 25+5=55. Respuesta:x=55.

Ejemplo 2:

Dado: Solución:

a=25 expresión algebraicaes una fórmula.

b=4 Por lo tanto, es posible realizar la sustitución de valores conocidos

c=8 valores para conjuntos a la derecha del signo igual,

d=3 para determinar el valor desconocido del conjunto "k",

m=20 de pie a la izquierda:

n=6 Respuesta: k=3,2.

PREGUNTAS

1 ¿Qué es una expresión algebraica?

2 ¿Qué tipo de expresiones algebraicas conoces?

3 ¿Qué expresión algebraica se llama igualdad idéntica?

4 ¿Por qué es necesario conocer los patrones de igualdades idénticas?

5 ¿Qué expresión algebraica se llama fórmula?

6 ¿Qué expresión algebraica se llama ecuación?

7 ¿Qué expresión algebraica se llama dependencia funcional?

Expresiones numéricas y algebraicas. Conversión de expresiones.

¿Qué es una expresión en matemáticas? ¿Por qué son necesarias las conversiones de expresiones?

La pregunta, como dicen, es interesante... El hecho es que estos conceptos son la base de todas las matemáticas. Todas las matemáticas se componen de expresiones y sus transformaciones. ¿No está muy claro? Dejame explicar.

Digamos que tienes un mal ejemplo. Muy grande y muy complejo. ¡Digamos que eres bueno en matemáticas y no tienes miedo de nada! ¿Puedes responder de inmediato?

Tendrás que decidir este ejemplo. Secuencialmente, paso a paso, este ejemplo. simplificar. Por supuesto, según ciertas reglas. Aquellos. hacer conversión de expresión. Cuán exitosamente llevas a cabo estas transformaciones, entonces eres fuerte en matemáticas. Si no sabes hacer las transformaciones correctas, en matemáticas no podrás hacer Nada...

Para evitar un futuro (o presente...) tan incómodo, no está de más entender este tema.)

Para empezar, averigüemos ¿Qué es una expresión en matemáticas?. Qué ha pasado expresión numérica Y lo que es expresión algebraica.

¿Qué es una expresión en matemáticas?

Expresión en matemáticas Es un concepto muy amplio. Casi todo lo que tratamos en matemáticas es un conjunto de expresiones matemáticas. Cualquier ejemplo, fórmula, fracción, ecuación, etc., todo consta de expresiones matemáticas.

3+2 es una expresión matemática. c 2 - d 2 También es una expresión matemática. Y una fracción saludable, e incluso un número, son todas expresiones matemáticas. La ecuación, por ejemplo, es:

5x + 2 = 12

consta de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo igual. Una expresión está a la izquierda y la otra a la derecha.

En términos generales, el término expresión matemática" se usa, con mayor frecuencia, para no murmurar. ¿Te preguntarán qué es una fracción ordinaria, por ejemplo? ¡¿Y cómo responder ?!

Respuesta 1: "Es... m-m-m-m... tal cosa... en la cual... ¿Puedo escribir mejor una fracción? ¿Cuál quieres?"

La segunda opción de respuesta: "Una fracción ordinaria es (¡con alegría y alegría!) expresión matemática , que consta de un numerador y un denominador!"

La segunda opción es algo más impresionante, ¿verdad?)

A tal efecto, la frase " expresión matemática "Muy bien. Correcto y sólido. Pero para una aplicación práctica, es necesario estar bien versado en tipos específicos de expresiones en matemáticas .

El tipo específico es otra cuestión. Este ¡Otra cosa muy distinta! Cada tipo de expresión matemática tiene mío un conjunto de reglas y técnicas que deben utilizarse en la decisión. Para trabajar con fracciones: un juego. Para trabajar con expresiones trigonométricas: el segundo. Para trabajar con logaritmos: el tercero. Etcétera. En algún lugar estas reglas coinciden, en algún lugar difieren marcadamente. Pero no temáis estas terribles palabras. Logaritmos, trigonometría y otras cosas misteriosas que dominaremos en las secciones correspondientes.

Aquí dominaremos (o repetiremos, como quieras...) dos tipos principales de expresiones matemáticas. Expresiones numéricas y expresiones algebraicas.

Expresiones numéricas.

Qué ha pasado expresión numérica? Este es un concepto muy simple. El nombre en sí insinúa que se trata de una expresión con números. Así es como es. Una expresión matemática compuesta por números, paréntesis y signos de operaciones aritméticas se llama expresión numérica.

7-3 es una expresión numérica.

(8+3.2) 5.4 también es una expresión numérica.

Y este monstruo:

también una expresión numérica, sí...

Un número ordinario, una fracción, cualquier ejemplo de cálculo sin x ni otras letras: todas estas son expresiones numéricas.

caracteristica principal numérico expresiones en el sin letras. Ninguno. Sólo números e íconos matemáticos (si es necesario). Es simple, ¿verdad?

¿Y qué se puede hacer con las expresiones numéricas? Por lo general, las expresiones numéricas se pueden contar. Para ello, a veces ocurre abrir corchetes, cambiar signos, abreviar, intercambiar términos, es decir, hacer conversiones de expresiones. Pero más sobre eso a continuación.

Aquí nos ocuparemos de un caso tan divertido cuando con una expresión numérica. no tienes que hacer nada. Bueno, ¡nada de nada! Esta linda operación Hacer nada)- se ejecuta cuando la expresión no tiene sentido.

¿Cuándo una expresión numérica no tiene sentido?

Por supuesto, si vemos algún tipo de abracadabra frente a nosotros, como

entonces no haremos nada. Ya que no está claro qué hacer con él. Algunas tonterías. A menos que, para contar el número de ventajas ...

Pero hay expresiones aparentemente bastante decentes. Por ejemplo este:

(2+3) : (16 - 2 8)

Sin embargo, esta expresión también es no tiene sentido! Por la sencilla razón de que en el segundo paréntesis, si cuentas, obtienes cero. ¡No puedes dividir por cero! Esta es una operación prohibida en matemáticas. Por tanto, tampoco es necesario hacer nada con esta expresión. Para cualquier tarea con dicha expresión, la respuesta siempre será la misma: "¡La expresión no tiene sentido!"

Para dar esa respuesta, por supuesto, tuve que calcular lo que estaría entre paréntesis. Y a veces entre paréntesis ese giro... Bueno, no hay nada que hacer al respecto.

No hay tantas operaciones prohibidas en matemáticas. Sólo hay uno en este hilo. División por cero. En los temas pertinentes se analizan prohibiciones adicionales que surgen en raíces y logaritmos.

Entonces, una idea de lo que es expresión numérica- consiguió. concepto la expresión numérica no tiene sentido- comprendió. Vayamos más lejos.

Expresiones algebraicas.

Si aparecen letras en una expresión numérica, esta expresión se convierte en... La expresión se convierte en... ¡Sí! Se vuelve expresión algebraica. Por ejemplo:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Este tipo de expresiones también se denominan expresiones literales. O expresiones con variables. Es prácticamente lo mismo. Expresión 5a+c, por ejemplo, tanto literal como algebraico, y expresión con variables.

concepto expresión algebraica - más amplio que el numérico. Él incluye y todas las expresiones numéricas. Aquellos. una expresión numérica también es una expresión algebraica, sólo que sin las letras. Todo arenque es un pez, pero no todo pez es un arenque...)

Por qué literal- Está vacío. Pues ya que hay letras… Frase expresión con variables Tampoco es muy desconcertante. Si comprende que los números están ocultos debajo de las letras. Debajo de las letras se pueden ocultar todo tipo de números ... Y 5, y -18, y lo que quieras. Es decir, una carta puede reemplazar para diferentes números. Por eso las letras se llaman variables.

en la expresión y+5, Por ejemplo, en- variable. O simplemente di " variable", sin la palabra "valor". A diferencia del cinco, que es un valor constante. O simplemente - constante.

Término expresión algebraica significa que para trabajar con esta expresión, es necesario utilizar las leyes y reglas álgebra. Si aritmética funciona con números específicos, entonces álgebra- con todos los números a la vez. Un ejemplo sencillo para aclarar.

En aritmética se puede escribir que

Pero si escribimos una igualdad similar mediante expresiones algebraicas:

a + b = b + a

decidiremos inmediatamente Todo preguntas. Para todos los numeros ataque. Por una infinidad de cosas. Porque debajo de las letras A Y b implícito Todo números. Y no sólo números, sino también otras expresiones matemáticas. Así funciona el álgebra.

¿Cuándo una expresión algebraica no tiene sentido?

Todo está claro sobre la expresión numérica. No puedes dividir por cero. Y con letras, ¿es posible saber por qué dividimos?

Tomemos como ejemplo la siguiente expresión variable:

2: (A - 5)

¿Tiene sentido? ¿Pero quién lo conoce? A- cualquier número...

Cualquiera, cualquiera... Pero hay un significado. A, para lo cual esta expresión exactamente¡No tiene sentido! ¿Y cuál es ese número? ¡Sí! ¡Son las 5! Si la variable A reemplace (dicen - "sustituir") con el número 5, entre paréntesis resultará cero. que no se puede dividir. Entonces resulta que nuestra expresión no tiene sentido, Si un = 5. Pero para otros valores A¿tiene sentido? ¿Puedes sustituir otros números?

Ciertamente. En tales casos, se dice simplemente que la expresión

2: (A - 5)

tiene sentido para cualquier valor A, excepto a = 5 .

Todo el conjunto de números. Poder sustituir en la expresión dada se llama rango válido esta expresión.

Como puedes ver, no hay nada complicado. Miramos la expresión con variables y pensamos: ¿a qué valor de la variable se obtiene la operación prohibida (división por cero)?

Y luego asegúrese de mirar la pregunta de la tarea. ¿Qué están preguntando?

no tiene sentido, nuestro valor prohibido será la respuesta.

Si preguntan a qué valor de la variable la expresión tiene el significado(¡siente la diferencia!), la respuesta será todos los demás números excepto lo prohibido.

¿Por qué necesitamos el significado de la expresión? Él está ahí, él no está... ¡¿Cuál es la diferencia?! El caso es que este concepto cobra mucha importancia en la secundaria. ¡Extremadamente importante! Ésta es la base de conceptos tan sólidos como el rango de valores válidos o el alcance de una función. Sin esto, no podrás resolver ecuaciones o desigualdades graves en absoluto. Como esto.

Conversión de expresiones. Transformaciones de identidad.

Nos familiarizamos con expresiones numéricas y algebraicas. Comprende lo que significa la frase "la expresión no tiene sentido". Ahora necesitamos descubrir qué conversión de expresiones. La respuesta es simple, escandalosa). Esta es cualquier acción con una expresión. Y eso es. Has estado haciendo estas transformaciones desde la primera clase.

Tomemos como ejemplo la genial expresión numérica 3+5. ¿Cómo se puede convertir? ¡Sí, muy fácil! Calcular:

Este cálculo será la transformación de la expresión. Puedes escribir la misma expresión de otra manera:

Aquí no contamos nada. Sólo escribe la expresión. en una forma diferente. Esta también será una transformación de la expresión. Se puede escribir así:

Y ésta también es la transformación de una expresión. Puedes realizar tantas de estas transformaciones como quieras.

Cualquier acción sobre una expresión cualquier escribirlo en una forma diferente se llama transformación de expresión. Y todas las cosas. Todo es muy sencillo. Pero hay una cosa aquí regla muy importante. Tan importante que se puede llamar con seguridad. regla principal todas las matemáticas. Rompiendo esta regla inevitablemente conduce a errores. ¿Lo entendemos?)

Digamos que hemos transformado nuestra expresión arbitrariamente, así:

¿Transformación? Ciertamente. Escribimos la expresión en una forma diferente, ¿qué hay de malo aquí?

No es así.) El caso es que las transformaciones "lo que sea" a las matemáticas no les interesa en absoluto.) Todas las matemáticas se basan en transformaciones en las que cambia la apariencia, pero la esencia de la expresión no cambia. Tres más cinco se pueden escribir de cualquier forma, pero debe ser ocho.

transformaciones, expresiones que no cambian la esencia llamado idéntico.

Exactamente transformaciones idénticas y nos permiten, paso a paso, convertir un ejemplo complejo en una expresión simple, manteniendo esencia del ejemplo. Si nos equivocamos en la cadena de transformaciones, haremos una transformación NO idéntica, entonces decidiremos otro ejemplo. Con otras respuestas que no están relacionadas con las correctas.)

Aquí está la regla principal para resolver cualquier problema: el cumplimiento de la identidad de las transformaciones.

Di un ejemplo con una expresión numérica 3 + 5 para mayor claridad. En expresiones algebraicas, transformaciones idénticas vienen dadas por fórmulas y reglas. Digamos que hay una fórmula en álgebra:

a(b+c) = ab + ac

Entonces, en cualquier ejemplo, podemos en lugar de la expresión a(b+c) siéntete libre de escribir una expresión ab+ac. Y viceversa. Este transformación idéntica. Las matemáticas nos permiten elegir entre estas dos expresiones. Y cuál escribir depende del ejemplo específico.

Otro ejemplo. Una de las transformaciones más importantes y necesarias es la propiedad básica de una fracción. Podéis ver más detalles en el enlace, pero aquí solo os recuerdo la regla: si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, o una expresión que no es igual a cero, la fracción no cambiará. A continuación se muestra un ejemplo de transformaciones idénticas para esta propiedad:

Como probablemente habrás adivinado, esta cadena puede continuar indefinidamente...) Una propiedad muy importante. Es esto lo que te permite convertir todo tipo de monstruos de ejemplo en blancos y esponjosos).

Hay muchas fórmulas que definen transformaciones idénticas. Pero lo más importante es una cantidad bastante razonable. Una de las transformaciones básicas es la factorización. Se utiliza en todas las matemáticas, desde elemental hasta avanzada. Empecemos por él. en la próxima lección.)

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

Puedes familiarizarte con funciones y derivadas.