Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2020)

(1) un m ⋅ un n = un m + n

Esempio:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Esempio:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = un n ⋅ b n

Esempio:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Esempio:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

Esempio:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Esempi:

$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Proprietà della radice quadrata:

(1) a b = a ⋅ b , per a ≥ 0 , b ≥ 0

Esempio:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , per a ≥ 0 , b > 0

Esempio:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , per a ≥ 0

Esempio:

(4) a2 = | un | per qualsiasi a

Esempi:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Numeri razionali e irrazionali

Numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione comune m n dove m è un intero (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n è un numero naturale (ℕ = 1, 2, 3, 4 …).

Esempi di numeri razionali:

1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.

Numeri irrazionali - numeri che non possono essere rappresentati come frazione ordinaria m n, sono infinite frazioni decimali non periodiche.

Esempi di numeri irrazionali:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

In poche parole, i numeri irrazionali sono numeri che contengono il segno della radice quadrata nella loro notazione. Ma non tutto è così semplice. Alcuni numeri razionali si travestono da irrazionali, ad esempio il numero 4 contiene il segno di radice quadrata nella sua notazione, ma sappiamo bene che possiamo semplificare la notazione 4 = 2. Ciò significa che il numero 4 è un numero razionale.

Allo stesso modo, il numero 4 81 = 4 81 = 2 9 è un numero razionale.

Alcuni problemi richiedono di determinare quali numeri sono razionali e quali irrazionali. Il compito è capire quali numeri sono irrazionali e quali si mascherano da tali. Per fare ciò, devi essere in grado di eseguire le operazioni di estrazione del fattore da sotto il segno di radice quadrata e introduzione del fattore sotto il segno di radice.

Inserimento e rimozione del fattore per il segno della radice quadrata

Togliendo il fattore dal segno della radice quadrata, puoi semplificare notevolmente alcune espressioni matematiche.

Esempio:

Semplifica l'espressione 2 8 2 .

1 modo (togliendo il moltiplicatore da sotto il segno della radice): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Metodo 2 (introducendo un moltiplicatore sotto il segno della radice): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Formule di moltiplicazione abbreviate (FSU)

somma quadrata

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Esempio:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Il quadrato della differenza

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Esempio:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

La somma dei quadrati non tiene conto

Differenza di quadrati

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Esempio:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

cubo somma

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Esempio:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

cubo di differenza

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Esempio:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Somma di cubi

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Esempio:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Differenza di cubi

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Esempio:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 a) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Forma standard del numero

Per capire come portare un numero razionale arbitrario nella forma standard, devi sapere qual è la prima cifra significativa del numero.

La prima cifra significativa di un numero chiamiamola la prima cifra diversa da zero a sinistra.

Esempi:
25; 3,05; 0,143; 0 , 00 1 2 . La prima cifra significativa è evidenziata in rosso.

Per convertire un numero nella forma standard:

Sposta la virgola in modo che sia immediatamente dopo la prima cifra significativa.
Moltiplicare il numero risultante per 10 n, dove n è un numero, definito come segue:
n > 0 se la virgola è stata spostata a sinistra (moltiplicando per 10 n indica che la virgola dovrebbe effettivamente essere a destra);
N< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
il valore assoluto del numero n è uguale al numero di cifre di cui è stata spostata la virgola.

Esempi:

25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1

La virgola si è spostata a sinistra di 1 cifra. Poiché la virgola viene spostata a sinistra, l'esponente è positivo.

Già portato al modulo standard, non è necessario farci nulla. Può essere scritto come 3.05 ⋅ 10 0 , ma poiché 10 0 = 1 lasciamo il numero nella sua forma originale.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

La virgola si è spostata a destra di 1 cifra. Poiché la virgola viene spostata a destra, l'esponente è negativo.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

La virgola si è spostata di tre posti a destra. Poiché la virgola viene spostata a destra, l'esponente è negativo.

Espressione algebrica

espressione composta da lettere e numeri collegati dai segni delle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza intera ed estrazione della radice (gli esponenti e la radice devono essere numeri costanti). A.in. si dice razionale rispetto ad alcune delle lettere in esso incluse se non le contiene sotto il segno di estrazione della radice, ad esempio

razionale rispetto ad a, b e c. A.in. si chiama intero rispetto ad alcune lettere se non contiene la divisione per espressioni contenenti tali lettere, ad esempio 3a/c + bc 2 - 3ac/4 è intero rispetto ad a e b. Se alcune lettere (o tutte) sono considerate variabili, allora A. c. è una funzione algebrica.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Scopri cos'è "Espressione algebrica" in altri dizionari:

Espressione composta da lettere e numeri collegati da segni di operazioni algebriche: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza, estrazione di una radice... Grande dizionario enciclopedico

espressione algebrica- - Argomenti industria del petrolio e del gas EN espressione algebrica ... Manuale del traduttore tecnico

Un'espressione algebrica è una o più quantità algebriche (numeri e lettere) interconnesse da segni di operazioni algebriche: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, nonché estrazione della radice e elevazione a numero intero ... ... Wikipedia

espressione algebrica- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. espressione algebrica vok. algebraischer Ausdruck, m rus. espressione algebrica, n pranc. espressione algebrique, f … Fizikos terminų žodynas

Espressione composta da lettere e numeri collegati dai segni dell'algebra. azioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziazione, estrazione della radice... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Un'espressione algebrica rispetto a una data variabile, a differenza di una trascendente, è un'espressione che non contiene altre funzioni di una data quantità, ad eccezione di somme, prodotti o potenze di questa quantità, inoltre, termini ... Dizionario Enciclopedico F.A. Brockhaus e I.A. Efron

ESPRESSIONE, espressioni, cfr. 1. Azione secondo il cap. esprimere esprimere. Non riesco a trovare le parole per esprimere la mia gratitudine. 2. il più delle volte L'incarnazione di un'idea nelle forme di una sorta di arte (filosofica). Solo un grande artista è in grado di creare una tale espressione, ... ... Dizionario esplicativo di Ushakov

Un'equazione ottenuta uguagliando due espressioni algebriche (Vedi Espressione algebrica). Ay. con un'incognita si dice frazionario se l'incognita è compresa nel denominatore, e irrazionale se l'incognita è compresa sotto... ... Grande Enciclopedia Sovietica

ESPRESSIONE- un concetto matematico primario, ovvero una registrazione di lettere e numeri collegati da segni di operazioni aritmetiche, mentre possono essere utilizzate parentesi, simboli di funzione, ecc.; di solito B è la formula milione che ne fa parte. Distinguere in (1) ... ... Grande Enciclopedia del Politecnico

Possiamo scrivere alcune espressioni matematiche in diversi modi. A seconda dei nostri obiettivi, se disponiamo di dati sufficienti, ecc. Espressioni numeriche ed algebriche differiscono in quanto scriviamo il primo solo come numeri combinati con l'aiuto di segni di operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) e parentesi.

Se invece dei numeri inserisci lettere latine (variabili) nell'espressione, diventerà algebrica. Le espressioni algebriche utilizzano lettere, numeri, segni di addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione. E si possono usare anche il segno della radice, del grado, delle parentesi.

In ogni caso, che questa espressione sia numerica o algebrica, non può essere solo un insieme casuale di caratteri, numeri e lettere: deve avere un significato. Ciò significa che lettere, numeri, segni devono essere collegati da qualche tipo di relazione. Esempio corretto: 7x + 2: (y + 1). Cattivo esempio): + 7x - * 1.

La parola "variabile" è stata menzionata sopra: cosa significa? Questa è una lettera latina, invece della quale puoi sostituire un numero. E se parliamo di variabili, in questo caso le espressioni algebriche possono essere chiamate funzioni algebriche.

La variabile può assumere valori diversi. E sostituendo al suo posto un numero, possiamo trovare il valore dell'espressione algebrica per questo particolare valore della variabile. Quando il valore della variabile è diverso, anche il valore dell'espressione sarà diverso.

Come risolvere le espressioni algebriche?

Per calcolare i valori che devi fare trasformazione di espressioni algebriche. E per questo devi ancora considerare alcune regole.

Primo: il dominio di un'espressione algebrica è costituito da tutti i possibili valori di una variabile per i quali l'espressione può avere senso. Cosa si intende? Ad esempio, non è possibile sostituire una variabile con un valore che richiederebbe la divisione per zero. Nell'espressione 1 / (x - 2), 2 deve essere escluso dal dominio di definizione.

In secondo luogo, ricorda come semplificare le espressioni: fattorizzare, mettere tra parentesi variabili identiche, ecc. Ad esempio: se inverti i termini, la somma non cambierà (y + x = x + y). Allo stesso modo, il prodotto non cambierà se i fattori vengono scambiati (x * y \u003d y * x).

In generale sono ottimi per semplificare le espressioni algebriche. formule di moltiplicazione abbreviate. Coloro che non li hanno ancora imparati dovrebbero assolutamente farlo: torneranno utili comunque più di una volta:

troviamo la differenza delle variabili al quadrato: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

troviamo la somma al quadrato: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

calcoliamo la differenza al quadrato: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

cubiamo la somma: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 o (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

cubare la differenza: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 o (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

troviamo la somma delle variabili al cubo: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

calcoliamo la differenza delle variabili al cubo: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

usiamo le radici: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2) e 1 e a 2 sono le radici dell'espressione xa 2 + ya + z.

Dovresti anche avere un'idea dei tipi di espressioni algebriche. Sono:

razionali, e questi a loro volta si dividono in:

numeri interi (non hanno divisione in variabili, non c'è estrazione di radici dalle variabili e non c'è elevazione a potenza frazionaria): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). Lo scopo è tutti i valori possibili delle variabili;

frazionario (ad eccezione di altre operazioni matematiche, come addizione, sottrazione, moltiplicazione, in queste espressioni si dividono per una variabile ed elevano a una potenza (con esponente naturale): (2/b - 3/a + c/4) 2 Dominio di definizione - tutti i valori variabili per i quali l'espressione non è uguale a zero;

irrazionale - affinché un'espressione algebrica possa essere considerata tale, deve contenere l'esponenziazione delle variabili a una potenza con esponente frazionario e/o l'estrazione delle radici dalle variabili: √a + b 3/4. Il dominio di definizione sono tutti i valori delle variabili, esclusi quelli in cui l'espressione sotto la radice di un grado pari o sotto un grado frazionario diventa un numero negativo.

Trasformazioni di identità di espressioni algebricheè un'altra tecnica utile per risolverli.Un'identità è un'espressione che sarà vera per qualsiasi variabile inclusa nel dominio di definizione che viene sostituita in esso.

Un'espressione che dipende da alcune variabili può essere identicamente uguale a un'altra espressione se dipende dalle stesse variabili e se i valori di entrambe le espressioni sono uguali, qualunque sia il valore delle variabili scelto. In altre parole, se un'espressione può essere espressa in due modi diversi (espressioni) i cui valori sono gli stessi, queste espressioni sono identicamente uguali. Ad esempio: y + y \u003d 2y, o x 7 \u003d x 4 * x 3, o x + y + z \u003d z + x + y.

Quando si eseguono compiti con espressioni algebriche, la trasformazione identica serve a garantire che un'espressione possa essere sostituita da un'altra, identica ad essa. Ad esempio, sostituisci x 9 con il prodotto x 5 * x 4.

Esempi di soluzioni

Per renderlo più chiaro, vediamo alcuni esempi. trasformazioni di espressioni algebriche. I compiti di questo livello possono essere trovati nei KIM per l'esame di stato unificato.

Attività 1: Trova il valore dell'espressione ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).

Soluzione: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

Attività 2: Trova il valore dell'espressione (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).

Soluzione: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3)(2x + 3) = 6.

Conclusione

Quando ti prepari per i test scolastici, gli esami USE e GIA, puoi sempre utilizzare questo materiale come suggerimento. Tieni presente che un'espressione algebrica è una combinazione di numeri e variabili espresse in lettere latine. E anche segni di operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione), parentesi, gradi, radici.

Utilizzare brevi formule di moltiplicazione e conoscere le equazioni di identità per trasformare le espressioni algebriche.

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La pubblicazione presenta la logica delle differenze nelle espressioni algebriche per gli studenti dell'istruzione generale di base e secondaria (completa) come fase transitoria nella formazione della logica delle differenze nelle espressioni matematiche utilizzate in fisica, ecc. per la formazione in futuro di concetti su fenomeni, compiti, loro classificazione e metodologia dell'approccio alla loro soluzione.

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Espressioni algebriche e loro caratteristiche

L'algebra, come scienza, studia i modelli di azioni sugli insiemi, indicati da lettere.Le operazioni algebriche includono addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice.Come risultato di queste azioni, si sono formate espressioni algebriche.Espressione algebrica - un'espressione composta da numeri e lettere che denotano insiemi con cui vengono eseguite operazioni algebriche.Queste azioni sono passate all'algebra dall'aritmetica. In algebra, si considerauguagliando un'espressione algebrica a un'altra, che è la loro identica uguaglianza. Esempi di espressioni algebriche sono riportati nel §1.Anche i metodi di trasformazione e le relazioni delle espressioni furono presi in prestito dall'aritmetica. La conoscenza degli schemi aritmetici delle azioni sulle espressioni aritmetiche consente di eseguire trasformazioni su espressioni algebriche simili, trasformarle, semplificare, confrontare, analizzare.L'algebra è la scienza delle regolarità delle trasformazioni delle espressioni, costituite da insiemi presentati sotto forma di designazioni di lettere, interconnesse da segni di varie azioni.Esistono anche espressioni algebriche più complesse studiate negli istituti di istruzione superiore. Sebbene possano essere suddivisi in tipi, quelli più comunemente utilizzati nel corso scolastico.

1 Tipi di espressioni algebriche

elemento 1 Espressioni semplici: 4a; (a+b); (a+b)3c; ; .

elemento 2 Uguaglianze identitarie:(a+b)c = ac+bc; ;

punto 3 Disuguaglianze: come ; a+c .

p.4 Formule: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0,5d 2 +2;

p.5 Proporzioni:

Primo livello di difficoltà

Secondo livello di difficoltà

Terzo livello di difficoltàin termini di ricerca di valori per gli insiemi

a, b, c, m, k, d:

Quarto livello di difficoltàdal punto di vista della ricerca di valori per gli insiemi a, y:

p.6 Equazioni:

ascia + c \u003d -5bx; 4x2 + 2x = 42;

Eccetera.

punto 7 Dipendenze funzionali: y=3x; y=asse 2 +4b; y \u003d 0,5x 2 +2;

Eccetera.

2 Consideriamo le espressioni algebriche

2.1 La sezione 1 presenta semplici espressioni algebriche. C'è una vista e

più difficile, ad esempio:

Di norma, tali espressioni non hanno il segno "=". Il compito quando si considerano tali espressioni è trasformarle e ottenerle in una forma semplificata. Convertendo l'espressione algebrica relativa alla rivendicazione 1 si ottiene una nuova espressione algebrica equivalente nel significato alla precedente. Si dice che tali espressioni siano identicamente equivalenti. Quelli. l'espressione algebrica a sinistra del segno di uguale è equivalente nel suo significato all'espressione algebrica a destra. In questo caso si ottiene un'espressione algebrica di nuovo tipo, chiamata uguaglianza identica (vedi punto 2).

2.2 La sezione 2 presenta le uguaglianze identità algebriche, che si formano con metodi di trasformazione algebrici, vengono considerate le espressioni algebriche, che vengono spesso utilizzate come metodi per risolvere problemi di fisica. Esempi di uguaglianze identiche di trasformazioni algebriche spesso utilizzate in matematica e fisica:

Legge commutativa dell'addizione: un + b = b + un.

Legge associativa dell'addizione:(a+b)+c=a+(b+c).

Legge commutativa della moltiplicazione: ab=ba.

Legge associativa della moltiplicazione:(ab)c = a(bc).

La legge distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

(a+b)c = ac+bc.

La legge distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione:

(a - b)c \u003d ac - bc.

Uguaglianze identitarieespressioni algebriche frazionarie(si presuppone che i denominatori delle frazioni siano diversi da zero):

Uguaglianze identitarieespressioni algebriche con potenze:

UN) ,

dove (n volte, ) - grado con esponente intero

b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .

Uguaglianze identitarieespressioni algebriche con radici ennesimo grado:

Espressione - radice aritmetica N ° grado tra In particolare, - quadrato aritmetico.

Grado con esponente frazionario (razionale). radice:

Le espressioni equivalenti fornite sopra vengono utilizzate per trasformare espressioni algebriche più complesse che non contengono il segno “=".

Consideriamo un esempio in cui, per le trasformazioni di un'espressione algebrica più complessa, viene utilizzata la conoscenza acquisita durante le trasformazioni di espressioni algebriche più semplici sotto forma di uguaglianze identiche.

2.3 La sezione 3 presenta l'algebrica uguaglianza, per il quale l'espressione algebrica del lato sinistro non è uguale al lato destro, cioè non sono identici. In questo caso si tratta di disuguaglianze. Di norma, quando si risolvono alcuni problemi di fisica, le proprietà delle disuguaglianze sono importanti:

1) Se a , quindi per ogni c : a + c .

2) Se a e c > 0, quindi come .

3) Se a e C , quindi ac > bc .

4) Se a , a e b un segno, quindi 1/a > 1/b .

5) Se a e C , quindi a + с , anno Domini .

6) Se a , C , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , quindi ac .

7) Se a , a > 0 , b > 0 , quindi

8) Se , allora

2.4 La sezione 4 presenta le formule algebrichequelli. espressioni algebriche che hanno una lettera a sinistra del segno di uguale, che denota un insieme il cui valore è sconosciuto e deve essere determinato. E sul lato destro del segno uguale ci sono insiemi i cui valori sono noti. In questo caso, questa espressione algebrica è chiamata formula algebrica.

Una formula algebrica è un'espressione algebrica contenente un segno uguale, sul lato sinistro del quale si trova un insieme il cui valore è sconosciuto, e sul lato destro ci sono insiemi con valori noti, in base alla condizione del problema.Per determinare il valore incognito dell'insieme a sinistra del segno "uguale", si sostituiscono i valori noti delle quantità a destra del segno "uguale" e si eseguono le operazioni di calcolo aritmetico indicate nell'espressione algebrica in questo parte vengono eseguite.

Esempio 1:

Dato: Soluzione:

a=25 Sia data l'espressione algebrica:

x=? x=2a+5.

Questa espressione algebrica è una formula algebrica poiché a sinistra del segno di uguale c'è l'insieme di cui si deve trovare il valore, e a destra ci sono gli insiemi con valori noti.

È quindi possibile effettuare la sostituzione del valore noto dell'insieme "a", per determinare il valore incognito dell'insieme "x":

x=225+5=55. Risposta: x=55.

Esempio 2:

Dato: Soluzione:

a=25 Espressione algebricaè una formula.

b=4 Pertanto, è possibile eseguire la sostituzione di noti

c=8 valori per gli insiemi a destra del segno uguale,

d=3 per determinare il valore sconosciuto dell'insieme "k",

m=20 in piedi a sinistra:

n=6 Risposta: k=3.2.

DOMANDE

1 Cos'è un'espressione algebrica?

2 Che tipi di espressioni algebriche conosci?

3 Quale espressione algebrica si chiama uguaglianza identica?

4 Perché è necessario conoscere i modelli di uguaglianze identiche?

5 Quale espressione algebrica è chiamata formula?

6 Quale espressione algebrica è chiamata equazione?

7 Quale espressione algebrica è chiamata dipendenza funzionale?

Espressioni numeriche ed algebriche. Conversione di espressioni.

Cos'è un'espressione in matematica? Perché sono necessarie le conversioni delle espressioni?

La domanda, come si suol dire, è interessante... Il fatto è che questi concetti sono la base di tutta la matematica. Tutta la matematica è costituita da espressioni e dalle loro trasformazioni. Non molto chiaro? Lasciatemi spiegare.

Diciamo che hai un cattivo esempio. Molto grande e molto complesso. Diciamo che sei bravo in matematica e non hai paura di niente! Puoi rispondere subito?

Dovrai decidere questo esempio. In sequenza, passo dopo passo, questo esempio semplificare. Secondo determinate regole, ovviamente. Quelli. Fare conversione dell'espressione. Con quanto successo esegui queste trasformazioni, quindi sei forte in matematica. Se non sai fare le trasformazioni giuste, in matematica non puoi farlo Niente...

Per evitare un futuro (o presente...) così scomodo, non fa male comprendere questo argomento.)

Per cominciare, scopriamolo cos'è un'espressione in matematica?. Che è successo espressione numerica e cos'è espressione algebrica.

Cos'è un'espressione in matematica?

Espressione in matematicaè un concetto molto ampio. Quasi tutto ciò di cui abbiamo a che fare in matematica è un insieme di espressioni matematiche. Eventuali esempi, formule, frazioni, equazioni e così via: tutto consiste in espressioni matematiche.

3+2 è un'espressione matematica. c2-d2è anche un'espressione matematica. E una frazione sana e persino un numero: queste sono tutte espressioni matematiche. L'equazione, ad esempio, è:

5x + 2 = 12

è costituito da due espressioni matematiche collegate da un segno di uguale. Un'espressione è a sinistra, l'altra a destra.

In termini generali, il termine espressione matematica" si usa, il più delle volte, per non borbottare. Ti chiederanno cos'è una frazione ordinaria, per esempio? E come rispondere?!

Risposta 1: "È... mmmm... una cosa del genere... in cui... Posso scrivere un po' meglio? Quale volete?"

La seconda opzione di risposta: "Una frazione ordinaria è (allegramente e con gioia!) espressione matematica , che consiste di un numeratore e un denominatore!"

La seconda opzione è in qualche modo più impressionante, giusto?)

A questo scopo, la frase " espressione matematica "Molto buono. Sia corretto che solido. Ma per l'applicazione pratica è necessario essere esperti tipi specifici di espressioni in matematica .

Il tipo specifico è un'altra questione. Questo tutta un'altra cosa! Ogni tipo di espressione matematica ha mio un insieme di regole e tecniche che devono essere utilizzate nella decisione. Per lavorare con le frazioni: un set. Per lavorare con espressioni trigonometriche: il secondo. Per lavorare con i logaritmi: il terzo. E così via. Da qualche parte queste regole coincidono, da qualche parte differiscono nettamente. Ma non aver paura di queste terribili parole. Logaritmi, trigonometria e altre cose misteriose che padroneggeremo nelle sezioni pertinenti.

Qui padroneggeremo (o - ripeti, come preferisci ...) due tipi principali di espressioni matematiche. Espressioni numeriche ed espressioni algebriche.

Espressioni numeriche.

Che è successo espressione numerica? Questo è un concetto molto semplice. Il nome stesso suggerisce che questa è un'espressione con numeri. E' così che stanno le cose. Un'espressione matematica composta da numeri, parentesi e segni di operazioni aritmetiche è chiamata espressione numerica.

7-3 è un'espressione numerica.

(8+3.2) Anche 5.4 è un'espressione numerica.

E questo mostro:

anche un'espressione numerica, sì...

Un numero ordinario, una frazione, qualsiasi esempio di calcolo senza x e altre lettere: tutte queste sono espressioni numeriche.

caratteristica principale numerico espressioni in esso contenute nessuna lettera. Nessuno. Solo numeri e icone matematiche (se necessario). È semplice, vero?

E cosa si può fare con le espressioni numeriche? Di solito le espressioni numeriche possono essere contate. Per fare questo capita, a volte, di aprire parentesi, cambiare segno, abbreviare, scambiare termini - cioè Fare conversioni di espressione. Ma ne parleremo più avanti.

Qui affronteremo un caso così divertente quando si tratta di un'espressione numerica non devi fare nulla. Ebbene, niente di niente! Bella questa operazione Non fare niente)- viene eseguito quando l'espressione non ha senso.

Quando un'espressione numerica non ha senso?

Naturalmente, se vediamo una specie di abracadabra davanti a noi, come ad esempio

allora non faremo nulla. Dal momento che non è chiaro cosa farne. Alcune sciocchezze. A meno che, per contare il numero di vantaggi...

Ma ci sono espressioni esteriormente abbastanza decenti. Ad esempio questo:

(2+3): (16 - 2 8)

Tuttavia, anche questa espressione lo è non ha senso! Per il semplice motivo che nelle seconde parentesi – se conti – ottieni zero. Non puoi dividere per zero! Questa è un'operazione proibita in matematica. Pertanto non è necessario fare nulla neanche con questa espressione. Per qualsiasi attività con tale espressione, la risposta sarà sempre la stessa: "L'espressione non ha senso!"

Per dare una risposta del genere, ovviamente, ho dovuto calcolare cosa ci sarebbe tra parentesi. E a volte tra parentesi c'è una svolta del genere ... Beh, non puoi farci niente.

Non ci sono così tante operazioni proibite in matematica. Ce n'è solo uno in questo thread. Divisione per zero. Ulteriori divieti derivanti da radici e logaritmi sono discussi negli argomenti pertinenti.

Quindi, un'idea di cosa sia espressione numerica- avuto. concetto l'espressione numerica non ha senso- realizzato. Andiamo oltre.

Espressioni algebriche.

Se in un'espressione numerica compaiono lettere, questa espressione diventa... L'espressione diventa... Sì! Diventa espressione algebrica. Per esempio:

5a2; 3x-2 anni; 3(z-2); 3,4 milioni/n; x2+4x-4; (a+b)2; ...

Vengono anche chiamate tali espressioni espressioni letterali. O espressioni con variabili. E' praticamente la stessa cosa. Espressione 5a+c, ad esempio, sia letterale che algebrico ed espressione con variabili.

concetto espressione algebrica - più ampio di quello numerico. Esso include e tutte le espressioni numeriche. Quelli. un'espressione numerica è anche un'espressione algebrica, solo senza le lettere. Ogni aringa è un pesce, ma non tutti i pesci sono un'aringa...)

Perché letterale- È chiaro. Bene, poiché ci sono lettere ... Frase espressione con variabili inoltre non è molto sconcertante. Se capisci che i numeri sono nascosti sotto le lettere. Tutti i tipi di numeri possono essere nascosti sotto le lettere ... E 5, e -18 e qualunque cosa tu voglia. Cioè, una lettera può sostituire per numeri diversi. Ecco perché si chiamano le lettere variabili.

Nell'espressione sì+5, Per esempio, A- variabile. O semplicemente dire " variabile", senza la parola "valore". A differenza del cinque, che è un valore costante. O semplicemente - costante.

Termine espressione algebrica significa che per lavorare con questa espressione è necessario utilizzare leggi e regole algebra. Se aritmetica funziona con numeri specifici, quindi algebra- con tutti i numeri in una volta. Un semplice esempio per chiarire.

In aritmetica, si può scrivere questo

Ma se scriviamo un'uguaglianza simile attraverso espressioni algebriche:

un + b = b + un

decideremo immediatamente Tutto domande. Per tutti i numeri colpo. Per un'infinità di cose. Perché sotto le lettere UN E B implicito Tutto numeri. E non solo numeri, ma anche altre espressioni matematiche. Ecco come funziona l'algebra.

Quando un'espressione algebrica non ha senso?

Tutto è chiaro riguardo all'espressione numerica. Non puoi dividere per zero. E con le lettere è possibile scoprire per cosa stiamo dividendo?!

Prendiamo come esempio la seguente espressione di variabile:

2: (UN - 5)

Ha senso? Ma chi lo conosce? UN- qualsiasi numero...

Qualsiasi, qualsiasi... Ma c'è un significato UN, per cui questa espressione esattamente non ha senso! E qual è quel numero? SÌ! Sono le 5! Se la variabile UN sostituisci (dicono - "sostituisci") con il numero 5, tra parentesi risulterà zero. che non può essere diviso. Quindi risulta che la nostra espressione non ha senso, Se un = 5. Ma per altri valori UN ha senso? Puoi sostituire altri numeri?

Certamente. In questi casi, si dice semplicemente che l'espressione

2: (UN - 5)

ha senso per qualsiasi valore UN, tranne a = 5 .

L'intera serie di numeri Potere viene chiamato il sostituto nell'espressione data intervallo valido questa espressione.

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato. Guardiamo l'espressione con variabili e pensiamo: a quale valore della variabile si ottiene l'operazione proibita (divisione per zero)?

E poi assicurati di guardare la questione dell'incarico. Cosa chiedono?

non ha senso, il nostro valore proibito sarà la risposta.

Se chiedono a quale valore della variabile l'espressione ha il significato(senti la differenza!), la risposta sarà tutti gli altri numeri tranne il proibito.

Perché abbiamo bisogno del significato dell'espressione? Lui è lì, non c'è... Qual è la differenza?! Il fatto è che questo concetto diventa molto importante alle scuole superiori. Estremamente importante! Questa è la base per concetti solidi come l'intervallo di valori validi o l'ambito di una funzione. Senza questo, non sarai affatto in grado di risolvere equazioni o disuguaglianze serie. Come questo.

Conversione di espressioni. Trasformazioni dell'identità.

Abbiamo conosciuto le espressioni numeriche e algebriche. Comprendi cosa significa la frase "l'espressione non ha senso". Ora dobbiamo capire cosa conversione dell'espressione. La risposta è semplice, scandalosamente.) Questa è qualsiasi azione con un'espressione. E questo è tutto. Hai fatto queste trasformazioni fin dalla prima lezione.

Prendi la bella espressione numerica 3+5. Come può essere convertito? Sì, molto facile! Calcolare:

Questo calcolo sarà la trasformazione dell'espressione. Puoi scrivere la stessa espressione in un modo diverso:

Non abbiamo contato nulla qui. Basta scrivere l'espressione in una forma diversa. Anche questa sarà una trasformazione dell’espressione. Si può scrivere così:

E anche questa è la trasformazione di un'espressione. Puoi effettuare quante di queste trasformazioni desideri.

Qualunque azione su un'espressione Qualunque scriverlo in una forma diversa è chiamato trasformazione dell'espressione. E tutte le cose. Tutto è molto semplice. Ma c'è una cosa qui regola molto importante. Così importante che può essere tranquillamente chiamato regola principale tutta la matematica. Infrangere questa regola inevitabilmente porta ad errori. abbiamo capito?)

Diciamo che abbiamo trasformato la nostra espressione arbitrariamente, in questo modo:

Trasformazione? Certamente. Abbiamo scritto l'espressione in una forma diversa, cosa c'è che non va?

Non è così.) Il fatto è che le trasformazioni "Qualunque cosa" la matematica non è affatto interessata.) Tutta la matematica è costruita su trasformazioni in cui l'aspetto cambia, ma l'essenza dell'espressione non cambia. Tre più cinque può essere scritto in qualsiasi forma, ma deve essere otto.

trasformazioni, espressioni che non ne cambiano l'essenza chiamato identico.

Esattamente trasformazioni identiche e permetterci, passo dopo passo, di trasformare un esempio complesso in un'espressione semplice, mantenendo l'essenza dell'esempio. Se commettiamo un errore nella catena delle trasformazioni, faremo una trasformazione NON identica, poi decideremo noi un altro esempio. Con altre risposte che non sono correlate a quelle corrette.)

Ecco la regola principale per risolvere qualsiasi compito: rispetto dell'identità delle trasformazioni.

Ho fornito un esempio con l'espressione numerica 3 + 5 per chiarezza. Nelle espressioni algebriche, trasformazioni identiche sono date da formule e regole. Diciamo che esiste una formula in algebra:

a(b+c) = ab + ac

Quindi, in ogni esempio, possiamo invece dell'espressione un(b+c) sentiti libero di scrivere un'espressione ab+ac. E viceversa. Questo trasformazione identica. La matematica ci offre la possibilità di scegliere tra queste due espressioni. E quale scrivere dipende dall'esempio specifico.

Un altro esempio. Una delle trasformazioni più importanti e necessarie è la proprietà di base di una frazione. Puoi vedere maggiori dettagli al link, ma qui ricordo solo la regola: se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati (divisi) per lo stesso numero o per un'espressione diversa da zero, la frazione non cambierà. Ecco un esempio di trasformazioni identiche per questa proprietà:

Come probabilmente avrai intuito, questa catena può essere continuata indefinitamente...) Una proprietà molto importante. È questo che ti permette di trasformare tutti i tipi di mostri di esempio in bianchi e soffici.)

Esistono molte formule che definiscono trasformazioni identiche. Ma la cosa più importante è una cifra abbastanza ragionevole. Una delle trasformazioni fondamentali è la fattorizzazione. È utilizzato in tutta la matematica, da quella elementare a quella avanzata. Cominciamo con lui. nella lezione successiva.)