Wzory do zapisywania ogólnych rozwiązań równań trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozdział 15. Równania trygonometryczne

15.6. Rozwiązywanie bardziej złożonych równań trygonometrycznych

W poprzednich akapitach 3-5 podano rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych: , , i . Bardziej złożone równania trygonometryczne zawierające kilka funkcji trygonometrycznych tych samych lub różnych argumentów sprowadza się do nich poprzez identyczne przekształcenia lub rozwiązując pomocnicze równanie algebraiczne.

Ogólna technika rozwiązywania takich równań polega na zastąpieniu wszystkich funkcji trygonometrycznych zawartych w równaniu jedną funkcją opartą na wzorach łączących te funkcje. Rozwiązując równanie staramy się dokonać przekształceń prowadzących do równań równoważnych zadanemu. W przeciwnym razie musisz sprawdzić uzyskane korzenie.

Utrata korzeni to częsty błąd. Innymi tego typu błędami są niedokładna znajomość wzorów rozwiązań najprostszych równań, a także niemożność prawidłowego znalezienia wymaganej wartości funkcji łuku.

Spójrzmy na przykłady.

Rozwiązać równanie.

Przykład 2. (przykład redukcji do jednego argumentu).

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:
Warto przejść do argumentacji. Praca przypomina nam wzór na sinus podwójnego argumentu: .
Podstawiając do równania otrzymujemy: .
Po lewej stronie ponownie zastosujemy wzór na sinus z podwójnym argumentem, ale najpierw pomnożymy obie strony równania przez .
; ; .
Otrzymaliśmy najprostsze równanie typu i przyrównujemy cały argument do rozwiązania najprostszego równania:
, Gdzie .

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:
Stosując jeden ze wzorów na zmniejszenie stopnia, otrzymujemy .

Po podstawieniu do równania mamy

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:
Przenosząc na prawą stronę, otrzymujemy, że jest równe:
; ; .
Tutaj musieliśmy zwiększyć stopień równania, ale mieliśmy okazję zastosować dobrą technikę rozwiązywania - przenieść wszystkie wyrazy do jednej części i rozłożyć na czynniki wynikowe wyrażenie:
.
Przyrównując każdy czynnik z osobna do zera, otrzymujemy układ równań,

co z reguły jest równoważne temu równaniu (wyjątek od tej reguły omówiono w poniższym przykładzie).
Rozwiązujemy równanie i mamy
, I .
Rozwiązujemy równanie lub , mamy , i .

Rozwiązać równanie.

Dodanie obcego pierwiastka do odpowiedzi jest uważane za poważny błąd. Aby tego uniknąć, należy zadbać o to, aby otrzymane pierwiastki nie doprowadziły do zera żadnej funkcji w mianowniku ułamka danego równania (o ile w nim występują ułamki) oraz aby przy tych pierwiastkach żadna z funkcji w oryginalne równanie traci sens (jeśli tam było). Należy pamiętać przy jakich wartościach argumentu funkcja zanika oraz o dziedzinie definicji każdej funkcji trygonometrycznej.Przez analogię mówią one o dziedzinie definicji równania (dziedzinie wartości dopuszczalnych, czyli VA, nieznanej ). Dziedziną definicji równania trygonometrycznego jest część wspólna (przecięcie) dziedzin definicji lewej i prawej strony tego równania. Jeśli wynikowy pierwiastek nie należy do dziedziny definicji równania, to jest obcy i należy go odrzucić.

Rozwiązać równanie
.

Rozwiązanie:
Przejdźmy do jednej funkcji. Jeśli wyrazimy to poprzez , otrzymamy irracjonalne równanie, co jest niepożądane. Zamień przez:
; .
Rozwiążmy powstałe równanie jako równanie kwadratowe w odniesieniu do .
Lub .
Równanie nie ma pierwiastków.
Dla równania mamy:
. Ale oznaczają one również te same liczby nieparzyste, więc napiszemy rozwiązanie prościej: .

Rozwiązać równanie
.

Aby otrzymać równanie jednorodne (wszystkie wyrazy tego samego stopnia - drugi) mnożymy prawą stronę przez wyrażenie, które jest równe .
;
.
Ponieważ pierwiastki równania nie są pierwiastkami pierwotnego równania (można to łatwo sprawdzić przez podstawienie), aby przejść do jednej funkcji, dzielimy obie strony równania przez .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe dla .
Lub .
Dla równania mamy: .
Dla równania otrzymujemy .

Rozwiązać równanie.

Wyraźmy to poprzez i , otrzymamy
. Tutaj musi być różna od zera (w przeciwnym razie równanie nie ma sensu), więc dziedziną definicji równania jest wszystko. Ponieważ , mnożymy obie strony równania przez, aby pozbyć się ułamków.
;
;
.
Dla równania, które mamy

Klasa: 10

„Równania będą trwać wiecznie”.

A. Einsteina

Cele Lekcji:

Edukacyjny:
- pogłębienie zrozumienia metod rozwiązywania równań trygonometrycznych;
- wykształcenie umiejętności rozróżniania i prawidłowego doboru metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Edukacyjny:
- pielęgnowanie zainteresowania poznawczego procesem edukacyjnym;
- rozwijanie umiejętności analizy postawionego zadania;
- przyczyniają się do poprawy klimatu psychologicznego w klasie.
Rozwojowy:
- promować rozwój umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy;
- promować zdolność uczniów do argumentowania swojego punktu widzenia;

Sprzęt: plakat z podstawowymi wzorami trygonometrycznymi, komputer, projektor, ekran.

1 lekcja

I. Aktualizacja wiedzy referencyjnej

Rozwiąż równania ustnie:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – grzech 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; do Z.

II. Nauka nowego materiału

– Dziś przyjrzymy się bardziej złożonym równaniom trygonometrycznym. Przyjrzyjmy się 10 sposobom ich rozwiązania. Następnie odbędą się dwie lekcje utrwalające, a na kolejnej lekcji sprawdzian. Na stanowisku „Na lekcję” wywieszone są zadania podobne do tych, które będą na teście, które należy rozwiązać przed sprawdzianem. (Dzień przed sprawdzianem rozwieś rozwiązania tych zadań na stoisku).

Przejdźmy więc do rozważenia sposobów rozwiązywania równań trygonometrycznych. Niektóre z tych metod prawdopodobnie będą Ci się wydawać trudne, inne zaś łatwe, bo... Znasz już niektóre techniki rozwiązywania równań.

Czterech uczniów w klasie otrzymało indywidualne zadanie: zrozumieć i pokazać 4 sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych.

(Uczniowie mówiący przygotowali wcześniej slajdy. Reszta klasy zapisuje w zeszycie główne etapy rozwiązywania równań.)

1 uczeń: 1 sposób. Rozwiązywanie równań metodą rozkładu na czynniki

grzech 4x = 3 cos 2x

Aby rozwiązać równanie, używamy wzoru sinus na podwójny kąt sin 2 = 2 sin cos
2 grzech 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Iloczyn tych czynników jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

2x = + k, k Z lub sin 2x = 1,5 – nie ma rozwiązań, bo | grzech| 1
x = + k; do Z.
Odpowiedź: x = + k, k Z.

2 student. Metoda 2. Rozwiązywanie równań poprzez zamianę sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych na iloczyn

cos 3x + grzech 2x – grzech 4x = 0.

Aby rozwiązać równanie, używamy wzoru sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 grzech cos = 0,

cos 3x – 2 grzech x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Otrzymane równanie jest równoważne zbiorowi dwóch równań:

Zbiór rozwiązań drugiego równania jest w całości zawarty w zbiorze rozwiązań pierwszego równania. Oznacza

Odpowiedź:

3 student. 3 sposoby. Rozwiązywanie równań poprzez zamianę iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę

grzech 5x cos 3x = grzech 6x cos2x.

Aby rozwiązać równanie, używamy wzoru

Odpowiedź:

4 uczniów. 4 sposób. Rozwiązywanie równań sprowadzających się do równań kwadratowych

3 grzech x – 2 cos 2 x = 0,
3 grzech x – 2 (1 – grzech 2 x) = 0,
2 grzech 2 x + 3 grzech x – 2 = 0,

Niech grzech x = t, gdzie | t |. Otrzymujemy równanie kwadratowe 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Zatem . nie spełnia warunku | t |.

Zatem grzech x = . Dlatego .

Odpowiedź:

III. Konsolidacja wiedzy z podręcznika A. N. Kołmogorowa

1. nr 164 (a), 167 (a) (równanie kwadratowe)
2. Nr 168 (a) (faktoryzacja)
3. Nr 174 (a) (przeliczenie sumy na iloczyn)
4. (przelicz iloczyn na sumę)

(Na koniec lekcji pokaż rozwiązanie tych równań na ekranie w celu weryfikacji)

№ 164 (A)

2 grzech 2 x + grzech x – 1 = 0.
Niech grzech x = t, | t | 1. Następnie
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Gdzie

Odpowiedź: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Niech tg x = 1, wtedy otrzymamy równanie 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Odpowiedź:

№ 168 (A)

Odpowiedź:

№ 174 (A)

Rozwiązać równanie:

Odpowiedź:

Lekcja 2 (lekcja-wykład)

IV. Nauka nowego materiału(kontynuacja)

– Zatem kontynuujmy badanie sposobów rozwiązywania równań trygonometrycznych.

5 sposobów. Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych

Równania postaci a grzech x + b cos x = 0, gdzie a i b są pewnymi liczbami, nazywane są równaniami jednorodnymi pierwszego stopnia ze względu na sin x lub cos x.

Rozważ równanie

grzech x – cos x = 0. Podzielmy obie strony równania przez cos x. Można to zrobić; utrata korzeni nie nastąpi, ponieważ , Jeśli cos x = 0, To grzech x = 0. Ale to jest sprzeczne z podstawową tożsamością trygonometryczną grzech 2 x + sałata 2 x = 1.

Dostajemy tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Równania postaci jak w 2 x + bco 2 x + do grzech x sałata x = 0 , Gdzie a, b, c – niektóre liczby nazywane są równaniami jednorodnymi drugiego stopnia w odniesieniu do sin x lub cos x.

Rozważ równanie

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Podzielmy obie strony równania przez cos x, a pierwiastek nie zostanie stracony, bo ponieważ x = 0 nie jest pierwiastkiem tego równania.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Niech tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Zatem stąd tg x = 2 lub tg x = 1.

W rezultacie x = arctan 2 + , x =

Odpowiedź: arctg 2 +,

Rozważmy inne równanie: 3 grzech 2 x – 3 grzech x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Przekształćmy prawą stronę równania do postaci 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Następnie otrzymujemy:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Otrzymujemy drugie równanie, które już analizowaliśmy).

Odpowiedź: arctan 2 + k,

6 sposób. Rozwiązywanie liniowych równań trygonometrycznych

Liniowe równanie trygonometryczne jest równaniem postaci a grzech x + b cos x = do, gdzie a, b, c to pewne liczby.

Rozważ równanie grzech x + cos x= – 1.
Przepiszmy równanie jako:

Biorąc to pod uwagę i otrzymujemy:

Odpowiedź:

7 sposobów. Wprowadzenie dodatkowego argumentu

Wyrażenie a cos x + b grzech x można przekonwertować:

(tego przekształcenia używaliśmy już przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych)

Wprowadźmy dodatkowy argument - kąt jest taki, że

Następnie

Rozważmy równanie: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Praca domowa: Nr 164 -170 (c, d).

Wymaga znajomości podstawowych wzorów trygonometrycznych – sumy kwadratów sinusa i cosinusa, wyrażenia stycznej przez sinus i cosinus i innych. Tym, którzy o nich zapomnieli lub nie znają, zalecamy przeczytanie artykułu „”.
Znamy więc podstawowe wzory trygonometryczne, czas zastosować je w praktyce. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych przy odpowiednim podejściu jest to całkiem ekscytujące zajęcie, jak na przykład ułożenie kostki Rubika.

Już na podstawie samej nazwy widać, że równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadoma znajduje się pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
Istnieją tak zwane najprostsze równania trygonometryczne. Oto jak wyglądają: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Rozważmy jak rozwiązywać takie równania trygonometryczne, dla jasności użyjemy już znanego koła trygonometrycznego.

sinx = a

ponieważ x = a

tan x = a

łóżeczko x = a

Każde równanie trygonometryczne rozwiązuje się w dwóch etapach: sprowadzamy równanie do najprostszej postaci, a następnie rozwiązujemy je jako proste równanie trygonometryczne.
Istnieje 7 głównych metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Podstawianie zmiennej i metoda podstawienia

Rozwiąż równanie 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Korzystając ze wzorów redukcyjnych otrzymujemy:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamień cos(x + /6) na y, aby uprościć i uzyskać zwykłe równanie kwadratowe:

2 lata 2 – 3 lata + 1 + 0

których pierwiastki to y 1 = 1, y 2 = 1/2

Przejdźmy teraz w odwrotnej kolejności

Podstawiamy znalezione wartości y i otrzymujemy dwie opcje odpowiedzi:

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą faktoryzacji

Jak rozwiązać równanie sin x + cos x = 1?

Przesuńmy wszystko w lewo, aby 0 pozostało po prawej stronie:

grzech x + cos x – 1 = 0

Użyjmy tożsamości omówionych powyżej, aby uprościć równanie:

grzech x - 2 grzech 2 (x/2) = 0

Rozłóżmy na czynniki:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 grzech 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Otrzymujemy dwa równania

Redukcja do równania jednorodnego

Równanie jest jednorodne pod względem sinusa i cosinusa, jeśli wszystkie jego wyrazy odnoszą się do sinusa i cosinusa tej samej potęgi tego samego kąta. Aby rozwiązać równanie jednorodne, wykonaj następujące czynności:

a) przenieść wszystkich swoich członków na lewą stronę;

b) wyjąć wszystkie wspólne czynniki z nawiasów;

c) przyrównać wszystkie współczynniki i nawiasy do 0;

d) w nawiasie otrzymuje się jednorodne równanie niższego stopnia, które z kolei dzieli się na sinus lub cosinus wyższego stopnia;

e) rozwiązać powstałe równanie dla tg.

Rozwiąż równanie 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Użyjmy wzoru sin 2 x + cos 2 x = 1 i pozbądźmy się dwóch otwartych po prawej stronie:

3 grzech 2 x + 4 grzech x cos x + 5 cos x = 2 grzech 2 x + 2 cos 2 x

grzech 2 x + 4 grzech x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podziel przez cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamień tan x na y i uzyskaj równanie kwadratowe:

y 2 + 4y +3 = 0, którego pierwiastki to y 1 =1, y 2 = 3

Stąd znajdziemy dwa rozwiązania pierwotnego równania:

x 2 = arctan 3 + k

Rozwiązywanie równań poprzez przejście do połowy kąta

Rozwiąż równanie 3sin x – 5cos x = 7

Przejdźmy do x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Przesuńmy wszystko w lewo:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podziel przez cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Wprowadzenie kąta pomocniczego

Weźmy pod uwagę równanie postaci: a sin x + b cos x = c,

gdzie a, b, c to dowolne współczynniki, a x jest niewiadomą.

Podzielmy obie strony równania przez:

Teraz współczynniki równania, zgodnie ze wzorami trygonometrycznymi, mają właściwości sin i cos, a mianowicie: ich moduł jest nie większy niż 1, a suma kwadratów = 1. Oznaczmy je odpowiednio jako cos i sin, gdzie - to jest tak zwany kąt pomocniczy. Wówczas równanie przyjmie postać:

cos * grzech x + grzech * cos x = C

lub grzech(x + ) = C

Rozwiązaniem tego najprostszego równania trygonometrycznego jest:

x = (-1) k * arcsin C - + k, gdzie

Należy zauważyć, że oznaczenia cos i sin są wymienne.

Rozwiąż równanie sin 3x – cos 3x = 1

Współczynniki w tym równaniu to:

a = , b = -1, więc podziel obie strony przez = 2

Przykłady:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne:

Każde równanie trygonometryczne należy sprowadzić do jednego z następujących typów:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

gdzie \(t\) jest wyrażeniem z x, \(a\) jest liczbą. Takie równania trygonometryczne nazywane są najprostszy. Można je łatwo rozwiązać za pomocą () lub specjalnych wzorów:

Zobacz infografiki dotyczące rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych tutaj: i.

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(\left[ \begin(zebrane)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(zebrane)\right.\) \(k,n∈Z\)

Co oznacza każdy symbol we wzorze na pierwiastki równań trygonometrycznych, patrz.

Uwaga! Równania \(\sin⁡x=a\) i \(\cos⁡x=a\) nie mają rozwiązań, jeśli \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Ponieważ sinus i cosinus dla dowolnego x są większe lub równe \(-1\) i mniejsze lub równe \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Przykład . Rozwiąż równanie \(\cos⁡x=-1,1\).
Rozwiązanie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odpowiedź : brak rozwiązań.

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne tg\(⁡x=1\).
Rozwiązanie:

Rozwiążmy równanie za pomocą koła liczbowego. Dla tego:
1) Zbuduj okrąg)
2) Skonstruuj osie \(x\) i \(y\) oraz oś styczną (przechodzi przez punkt \((0;1)\) równoległy do osi \(y\)).
3) Na osi stycznej zaznacz punkt \(1\).
4) Połącz ten punkt z początkiem współrzędnych - linią prostą.
5) Zaznacz punkty przecięcia tej linii i okręgu liczbowego.
6) Podpiszmy wartości tych punktów: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Zapisz wszystkie wartości tych punktów. Ponieważ znajdują się one w odległości dokładnie \(π\) od siebie, wszystkie wartości można zapisać w jednym wzorze:

Odpowiedź: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Rozwiązanie:

Użyjmy jeszcze raz koła liczbowego.
1) Skonstruuj okrąg, osie \(x\) i \(y\).
2) Na osi cosinus (oś \(x\)) zaznacz \(0\).
3) Narysuj prostopadłą do osi cosinus przechodzącą przez ten punkt.
4) Zaznacz punkty przecięcia prostopadłej i okręgu.
5) Podpiszmy wartości tych punktów: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Zapisujemy całą wartość tych punktów i przyrównujemy je do cosinusa (do tego, co jest wewnątrz cosinusa).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Jak zwykle wyrazimy \(x\) w równaniach.
Nie zapomnij traktować liczb za pomocą \(π\), a także \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) itp. To są te same liczby, co wszystkie inne. Żadnej dyskryminacji numerycznej!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Odpowiedź: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Redukcja równań trygonometrycznych do najprostszego jest zadaniem twórczym, tutaj musisz zastosować obie i specjalne metody rozwiązywania równań:
- Metoda (najpopularniejsza w Unified State Examination).
- Metoda.
- Metoda argumentów pomocniczych.

Rozważmy przykład rozwiązania kwadratowego równania trygonometrycznego

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Rozwiązanie:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Dokonajmy zamiany \(t=\cos⁡x\).

	Nasze równanie stało się typowe. Można to rozwiązać za pomocą .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Dokonujemy odwrotnej wymiany.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Rozwiązujemy pierwsze równanie za pomocą koła liczbowego. Drugie równanie nie ma rozwiązań, ponieważ \(\cos⁡x∈[-1;1]\) i nie może być równe dwa dla żadnego x.
	Zapiszmy wszystkie liczby leżące w tych punktach.

Odpowiedź: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Przykład rozwiązania równania trygonometrycznego z badaniem ODZ:

Przykład (UŻYCIE) . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Jest ułamek i jest kotangens - czyli trzeba to zapisać. Przypomnę, że kotangens to tak naprawdę ułamek: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Dlatego ODZ dla ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Zaznaczmy „nierozwiązania” na okręgu liczbowym.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Pozbądźmy się mianownika w równaniu, mnożąc go przez ctg\(x\). Możemy to zrobić, ponieważ napisaliśmy powyżej, że ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Zastosujmy wzór na podwójny kąt dla sinusa: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Jeśli wyciągasz ręce, by podzielić przez cosinus, wyciągnij je do tyłu! Można dzielić przez wyrażenie ze zmienną, jeśli na pewno nie jest ona równa zero (na przykład: \(x^2+1,5^x\)). Zamiast tego usuńmy \(\cos⁡x\) z nawiasów.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	„Podzielmy” równanie na dwa.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Rozwiążmy pierwsze równanie za pomocą koła liczbowego. Podzielmy drugie równanie przez \(2\) i przesuńmy \(\sin⁡x\) na prawą stronę.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Powstałe korzenie nie są uwzględniane w ODZ. Dlatego nie będziemy ich zapisywać w odpowiedzi. Drugie równanie jest typowe. Podzielmy to przez \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nie może być rozwiązaniem równania, ponieważ w tym przypadku \(\cos⁡x=1\) lub \(\cos⁡ x=-1\)).
	Ponownie używamy koła.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Korzenie te nie są wykluczane przez ODZ, więc możesz wpisać je w odpowiedzi.

Odpowiedź: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Lekcja i prezentacja na temat: „Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:
1. Co to są równania trygonometryczne?

3. Dwie główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Równania trygonometryczne jednorodne.
5. Przykłady.

Co to są równania trygonometryczne?

Chłopaki, badaliśmy już arcusinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Przyjrzyjmy się teraz ogólnie równaniom trygonometrycznym.

Równania trygonometryczne to równania, w których zmienna jest zawarta pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Powtórzmy formę rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych:

1)Jeśli |a|≤ 1, to równanie cos(x) = a ma rozwiązanie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jeżeli |a|≤ 1, to równanie sin(x) = a ma rozwiązanie:

3) Jeśli |a| > 1, to równanie sin(x) = a i cos(x) = a nie ma rozwiązań 4) Równanie tg(x)=a ma rozwiązanie: x=arctg(a)+ πk

5) Równanie ctg(x)=a ma rozwiązanie: x=arcctg(a)+ πk

Dla wszystkich formuł k jest liczbą całkowitą

Najprostsze równania trygonometryczne mają postać: T(kx+m)=a, T jest jakąś funkcją trygonometryczną.

Przykład.

Rozwiąż równania: a) sin(3x)= √3/2

Rozwiązanie:

A) Oznaczmy 3x=t, a następnie przepiszemy nasze równanie do postaci:

Rozwiązaniem tego równania będzie: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabeli wartości otrzymujemy: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Wróćmy do naszej zmiennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Wtedy x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpowiedź: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdzie n jest liczbą całkowitą. (-1)^n – minus jeden do potęgi n.

Więcej przykładów równań trygonometrycznych.

Rozwiąż równania: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Rozwiązanie:

A) Tym razem przejdźmy od razu do obliczenia pierwiastków równania:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Wtedy x/5= πk => x=5πk

Odpowiedź: x=5πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.

B) Zapisujemy to w postaci: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wiemy, że: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpowiedź: x=2π/9 + πk/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Rozwiąż równania: cos(4x)= √2/2. I znajdź wszystkie korzenie segmentu.

Rozwiązanie:

Rozwiążmy nasze równanie w postaci ogólnej: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Zobaczmy teraz, jakie korzenie spadają na nasz segment. Przy k Przy k=0, x= π/16 znajdujemy się w danym segmencie.
Przy k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, uderzamy ponownie.
Dla k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tutaj nie trafiliśmy, czyli dla dużego k też oczywiście nie trafimy.

Odpowiedź: x= π/16, x= 9π/16

Dwie główne metody rozwiązania.

Przyjrzeliśmy się najprostszym równaniom trygonometrycznym, ale są też bardziej złożone. Do ich rozwiązania wykorzystuje się metodę wprowadzania nowej zmiennej oraz metodę faktoryzacji. Spójrzmy na przykłady.

Rozwiążmy równanie:

Rozwiązanie:
Do rozwiązania naszego równania skorzystamy z metody wprowadzenia nowej zmiennej, oznaczającej: t=tg(x).

W wyniku zamiany otrzymujemy: t 2 + 2t -1 = 0

Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: t=-1 i t=1/3

Wtedy tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, otrzymamy najprostsze równanie trygonometryczne, znajdźmy jego pierwiastki.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpowiedź: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Przykład rozwiązania równania

Rozwiąż równania: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rozwiązanie:

Użyjmy tożsamości: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nasze równanie będzie miało postać: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Wprowadźmy zamianę t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są pierwiastki: t=2 i t=-1/2

Wtedy cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Ponieważ cosinus nie może przyjmować wartości większych niż jeden, wówczas cos(x)=2 nie ma pierwiastków.

Dla cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpowiedź: x= ±2π/3 + 2πk

Równania trygonometryczne jednorodne.

Definicja: Równania w postaci a sin(x)+b cos(x) nazywane są jednorodnymi równaniami trygonometrycznymi pierwszego stopnia.

Równania postaci

jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia.

Aby rozwiązać jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia, podziel je przez cos(x): Nie można dzielić przez cosinus, jeśli jest równy zero, upewnijmy się, że tak nie jest:
Niech cos(x)=0, wtedy asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus i cosinus nie są jednocześnie równe zeru, otrzymamy sprzeczność, więc możemy bezpiecznie dzielić o zero.

Rozwiązać równanie:
Przykład: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rozwiązanie:

Wyjmijmy wspólny czynnik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Następnie musimy rozwiązać dwa równania:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 przy x= π/2 + πk;

Rozważmy równanie cos(x)+sin(x)=0. Podzielmy nasze równanie przez cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpowiedź: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Jak rozwiązywać jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia?
Chłopaki, zawsze przestrzegajcie tych zasad!

1. Zobacz, ile wynosi współczynnik a, jeśli a=0 to nasze równanie będzie miało postać cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), którego przykład rozwiązania znajduje się na poprzednim slajdzie

2. Jeśli a≠0, to musisz podzielić obie strony równania przez cosinus kwadrat, otrzymamy:

Zmieniamy zmienną t=tg(x) i otrzymujemy równanie: