Nazywa się czworokąt, którego przeciwne strony są równe. Wszystko, co musisz wiedzieć o właściwościach czworokątów

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami. B A C D ABIIDC, ADIIBC

Ile równoległoboków widzisz na rysunku? a d e c a II c, d II e II f II b II g f b g

Własności równoległoboku 10. W równoległoboku przeciwległe boki są równe i przeciwległe kąty są równe. B 3 2 1 C Dowód: 4 D A 1 = 2, jak NLU z ADIIBC i sieczną AC 3 = 4, jak NLU z ABIICD i sieczną AC AC – strona wspólna ABC = CDA z boku i dwóch sąsiadujących kątów AB = CD , AD =BC B= D A= C

Właściwości równoległoboku 20. Przekątne równoległoboku dzieli się na pół w punkcie przecięcia. Dowód: B 2 4 A C 1 = 2, jako NLU z 3 D ABIIDC i sieczną BD 3 = 4, jako NLU z ABIIDC i sieczną AC AB=CD, jako przeciwne strony równoległoboku 1 ABO = CDO z boku i dwa sąsiadujące jego kąty AO=OS, VO=OD

Liczby te ilustrują wszystkie rozważane właściwości B C B A D A B C O A C D D

Dodatkowe właściwości. Suma kątów sąsiednich równoległoboku wynosi 1800. B C D A ABIIDC, ADIIBC Uzasadnij...

Obwód równoległoboku wynosi 20 cm. Czy jedna z przekątnych może mieć 11 cm? cm 11 Półobwód B Dziesięć centymetrów C A D Jaka jest największa liczba całkowita, jaką może przyjąć długość jednej z przekątnych tego równoległoboku?

Zadania szkoleniowe na gotowych rysunkach. Znajdź boki równoległoboku ABCD, wiedząc, że jego obwód wynosi 24 cm AD – AB = 3 cm B C Bok AD jest o 3 cm większy od boku AB x A x+3 D P = 24 cm 2(x+x+3) = 24 p=12 cm x+x+3 = 12

Znajdź boki równoległoboku ABCD, wiedząc, że jego obwód wynosi 24 cm AB: BC = 1: 2 B 2 x C x A P = 24 cm 2(x + 2 x) = 24 D p = 12 cm x + 2 x = 12

Znajdź boki równoległoboku ABCD, wiedząc, że jego obwód wynosi 24 cm MC – MV = 3 cm B x M x + 3 450 A P = 24 cm 2 (x + x + x + 3) = 24 Przekrój MC jest o 3 cm większy odcinek MV C D р=12 cm x+x+x+3 = 12

Długość jednego boku równoległoboku stanowi 80% długości drugiego boku. Znajdź długość krótszego boku tego równoległoboku, jeśli jego półobwód wynosi 18 cm B x C 0,8 x A D p = 18 cm x + 0,8 x = 18

Długość jednego boku równoległoboku jest o 15% większa od długości drugiego boku. Znajdź długość dłuższego boku tego równoległoboku, jeśli jego półobwód wynosi 8,6 cm B 1,15 x C x A D p = 8,6 cm x + 1,15 x = 8,6

Znajdź kąty równoległoboku ABCD. B – B C x + 30 A x D A = 300 Kąt B jest o 300 większy od kąta A

Suma miar stopni trzech kątów równoległoboku wynosi 3000. Znajdź wielkość kąta rozwartego tego równoległoboku. B C x A 180-te D

Znajdź kąty równoległoboku ABCD (3600 - 400 2): 2 C B 1800 -400 140 A 400 D

Nr 376 (c) Znajdź kąty równoległoboku ABCD, jeśli B 1090 A 710 C 710 1090 D

Nr 376 (c) Znajdź kąty równoległoboku ABCD, jeśli B C x 2 x A A = 2 B Kąt A jest 2 razy większy od kąta B D

W tym artykule przyjrzymy się wszystkim głównym właściwości i cechy czworokątów.

Na początek uporządkuję wszystkie typy czworokątów w postaci takiego podsumowującego diagramu:

Diagram jest niezwykły, ponieważ czworoboki w każdym rzędzie mają WSZYSTKIE WŁAŚCIWOŚCI Czworokątów znajdujących się nad nimi. Dlatego musisz pamiętać bardzo niewiele.

Trapez jest czworokątem, którego dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe. Nazywa się boki równoległe podstawy trapezowe, nie równolegle - boki.

1 . W trapezie suma kątów przylegających do boku równy 180°: A+B=180°, C+D=180°

2 . Dwusieczna dowolnego kąta trapezu odcina u podstawy odcinek równy bokowi:

3. Dwusieczne sąsiednich narożników trapezu przecinają się pod kątem prostym.

4 Nazywa się to trapezem równoramienny, jeśli jego boki są równe:

W trapezie równoramiennym

5. Pole trapezu równy iloczynowi połowy sumy podstaw i wysokości:

Równoległobok jest czworokątem, którego przeciwne boki są równoległe parami: W równoległoboku:

• przeciwległe boki i przeciwległe kąty są równe
• Przekątne równoległoboku są podzielone na pół przez punkt przecięcia:

Odpowiednio, jeśli czworokąt ma te właściwości, to jest równoległobokiem.

Obszar równoległoboku równy iloczynowi podstawy i wysokości:

lub iloczyn boków i sinus kąta między nimi:

:

Romb jest równoległobokiem, w którym wszystkie boki są równe:

• przeciwległe kąty są równe
• przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia
  
• przekątne są wzajemnie prostopadłe
  
• Przekątne rombu są dwusiecznymi kątów

Powierzchnia rombu równy połowie iloczynu przekątnych:

lub iloczyn kwadratu boku i sinusa kąta między bokami:

Czworokąt to wielokąt składający się z czterech punktów (wierzchołków) i czterech odcinków (boków) łączących te punkty parami.

Dzisiaj rozważymy figurę geometryczną - czworobok. Z nazwy tej figury staje się już jasne, że figura ta ma cztery rogi. Ale rozważymy pozostałe cechy i właściwości tej figury poniżej.

Co to jest czworokąt

Czworokąt to wielokąt składający się z czterech punktów (wierzchołków) i czterech odcinków (boków) łączących te punkty parami. Pole czworoboku jest równe połowie iloczynu jego przekątnych i kąta między nimi.

Czworokąt to wielokąt mający cztery wierzchołki, z których trzy nie leżą na linii prostej.

Rodzaje czworokątów

• Czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami, nazywa się równoległobokiem.
• Czworokąt, w którym dwa przeciwległe boki są równoległe, a pozostałe dwa nie, nazywa się trapezem.
• Czworokąt mający wszystkie kąty proste jest prostokątem.
• Czworokąt mający wszystkie boki równe to romb.
• Czworokąt, w którym wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są proste, nazywa się kwadratem.

Czworokąt może być:

Samoprzecinające się

Nie wypukły

Wypukły

Samoprzecinający się czworobok to czworokąt, w którym którykolwiek z jego boków ma punkt przecięcia (na rysunku zaznaczony na niebiesko).

Nie wypukły czworobok to czworokąt, w którym jeden z kątów wewnętrznych ma więcej niż 180 stopni (zaznaczony na rysunku kolorem pomarańczowym).

Suma kątów każdy czworokąt, który nie przecina się sam ze sobą, ma zawsze 360 ​​stopni.

Specjalne typy czworokątów

Czworokąty mogą mieć dodatkowe właściwości, tworząc specjalne typy kształtów geometrycznych:

• Równoległobok
• Prostokąt
• Kwadrat
• Trapez
• Deltoid
• Kontrrównoległobok

Czworokąt i okrąg

Czworokąt opisany na okręgu (okrąg wpisany w czworokąt).

Główna właściwość opisywanego czworoboku:

Czworokąt można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.

Czworokąt wpisany w okrąg (okrąg opisany na czworokącie)

Główna właściwość wpisanego czworoboku:

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma przeciwległych kątów wynosi 180 stopni.

Własności długości boków czworokąta

Moduł różnicy między dowolnymi dwoma bokami czworoboku nie przekracza sumy swoich dwóch pozostałych stron.

|a - b| ≤ do + re

|a - c| ≤ b + re

|a - d| ≤ b + do

|b - c| ≤ a + re

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Ważny. Nierówność jest prawdziwa dla dowolnej kombinacji boków czworoboku. Rysunek służy wyłącznie do ułatwienia percepcji.

W dowolnym czworokącie suma długości jego trzech boków jest nie mniejsza niż długość czwartego boku.

Ważny. Rozwiązując problemy w ramach szkolnego programu nauczania, można zastosować ścisłą nierówność (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Temat lekcji

• Definicja czworoboku.

Cele Lekcji

• Edukacyjne – powtarzanie, uogólnianie i sprawdzanie wiedzy na temat: „Czworokąt”; rozwój podstawowych umiejętności.
• Rozwojowe – rozwijające uwagę uczniów, wytrwałość, wytrwałość, logiczne myślenie, mowę matematyczną.
• Edukacyjne - poprzez lekcję pielęgnuj uważną postawę wobec siebie, zaszczepiaj umiejętność słuchania towarzyszy, wzajemnej pomocy i niezależności.

Cele Lekcji

• Rozwijanie umiejętności konstruowania czworokąta za pomocą linijki i trójkąta rysunkowego.
• Sprawdź umiejętności uczniów w rozwiązywaniu problemów.

Plan lekcji

1. Odniesienie historyczne. Geometria nieeuklidesowa.
2. Czworobok.
3. Rodzaje czworokątów.

Geometria nieeuklidesowa

Geometria nieeuklidesowa, geometria zbliżona do geometrii Euklides tym, że określa ruch figur, ale różni się od geometrii euklidesowej tym, że jeden z jej pięciu postulatów (drugi lub piąty) zostaje zastąpiony jego negacją. Zaprzeczenie jednego z postulatów euklidesowych (1825) było wydarzeniem znaczącym w dziejach myśli, gdyż stanowiło pierwszy krok w kierunku teoria względności.

Stwierdza to drugi postulat Euklidesa dowolny odcinek linii prostej można przedłużać w nieskończoność. Euklides najwyraźniej uważał, że postulat ten zawierał także stwierdzenie, że linia prosta ma nieskończoną długość. Jednakże w geometrii „eliptycznej” każda linia prosta jest skończona i podobnie jak okrąg zamknięta.

Postulat piąty głosi, że jeśli prosta przecina dwie dane linie w taki sposób, że dwa kąty wewnętrzne po jednej jej stronie sumują się do mniej niż dwóch kątów prostych, to te dwie proste, jeśli zostaną przedłużone w nieskończoność, przetną się po stronie, gdzie suma tych kątów jest mniejsza niż suma dwóch prostych. Ale w geometrii „hiperbolicznej” może istnieć linia CB (patrz rysunek), prostopadła w punkcie C do danej prostej r i przecinająca inną linię s pod kątem ostrym w punkcie B, niemniej jednak nieskończone linie r i s będą nigdy się nie przecinają.

Z tych poprawionych postulatów wynikało, że suma kątów trójkąta, równa 180° w geometrii euklidesowej, jest większa niż 180° w geometrii eliptycznej i mniejsza niż 180° w geometrii hiperbolicznej.

Czworobok