त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य समाधान लिखने के सूत्र। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

अध्याय 15. त्रिकोणमितीय समीकरण

15.6. अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

पिछले पैराग्राफ 3-5 में, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान दिए गए हैं: , , और। समान या अलग-अलग तर्कों के कई त्रिकोणमितीय कार्यों वाले अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को समान परिवर्तनों के माध्यम से या एक सहायक बीजगणितीय समीकरण को हल करके कम किया जाता है।

ऐसे समीकरणों को हल करने की सामान्य तकनीक इन कार्यों को जोड़ने वाले सूत्रों के आधार पर समीकरण में शामिल सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को एक फ़ंक्शन के माध्यम से प्रतिस्थापित करना है। किसी समीकरण को हल करते समय, हम ऐसे परिवर्तन करने का प्रयास करते हैं जिससे दिए गए समीकरण के समतुल्य समीकरण बनते हैं। अन्यथा, आपको प्राप्त जड़ों की जांच करने की आवश्यकता है।

जड़ें खोना एक सामान्य भूल है। ऐसी अन्य त्रुटियाँ सबसे सरल समीकरणों के समाधान के सूत्रों का गलत ज्ञान है, साथ ही आर्क फ़ंक्शन के आवश्यक मान को सही ढंग से खोजने में असमर्थता है।

उदाहरणों पर विचार करें.

प्रश्न हल करें।

उदाहरण 2. (एक तर्क में कमी का उदाहरण)।

प्रश्न हल करें।

समाधान:
तर्क-वितर्क की ओर आगे बढ़ना उचित है। यह कार्य हमें दोहरे तर्क की ज्या के सूत्र की याद दिलाता है:।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:।
बायीं ओर, हम एक बार फिर दोहरा तर्क ज्या सूत्र लागू करेंगे, लेकिन पहले हम समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करेंगे।
; ; .
हमने इस प्रकार का सबसे सरल समीकरण प्राप्त किया है और पूरे तर्क को सबसे सरल समीकरण के समाधान के बराबर किया है:
, कहाँ ।

प्रश्न हल करें।

समाधान:
डिग्री को कम करने के लिए सूत्रों में से एक का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

हमारे पास जो समीकरण है उसमें प्रतिस्थापन के बाद

प्रश्न हल करें।

समाधान:
दाहिनी ओर स्थानांतरित करने पर, हम पाते हैं कि यह इसके बराबर है:
; ; .
यहां हमें समीकरण की डिग्री बढ़ाकर जाना था, लेकिन हमें एक अच्छी समाधान तकनीक का उपयोग करने का अवसर मिला - सभी पदों को एक भाग में ले जाएं और परिणामी अभिव्यक्ति का गुणनखंड करें:
.
प्रत्येक कारक को अलग-अलग शून्य से बराबर करने पर, हमें समीकरणों का एक सेट प्राप्त होता है,

जो, एक नियम के रूप में, इस समीकरण के बराबर है (इस नियम के अपवाद की चर्चा निम्नलिखित उदाहरण में की गई है)।
हम समीकरण हल करते हैं, हमारे पास है
, और ।
हम समीकरण को हल करते हैं या, हमारे पास है, और।

प्रश्न हल करें।

उत्तर में किसी बाहरी मूल को शामिल करना घोर त्रुटि मानी जाती है। इससे बचने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि परिणामी जड़ें दिए गए समीकरण के अंश के हर में किसी भी फ़ंक्शन को शून्य में नहीं बदल देती हैं (यदि वहां भिन्न हैं) और इन जड़ों के साथ कोई भी फ़ंक्शन शून्य नहीं हो जाता है मूल समीकरण अर्थ खो देता है (यदि वे वहां शामिल हैं)। यह याद रखना आवश्यक है कि तर्क के किन मूल्यों पर फ़ंक्शन गायब हो जाता है और प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र। सादृश्य से, वे एक समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र (अनुमेय मूल्यों का डोमेन, या वीए) की बात करते हैं अनजान)। त्रिकोणमितीय समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों की परिभाषा के डोमेन का सामान्य भाग (प्रतिच्छेदन) है। यदि परिणामी मूल समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है, तो यह अप्रासंगिक है और इसे त्याग दिया जाना चाहिए।

प्रश्न हल करें
.

समाधान:
आइए एक फ़ंक्शन पर चलते हैं। यदि हम इसे के माध्यम से व्यक्त करते हैं, तो हमें एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है, जो अवांछनीय है। इसके माध्यम से बदलें:
; .
आइए परिणामी समीकरण को के संबंध में द्विघात समीकरण के रूप में हल करें।
या ।
समीकरण की कोई जड़ नहीं है.
समीकरण के लिए हमारे पास है:
. लेकिन उनका मतलब भी वही विषम संख्याएं हैं, इसलिए हम समाधान को सरल तरीके से लिखेंगे:।

प्रश्न हल करें
.

एक सजातीय समीकरण (समान डिग्री के सभी पद - दूसरा) प्राप्त करने के लिए हम दाएँ पक्ष को अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं, जो के बराबर है।
;
.
चूँकि समीकरण के मूल मूल समीकरण के मूल नहीं हैं (इसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से सत्यापित किया जा सकता है), एक फ़ंक्शन पर जाने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं।

हम इसके लिए द्विघात समीकरण हल करते हैं।
या ।
समीकरण के लिए हमारे पास है: .
समीकरण के लिए हमें मिलता है।

प्रश्न हल करें।

आइए इसे और के माध्यम से व्यक्त करें, हमें मिलता है
. यहां शून्य से भिन्न होना चाहिए (अन्यथा समीकरण का कोई मतलब नहीं है), इसलिए समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र सभी है। चूँकि, भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करते हैं।
;
;
.
हमारे पास जो समीकरण है उसके लिए

कक्षा: 10

"समीकरण हमेशा बने रहेंगे।"

ए आइंस्टीन

पाठ मकसद:

शिक्षात्मक:
- त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की गहरी समझ;
- त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों में अंतर करने और सही ढंग से चयन करने का कौशल विकसित करना।
शिक्षात्मक:
- शैक्षिक प्रक्रिया में संज्ञानात्मक रुचि का पोषण करना;
- किसी दिए गए कार्य का विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करना;
- कक्षा में मनोवैज्ञानिक माहौल को बेहतर बनाने में योगदान दें।
विकास संबंधी:
- ज्ञान के स्वतंत्र अधिग्रहण के कौशल के विकास को बढ़ावा देना;
- छात्रों की अपनी बात पर बहस करने की क्षमता को बढ़ावा देना;

उपकरण:बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों, कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन वाला पोस्टर।

1 पाठ

I. संदर्भ ज्ञान को अद्यतन करना

समीकरणों को मौखिक रूप से हल करें:

1)cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3)cosx = –;
4) पाप 2x = 0;
5) सिनक्स = -;
6) सिनक्स = ;
7) टीजीएक्स = ;
8) क्योंकि 2 एक्स – पाप 2 एक्स = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) एक्स = के;
5) x = (-1) + k;
6) x = (-1) + 2k;
7) एक्स = + के;
8) एक्स = + के; Z को.

द्वितीय. नई सामग्री सीखना

– आज हम अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखेंगे। आइए उन्हें हल करने के 10 तरीकों पर नजर डालें। आगे समेकन के लिए दो पाठ होंगे और अगले पाठ के लिए एक परीक्षा होगी। "पाठ के लिए" स्टैंड पर ऐसे कार्य पोस्ट किए गए हैं जो परीक्षण में होने वाले कार्यों के समान हैं; आपको परीक्षण से पहले उन्हें हल करना होगा। (परीक्षण से एक दिन पहले, इन कार्यों के समाधान को स्टैंड पर पोस्ट करें)।

तो, आइए त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों पर विचार करें। इनमें से कुछ तरीके शायद आपको कठिन लगेंगे, जबकि अन्य आसान लगेंगे, क्योंकि... आप समीकरणों को हल करने की कुछ तकनीकें पहले से ही जानते हैं।

कक्षा में चार छात्रों को एक व्यक्तिगत कार्य मिला: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के 4 तरीके समझने और आपको दिखाने के लिए।

(बोलने वाले छात्रों ने पहले से ही स्लाइड तैयार कर ली है। कक्षा के बाकी छात्र समीकरणों को हल करने के मुख्य चरणों को एक नोटबुक में लिखते हैं।)

1 छात्र: 1 रास्ता. गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करना

पाप 4x = 3 क्योंकि 2x

समीकरण को हल करने के लिए, हम दोहरे कोण ज्या सूत्र पाप 2 = 2 पाप कॉस का उपयोग करते हैं
2 पाप 2x क्योंकि 2x – 3 क्योंकि 2x = 0,
क्योंकि 2x (2 पाप 2x - 3) = 0. इन कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है।

2x = + k, k Z या पाप 2x = 1.5 - कोई समाधान नहीं है, क्योंकि | पाप| 1
एक्स = + के; Z को.
उत्तर: x = + k, k Z.

2 छात्र. विधि 2. त्रिकोणमितीय फलनों के योग या अंतर को उत्पाद में परिवर्तित करके समीकरणों को हल करना

क्योंकि 3x + पाप 2x – पाप 4x = 0.

समीकरण को हल करने के लिए, हम सूत्र पाप- पाप = 2 पाप сos का उपयोग करते हैं

क्योंकि 3x + 2 पाप क्योंकि = 0,

сcos 3x – 2 पाप x cos 3x = 0,

cos 3x (1 - 2 synx) = 0. परिणामी समीकरण दो समीकरणों के एक सेट के बराबर है:

दूसरे समीकरण के समाधानों का सेट पहले समीकरण के समाधानों के सेट में पूरी तरह से शामिल है। मतलब

उत्तर:

3 छात्र. 3 रास्ता. त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल को योग में परिवर्तित करके समीकरणों को हल करना

पाप 5x क्योंकि 3x = पाप 6x क्योंकि 2x.

समीकरण को हल करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं

उत्तर:

4 छात्र. 4 तरफा। ऐसे समीकरणों को हल करना जो द्विघात समीकरणों में बदल जाते हैं

3 पाप x – 2 cos 2 x = 0,
3 पाप x – 2 (1 – पाप 2 x) = 0,
2 पाप 2 x + 3 पाप x – 2 = 0,

माना पाप x = t, जहाँ | टी |. हमें द्विघात समीकरण 2t 2 + 3t – 2 = 0 प्राप्त होता है,

डी = 9 + 16 = 25.

इस प्रकार । शर्त पूरी नहीं करता | टी |.

अतः पाप x = . इसीलिए .

उत्तर:

तृतीय. ए. एन. कोलमोगोरोव की पाठ्यपुस्तक से जो सीखा गया है उसका समेकन

1. क्रमांक 164 (ए), 167 (ए) (द्विघात समीकरण)
2. क्रमांक 168 (ए) (कारकीकरण)
3. क्रमांक 174 (ए) (किसी राशि को उत्पाद में परिवर्तित करना)
4. (उत्पाद को योग में बदलें)

(पाठ के अंत में, सत्यापन के लिए स्क्रीन पर इन समीकरणों का हल दिखाएं)

№ 164 (ए)

2 पाप 2 x + पाप x – 1 = 0.
माना पाप x = t, | टी | 1. फिर
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . कहाँ

उत्तर: - .

№ 167 (ए)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

मान लीजिए tg x = 1, तो हमें समीकरण 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 प्राप्त होता है।

उत्तर:

№ 168 (ए)

उत्तर:

№ 174 (ए)

प्रश्न हल करें:

उत्तर:

पाठ 2 (पाठ-व्याख्यान)

चतुर्थ. नई सामग्री सीखना(निरंतरता)

- तो, आइए त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करना जारी रखें।

5 रास्ता. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

प्रपत्र के समीकरण a पाप x + b क्योंकि x = 0, जहां ए और बी कुछ संख्याएं हैं, पाप एक्स या कॉस एक्स के संबंध में पहली डिग्री के सजातीय समीकरण कहलाते हैं।

समीकरण पर विचार करें

पाप x – क्योंकि x = 0. आइए समीकरण के दोनों पक्षों को cos x से विभाजित करें। ऐसा किया जा सकता है; जड़ हानि नहीं होगी, क्योंकि , अगर क्योंकि x = 0,वह पाप x = 0. लेकिन यह मूल त्रिकोणमितीय पहचान का खंडन करता है पाप 2 एक्स + कॉस 2 एक्स = 1.

हम पाते हैं तन x – 1 = 0.

तन x = 1,

प्रपत्र के समीकरण के रूप में 2 एक्स + बीसीओएस 2 एक्स + सी पाप एक्स कॉस एक्स = 0,कहाँ ए, बी, सी -कुछ संख्याओं को syn x या cos x के संबंध में दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरण कहा जाता है।

समीकरण पर विचार करें

पाप 2 x – 3 पाप x क्योंकि x + 2 cos 2 = 0. आइए समीकरण के दोनों पक्षों को cos x से विभाजित करें, और मूल नष्ट नहीं होगा, क्योंकि क्योंकि x = 0 इस समीकरण का मूल नहीं है.

टीजी 2 एक्स - 3टीजी एक्स + 2 = 0.

माना tg x = t. डी = 9 - 8 = 1.

तब इसलिए tg x = 2 या tg x = 1.

परिणामस्वरूप, x = आर्कटैन 2 + , x =

उत्तर: आर्कटजी 2 + ,

एक अन्य समीकरण पर विचार करें: 3 पाप 2 x - 3 पाप x cos x + 4 cos 2 x = 2।
आइए समीकरण के दाहिने पक्ष को 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) के रूप में रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
पाप 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (हमें दूसरा समीकरण मिला, जिसका हम पहले ही विश्लेषण कर चुके हैं)।

उत्तर: आर्कटान 2 + के,

6 रास्ता. रैखिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

एक रैखिक त्रिकोणमितीय समीकरण रूप का एक समीकरण है ए पाप एक्स + बी क्योंकि एक्स = सी, जहाँ a, b, c कुछ संख्याएँ हैं।

समीकरण पर विचार करें पाप x + क्योंकि x= – 1.
आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

उस पर विचार करते हुए, हमें मिलता है:

उत्तर:

7 रास्ता. एक अतिरिक्त तर्क प्रस्तुत करना

अभिव्यक्ति ए कॉस एक्स + बी सिन एक्सपरिवर्तित किया जा सकता है:

(त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाते समय हम पहले ही इस परिवर्तन का उपयोग कर चुके हैं)

आइए एक अतिरिक्त तर्क पेश करें - कोण ऐसा है

तब

समीकरण पर विचार करें: 3 synx + 4 cosx = 1. =

गृहकार्य:क्रमांक 164 -170 (सी, डी)।

त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम लेख "" पढ़ने की सलाह देते हैं।
तो, हम बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें अभ्यास में उपयोग करने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनासही दृष्टिकोण के साथ, यह काफी रोमांचक गतिविधि है, जैसे, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के नीचे होता है।
तथाकथित सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। वे इस तरह दिखते हैं: सिनएक्स = ए, कॉस एक्स = ए, टैन एक्स = ए। चलो गौर करते हैं ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें, स्पष्टता के लिए हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

सिनएक्स = ए

क्योंकि x = ए

टैन एक्स = ए

खाट x = ए

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को उसके सरलतम रूप में घटाते हैं और फिर इसे एक सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
ऐसी 7 मुख्य विधियाँ हैं जिनके द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 को हल करें

कटौती सूत्रों का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

सरल बनाने और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए cos(x + /6) को y से बदलें:

2y 2 – 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2 हैं

अब उल्टे क्रम में चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर विकल्प प्राप्त करते हैं:

गुणनखंडन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

समीकरण syn x + cos x = 1 को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर रहे:

पाप x + cos x – 1 = 0

आइए समीकरण को सरल बनाने के लिए ऊपर चर्चा की गई सर्वसमिकाओं का उपयोग करें:

पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0

आइए गुणनखंड करें:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

एक सजातीय समीकरण में कमी

एक समीकरण ज्या और कोज्या के संबंध में सजातीय होता है यदि उसके सभी पद एक ही कोण की समान डिग्री की ज्या और कोज्या के सापेक्ष हों। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें;

ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;

डी) कोष्ठक में निम्न डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में उच्च डिग्री के साइन या कोसाइन में विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण 3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos 2 x = 2 को हल करें

आइए सूत्र पाप 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

पाप 2 x + 4 पाप x क्योंकि x + 3 क्योंकि 2 x = 0

cos x से विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

tan x को y से बदलें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

y 2 + 4y +3 = 0, जिसका मूल y 1 =1, y 2 = 3 है

यहां से हमें मूल समीकरण के दो समाधान मिलते हैं:

x 2 = आर्कटान 3 + के

आधे कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण 3sin x – 5cos x = 7 को हल करें

चलिए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से विभाजित करें:

टीजी 2 (एक्स/2) – 3टीजी(एक्स/2) + 6 = 0

सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए इस रूप का एक समीकरण लें: a पाप x + b cos x = c,

जहां ए, बी, सी कुछ मनमाना गुणांक हैं, और एक्स एक अज्ञात है।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:

अब समीकरण के गुणांक, त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, गुण पाप और कॉस हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1. आइए हम उन्हें क्रमशः कॉस और पाप के रूप में निरूपित करें, जहां - यह है तथाकथित सहायक कोण. तब समीकरण इस प्रकार बनेगा:

कॉस * सिन एक्स + सिन * कॉस एक्स = सी

या पाप(x + ) = C

इस सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

x = (-1) k * आर्क्सिन C - + k, कहाँ

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संकेतन कॉस और पाप विनिमेय हैं।

समीकरण पाप 3x – cos 3x = 1 को हल करें

इस समीकरण में गुणांक हैं:

a = , b = -1, इसलिए दोनों पक्षों को = 2 से विभाजित करें

उदाहरण:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें:

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाना चाहिए:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जहां \(t\) एक x के साथ एक अभिव्यक्ति है, \(a\) एक संख्या है। ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं सबसे आसान. इन्हें () या विशेष सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है:

सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने पर इन्फोग्राफिक्स यहां देखें:, और।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) को हल करें।
समाधान:

उत्तर: \(\left[ \begin(इकट्ठा)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(इकट्ठा)\दाएं.\) \(k,n∈Z\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों के मूलों के सूत्र में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है, देखें।

ध्यान!समीकरण \(\sin⁡x=a\) और \(\cos⁡x=a\) का कोई समाधान नहीं है यदि \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). क्योंकि किसी भी x के लिए साइन और कोसाइन \(-1\) से अधिक या उसके बराबर और \(1\) से कम या उसके बराबर हैं:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण \(\cos⁡x=-1,1\) को हल करें।
समाधान: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर : कोई समाधान नहीं.

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण tg\(⁡x=1\) को हल करें।
समाधान:

आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके समीकरण को हल करें। इसके लिए:
1) एक वृत्त का निर्माण करें)
2) कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) और स्पर्शरेखा अक्ष की रचना करें (यह बिंदु \((0;1)\) से होकर गुजरती है जो अक्ष \(y\) के समानांतर है।
3) स्पर्शरेखा अक्ष पर, बिंदु \(1\) अंकित करें।
4) इस बिंदु और निर्देशांक की उत्पत्ति को एक सीधी रेखा से जोड़ें।
5) इस रेखा और संख्या वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
6) आइए इन बिंदुओं के मानों पर हस्ताक्षर करें: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) इन बिंदुओं के सभी मान लिखिए। चूँकि वे एक दूसरे से बिल्कुल \(π\) की दूरी पर स्थित हैं, सभी मान एक सूत्र में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) को हल करें।
समाधान:

आइए फिर से संख्या वृत्त का उपयोग करें।
1) एक वृत्त, अक्ष \(x\) और \(y\) का निर्माण करें।
2) कोसाइन अक्ष (\(x\) अक्ष) पर, \(0\) अंकित करें।
3) इस बिंदु से होकर कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचिए।
4) लम्ब और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
5) आइए इन बिंदुओं के मान पर हस्ताक्षर करें: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) हम इन बिंदुओं का संपूर्ण मान लिखते हैं और उन्हें कोसाइन (कोसाइन के अंदर क्या है) के बराबर करते हैं।

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) हमेशा की तरह, हम \(x\) को समीकरणों में व्यक्त करेंगे।
संख्याओं को \(π\), साथ ही \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), आदि से जोड़ना न भूलें। ये अन्य सभी संख्याओं के समान ही हैं। कोई संख्यात्मक भेदभाव नहीं!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरलतम बनाना एक रचनात्मक कार्य है; यहां आपको समीकरणों को हल करने के लिए दोनों और विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- विधि (एकीकृत राज्य परीक्षा में सबसे लोकप्रिय)।
- तरीका।
- सहायक तर्क की विधि.

आइए द्विघात त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) को हल करें
समाधान:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	आइए प्रतिस्थापन करें \(t=\cos⁡x\).

	हमारा समीकरण सामान्य हो गया है. आप इसका उपयोग करके इसे हल कर सकते हैं।
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं।
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	हम संख्या वृत्त का उपयोग करके पहला समीकरण हल करते हैं। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है क्योंकि \(\cos⁡x∈[-1;1]\) और किसी भी x के लिए दो के बराबर नहीं हो सकता।
	आइए इन बिंदुओं पर मौजूद सभी संख्याओं को लिखें।

उत्तर: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ के अध्ययन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण (USE) . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक भिन्न है और एक कोटैंजेंट है - इसका मतलब है कि हमें इसे लिखना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि कोटैंजेंट वास्तव में एक भिन्न है: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) इसलिए, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) के लिए ODZ।
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	आइए संख्या गोले पर "गैर-समाधान" को चिह्नित करें।

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	आइए समीकरण में हर को ctg\(x\) से गुणा करके उससे छुटकारा पाएं। हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हमने ऊपर लिखा है कि ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	आइए ज्या के लिए द्विकोण सूत्र लागू करें: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	यदि आपके हाथ कोज्या से विभाजित करने के लिए आगे बढ़ते हैं, तो उन्हें पीछे खींचें! यदि यह निश्चित रूप से शून्य के बराबर नहीं है तो आप एक चर वाले अभिव्यक्ति से विभाजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, ये: \(x^2+1.5^x\))। इसके बजाय, आइए \(\cos⁡x\) को कोष्ठक से बाहर निकालें।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	आइए समीकरण को दो भागों में "विभाजित" करें।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके पहला समीकरण हल करें। आइए दूसरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करें और \(\sin⁡x\) को दाईं ओर ले जाएं।

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	परिणामी जड़ें ODZ में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हम उन्हें प्रतिक्रिया में नहीं लिखेंगे। दूसरा समीकरण विशिष्ट है. आइए इसे \(\sin⁡x\) से विभाजित करें (\(\sin⁡x=0\) समीकरण का हल नहीं हो सकता क्योंकि इस मामले में \(\cos⁡x=1\) या \(\cos⁡ x=-1\)).
	हम फिर से एक वृत्त का उपयोग करते हैं।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	इन जड़ों को ODZ द्वारा बाहर नहीं रखा गया है, इसलिए आप उन्हें उत्तर में लिख सकते हैं।

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.
5. उदाहरण.

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटेंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक चर त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत समाहित होता है।

आइए हम सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके को दोहराएँ:

1)यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक समाधान है:

एक्स= ± आर्ककोस(ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण पाप(x) = a का एक समाधान है:

3) यदि |ए| > 1, तो समीकरण syn(x) = a और cos(x) = a का कोई समाधान नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक समाधान है: x=arctg(a)+ πk

5) समीकरण ctg(x)=a का एक समाधान है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: T(kx+m)=a, T कुछ त्रिकोणमितीय फलन है।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: ए) पाप(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए हम 3x=t को निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

मानों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

आइए अपने वेरिएबल पर वापस लौटें: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n की घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के और उदाहरण.

समीकरण हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

समाधान:

ए) इस बार आइए सीधे समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। फिर x/5= πk => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम इसे इस रूप में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= √2/2. और खंड पर सभी जड़ें ढूंढें।

समाधान:

आइए हम अपने समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

एक्स= ± π/16+ πk/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट पर क्या जड़ें पड़ती हैं। k पर k=0, x= π/16 पर, हम दिए गए खंड में हैं।
K=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, हमने फिर से प्रहार किया।
K=2 के लिए, x= π/16+ π=17π/16, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका मतलब है कि बड़े k के लिए हम भी स्पष्ट रूप से हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= π/16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियाँ.

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखा, लेकिन अधिक जटिल समीकरण भी हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणनखंडन की विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें.

आइए समीकरण हल करें:

समाधान:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करेंगे, जिसका अर्थ है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: t 2 + 2t -1 = 0

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिलता है, आइए इसके मूल खोजें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

किसी समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: पाप 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण इस प्रकार होगा: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 का परिचय दें

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 और t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

क्योंकि कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.

परिभाषा: a syn(x)+b cos(x) रूप के समीकरणों को प्रथम डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है।

प्रपत्र के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे cos(x) से विभाजित करें: यदि कोसाइन शून्य के बराबर है तो आप कोज्या से विभाजित नहीं कर सकते, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
मान लीजिए cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => पाप(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिलता है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से.