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वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, कहलाता है। चतुर्भुजों के गुणों के बारे में वह सब कुछ जो आपको जानना आवश्यक है

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं। बी ए सी डी एबीआईआईडीसी, एडीआईआईबीसी

चित्र में आप कितने समांतर चतुर्भुज देख सकते हैं? ए डी ई सी ए II सी, डी II ई II एफ II बी II जी एफ बी जी

समांतर चतुर्भुज के गुण 10. समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर और सम्मुख कोण बराबर होते हैं। बी 3 2 1 सी प्रमाण: 4 डी ए 1 = 2, एडीआईआईबीसी और सेकेंट एसी 3 = 4 के साथ एनएलयू के रूप में, एबीआईसीडी और सेकेंट एसी एसी के साथ एनएलयू के रूप में - उभयनिष्ठ पक्ष एबीसी = किनारे पर सीडीए और दो आसन्न कोण एबी = सीडी, एडी =बीसी बी= डी ए= सी

समांतर चतुर्भुज के गुण 20. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं। प्रमाण: B 2 4 A C 1 = 2, 3 D ABIIDC और छेदक BD 3 = 4 के साथ NLU, ABIIDC और छेदक AC AB=CD के साथ NLU, समांतर चतुर्भुज 1 की विपरीत भुजाओं के रूप में ABO = CDO किनारे पर और दो आसन्न इसके कोण AO=OS, VO=OD हैं

ये आंकड़े B C B A D A B C O A C D D माने गए सभी गुणों को दर्शाते हैं

अतिरिक्त गुण. एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 1800 है। B C D A ABIIDC, ADIIBC औचित्य सिद्ध करें...

एक समांतर चतुर्भुज का परिमाप 20 सेमी है। क्या इसका एक विकर्ण 11 सेमी हो सकता है? सेमी 11 अर्ध-परिधि बी दस सेंटीमीटर सी ए डी इस समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक की लंबाई सबसे बड़ा पूर्णांक मान क्या हो सकता है?

तैयार चित्रों पर प्रशिक्षण कार्य। समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसका परिमाप 24 सेमी है। AD - AB = 3 सेमी B C भुजा AD, भुजा AB से 3 सेमी बड़ी है x A x+3 D P = 24 सेमी 2(x+x+3) = 24 पी=12 सेमी x+x+3 = 12

समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसका परिमाप 24 सेमी है। AB: BC = 1: 2 B 2 x C x AP = 24 सेमी 2(x + 2 x) = 24 D p = 12 सेमी x + 2 x = 12

समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसका परिमाप 24 सेमी है। MC - MV = 3 सेमी B x M x + 3 450 A P = 24 सेमी 2 (x + x + x + 3) = 24 खंड MC 3 सेमी बड़ा है खंड एमवी सी डी р=12 सेमी x+x+x+3 = 12

एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा की लंबाई दूसरी भुजा की लंबाई का 80% है। इस समांतर चतुर्भुज की छोटी भुजा की लंबाई ज्ञात करें यदि इसका अर्ध-परिधि 18 सेमी है। B x C 0.8 x A D p = 18 सेमी x + 0.8 x = 18

एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा की लंबाई दूसरी भुजा की लंबाई से 15% अधिक है। इस समांतर चतुर्भुज की लंबी भुजा की लंबाई ज्ञात करें यदि इसका अर्ध-परिधि 8.6 सेमी है B 1.15 x C x A D p = 8.6 सेमी x + 1.15 x = 8.6

समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण ज्ञात कीजिए। B – B C x + 30 A x D A = 300 कोण B, कोण A से 300 अधिक है

एक समांतर चतुर्भुज के तीनों कोणों की डिग्री माप का योग 3000 है। इस समांतर चतुर्भुज के अधिक कोण का आकार ज्ञात कीजिए। बी सी एक्स ए 180 डी

समांतर चतुर्भुज ABCD (3600 - 400 2) के कोण ज्ञात कीजिए: 2 C B 1800 -400 140 A 400 D

संख्या 376 (सी) समांतर चतुर्भुज एबीसीडी के कोण ज्ञात करें यदि बी 1090 ए 710 सी 710 1090 डी

संख्या 376 (सी) समांतर चतुर्भुज एबीसीडी के कोण ज्ञात करें यदि बी सी x 2 एक्स ए ए = 2 बी कोण ए, कोण बी डी से 2 गुना बड़ा है

इस लेख में हम सभी मुख्य बातों पर गौर करेंगे चतुर्भुजों के गुण और विशेषताएँ.

आरंभ करने के लिए, मैं सभी प्रकार के चतुर्भुजों को ऐसे सारांश आरेख के रूप में व्यवस्थित करूंगा:

आरेख इस मायने में उल्लेखनीय है कि प्रत्येक पंक्ति में चतुर्भुजों के सभी गुण उनके ऊपर स्थित हैं। इसलिए याद बहुत कम रखना पड़ता है।

चतुर्भुजएक चतुर्भुज है, जिसकी दो भुजाएँ समान्तर हैं और अन्य दो समान्तर नहीं हैं। समानान्तर भुजाएँ कहलाती हैं समलम्बाकार आधार, समानांतर नहीं - दोनों पक्ष.

1 . जाल में एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° के बराबर: A+B=180°, C+D=180°

2 . समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण का समद्विभाजकइसके आधार पर भुजा के बराबर एक खंड काट देता है:

3. समलम्ब चतुर्भुज के आसन्न कोनों के समद्विभाजक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।


4 .ट्रैपेज़ॉइड कहलाता है समद्विबाहु, यदि इसकी भुजाएँ बराबर हों:

एक समद्विबाहु समलम्बाकार में

5. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफलआधारों और ऊंचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर:

चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समान्तर हैं: एक समांतर चतुर्भुज में:

  • सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण बराबर होते हैं
  • एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा विभाजित किया जाता है:


तदनुसार, यदि किसी चतुर्भुज में ये गुण हैं, तो वह एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफलआधार और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर:

या भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या का गुणनफल:

:

विषमकोणएक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं:


  • सम्मुख कोण बराबर होते हैं
  • विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है
  • विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं
  • समचतुर्भुज के विकर्ण कोणों के समद्विभाजक होते हैं

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलविकर्णों के आधे गुणनफल के बराबर:

या भुजा के वर्ग और भुजाओं के बीच के कोण की ज्या का गुणनफल:

चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार बिंदु (शीर्ष) और चार खंड (भुजाएं) होते हैं जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

आज हम एक ज्यामितीय आकृति - एक चतुर्भुज - पर विचार करेंगे। इस आकृति के नाम से ही यह स्पष्ट हो जाता है कि इस आकृति के चार कोने हैं। लेकिन हम इस आंकड़े की शेष विशेषताओं और गुणों पर नीचे विचार करेंगे।

चतुर्भुज क्या है

चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार बिंदु (शीर्ष) और चार खंड (भुजाएं) होते हैं जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों और उनके बीच के कोण के आधे गुणनफल के बराबर होता है।

चतुर्भुज चार शीर्षों वाला एक बहुभुज है, जिनमें से तीन एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं।

चतुर्भुज के प्रकार

  • वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समान्तर हों, समांतर चतुर्भुज कहलाता है।
  • एक चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत भुजाएँ समान्तर हों तथा अन्य दो नहीं हों, समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है।
  • एक चतुर्भुज जिसके सभी कोण समकोण हों, एक आयत होता है।
  • एक चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, एक समचतुर्भुज है।
  • एक चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों और सभी कोण समकोण हों, वर्ग कहलाता है।
एक चतुर्भुज हो सकता है:


स्वयं का प्रतिच्छेदन


गैर-उत्तल


उत्तल

स्वयं प्रतिच्छेदी चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसकी किसी भी भुजा पर एक प्रतिच्छेदन बिंदु है (आकृति में नीले रंग में)।

गैर-उत्तल चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसका एक आंतरिक कोण 180 डिग्री से अधिक है (आकृति में नारंगी रंग में दर्शाया गया है)।

कोणों का योगकोई भी चतुर्भुज जो स्वयं प्रतिच्छेद नहीं करता वह हमेशा 360 डिग्री के बराबर होता है।

विशेष प्रकार के चतुर्भुज

चतुर्भुजों में अतिरिक्त गुण हो सकते हैं, जो विशेष प्रकार की ज्यामितीय आकृतियाँ बनाते हैं:

  • चतुर्भुज
  • आयत
  • वर्ग
  • चतुर्भुज
  • त्रिभुजाकार
  • प्रतिसमांतर चतुर्भुज

चतुर्भुज और वृत्त

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित चतुर्भुज (चतुर्भुज में अंकित एक वृत्त)।

वर्णित चतुर्भुज की मुख्य संपत्ति:

एक चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग बराबर हो।

एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज (एक चतुर्भुज के चारों ओर परिचालित वृत्त)

उत्कीर्ण चतुर्भुज का मुख्य गुण:

एक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर हो।

चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई के गुण

चतुर्भुज की किन्हीं दो भुजाओं के बीच अंतर का मापांकइसकी अन्य दो भुजाओं के योग से अधिक नहीं है।

|ए - बी| ≤ सी + डी

|ए - सी| ≤ बी + डी

|ए - डी| ≤ बी + सी

|बी - सी| ≤ ए + डी

|बी - डी| ≤ ए + बी

|सी - डी| ≤ ए + बी

महत्वपूर्ण. चतुर्भुज की भुजाओं के किसी भी संयोजन के लिए असमानता सत्य है। चित्रण केवल धारणा में आसानी के लिए प्रदान किया गया है।

किसी भी चतुर्भुज में इसकी तीन भुजाओं की लंबाई का योग चौथी भुजा की लंबाई से कम नहीं है.

महत्वपूर्ण. स्कूली पाठ्यक्रम के भीतर समस्याओं को हल करते समय, आप सख्त असमानता का उपयोग कर सकते हैं (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.


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गणना करने के लिए, आपको ActiveX नियंत्रण सक्षम करना होगा!

पाठ विषय

  • चतुर्भुज की परिभाषा.

पाठ मकसद

  • शैक्षिक - विषय पर ज्ञान की पुनरावृत्ति, सामान्यीकरण और परीक्षण: "चतुर्भुज"; बुनियादी कौशल का विकास.
  • विकासात्मक - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
  • शैक्षिक - पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया अपनाएं, साथियों को सुनने की क्षमता, पारस्परिक सहायता और स्वतंत्रता पैदा करें।

पाठ मकसद

  • स्केल रूलर और ड्राइंग त्रिकोण का उपयोग करके चतुर्भुज बनाने का कौशल विकसित करें।
  • छात्रों की समस्या-समाधान कौशल का परीक्षण करें।

शिक्षण योजना

  1. ऐतिहासिक सन्दर्भ. गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति.
  2. चतुर्भुज.
  3. चतुर्भुज के प्रकार.

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, ज्यामिति के समान ज्यामिति यूक्लिडइसमें यह आकृतियों की गति को परिभाषित करता है, लेकिन यूक्लिडियन ज्यामिति से भिन्न है क्योंकि इसके पांच अभिधारणाओं (दूसरे या पांचवें) में से एक को इसके निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यूक्लिडियन अभिधारणा (1825) में से एक का खंडन विचार के इतिहास में एक महत्वपूर्ण घटना थी, क्योंकि इसने इस दिशा में पहला कदम उठाया था। सापेक्षता के सिद्धांत।

यूक्लिड की दूसरी अभिधारणा यह बताती है किसी भी सीधी रेखा खंड को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है. यूक्लिड का स्पष्टतः मानना ​​था कि इस अभिधारणा में यह कथन भी निहित है कि एक सीधी रेखा की लंबाई अनंत होती है। तथापि "अण्डाकार" ज्यामिति में, कोई भी सीधी रेखा परिमित होती है और, एक वृत्त की तरह, बंद होती है।

पाँचवीं अभिधारणा में कहा गया है कि यदि एक रेखा दो दी गई रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि उसके एक तरफ के दो आंतरिक कोणों का योग दो समकोण से कम हो, तो ये दोनों रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ायी जाती हैं, तो उस ओर प्रतिच्छेद करेंगी जहाँ इन कोणों का योग दो सीधी रेखाओं के योग से कम है। लेकिन "हाइपरबोलिक" ज्यामिति में एक रेखा सीबी हो सकती है (आंकड़ा देखें), बिंदु सी पर दी गई रेखा आर पर लंबवत और बिंदु बी पर न्यून कोण पर दूसरी रेखा एस को काटती है, लेकिन, फिर भी, अनंत रेखाएं आर और एस होंगी कभी भी प्रतिच्छेद न करें.

इन संशोधित अभिधारणाओं से यह निष्कर्ष निकला कि एक त्रिभुज के कोणों का योग, यूक्लिडियन ज्यामिति में 180° के बराबर, अण्डाकार ज्यामिति में 180° से अधिक और हाइपरबोलिक ज्यामिति में 180° से कम होता है।

अहाता

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