अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना। विस्तृत सिद्धांत (2020)

(1) ए एम ⋅ ए एन = ए एम + एन

उदाहरण:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m - n

उदाहरण:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) एन = ए एन ⋅ बी एन

उदाहरण:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

उदाहरण:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) एन = ए एम ⋅ एन

उदाहरण:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a - n = 1 a n

उदाहरण:

$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

वर्गमूल के गुण:

(1) a b = a ⋅ b, a ≥ 0, b ≥ 0 के लिए

उदाहरण:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b, a ≥ 0, b > 0 के लिए

उदाहरण:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (ए) 2 = ए, ≥ 0 के लिए

उदाहरण:

(4) ए 2 = | ए | किसी के लिए ए

उदाहरण:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याएँ

भिन्नात्मक संख्याएं - संख्याएँ जिन्हें एक सामान्य भिन्न m n के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ m एक पूर्णांक है (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n एक प्राकृतिक संख्या है (ℕ = 1, 2, 3, 4। ..).

परिमेय संख्याओं के उदाहरण:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

तर्कहीन संख्या - संख्याएँ जिन्हें सामान्य भिन्न m n के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता; ये अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न हैं।

अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण:

ई = 2.71828182845…

π = 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

सीधे शब्दों में कहें तो, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके अंकन में एक वर्गमूल चिह्न होता है। लेकिन ये इतना आसान नहीं है. कुछ परिमेय संख्याएं अपरिमेय संख्याओं के रूप में प्रच्छन्न होती हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 4 के अंकन में एक वर्गमूल चिह्न होता है, लेकिन हम अच्छी तरह से जानते हैं कि हम अंकन फॉर्म 4 = 2 को सरल बना सकते हैं। इसका अर्थ यह है कि संख्या 4 एक परिमेय संख्या है।

इसी प्रकार, संख्या 4 81 = 4 81 = 2 9 एक परिमेय संख्या है।

कुछ समस्याओं के लिए आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कौन सी संख्याएँ तर्कसंगत हैं और कौन सी अपरिमेय हैं। कार्य यह समझने का है कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं और कौन सी संख्याएँ उनके रूप में प्रच्छन्न हैं। ऐसा करने के लिए, आपको वर्गमूल चिह्न के नीचे से गुणक को हटाने और मूल चिह्न के नीचे गुणक को प्रस्तुत करने का कार्य करने में सक्षम होना चाहिए।

वर्गमूल चिन्ह से परे गुणक को जोड़ना और घटाना

गुणनखंड को वर्गमूल चिह्न से आगे ले जाकर, आप कुछ गणितीय अभिव्यक्तियों को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकते हैं।

उदाहरण:

व्यंजक 2 8 2 को सरल कीजिये।

विधि 1 (मूल चिन्ह के नीचे से गुणक को हटाना): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

विधि 2 (मूल चिन्ह के नीचे गुणक दर्ज करना): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

संक्षिप्त गुणन सूत्र (FSU)

योग का वर्ग

(1) (ए + बी) 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2

उदाहरण:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

वर्गाकार अंतर

(2) (ए - बी) 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2

उदाहरण:

(5 x - 2 y) 2 = (5 x) 2 - 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 - 20 x y + 4 y 2

वर्गों का योग गुणनखंड नहीं बनता

वर्गों का अंतर

(3) ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी)

उदाहरण:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

योग का घन

(4) (ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 + बी 3

उदाहरण:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

अंतर घन

(5) (ए - बी) 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3

उदाहरण:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 - (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 - 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 - 8 y 3 = x 6 - 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 - 8 y 3

घनों का योग

(6) ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - ए बी + बी 2)

उदाहरण:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

घनों का अंतर

(7) ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + ए बी + बी 2)

उदाहरण:

एक्स 6 - 27 वाई 3 = (एक्स 2) 3 - (3 वाई) 3 = (एक्स 2 - 3 वाई) ((एक्स 2) 2 + (एक्स 2) (3 वाई) + (3 वाई) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

मानक प्रकार की संख्या

यह समझने के लिए कि किसी मनमानी परिमेय संख्या को मानक रूप में कैसे कम किया जाए, आपको यह जानना होगा कि किसी संख्या का पहला महत्वपूर्ण अंक क्या है।

किसी संख्या का पहला महत्वपूर्ण अंक इसे बाईं ओर का पहला गैर-शून्य अंक कहें।

उदाहरण:
2 5 ; 3, 05; 0, 1 43; 0.00 1 2. पहला महत्वपूर्ण अंक लाल रंग में हाइलाइट किया गया है।

किसी संख्या को मानक रूप में लाने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. दशमलव बिंदु को इस प्रकार खिसकाएँ कि वह पहले महत्वपूर्ण अंक के ठीक बाद हो।
2. परिणामी संख्या को 10 n से गुणा करें, जहां n एक संख्या है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
3. n > 0 यदि अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया गया था (10 n से गुणा करना इंगित करता है कि अल्पविराम वास्तव में दाईं ओर आगे होना चाहिए);
4. एन< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. संख्या n का निरपेक्ष मान उन अंकों की संख्या के बराबर है जिनके द्वारा दशमलव बिंदु स्थानांतरित किया गया था।

उदाहरण:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

अल्पविराम 1 स्थान बायीं ओर चला गया है। चूँकि दशमलव बाईं ओर शिफ्ट है, डिग्री सकारात्मक है।

इसे पहले ही मानक रूप में परिवर्तित कर दिया गया है; आपको इसके साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। आप इसे 3.05 ⋅ 10 0 के रूप में लिख सकते हैं, लेकिन चूँकि 10 0 = 1 है, हम संख्या को उसके मूल रूप में ही छोड़ देते हैं।

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

अल्पविराम 1 स्थान दाईं ओर चला गया है। चूँकि दशमलव बदलाव दाईं ओर है, डिग्री नकारात्मक है।

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

अल्पविराम दाहिनी ओर तीन स्थान खिसक गया है। चूँकि दशमलव बदलाव दाईं ओर है, डिग्री नकारात्मक है।

बीजगणतीय अभिव्यक्ति

जोड़, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्णांक घात तक बढ़ाने और मूल निकालने के संचालन के लिए संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति (घातांक और मूल स्थिर संख्याएं होनी चाहिए)। ए.वी. इसमें शामिल कुछ अक्षरों के संबंध में इसे तर्कसंगत कहा जाता है यदि उदाहरण के लिए, इसमें उन्हें मूल निष्कर्षण के संकेत के तहत शामिल नहीं किया गया है

ए, बी और सी के संबंध में तर्कसंगत। ए.वी. कुछ अक्षरों के संबंध में पूर्णांक कहा जाता है यदि इसमें इन अक्षरों वाले भावों में विभाजन नहीं होता है, उदाहरण के लिए 3a/c + bc 2 - 3ac/4 ए और बी के संबंध में पूर्णांक है। यदि कुछ अक्षरों (या सभी) को चर माना जाता है, तो ए.सी. एक बीजीय फलन है.

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "बीजगणितीय अभिव्यक्ति" क्या है:

बीजगणितीय परिचालनों के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, मूल निष्कर्षण... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

बीजगणतीय अभिव्यक्ति- - विषय तेल और गैस उद्योग EN बीजगणितीय अभिव्यक्ति ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक या अधिक बीजगणितीय मात्राएँ (संख्याएँ और अक्षर) हैं जो बीजगणितीय संक्रियाओं के संकेतों से जुड़ी होती हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग, साथ ही मूल लेना और पूर्ण संख्याओं तक बढ़ाना... विकिपीडिया

बीजगणितीय परिचालनों के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, मूल निष्कर्षण। * * * बीजगणितीय अभिव्यक्ति बीजगणितीय अभिव्यक्ति, अभिव्यक्ति,... ... विश्वकोश शब्दकोश

बीजगणतीय अभिव्यक्ति- बीजगणित išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. बीजगणितीय अभिव्यक्ति वोक। बीजगणित ऑस्ड्रक, एम रस। बीजगणितीय अभिव्यक्ति, एन pranc। अभिव्यक्ति बीजगणित, एफ ... भौतिक शब्दावली शब्द

बीजगणितीय चिह्नों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं से बनी एक अभिव्यक्ति। संचालन: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक, मूल निष्कर्षण... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

किसी दिए गए चर के लिए एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति, एक ट्रान्सेंडैंटल के विपरीत, एक अभिव्यक्ति है जिसमें किसी दिए गए मात्रा के अन्य कार्यों को शामिल नहीं किया जाता है, इस मात्रा के योग, उत्पादों या शक्तियों और शर्तों को छोड़कर ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

अभिव्यक्ति, अभिव्यक्ति, सीएफ. 1. चौ. के तहत कार्रवाई एक्सप्रेस एक्सप्रेस. मुझे अपना आभार व्यक्त करने के लिए शब्द नहीं मिल रहे हैं। 2. अधिक बार इकाइयाँ। किसी प्रकार की कला (दर्शन) के रूप में किसी विचार का अवतार। ऐसी अभिव्यक्ति कोई महान कलाकार ही कर सकता है... उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

दो बीजीय व्यंजकों को बराबर करने से उत्पन्न समीकरण (बीजगणितीय व्यंजक देखें)। ए.यू. एक अज्ञात के साथ भिन्नात्मक कहा जाता है यदि अज्ञात को हर में शामिल किया जाता है, और यदि अज्ञात को शामिल किया जाता है तो इसे अपरिमेय कहा जाता है ... ... महान सोवियत विश्वकोश

अभिव्यक्ति- एक प्राथमिक गणितीय अवधारणा, जिसका अर्थ है अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों से जुड़े अक्षरों और संख्याओं का रिकॉर्ड, जिसमें कोष्ठक, फ़ंक्शन नोटेशन आदि का उपयोग किया जा सकता है; सामान्यतः सूत्र लाखों भागों में होता है। वहाँ बी (1) हैं… … बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

हम कुछ गणितीय व्यंजकों को विभिन्न तरीकों से लिख सकते हैं। यह हमारे लक्ष्यों पर निर्भर करता है कि हमारे पास पर्याप्त डेटा है या नहीं, आदि। संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँउनमें अंतर यह है कि हम पहले वाले को केवल अंकगणितीय चिह्नों (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) और कोष्ठक का उपयोग करके संयुक्त संख्याओं के रूप में लिखते हैं।

यदि आप संख्याओं के बजाय अभिव्यक्ति में लैटिन अक्षर (चर) डालते हैं, तो यह बीजगणितीय हो जाएगा। बीजगणितीय अभिव्यक्ति में अक्षरों, संख्याओं, जोड़ और घटाव, गुणा और भाग के संकेतों का उपयोग किया जाता है। मूल, डिग्री और कोष्ठक के चिह्न का भी उपयोग किया जा सकता है।

किसी भी स्थिति में, चाहे अभिव्यक्ति संख्यात्मक हो या बीजगणितीय, यह केवल संकेतों, संख्याओं और अक्षरों का एक यादृच्छिक सेट नहीं हो सकता है - इसका अर्थ होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि अक्षर, अंक, चिह्न किसी न किसी संबंध से जुड़े होने चाहिए। सही उदाहरण: 7x + 2: (y + 1). ख़राब उदाहरण) : + 7x - * 1.

"चर" शब्द का उल्लेख ऊपर किया गया था - इसका क्या अर्थ है? यह एक लैटिन अक्षर है, जिसके स्थान पर आप कोई संख्या प्रतिस्थापित कर सकते हैं। और अगर हम चर के बारे में बात कर रहे हैं, तो इस मामले में बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बीजगणितीय फ़ंक्शन कहा जा सकता है।

चर अलग-अलग मान ले सकता है। और इसके स्थान पर कुछ संख्या प्रतिस्थापित करके, हम चर के इस विशेष मान के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कर सकते हैं। जब किसी वेरिएबल का मान भिन्न होता है, तो अभिव्यक्ति का मान भिन्न होगा।

बीजगणितीय व्यंजकों को कैसे हल करें?

मूल्यों की गणना करने के लिए आपको करने की आवश्यकता है बीजीय व्यंजकों को परिवर्तित करना. और इसके लिए आपको अभी भी कुछ नियमों को ध्यान में रखना होगा।

सबसे पहले, बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का दायरा एक चर के सभी संभावित मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आ सकती है। इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, आप किसी वेरिएबल के लिए कोई मान प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जिसके लिए आपको शून्य से विभाजित करने की आवश्यकता होगी। अभिव्यक्ति 1/(x – 2) में, 2 को परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाना चाहिए।

दूसरे, याद रखें कि अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जाए: उन्हें गुणनखंडित करें, समान चरों को कोष्ठक से बाहर रखें, आदि। उदाहरण के लिए: यदि आप शर्तों की अदला-बदली करते हैं, तो योग नहीं बदलेगा (y + x = x + y)। इसी तरह, यदि कारकों की अदला-बदली की जाती है (x*y = y*x) तो उत्पाद नहीं बदलेगा।

सामान्य तौर पर, वे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उत्कृष्ट हैं। संक्षिप्त गुणन सूत्र. जिन लोगों ने अभी तक इन्हें नहीं सीखा है उन्हें अवश्य ऐसा करना चाहिए - फिर भी वे एक से अधिक बार काम आएंगे:

हम चरों के वर्ग के बीच अंतर पाते हैं: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);

हम योग का वर्ग ज्ञात करते हैं: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;

हम अंतर के वर्ग की गणना करते हैं: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;

योग को घन करें: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 या (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

अंतर को घन करें: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 या (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);

हम घन वाले चरों का योग ज्ञात करते हैं: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);

हम घन वाले चरों के बीच अंतर की गणना करते हैं: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);

हम जड़ों का उपयोग करते हैं: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), और 1 और a 2 अभिव्यक्ति xa 2 + ua + z की जड़ें हैं।

आपको बीजीय व्यंजकों के प्रकारों की भी समझ होनी चाहिए। वे हैं:

तर्कसंगत, और बदले में उन्हें विभाजित किया गया है:

पूर्णांक (चर में कोई विभाजन नहीं है, चर से जड़ों का कोई निष्कर्षण नहीं है और भिन्नात्मक शक्तियों तक कोई वृद्धि नहीं है): 3 ए 3 बी + 4 ए 2 बी * (ए - बी)। परिभाषा का क्षेत्र चर के सभी संभावित मान हैं ;

भिन्नात्मक (अन्य गणितीय संक्रियाओं को छोड़कर, जैसे जोड़, घटाव, गुणा, इन अभिव्यक्तियों में उन्हें एक चर से विभाजित किया जाता है और एक घात तक बढ़ाया जाता है (एक प्राकृतिक घातांक के साथ): (2/बी - 3/ए + सी/4) 2. परिभाषा का क्षेत्र - वे सभी मान चर जिनके लिए अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है;

अपरिमेय - एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति पर विचार करने के लिए, इसमें भिन्नात्मक घातांक के साथ चर को एक घात तक बढ़ाना और/या चर से मूल निकालना शामिल होना चाहिए: √a + b 3/4। परिभाषा का क्षेत्र चर के सभी मान हैं, उन मूल्यों को छोड़कर जिनके लिए एक सम घात की जड़ के तहत या एक भिन्नात्मक घात के तहत अभिव्यक्ति एक नकारात्मक संख्या बन जाती है।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनउन्हें हल करने के लिए एक और उपयोगी तकनीक है। एक पहचान एक अभिव्यक्ति है जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल किसी भी चर के लिए सत्य होगी जिसे इसमें प्रतिस्थापित किया गया है।

एक अभिव्यक्ति जो कुछ चर पर निर्भर करती है वह किसी अन्य अभिव्यक्ति के समान रूप से समान हो सकती है यदि यह समान चर पर निर्भर करती है और यदि दोनों अभिव्यक्तियों के मान बराबर हैं, तो चर के जो भी मान चुने जाते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि किसी अभिव्यक्ति को दो अलग-अलग तरीकों (अभिव्यक्तियों) में व्यक्त किया जा सकता है जिनके मान समान हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ समान रूप से समान हैं। उदाहरण के लिए: y + y = 2y, या x 7 = x 4 * x 3, या x + y + z = z + x + y।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के साथ कार्य करते समय, समान परिवर्तन यह सुनिश्चित करने के लिए कार्य करता है कि एक अभिव्यक्ति को उसके समान दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, x 9 को उत्पाद x 5 * x 4 से बदलें।

समाधान के उदाहरण

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें। बीजीय व्यंजकों का रूपांतरण. इस स्तर के कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए KIMs में पाए जा सकते हैं।

कार्य 1: व्यंजक ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1) का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.

कार्य 2: अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3)।

समाधान: (4x 2 - 9)*(1/(2x - 3) - 1/(2x +3) = (2x - 3)(2x + 3)(2x + 3 - 2x + 3)/(2x - 3) )(2x + 3) = 6.

निष्कर्ष

स्कूल परीक्षाओं, एकीकृत राज्य परीक्षाओं और राज्य परीक्षाओं की तैयारी करते समय, आप हमेशा इस सामग्री को एक संकेत के रूप में उपयोग कर सकते हैं। ध्यान रखें कि बीजगणितीय अभिव्यक्ति लैटिन अक्षरों में व्यक्त संख्याओं और चरों का एक संयोजन है। और अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग), कोष्ठक, घात, मूल के संकेत भी।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों और सर्वसमिकाओं के ज्ञान का उपयोग करें।

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प्रकाशन बुनियादी सामान्य और माध्यमिक (पूर्ण) सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए बीजीय अभिव्यक्तियों में अंतर के तर्क को भौतिकी आदि में प्रयुक्त गणितीय अभिव्यक्तियों में अंतर के तर्क के निर्माण में एक संक्रमणकालीन चरण के रूप में प्रस्तुत करता है। घटनाओं, कार्यों, उनके वर्गीकरण और उन्हें हल करने की पद्धति के बारे में अवधारणाओं के आगे गठन के लिए।

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पूर्व दर्शन:

बीजगणितीय व्यंजक और उनकी विशेषताएँ

© स्कारज़िन्स्की वाई.के.एच.

बीजगणित, एक विज्ञान के रूप में, अक्षरों द्वारा दर्शाए गए सेटों पर क्रियाओं के पैटर्न का अध्ययन करता है।बीजीय संक्रियाओं में जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और मूल निष्कर्षण शामिल हैं।इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप बीजगणितीय व्यंजकों का निर्माण हुआ।बीजगणितीय अभिव्यक्ति - संख्याओं और अक्षरों से युक्त एक अभिव्यक्ति जो सेट को दर्शाती है, जिसके साथ बीजगणितीय संचालन किए जाते हैं।इन संक्रियाओं को अंकगणित से बीजगणित में स्थानांतरित कर दिया गया। बीजगणित में वे विचार करते हैंएक बीजगणितीय अभिव्यक्ति को दूसरे से बराबर करना, जो उनकी समान समानता है। बीजीय व्यंजकों के उदाहरण §1 में दिए गए हैं।परिवर्तन की विधियाँ और अभिव्यक्ति के संबंध भी अंकगणित से उधार लिए गए थे. अंकगणितीय अभिव्यक्तियों पर क्रियाओं के अंकगणितीय पैटर्न का ज्ञान आपको समान बीजगणितीय अभिव्यक्तियों पर परिवर्तन करने, उन्हें बदलने, सरल बनाने, तुलना करने, विश्लेषण करने की अनुमति देता है।बीजगणित अभिव्यक्ति के परिवर्तनों की नियमितता का विज्ञान है, जिसमें अक्षर पदनामों के रूप में प्रस्तुत सेट शामिल हैं, जो विभिन्न क्रियाओं के संकेतों से जुड़े हुए हैं।उच्च शिक्षण संस्थानों में अधिक जटिल बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का भी अध्ययन किया जाता है। अभी के लिए, उन्हें स्कूली पाठ्यक्रम में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।

1 बीजगणितीय व्यंजकों के प्रकार

खण्ड 1 सरल भाव: 4ए; (ए + बी); (ए + बी)3सी; ; .

खण्ड 2 समान समानताएँ:(ए + बी)सी = एसी + बीसी; ;

आइटम 3 असमानताएं: एसी ; ए + सी .

आइटम 4 सूत्र: x=2a+5; y=3b; y=0.5d 2 +2;

आइटम 5 अनुपात:

पहला कठिनाई स्तर

दूसरा कठिनाई स्तर

कठिनाई का तीसरा स्तरसेट के लिए मानों की खोज के दृष्टिकोण से

ए, बी, सी, एम, के, डी:

चौथा कठिनाई स्तरसेट ए, वाई के लिए मान खोजने के दृष्टिकोण से:

आइटम 6 समीकरण:

कुल्हाड़ी+सी = -5बीएक्स; 4x 2 +2x= 42;

वगैरह।

खंड 7 कार्यात्मक निर्भरताएँ: y=3x; y=ax 2 +4b; y=0.5x 2 +2;

वगैरह।

2 बीजीय व्यंजकों पर विचार करें

2.1 खंड 1 सरल बीजीय व्यंजक प्रस्तुत करता है। एक दृश्य है और

अधिक कठिन, उदाहरण के लिए:

एक नियम के रूप में, ऐसे भावों में "=" चिन्ह नहीं होता है। ऐसी अभिव्यक्तियों पर विचार करते समय कार्य उन्हें रूपांतरित करना और सरलीकृत रूप में प्राप्त करना है। चरण 1 से संबंधित बीजगणितीय अभिव्यक्ति को परिवर्तित करते समय, एक नई बीजगणितीय अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, जो इसके अर्थ में पिछले एक के बराबर होती है। ऐसे भावों को समतुल्य समतुल्य कहा जाता है। वे। समान चिह्न के बाईं ओर का बीजगणितीय व्यंजक दाईं ओर के बीजगणितीय व्यंजक के अर्थ के बराबर है। इस मामले में, एक नए प्रकार की बीजगणितीय अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जिसे समरूप समानता कहा जाता है (पैराग्राफ 2 देखें)।

2.2 धारा 2 बीजगणितीय पहचान समानताएं प्रस्तुत करती है, जो बीजगणितीय परिवर्तन विधियों द्वारा बनते हैं, बीजगणितीय व्यंजकों को भौतिकी में समस्याओं को हल करने के तरीकों के रूप में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय परिवर्तनों की समान समानता के उदाहरण, अक्सर गणित और भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं:

जोड़ का क्रमविनिमेय नियम:ए + बी = बी + ए.

जोड़ का साहचर्य नियम:(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)।

गुणन का क्रमविनिमेय नियम:अब = बा.

गुणन का साहचर्य नियम:(एबी)सी = ए(बीसी)।

जोड़ के संबंध में गुणन का वितरणात्मक नियम:

(ए + बी)सी = एसी + बीसी।

घटाव के संबंध में गुणन का वितरणात्मक नियम:

(ए - बी)सी = एसी - बीसी।

समान समानताएँभिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ(यह मानते हुए कि भिन्नों के हर शून्येतर हैं):

समान समानताएँघातों के साथ बीजीय व्यंजक:

ए) ,

कहाँ (n बार, ) - पूर्णांक डिग्री

बी) (ए + बी) 2 =ए 2 +2एबी+बी 2।

समान समानताएँजड़ों के साथ बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँनौवीं डिग्री:

अभिव्यक्ति - अंकगणित मूलएन बीच से th डिग्रीविशेष रूप से, - अंकगणित वर्ग.

भिन्नात्मक (तर्कसंगत) घातांक के साथ डिग्रीजड़:

ऊपर दिए गए समकक्ष व्यंजकों का उपयोग अधिक जटिल बीजगणितीय व्यंजकों को बदलने के लिए किया जाता है जिनमें "=" चिह्न नहीं होता है।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें, अधिक जटिल बीजगणितीय अभिव्यक्ति को बदलने के लिए, हम सरल बीजीय अभिव्यक्तियों को समान समानताओं के रूप में बदलने से प्राप्त ज्ञान का उपयोग करते हैं।

2.3 धारा 3 बीजगणितीय n प्रस्तुत करता हैसमानता, जिसके लिए बाईं ओर की बीजगणितीय अभिव्यक्ति दाईं ओर के बराबर नहीं है, यानी समान नहीं हैं. इस मामले में, वे असमानताएँ हैं। एक नियम के रूप में, भौतिकी में कुछ समस्याओं को हल करते समय, असमानताओं के गुण महत्वपूर्ण होते हैं:

1) यदि a , फिर किसी भी c : a + c के लिए .

2) यदि ए और c > 0, फिर ac .

3) यदि ए और सी , फिर एसी > बीएसयू .

4) यदि ए , ए और बी तो फिर एक संकेत 1/ए > 1/बी।

5) यदि ए और सी , फिर ए + सी , ए - डी .

6) यदि ए , सी , ए > 0, बी > 0, सी > 0, डी > 0, फिर एसी .

7) यदि ए , ए > 0, बी > 0, फिर

8) यदि , तो

2.4 धारा 4 बीजगणितीय सूत्र प्रस्तुत करता हैवे। बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ जिनमें समान चिह्न के बाईं ओर एक अक्षर होता है जो एक सेट को दर्शाता है जिसका मूल्य अज्ञात है और जिसे निर्धारित किया जाना चाहिए। और समान चिन्ह के दाहिनी ओर समुच्चय हैं जिनका मान ज्ञात है। इस स्थिति में, इस बीजगणितीय अभिव्यक्ति को बीजगणितीय सूत्र कहा जाता है।

बीजगणितीय सूत्र एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें एक समान चिह्न होता है, जिसके बाईं ओर एक सेट होता है जिसका मान अज्ञात होता है, और दाईं ओर समस्या की स्थितियों के आधार पर ज्ञात मान वाले सेट होते हैं।"समान" चिह्न के बाईं ओर सेट के अज्ञात मान को निर्धारित करने के लिए, मात्राओं के ज्ञात मानों को "बराबर" चिह्न के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया जाता है और बीजगणितीय अभिव्यक्ति में इंगित अंकगणितीय कम्प्यूटेशनल संचालन किया जाता है। यह भाग।

उदाहरण 1:

दिया गया: समाधान:

a=25 मान लीजिए कि बीजगणितीय व्यंजक दिया गया है:

एक्स=? x=2a+5.

यह बीजीय व्यंजक एक बीजगणितीय सूत्र है क्योंकि समान चिह्न के बाईं ओर एक सेट है जिसका मान ज्ञात किया जाना चाहिए, और दाईं ओर ज्ञात मान वाले सेट हैं।

इसलिए, सेट "x" का अज्ञात मान निर्धारित करने के लिए सेट "ए" के लिए ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करना संभव है:

x=2·25+5=55. उत्तर: x=55.

उदाहरण 2:

दिया गया: समाधान:

a=25 बीजीय व्यंजकसूत्र है.

b=4 इसलिए, ज्ञात को प्रतिस्थापित करना संभव है

समान चिह्न के दाईं ओर सेट के लिए c=8 मान,

सेट "k" का अज्ञात मान निर्धारित करने के लिए d=3,

m=20 बाईं ओर खड़ा है:

n=6 उत्तर: k=3.2.

प्रशन

1 बीजीय व्यंजक क्या है?

2 आप किस प्रकार के बीजीय व्यंजक जानते हैं?

3 किस बीजगणितीय अभिव्यक्ति को पहचान समानता कहा जाता है?

4 पहचान समानता पैटर्न जानना क्यों आवश्यक है?

5 किस बीजीय व्यंजक को सूत्र कहा जाता है?

6 किस बीजगणितीय अभिव्यक्ति को समीकरण कहा जाता है?

7 किस बीजगणितीय अभिव्यक्ति को कार्यात्मक निर्भरता कहा जाता है?

संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ. अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना।

गणित में अभिव्यक्ति क्या है? हमें अभिव्यक्ति रूपांतरणों की आवश्यकता क्यों है?

प्रश्न, जैसा कि वे कहते हैं, दिलचस्प है... तथ्य यह है कि ये अवधारणाएँ सभी गणित का आधार हैं। संपूर्ण गणित में अभिव्यक्तियाँ और उनके परिवर्तन शामिल हैं। बहुत स्पष्ट नहीं? मुझे समझाने दो।

मान लीजिए कि आपके सामने एक बुरा उदाहरण है। बहुत बड़ा और बहुत जटिल. मान लीजिए कि आप गणित में अच्छे हैं और किसी भी चीज़ से डरते नहीं हैं! क्या आप तुरंत उत्तर दे सकते हैं?

आप के लिए होगा तय करनायह उदाहरण. लगातार, चरण दर चरण, यह उदाहरण आसान बनाने में. निःसंदेह, कुछ नियमों के अनुसार। वे। करना अभिव्यक्ति रूपांतरण. आप इन परिवर्तनों को कितनी सफलतापूर्वक करते हैं, इसका मतलब है कि आप गणित में मजबूत हैं। यदि आप नहीं जानते कि सही परिवर्तन कैसे करें, तो आप उन्हें गणित में नहीं कर पाएंगे। कुछ नहीं...

ऐसे असुविधाजनक भविष्य (या वर्तमान...) से बचने के लिए, इस विषय को समझने में कोई हर्ज नहीं है।)

सबसे पहले, आइए जानें गणित में अभिव्यक्ति क्या है. क्या हुआ है संख्यात्मक अभिव्यक्तिऔर क्या है बीजगणतीय अभिव्यक्ति।

गणित में अभिव्यक्ति क्या है?

गणित में अभिव्यक्ति- यह एक बहुत व्यापक अवधारणा है. गणित में हम जिन लगभग सभी चीज़ों से निपटते हैं वे गणितीय अभिव्यक्तियों का एक समूह है। कोई भी उदाहरण, सूत्र, भिन्न, समीकरण इत्यादि - इसमें सभी शामिल हैं गणितीय अभिव्यक्तियाँ.

3+2 एक गणितीय अभिव्यक्ति है. एस 2 - डी 2- यह भी एक गणितीय अभिव्यक्ति है. एक स्वस्थ भिन्न और सम एक संख्या दोनों ही गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण है:

5x + 2 = 12

इसमें एक समान चिह्न से जुड़े दो गणितीय अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं। एक अभिव्यक्ति बाईं ओर है, दूसरी दाईं ओर।

सामान्य तौर पर, शब्द " गणितीय अभिव्यक्ति"गुनगुनाने से बचने के लिए, अक्सर इसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, वे आपसे पूछेंगे कि साधारण भिन्न क्या है? और उत्तर कैसे दें?!

पहला उत्तर: "यह है... ममममम... ऐसी चीज़... जिसमें... क्या मैं भिन्न को बेहतर लिख सकता हूँ? आप कौन सा चाहते है?"

दूसरा उत्तर: "एक साधारण अंश है (प्रसन्नतापूर्वक और आनंदपूर्वक!) गणितीय अभिव्यक्ति , जिसमें एक अंश और एक हर होता है!"

दूसरा विकल्प किसी तरह अधिक प्रभावशाली होगा, है ना?)

यह वाक्यांश का उद्देश्य है " गणितीय अभिव्यक्ति "बहुत अच्छा। सही और ठोस दोनों। लेकिन व्यावहारिक उपयोग के लिए आपको इसकी अच्छी समझ होनी चाहिए।" गणित में विशिष्ट प्रकार के भाव .

विशिष्ट प्रकार एक अलग बात है. यह यह बिल्कुल अलग मामला है!प्रत्येक प्रकार की गणितीय अभिव्यक्ति होती है मेरानियमों और तकनीकों का एक सेट जिसका उपयोग निर्णय लेते समय किया जाना चाहिए। भिन्नों के साथ काम करने के लिए - एक सेट। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए - दूसरा। लघुगणक के साथ काम करने के लिए - तीसरा। और इसी तरह। कहीं ये नियम मेल खाते हैं, तो कहीं इनमें एकदम अंतर है। लेकिन इन डरावने शब्दों से डरो मत. हम उपयुक्त अनुभागों में लघुगणक, त्रिकोणमिति और अन्य रहस्यमय चीजों में महारत हासिल करेंगे।

यहां हम दो मुख्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों में महारत हासिल करेंगे (या - दोहराएंगे, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन...)। संख्यात्मक व्यंजक और बीजगणितीय व्यंजक।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ.

क्या हुआ है संख्यात्मक अभिव्यक्ति? यह एक बहुत ही सरल अवधारणा है. नाम से ही संकेत मिलता है कि यह संख्याओं वाला एक अभिव्यक्ति है। ऐसा ही है. संख्याओं, कोष्ठकों और अंकगणितीय प्रतीकों से बनी गणितीय अभिव्यक्ति को संख्यात्मक अभिव्यक्ति कहा जाता है।

7-3 एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है.

(8+3.2) 5.4 भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है।

और यह राक्षस:

यह भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, हाँ...

एक साधारण संख्या, एक भिन्न, X और अन्य अक्षरों के बिना गणना का कोई उदाहरण - ये सभी संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं।

मुख्य लक्षण न्यूमेरिकलभाव - इसमें कोई अक्षर नहीं. कोई नहीं। केवल संख्याएँ और गणितीय प्रतीक (यदि आवश्यक हो)। यह आसान है, है ना?

और आप संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ क्या कर सकते हैं? संख्यात्मक भावों को आमतौर पर गिना जा सकता है। ऐसा करने के लिए, ऐसा होता है कि आपको कोष्ठक खोलना होगा, चिह्न बदलना होगा, संक्षिप्त करना होगा, शब्दों की अदला-बदली करनी होगी - यानी। करना अभिव्यक्ति रूपांतरण. लेकिन उस पर और अधिक जानकारी नीचे दी गई है।

यहां हम ऐसे ही एक मजेदार मामले से निपटेंगे जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ तुम्हें कुछ भी करने की जरूरत नहीं है.ख़ैर, कुछ भी नहीं! यह सुखद ऑपरेशन - कुछ भी नहीं करने के लिए)- जब अभिव्यक्ति निष्पादित होती है कोई मतलब नहीं.

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कब समझ में नहीं आती है?

निःसंदेह, यदि हम अपने सामने किसी प्रकार का अब्रकदबरा देखते हैं, जैसे

तो हम कुछ नहीं करेंगे. चूंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या किया जाए। किसी प्रकार की बकवास। जब तक, प्लसस की संख्या गिनने के लिए...

लेकिन बाह्य रूप से काफी सभ्य अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के लिए यह:

(2+3) : (16 - 2 8)

हालाँकि, यह अभिव्यक्ति भी कोई मतलब नहीं! साधारण कारण से कि दूसरे कोष्ठक में - यदि आप गिनते हैं - तो आपको शून्य मिलता है। लेकिन आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते! यह गणित में एक निषिद्ध क्रिया है। अतः इस अभिव्यक्ति के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता भी नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति वाले किसी भी कार्य के लिए, उत्तर हमेशा एक ही होगा: "अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है!"

ऐसा उत्तर देने के लिए, निश्चित रूप से, मुझे गणना करनी होगी कि कोष्ठक में क्या होगा। और कभी-कभी कोष्ठक में ऐसा मोड़ आता है... ठीक है, आप इसके बारे में कुछ नहीं कर सकते।

गणित में इतनी अधिक निषिद्ध संक्रियाएँ नहीं हैं। इस विषय में केवल एक ही है. शून्य से विभाजन। जड़ों और लघुगणक में उत्पन्न होने वाले अतिरिक्त प्रतिबंधों पर संबंधित विषयों में चर्चा की गई है।

तो, एक विचार कि क्या है संख्यात्मक अभिव्यक्ति- प्राप्त। अवधारणा संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है- समझना। चलिए आगे बढ़ते हैं.

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ.

यदि संख्यात्मक अभिव्यक्ति में अक्षर आते हैं, तो यह अभिव्यक्ति बन जाती है... अभिव्यक्ति बन जाती है... हाँ! यह बनता है बीजगणतीय अभिव्यक्ति. उदाहरण के लिए:

5ए 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4 मी/एन; एक्स 2 +4एक्स-4; (ए+बी)2; ...

ऐसे भाव भी कहलाते हैं शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ.या चर के साथ अभिव्यक्तियाँ.यह व्यावहारिक रूप से एक ही बात है. अभिव्यक्ति 5ए +सी, उदाहरण के लिए, शाब्दिक और बीजगणितीय दोनों, और चर के साथ एक अभिव्यक्ति।

अवधारणा बीजगणतीय अभिव्यक्ति -संख्यात्मक से अधिक व्यापक. यह शामिलऔर सभी संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. वे। एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति भी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है, केवल अक्षरों के बिना। हर हेरिंग एक मछली है, लेकिन हर मछली एक हेरिंग नहीं है...)

क्यों वर्णानुक्रमक- यह स्पष्ट है। खैर, चूंकि पत्र हैं... वाक्यांश चर के साथ अभिव्यक्तियह बहुत हैरान करने वाला भी नहीं है. यदि आप समझते हैं कि अक्षरों के नीचे अंक छिपे होते हैं। अक्षरों के नीचे सभी प्रकार की संख्याएँ छिपाई जा सकती हैं... और 5, और -18, और कुछ भी। यानी एक पत्र हो सकता है प्रतिस्थापित करेंविभिन्न संख्याओं के लिए. इसीलिए तो अक्षर कहलाते हैं चर.

अभिव्यक्ति में y+5, उदाहरण के लिए, पर- परिवर्तनशील मान. या वे बस कहते हैं " चर", "परिमाण" शब्द के बिना। पाँच के विपरीत, जो एक स्थिर मान है। या केवल - स्थिर.

अवधि बीजगणतीय अभिव्यक्तिइसका मतलब है कि इस अभिव्यक्ति के साथ काम करने के लिए आपको कानूनों और नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है बीजगणित. अगर अंकगणितफिर, विशिष्ट संख्याओं के साथ काम करता है बीजगणित- सभी नंबरों के साथ एक साथ. स्पष्टीकरण के लिए एक सरल उदाहरण.

अंकगणित में हम उसे लिख सकते हैं

लेकिन यदि हम ऐसी समानता को बीजीय व्यंजकों के माध्यम से लिखें:

ए + बी = बी + ए

हम तुरंत निर्णय लेंगे सभीप्रशन। के लिए सभी नंबरआघात। हर अनंत चीज़ के लिए. क्योंकि अक्षरों के नीचे एऔर बीगर्भित सभीनंबर. और न केवल संख्याएँ, बल्कि अन्य गणितीय अभिव्यक्तियाँ भी। बीजगणित इसी प्रकार काम करता है.

बीजगणितीय अभिव्यक्ति का अर्थ कब नहीं होता?

संख्यात्मक अभिव्यक्ति के बारे में सब कुछ स्पष्ट है. आप शून्य से भाग नहीं दे सकते. और अक्षरों से, क्या यह पता लगाना संभव है कि हम किससे विभाजित कर रहे हैं?!

आइए उदाहरण के लिए इस अभिव्यक्ति को चर के साथ लें:

2: (ए - 5)

क्या इसका अर्थ बनता है? लेकिन उसे कौन जानता है? ए- कोई संख्या...

कोई भी, कोई भी... लेकिन एक अर्थ है ए, जिसके लिए यह अभिव्यक्ति बिल्कुलकोई मतलब नहीं! और वह संख्या क्या है? हाँ! यह 5 है! यदि चर ए(वे कहते हैं "स्थानापन्न") को संख्या 5 से बदलें, कोष्ठक में आपको शून्य मिलता है। जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता. तो यह पता चलता है कि हमारी अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं, अगर ए = 5. लेकिन अन्य मूल्यों के लिए एक्या इसका अर्थ बनता है? क्या आप अन्य संख्याएँ प्रतिस्थापित कर सकते हैं?

निश्चित रूप से। ऐसे में वे बस यही कहते हैं कि अभिव्यक्ति

2: (ए - 5)

किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है ए, ए = 5 को छोड़कर .

संख्याओं का पूरा सेट कर सकनाकिसी दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करना कहलाता है स्वीकार्य मूल्यों की सीमायह अभिव्यक्ति.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी मुश्किल नहीं है। आइए चर के साथ अभिव्यक्ति को देखें और पता लगाएं: चर के किस मूल्य पर निषिद्ध ऑपरेशन (शून्य से विभाजन) प्राप्त होता है?

और फिर कार्य प्रश्न को अवश्य देखें। वे क्या पूछ रहे हैं?

कोई मतलब नहीं, हमारा निषिद्ध अर्थ उत्तर होगा।

यदि आप पूछें कि किसी चर के किस मान पर अभिव्यक्ति है का अर्थ है(अंतर महसूस करें!), उत्तर होगा अन्य सभी नंबरनिषिद्ध को छोड़कर.

हमें अभिव्यक्ति के अर्थ की आवश्यकता क्यों है? वह वहाँ है, वह नहीं है... क्या अंतर है?! मुद्दा यह है कि हाई स्कूल में यह अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। अत्यंत महत्वपूर्ण! यह स्वीकार्य मूल्यों के डोमेन या किसी फ़ंक्शन के डोमेन जैसी ठोस अवधारणाओं का आधार है। इसके बिना आप गंभीर समीकरणों या असमानताओं को बिल्कुल भी हल नहीं कर पाएंगे। इस कदर।

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना। पहचान परिवर्तन.

हमें संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों से परिचित कराया गया। हम समझ गए कि वाक्यांश "अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है" का क्या अर्थ है। अब हमें यह पता लगाना होगा कि यह क्या है भावों का रूपांतरण.उत्तर सरल है, अपमान की हद तक।) यह अभिव्यक्ति के साथ कोई भी क्रिया है। बस इतना ही। आप ये परिवर्तन पहली कक्षा से कर रहे हैं।

आइए शानदार संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3+5 लें। इसे कैसे परिवर्तित किया जा सकता है? हाँ, बहुत सरल! गणना करें:

यह गणना अभिव्यक्ति का रूपांतरण होगी. आप एक ही अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीके से लिख सकते हैं:

यहां हमने कुछ भी नहीं गिना। बस अभिव्यक्ति लिख दी एक अलग रूप में.यह भी अभिव्यक्ति का रूपांतरण होगा. आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

और यह भी एक अभिव्यक्ति का रूपांतरण है. आप जितने चाहें उतने परिवर्तन कर सकते हैं।

कोईअभिव्यक्ति पर कार्रवाई कोईउसे दूसरे रूप में लिखना अभिव्यक्ति को रूपान्तरित करना कहलाता है। और यह सबकुछ है। सब कुछ बहुत सरल है. लेकिन यहां एक बात है बहुत महत्वपूर्ण नियम.इतना महत्वपूर्ण कि इसे सुरक्षित रूप से कहा जा सकता है मुख्य नियमसारा गणित. इस नियम को तोड़ना अनिवार्य रूप सेत्रुटियों की ओर ले जाता है। क्या हम इसमें शामिल हो रहे हैं?)

मान लीजिए कि हमने अपनी अभिव्यक्ति को इस तरह बेतरतीब ढंग से बदल दिया:

रूपांतरण? निश्चित रूप से। हमने अभिव्यक्ति को एक अलग रूप में लिखा, इसमें क्या गलत है?

ऐसा नहीं है।) मुद्दा यह है कि परिवर्तन "बिना सोचे समझे"गणित में बिल्कुल भी रुचि नहीं है।) सारा गणित उन परिवर्तनों पर बना है जिनमें स्वरूप बदल जाता है, लेकिन अभिव्यक्ति का सार नहीं बदलता.तीन और पांच को किसी भी रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन आठ ही होना चाहिए।

परिवर्तन, अभिव्यक्तियाँ जो सार नहीं बदलतींकहा जाता है समान।

बिल्कुल पहचान परिवर्तनऔर हमें कदम दर कदम, एक जटिल उदाहरण को बनाए रखते हुए एक सरल अभिव्यक्ति में बदलने की अनुमति देता है उदाहरण का सार.यदि हम परिवर्तनों की श्रृंखला में कोई गलती करते हैं, हम एक समान परिवर्तन नहीं करते हैं, तो हम निर्णय लेंगे एक औरउदाहरण। अन्य उत्तरों के साथ जो सही उत्तरों से संबंधित नहीं हैं।)

किसी भी कार्य को हल करने का यह मुख्य नियम है: परिवर्तनों की पहचान बनाए रखना।

मैंने स्पष्टता के लिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3+5 के साथ एक उदाहरण दिया। बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में, पहचान परिवर्तन सूत्रों और नियमों द्वारा दिए जाते हैं। मान लीजिए बीजगणित में एक सूत्र है:

ए(बी+सी) = एबी + एसी

इसका मतलब यह है कि किसी भी उदाहरण में हम अभिव्यक्ति के स्थान पर कर सकते हैं ए(बी+सी)एक अभिव्यक्ति लिखने के लिए स्वतंत्र महसूस करें एबी + एसी. और इसके विपरीत। यह समान परिवर्तन.गणित हमें इन दो अभिव्यक्तियों के बीच एक विकल्प देता है। और कौन सा लिखना है यह विशिष्ट उदाहरण पर निर्भर करता है।

एक और उदाहरण। सबसे महत्वपूर्ण और आवश्यक परिवर्तनों में से एक भिन्न का मूल गुण है। आप अधिक विवरण के लिए लिंक देख सकते हैं, लेकिन यहां मैं आपको केवल नियम की याद दिलाऊंगा: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, या कोई ऐसा व्यंजक जो शून्य के बराबर न हो, तो भिन्न नहीं बदलेगा।इस संपत्ति का उपयोग करके पहचान परिवर्तनों का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

जैसा कि आपने शायद अनुमान लगाया, यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक जारी रह सकती है...) एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति। यह वह है जो आपको सभी प्रकार के उदाहरण राक्षसों को सफेद और रोएंदार में बदलने की अनुमति देता है।)

समान परिवर्तनों को परिभाषित करने वाले कई सूत्र हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण काफी उचित संख्या है। बुनियादी परिवर्तनों में से एक गुणनखंडन है। इसका उपयोग सभी गणित में किया जाता है - प्रारंभिक से लेकर उन्नत तक। चलिए उससे शुरू करते हैं. अगले पाठ में.)

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