Shndërrimi i shprehjes. Teoria e Detajuar (2020)
(1) a m ⋅ a n = a m + n
Shembull:
$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n
Shembull:
$$\frac(((a^4)))((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
Shembull:
$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n
Shembull:
$$(\majtas((\frac(a)(b)) \djathtas)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n
Shembull:
$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a - n = 1 a n
Shembuj:
$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$
Karakteristikat e rrënjës katrore:
(1) a b = a ⋅ b , për një ≥ 0 , b ≥ 0
Shembull:
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b, për a ≥ 0, b > 0
Shembull:
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a , për një ≥ 0
Shembull:
(4) a 2 = | a | për çdo a
Shembuj:
(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .
Numrat racionalë dhe irracionalë
Numrat racionalë janë numra që mund të përfaqësohen si një thyesë e përbashkët m n ku m është një numër i plotë (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n është një numër natyror (ℕ = 1, 2, 3, 4 …).
Shembuj të numrave racionalë:
1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.
Numrat irracionalë - numra që nuk mund të paraqiten si thyesë e zakonshme m n, janë thyesa dhjetore të pafundme jo periodike.
Shembuj të numrave irracionalë:
e = 2,71828182845…
π = 3,1415926…
2 = 1,414213562…
3 = 1,7320508075…
E thënë thjesht, numrat irracionalë janë numra që përmbajnë shenjën e rrënjës katrore në shënimin e tyre. Por jo gjithçka është kaq e thjeshtë. Disa numra racional maskohen si irracionalë, për shembull, numri 4 përmban një shenjë të rrënjës katrore në shënimin e tij, por ne e dimë mirë se mund të thjeshtojmë shënimin 4 = 2. Kjo do të thotë se numri 4 është një numër racional.
Në mënyrë të ngjashme, numri 4 81 = 4 81 = 2 9 është një numër racional.
Disa probleme kërkojnë që ju të përcaktoni se cilët numra janë racionalë dhe cilët janë iracionalë. Detyra është të kuptojmë se cilët numra janë irracionalë dhe cilët janë të maskuar si ata. Për ta bërë këtë, duhet të jeni në gjendje të kryeni operacionet e nxjerrjes së faktorit nga nën shenjën e rrënjës katrore dhe futjes së faktorit nën shenjën e rrënjës.
Futja dhe heqja e faktorit për shenjën e rrënjës katrore
Duke hequr faktorin nga shenja e rrënjës katrore, mund të thjeshtoni ndjeshëm disa shprehje matematikore.
Shembull:
Thjeshtoni shprehjen 2 8 2 .
1 mënyrë (duke hequr shumëzuesin nga nën shenjën e rrënjës): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
Metoda 2 (duke futur një shumëzues nën shenjën e rrënjës): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Formulat e shkurtuara të shumëzimit (FSU)
katror shumës
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Shembull:
(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
Sheshi i diferencës
(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Shembull:
(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Shuma e katrorëve nuk faktorizon
Dallimi i katrorëve
(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)
Shembull:
25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)
kubi i shumës
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Shembull:
(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
kubi i diferencës
(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
Shembull:
(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
Shuma e kubeve
(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)
Shembull:
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)
Dallimi i kubeve
(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)
Shembull:
x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)
Forma standarde e numrit
Për të kuptuar se si të sillni një numër racional arbitrar në formën standarde, duhet të dini se cila është shifra e parë domethënëse e numrit.
Shifra e parë domethënëse e një numri quhet shifra e parë jozero në të majtë.
Shembuj:
2 5 ; 3, 05; 0, 143; 0 , 00 1 2 . Shifra e parë e rëndësishme është theksuar me të kuqe.
Për të kthyer një numër në formën standarde:
- Zhvendosni presjen në mënyrë që të jetë menjëherë pas shifrës së parë domethënëse.
- Shumëzojeni numrin që rezulton me 10 n, ku n është një numër, i cili përcaktohet si më poshtë:
- n > 0 nëse presja është zhvendosur në të majtë (shumëzimi me 10 n tregon se presja duhet të jetë në të vërtetë djathtas);
- n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- vlera absolute e numrit n është e barabartë me numrin e shifrave me të cilat është zhvendosur presja.
Shembuj:
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Presja është zhvendosur majtas me 1 shifër. Meqenëse pika dhjetore zhvendoset në të majtë, eksponenti është pozitiv.
E sjellë tashmë në formën standarde, nuk keni nevojë të bëni asgjë me të. Mund të shkruhet si 3,05 ⋅ 10 0 , por meqenëse 10 0 = 1, ne e lëmë numrin në formën e tij origjinale.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Presja është zhvendosur djathtas me 1 shifër. Meqenëse pika dhjetore është zhvendosur djathtas, eksponenti është negativ.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Presja është zhvendosur tre vende në të djathtë. Meqenëse pika dhjetore është zhvendosur djathtas, eksponenti është negativ.
Shprehje algjebrike shprehje e përbërë nga shkronja dhe numra të lidhur me shenjat e veprimeve të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit, ngritjes në një fuqi të plotë dhe nxjerrjes së rrënjës (eksponentët dhe rrënja duhet të jenë numra konstante). A. në. quhet racional në lidhje me disa nga shkronjat e përfshira në të nëse nuk i përmban ato nën shenjën e nxjerrjes së rrënjës, p.sh. racionale në lidhje me a, b dhe c. A. në. quhet numër i plotë në lidhje me disa shkronja nëse nuk përmban ndarje sipas shprehjeve që përmbajnë këto shkronja, për shembull 3a / c + bc 2 - 3ac / 4
është numër i plotë në lidhje me a dhe b. Nëse disa nga shkronjat (ose të gjitha) konsiderohen variabla, atëherë A. c. është një funksion algjebrik.
Enciklopedia e Madhe Sovjetike. - M.: Enciklopedia Sovjetike. 1969-1978 .
Shihni se çfarë është "Shprehja Algjebrike" në fjalorë të tjerë:
Një shprehje e përbërë nga shkronja dhe numra të lidhur me shenja të veprimeve algjebrike: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, ngritje në një fuqi, nxjerrje të një rrënjë ... Fjalori i madh enciklopedik
shprehje algjebrike- - Temat industria e naftës dhe gazit EN shprehja algjebrike ... Manuali i Përkthyesit Teknik
Një shprehje algjebrike është një ose më shumë sasi algjebrike (numra dhe shkronja) të ndërlidhura me shenja të veprimeve algjebrike: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim, si dhe nxjerrjen e rrënjës dhe ngritjen në një numër të plotë ... ... Wikipedia
Një shprehje e përbërë nga shkronja dhe numra të lidhur me shenja të veprimeve algjebrike: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, ngritje në fuqi, nxjerrje rrënjë. * * * SHPREHJE ALGJEBRIK SHPREHJE ALGJEBRIK, shprehje, ... ... fjalor enciklopedik
shprehje algjebrike- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. shprehje algjebrike vok. algjebrisher Ausdruck, m rus. shprehje algjebrike, n pranc. shprehje algjebrike, f … Fizikos terminų žodynas
Një shprehje e përbërë nga shkronja dhe numra të lidhur me shenjat e algjebrës. veprimet: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, fuqizim, nxjerrje rrënjë ... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik
Një shprehje algjebrike në lidhje me një ndryshore të caktuar, në ndryshim nga një transcendent, është një shprehje që nuk përmban funksione të tjera të një sasie të caktuar, përveç shumave, produkteve ose fuqive të kësaj sasie, për më tepër, terma ... Fjalor Enciklopedik F.A. Brockhaus dhe I.A. Efron
SHPREHJE, shprehje, krh. 1. Veprimi sipas K. shpreh shprehin. Nuk gjej fjalë për të shprehur mirënjohjen time. 2. më shpesh sesa jo Mishërimi i një ideje në format e një lloji arti (filozofik). Vetëm një artist i madh është në gjendje të krijojë një shprehje të tillë, ... ... Fjalori shpjegues i Ushakovit
Një ekuacion i marrë duke barazuar dy shprehje algjebrike (Shih Shprehja Algjebrike). A. y. me një të panjohur quhet thyesore nëse e panjohura përfshihet në emërues, dhe irracionale nëse e panjohura përfshihet në ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
SHPREHJE- një koncept matematikor parësor, që nënkupton një regjistrim të shkronjave dhe numrave të lidhur me shenja të veprimeve aritmetike, ndërsa mund të përdoren kllapa, simbole funksioni etj.; zakonisht B është formulë milion pjesë e saj. Dalloni në (1) ... ... Enciklopedia e Madhe Politeknike
Mund të shkruajmë disa shprehje matematikore në mënyra të ndryshme. Në varësi të qëllimeve tona, nëse kemi të dhëna të mjaftueshme, etj. Shprehje numerike dhe algjebrike ndryshojnë në atë që të parën e shkruajmë vetëm si numra të kombinuar me ndihmën e shenjave të veprimeve aritmetike (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim) dhe kllapa.
Nëse në vend të numrave futni shkronja latine (ndryshore) në shprehje, ajo do të bëhet algjebrike. Shprehjet algjebrike përdorin shkronja, numra, shenja të mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit. Dhe gjithashtu mund të përdoret shenja e rrënjës, shkallës, kllapave.
Në çdo rast, pavarësisht nëse kjo shprehje është numerike apo algjebrike, ajo nuk mund të jetë thjesht një grup i rastësishëm karakteresh, numrash dhe shkronjash - duhet të ketë një kuptim. Kjo do të thotë që shkronjat, numrat, shenjat duhet të lidhen me një lloj marrëdhënieje. Shembulli i saktë: 7x + 2: (y + 1). Shembull i keq): + 7x - * 1.
Fjala "ndryshueshme" u përmend më lart - çfarë do të thotë? Kjo është një shkronjë latine, në vend të së cilës mund të zëvendësoni një numër. Dhe nëse po flasim për variabla, në këtë rast, shprehjet algjebrike mund të quhen funksion algjebrik.
Variabla mund të marrë vlera të ndryshme. Dhe duke zëvendësuar një numër në vend të tij, mund të gjejmë vlerën e shprehjes algjebrike për këtë vlerë të veçantë të ndryshores. Kur vlera e ndryshores është e ndryshme, edhe vlera e shprehjes do të jetë e ndryshme.
Si të zgjidhni shprehjet algjebrike?
Për të llogaritur vlerat që duhet të bëni transformimi i shprehjeve algjebrike. Dhe për këtë ju ende duhet të merrni parasysh disa rregulla.
Së pari: domeni i një shprehjeje algjebrike janë të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje për të cilën shprehja mund të ketë kuptim. Çfarë nënkuptohet? Për shembull, nuk mund të zëvendësoni një vlerë për një variabël që do t'ju kërkonte ta ndani me zero. Në shprehjen 1 / (x - 2), 2 duhet të përjashtohet nga fusha e përkufizimit.
Së dyti, mbani mend se si të thjeshtoni shprehjet: faktorizoni, kllapa variabla identike, etj. Për shembull: nëse ndërroni termat, shuma nuk do të ndryshojë (y + x = x + y). Në mënyrë të ngjashme, produkti nuk do të ndryshojë nëse faktorët ndërrohen (x * y \u003d y * x).
Në përgjithësi, ato janë të shkëlqyera për thjeshtimin e shprehjeve algjebrike. formulat e shkurtuara të shumëzimit. Ata që nuk i kanë mësuar ende duhet ta bëjnë këtë - ata do të jenë akoma të dobishëm më shumë se një herë:
gjejmë ndryshimin e variablave në katror: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);
gjejmë shumën në katror: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;
ne llogarisim diferencën në katror: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;
ne kubojmë shumën: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ose (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);
kubike diferenca: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 ose (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);
gjejmë shumën e variablave në kubik: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);
ne llogarisim ndryshimin e variablave në kub: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);
ne përdorim rrënjët: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), dhe 1 dhe a 2 janë rrënjët e shprehjes xa 2 + ya + z.
Ju gjithashtu duhet të keni një ide për llojet e shprehjeve algjebrike. Ata janë:
racionale, dhe ato nga ana tjetër ndahen në:
numra të plotë (ata nuk kanë ndarje në ndryshore, nuk ka nxjerrje të rrënjëve nga variablat dhe nuk ka ngritje në një fuqi thyesore): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b). Shtrirja është të gjitha vlerat e mundshme i variablave;
thyesore (me përjashtim të veprimeve të tjera matematikore, si mbledhja, zbritja, shumëzimi, në këto shprehje ato pjesëtohen me një ndryshore dhe ngrihen në një fuqi (me një eksponent natyror): (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 Domeni i definicionit - të gjitha vlerat e variablave për të cilat shprehja nuk është e barabartë me zero;
irracionale - në mënyrë që një shprehje algjebrike të konsiderohet si e tillë, ajo duhet të përmbajë fuqizimin e ndryshoreve në një fuqi me një eksponent thyesor dhe / ose nxjerrjen e rrënjëve nga ndryshoret: √a + b 3/4. Fusha e përkufizimit janë të gjitha vlerat e variablave, duke përjashtuar ato në të cilat shprehja nën rrënjën e një shkalle çift ose nën një shkallë të pjesshme bëhet një numër negativ.
Shndërrimet e identitetit të shprehjeve algjebrikeështë një teknikë tjetër e dobishme për zgjidhjen e tyre.Një identitet është një shprehje që do të jetë e vërtetë për çdo variabël të përfshirë në domenin e përkufizimit që zëvendësohet në të.
Një shprehje që varet nga disa ndryshore mund të jetë identike e barabartë me një shprehje tjetër nëse varet nga të njëjtat variabla dhe nëse vlerat e të dy shprehjeve janë të barabarta, cilado qoftë vlera e variablave të zgjedhur. Me fjalë të tjera, nëse një shprehje mund të shprehet në dy mënyra të ndryshme (shprehje) vlerat e të cilave janë të njëjta, këto shprehje janë identike të barabarta. Për shembull: y + y \u003d 2y, ose x 7 \u003d x 4 * x 3, ose x + y + z \u003d z + x + y.
Gjatë kryerjes së detyrave me shprehje algjebrike, transformimi identik shërben për të siguruar që një shprehje mund të zëvendësohet nga një tjetër, identike me të. Për shembull, zëvendësoni x 9 me produktin x 5 * x 4.
Shembuj zgjidhjesh
Për ta bërë më të qartë, le të shohim disa shembuj. shndërrimet e shprehjeve algjebrike. Detyrat e këtij niveli mund të gjenden në KIM për Provimin e Unifikuar të Shtetit.
Detyra 1: Gjeni vlerën e shprehjes ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1).
Zgjidhja: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.
Detyra 2: Gjeni vlerën e shprehjes (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3).
Zgjidhja: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6.
konkluzioni
Kur përgatiteni për testet shkollore, provimet USE dhe GIA, gjithmonë mund ta përdorni këtë material si një aluzion. Mbani në mend se një shprehje algjebrike është një kombinim i numrave dhe ndryshoreve të shprehura me shkronja latine. Dhe gjithashtu shenja të veprimeve aritmetike (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim), kllapa, shkallë, rrënjë.
Përdor formula të shkurtra shumëzimi dhe njohuri për ekuacionet e identitetit për të transformuar shprehjet algjebrike.
Na shkruani komentet dhe dëshirat tuaja në komente - është e rëndësishme që ne të dimë se po na lexoni.
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Publikimi paraqet logjikën e dallimeve në shprehjet algjebrike për nxënësit e arsimit të përgjithshëm bazë të përgjithshëm dhe të mesëm (të plotë) si një fazë kalimtare në formimin e logjikës së dallimeve në shprehjet matematikore të përdorura në fizikë etj. për formimin në të ardhmen e koncepteve për fenomenet, detyrat, klasifikimin e tyre dhe metodologjinë e qasjes ndaj zgjidhjes së tyre.
Shkarko:
Pamja paraprake:
Shprehjet algjebrike dhe karakteristikat e tyre
© Skarzhinsky Ya.Kh.
Algjebra, si shkencë, studion modelet e veprimeve në grupe, të shënuara me shkronja.Veprimet algjebrike përfshijnë mbledhjen, zbritjen, shumëzimin, pjesëtimin, fuqizimin dhe nxjerrjen e rrënjëve.Si rezultat i këtyre veprimeve u formuan shprehje algjebrike.Shprehje algjebrike - shprehje e përbërë nga numra dhe shkronja që tregojnë grupe, me të cilat kryhen veprime algjebrike.Këto veprime kaluan në algjebër nga aritmetika. Në algjebër, merret parasyshduke barazuar një shprehje algjebrike me një tjetër, që është barazia e tyre identike. Shembuj të shprehjeve algjebrike janë dhënë në §1.Metodat e shndërrimeve dhe marrëdhëniet e shprehjeve u huazuan gjithashtu nga aritmetika. Njohja e modeleve aritmetike të veprimeve në shprehjet aritmetike ju lejon të kryeni transformime në shprehje të ngjashme algjebrike, t'i transformoni ato, thjeshtoni, krahasoni, analizoni.Algjebra është shkenca e rregullsive të transformimeve të shprehjeve, e përbërë nga grupe të paraqitura në formën e emërtimeve të shkronjave, të ndërlidhura nga shenja të veprimeve të ndryshme.Ekzistojnë gjithashtu shprehje algjebrike më komplekse të studiuara në institucionet e arsimit të lartë. Ndërsa ato mund të ndahen në lloje, më të përdorurat në kursin shkollor.
1 Llojet e shprehjeve algjebrike
pika 1 Shprehje të thjeshta: 4a; (a+b); (a + b) 3c; ; .
pika 2 Barazitë e identitetit:(a + b)c = ac + bc; ;
pika 3 Pabarazitë: si ; a + c .
fq.4 Formulat: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0,5d 2 +2;
f.5 Përqindjet:
Niveli i parë i vështirësisë
Niveli i dytë i vështirësisë
Niveli i tretë i vështirësisëpër sa i përket gjetjes së vlerave për grupe
a, b, c, m, k, d:
Niveli i katërt i vështirësisënga pikëpamja e kërkimit të vlerave për grupet a, y:
f.6 Ekuacionet:
sëpatë + c \u003d -5bx; 4x 2 + 2x = 42;
etj.
pika 7 Varësitë funksionale: y=3x; y=ax 2 +4b; y \u003d 0,5x 2 +2;
etj.
2 Merrni parasysh shprehjet algjebrike
2.1 Seksioni 1 paraqet shprehje të thjeshta algjebrike. Ka një pamje dhe
më e vështirë, për shembull:
Si rregull, shprehje të tilla nuk kanë shenjën "=". Detyra kur merren parasysh shprehje të tilla është t'i transformoni ato dhe t'i merrni ato në një formë të thjeshtuar. Kur konvertohet shprehja algjebrike në lidhje me pretendimin 1, fitohet një shprehje e re algjebrike, e cila është ekuivalente në kuptim me atë të mëparshme. Shprehje të tilla thuhet se janë identike ekuivalente. ato. shprehja algjebrike në të majtë të shenjës së barabartë është ekuivalente në kuptimin e saj me shprehjen algjebrike në të djathtë. Në këtë rast, fitohet një shprehje algjebrike e një lloji të ri, e quajtur barazi identike (shih pikën 2).
2.2 Seksioni 2 paraqet barazitë e identitetit algjebrik, të cilat formohen me metoda algjebrike të shndërrimit, merren parasysh shprehjet algjebrike, të cilat më së shpeshti përdoren si metoda në zgjidhjen e problemeve në fizikë. Shembuj të barazive identike të transformimeve algjebrike që përdoren shpesh në matematikë dhe fizikë:
Ligji komutativ i shtimit: a + b = b + a.
Ligji asociativ i shtimit:(a + b) + c = a + (b + c).
Ligji komutativ i shumëzimit: ab=ba.
Ligji asociativ i shumëzimit:(ab)c = a(bc).
Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen:
(a + b)c = ac + bc.
Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen:
(a - b)c \u003d ac - p.e.s.
Barazitë e identitetitshprehjet algjebrike thyesore(supozohet se emëruesit e thyesave janë jo zero):
Barazitë e identitetitshprehje algjebrike me fuqi:
A),
ku (n herë, ) - shkallë me eksponent numër të plotë
b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .
Barazitë e identitetitshprehjet algjebrike me rrënjë shkalla e nëntë:
Shprehje - rrënjë aritmetike n shkalla th nga mesi Veçanërisht, - katror aritmetik.
Shkallë me një eksponent thyesor (racional). rrënjë:
Shprehjet ekuivalente ekuivalente të dhëna më sipër përdoren për të transformuar shprehje algjebrike më komplekse që nuk përmbajnë shenjën "=".
Le të shqyrtojmë një shembull në të cilin, për shndërrimet e një shprehjeje më komplekse algjebrike, përdoren njohuritë e marra gjatë shndërrimeve të shprehjeve më të thjeshta algjebrike në formën e barazive identike.
2.3 Seksioni 3 paraqet algjebrike barazi, për të cilat shprehja algjebrike e anës së majtë nuk është e barabartë me anën e djathtë, d.m.th. nuk janë identike. Në këtë rast, ato janë pabarazi. Si rregull, kur zgjidhen disa probleme në fizikë, vetitë e pabarazive janë të rëndësishme:
1) Nëse a , atëherë për çdo c : a + c .
2) Nëse a dhe c > 0, pastaj si .
3) Nëse a dhe c , pastaj ac > bc .
4) Nëse a , a dhe b atëherë një shenjë 1/a > 1/b.
5) Nëse a dhe c , pastaj a + c , a - d .
6) Nëse a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , pastaj ac .
7) Nëse a , a > 0 , b > 0 , pastaj
8) Nëse , atëherë
2.4 Seksioni 4 paraqet formulat algjebrikeato. shprehje algjebrike që kanë një shkronjë në anën e majtë të shenjës së barazimit, që tregon një grup vlera e të cilit është e panjohur dhe duhet të përcaktohet. Dhe në anën e djathtë të shenjës së barabartë ka grupe, vlerat e të cilave dihen. Në këtë rast, kjo shprehje algjebrike quhet formulë algjebrike.
Një formulë algjebrike është një shprehje algjebrike që përmban një shenjë të barabartë, në anën e majtë të së cilës ka një grup, vlera e të cilit është e panjohur, dhe në anën e djathtë ka grupe me vlera të njohura, bazuar në gjendjen e problemit.Për të përcaktuar vlerën e panjohur të grupit në të majtë të shenjës "barabartë", zëvendësohen vlerat e njohura të sasive në anën e djathtë të shenjës "barabartë" dhe operacionet llogaritëse aritmetike të treguara në shprehjen algjebrike në këtë. pjesë janë kryer.
Shembulli 1:
Jepet: Zgjidhja:
a=25 Le të jepet shprehja algjebrike:
x=? x=2a+5.
Kjo shprehje algjebrike është një formulë algjebrike që Në të majtë të shenjës së barazimit është bashkësia vlera e së cilës gjendet, dhe në të djathtë janë bashkësitë me vlera të njohura.
Prandaj, është e mundur të kryhet zëvendësimi i vlerës së njohur për grupin "a", për të përcaktuar vlerën e panjohur të grupit "x":
x=2 25+5=55. Përgjigje: x=55.
Shembulli 2:
Jepet: Zgjidhja:
a=25 Shprehje algjebrikeështë një formulë.
b=4 Prandaj, është e mundur të kryhet zëvendësimi i të njohurve
c=8 vlera për grupe në të djathtë të shenjës së barazimit,
d=3 për të përcaktuar vlerën e panjohur të bashkësisë "k",
m=20 duke qëndruar në të majtë:
n=6 Përgjigje: k=3.2.
PYETJE
1 Çfarë është një shprehje algjebrike?
2 Çfarë lloj shprehjesh algjebrike dini?
3 Cila shprehje algjebrike quhet barazi identike?
4 Pse është e nevojshme të njihen modelet e barazive identike?
5 Cila shprehje algjebrike quhet formulë?
6 Cila shprehje algjebrike quhet ekuacion?
7 Cila shprehje algjebrike quhet varësi funksionale?
Shprehje numerike dhe algjebrike. Shndërrimi i shprehjes.
Çfarë është një shprehje në matematikë? Pse janë të nevojshme konvertimet e shprehjes?
Pyetja, siç thonë ata, është interesante... Fakti është se këto koncepte janë baza e të gjithë matematikës. E gjithë matematika përbëhet nga shprehje dhe shndërrime të tyre. Jo shumë e qartë? Më lejo të shpjegohem.
Le të themi se keni një shembull të keq. Shumë i madh dhe shumë kompleks. Le të themi se jeni mirë në matematikë dhe nuk keni frikë nga asgjë! Mund të përgjigjeni menjëherë?
Do të duhet vendosin ky shembull. Sekuencialisht, hap pas hapi, ky shembull thjeshtoj. Sipas rregullave të caktuara, natyrisht. ato. bëj shndërrimi i shprehjes. Sa me sukses i kryeni këto transformime, kështu që jeni të fortë në matematikë. Nëse nuk dini të bëni transformimet e duhura, në matematikë nuk mund t'i bëni Asgjë...
Për të shmangur një të ardhme kaq të pakëndshme (ose të tashme ...), nuk është e dëmshme ta kuptoni këtë temë.)
Për të filluar, le të zbulojmë çfarë është një shprehje në matematikë. Cfare ndodhi shprehje numerike dhe çfarë është shprehje algjebrike.
Çfarë është një shprehje në matematikë?
Shprehja në matematikëështë një koncept shumë i gjerë. Pothuajse gjithçka me të cilën trajtojmë në matematikë është një grup shprehjesh matematikore. Çdo shembull, formula, thyesë, ekuacion, e kështu me radhë - të gjitha përbëhet nga shprehjet matematikore.
3+2 është një shprehje matematikore. c 2 - d 2është gjithashtu një shprehje matematikore. Dhe një fraksion i shëndetshëm, madje edhe një numër - të gjitha këto janë shprehje matematikore. Ekuacioni, për shembull, është:
5x + 2 = 12
përbëhet nga dy shprehje matematikore të lidhura me një shenjë barazimi. Njëra shprehje është në të majtë, tjetra është në të djathtë.
Në terma të përgjithshëm, termi shprehje matematikore" përdoret, më shpesh, për të mos mërmëritur. Ata do t'ju pyesin se çfarë është një thyesë e zakonshme, për shembull? Dhe si të përgjigjeni ?!
Përgjigja 1: "Është... m-m-m-m... një gjë e tillë ... në të cilën ... A mund të shkruaj një thyesë më mirë? cilin dëshironi?"
Opsioni i dytë i përgjigjes: "Një fraksion i zakonshëm është (me gëzim dhe gëzim!) shprehje matematikore , i cili përbëhet nga një numërues dhe një emërues!"
Opsioni i dytë është disi më mbresëlënës, apo jo?)
Për këtë qëllim, shprehja " shprehje matematikore "Shumë mirë. Të dyja të sakta dhe të qëndrueshme. Por për aplikim praktik, duhet të jeni të përgatitur mirë lloje të veçanta të shprehjeve në matematikë .
Lloji specifik është çështje tjetër. Kjo krejt tjetër gjë!Çdo lloj i shprehjes matematikore ka e imja një grup rregullash dhe teknikash që duhet të përdoren në vendim. Për të punuar me thyesa - një grup. Për punën me shprehjet trigonometrike - e dyta. Për të punuar me logaritme - e treta. Dhe kështu me radhë. Diku këto rregulla përkojnë, diku ndryshojnë ashpër. Por mos kini frikë nga këto fjalë të tmerrshme. Logaritmet, trigonometria dhe gjëra të tjera misterioze do t'i zotërojmë në seksionet përkatëse.
Këtu do të zotërojmë (ose - përsërisim, sipas dëshirës ...) dy lloje kryesore të shprehjeve matematikore. Shprehje numerike dhe shprehje algjebrike.
Shprehje numerike.
Cfare ndodhi shprehje numerike? Ky është një koncept shumë i thjeshtë. Vetë emri lë të kuptohet se kjo është një shprehje me numra. Kështu është. Një shprehje matematikore e përbërë nga numra, kllapa dhe shenja të veprimeve aritmetike quhet shprehje numerike.
7-3 është një shprehje numerike.
(8+3.2) 5.4 është gjithashtu një shprehje numerike.
Dhe ky përbindësh:
gjithashtu një shprehje numerike, po...
Një numër i zakonshëm, një thyesë, çdo shembull llogaritjeje pa x dhe shkronja të tjera - të gjitha këto janë shprehje numerike.
tipar kryesor numerike shprehjet në të pa shkronja. Asnje. Vetëm numra dhe ikona matematikore (nëse është e nevojshme). Është e thjeshtë, apo jo?
Dhe çfarë mund të bëhet me shprehjet numerike? Shprehjet numerike zakonisht mund të numërohen. Për ta bërë këtë, ndonjëherë ju duhet të hapni kllapa, të ndryshoni shenjat, të shkurtoni, të ndërroni termat - d.m.th. bëj shndërrimet e shprehjes. Por më shumë për këtë më poshtë.
Këtu do të merremi me një rast kaq qesharak kur me një shprehje numerike ju nuk keni për të bërë asgjë. Epo, asgjë fare! Ky operacion i bukur Për të mos bërë asgjë)- ekzekutohet kur shprehja nuk ka kuptim.
Kur një shprehje numerike nuk ka kuptim?
Sigurisht, nëse para nesh shohim një lloj abrakadabra, si p.sh
atëherë nuk do të bëjmë asgjë. Meqenëse nuk është e qartë se çfarë të bëhet me të. Disa marrëzi. Përveç nëse, për të numëruar numrin e pluseve ...
Por nga jashtë ka shprehje mjaft të mira. Për shembull kjo:
(2+3) : (16 - 2 8)
Megjithatë, kjo shprehje është gjithashtu nuk ka kuptim! Për arsyen e thjeshtë se në kllapat e dyta - nëse numëroni - merrni zero. Ju nuk mund të pjesëtoni me zero! Ky është një veprim i ndaluar në matematikë. Prandaj, as me këtë shprehje nuk ka nevojë të bëhet asgjë. Për çdo detyrë me një shprehje të tillë, përgjigja do të jetë gjithmonë e njëjtë: "Shprehja nuk ka kuptim!"
Për të dhënë një përgjigje të tillë, natyrisht, më duhej të llogarisja se çfarë do të ishte në kllapa. Dhe ndonjëherë në kllapa një kthesë e tillë ... Epo, nuk mund të bësh asgjë për këtë.
Nuk ka aq shumë veprime të ndaluara në matematikë. Ka vetëm një në këtë temë. Pjestimi me zero. Ndalimet shtesë që lindin në rrënjë dhe logaritme diskutohen në temat përkatëse.
Pra, një ide se çfarë është shprehje numerike- mora. koncept shprehja numerike nuk ka kuptim- kuptoi. Le të shkojmë më tej.
Shprehjet algjebrike.
Nëse në një shprehje numerike shfaqen shkronja, kjo shprehje bëhet... Shprehja bëhet... Po! bëhet shprehje algjebrike. Për shembull:
5a 2; 3x-2vje; 3 (z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...
Quhen edhe shprehje të tilla shprehje fjalë për fjalë. Ose shprehjet me variabla.Është praktikisht e njëjta gjë. Shprehje 5a +c, për shembull - edhe fjalë për fjalë edhe algjebrike, edhe shprehje me ndryshore.
koncept shprehje algjebrike - më e gjerë se numerike. Ajo përfshin dhe të gjitha shprehjet numerike. ato. një shprehje numerike është gjithashtu një shprehje algjebrike, vetëm pa shkronja. Çdo harengë është një peshk, por jo çdo peshk është një harengë...)
Pse fjalë për fjalë- Është e qartë. Epo, pasi ka shkronja ... Frazë shprehje me variabla gjithashtu jo shumë konfuze. Nëse e kuptoni se numrat janë të fshehur nën shkronja. Të gjitha llojet e numrave mund të fshihen nën shkronjat ... Dhe 5, dhe -18, dhe çfarëdo që ju pëlqen. Kjo është, një letër mund zëvendësojnë për numra të ndryshëm. Prandaj quhen shkronjat variablave.
Në shprehje y+5, Për shembull, në- variabël. Ose thjesht thuaj " e ndryshueshme", pa fjalën "vlerë". Ndryshe nga pesë, që është një vlerë konstante. Ose thjesht - konstante.
Afati shprehje algjebrike do të thotë që për të punuar me këtë shprehje, duhet të përdorni ligjet dhe rregullat algjebër. Nëse aritmetike punon me numra të caktuar, atëherë algjebër- me të gjithë numrat në të njëjtën kohë. Një shembull i thjeshtë për sqarim.
Në aritmetikë, dikush mund të shkruajë atë
Por nëse shkruajmë një barazi të ngjashme përmes shprehjeve algjebrike:
a + b = b + a
do të vendosim menjëherë Të gjitha pyetje. Për të gjithë numrat goditje në tru. Për një numër të pafund gjërash. Sepse nën letra A Dhe b të nënkuptuara Të gjitha numrat. Dhe jo vetëm numrat, por edhe shprehjet e tjera matematikore. Kështu funksionon algjebra.
Kur një shprehje algjebrike nuk ka kuptim?
Gjithçka është e qartë në lidhje me shprehjen numerike. Ju nuk mund të pjesëtoni me zero. Dhe me shkronja a mund të zbulohet me çfarë po ndajmë?!
Le të marrim si shembull shprehjen e variablit të mëposhtëm:
2: (A - 5)
A ka kuptim? Por kush e njeh atë? A- çdo numër...
Çdo, çdo... Por ka një kuptim A, për të cilën kjo shprehje pikërisht nuk ka kuptim! Dhe cili është ai numër? Po! Është 5! Nëse ndryshorja A zëvendësoni (thonë - "zëvendëso") me numrin 5, në kllapa, do të dalë zero. të cilat nuk mund të ndahen. Pra, rezulton se shprehja jonë nuk ka kuptim, Nëse a = 5. Por për vlera të tjera A A ka kuptim? A mund të zëvendësoni numra të tjerë?
Sigurisht. Në raste të tilla thjesht thuhet se shprehja
2: (A - 5)
ka kuptim për çdo vlerë A, përveç a = 5 .
I gjithë grupi i numrave Mund zëvendësues në shprehjen e dhënë quhet diapazoni i vlefshëm kjo shprehje.
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të ndërlikuar. Shprehjen e shikojmë me variabla dhe mendojmë: në cilën vlerë të ndryshores fitohet veprimi i ndaluar (pjestimi me zero)?
Dhe pastaj sigurohuni që të shikoni çështjen e detyrës. Çfarë po pyesin?
nuk ka kuptim, vlera jonë e ndaluar do të jetë përgjigja.
Nëse pyesin se në cilën vlerë të ndryshores shprehet ka kuptimin(ndjeni ndryshimin!), përgjigjja do të jetë të gjithë numrat e tjerë përveç të ndaluarave.
Pse na duhet kuptimi i shprehjes? Ai është atje, ai nuk është... Cili është ndryshimi?! Fakti është se ky koncept bëhet shumë i rëndësishëm në shkollën e mesme. Jashtëzakonisht e rëndësishme! Kjo është baza për koncepte të tilla solide si diapazoni i vlerave të vlefshme ose shtrirja e një funksioni. Pa këtë, ju nuk do të jeni në gjendje të zgjidhni fare ekuacione ose pabarazi serioze. Si kjo.
Shndërrimi i shprehjes. Transformimet e identitetit.
U njohëm me shprehjet numerike dhe algjebrike. Kuptoni se çfarë do të thotë shprehja "shprehja nuk ka kuptim". Tani duhet të kuptojmë se çfarë shndërrimi i shprehjes. Përgjigja është e thjeshtë, skandaloze.) Ky është çdo veprim me një shprehje. Dhe kjo eshte. Këto transformime i keni bërë që në klasën e parë.
Merrni shprehjen numerike të ftohtë 3+5. Si mund të konvertohet? Po, shumë e lehtë! Llogaritni:
Kjo llogaritje do të jetë transformimi i shprehjes. Ju mund të shkruani të njëjtën shprehje në një mënyrë tjetër:
Nuk kemi llogaritur asgjë këtu. Thjesht shkruani shprehjen në një formë tjetër. Ky do të jetë gjithashtu një transformim i shprehjes. Mund të shkruhet kështu:
Dhe ky është gjithashtu transformimi i një shprehjeje. Ju mund të bëni sa të doni nga këto transformime.
Çdo veprim mbi një shprehje ndonjë shkrimi i tij në një formë tjetër quhet transformim i shprehjes. Dhe të gjitha gjërat. Gjithçka është shumë e thjeshtë. Por këtu ka një gjë rregull shumë i rëndësishëm. Aq e rëndësishme sa mund të quhet me siguri rregulli kryesor gjithë matematikën. Duke thyer këtë rregull në mënyrë të pashmangshmeçon në gabime. A e kuptojmë?)
Le të themi se e kemi transformuar shprehjen tonë në mënyrë arbitrare, si kjo:
Transformimi? Sigurisht. Shprehjen e kemi shkruar në një formë tjetër, çfarë nuk shkon këtu?
Nuk është kështu.) Fakti është se transformimet "cfaredo" matematika nuk është aspak e interesuar.) E gjithë matematika është e ndërtuar mbi transformimet në të cilat pamja ndryshon, por thelbi i shprehjes nuk ndryshon. Tre plus pesë mund të shkruhen në çdo formë, por duhet të jetë tetë.
transformimet, shprehje që nuk e ndryshojnë thelbin thirrur identike.
Pikërisht transformime identike dhe na lejoni, hap pas hapi, ta kthejmë një shembull kompleks në një shprehje të thjeshtë, duke e mbajtur thelbi i shembullit. Nëse bëjmë një gabim në zinxhirin e transformimeve, do të bëjmë një transformim JO identik, atëherë do të vendosim një tjetër shembull. Me përgjigje të tjera që nuk lidhen me ato të sakta.)
Këtu është rregulli kryesor për zgjidhjen e çdo detyre: pajtueshmëria me identitetin e transformimeve.
Unë dhashë një shembull me një shprehje numerike 3 + 5 për qartësi. Në shprehjet algjebrike, shndërrimet identike jepen me formula dhe rregulla. Le të themi se ekziston një formulë në algjebër:
a(b+c) = ab + ac
Pra, në çdo shembull, ne mundemi në vend të shprehjes a(b+c) mos ngurroni të shkruani një shprehje ab+ac. Dhe anasjelltas. Kjo transformim identik. Matematika na jep një zgjedhje të këtyre dy shprehjeve. Dhe cili prej tyre duhet të shkruhet varet nga shembulli specifik.
Një shembull tjetër. Një nga shndërrimet më të rëndësishme dhe më të nevojshme është vetia themelore e një thyese. Ju mund të shihni më shumë detaje në lidhjen, por këtu thjesht kujtoj rregullin: nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër, ose një shprehje që nuk është e barabartë me zero, thyesa nuk do të ndryshojë. Këtu është një shembull i transformimeve identike për këtë pronë:
Siç e keni marrë me mend, ky zinxhir mund të vazhdojë pafundësisht...) Një pronë shumë e rëndësishme. Është ajo që ju lejon të ktheni të gjitha llojet e përbindëshave shembull në të bardhë dhe me gëzof.)
Ka shumë formula që përcaktojnë transformime identike. Por më e rëndësishmja - një sasi mjaft e arsyeshme. Një nga transformimet bazë është faktorizimi. Përdoret në të gjithë matematikën - nga fillore në të avancuar. Le të fillojmë me të. në mësimin tjetër.)
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)
mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
