एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा. संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत

2. संभाव्यता के सिद्धांत के मूल सिद्धांत

अपेक्षित मूल्य

संख्यात्मक मानों वाले एक यादृच्छिक चर पर विचार करें। किसी संख्या को इस फ़ंक्शन के साथ जोड़ना अक्सर उपयोगी होता है - इसका "माध्य मान" या, जैसा कि वे कहते हैं, "औसत मान", "केंद्रीय प्रवृत्ति का एक संकेतक।" कई कारणों से, जिनमें से कुछ निम्नलिखित में स्पष्ट हो जाएंगे, माध्य को माध्य के रूप में उपयोग करना आम बात है।

परिभाषा 3.एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सएक नंबर पर कॉल किया

वे। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के मानों का एक भारित योग है जिसमें संबंधित प्रारंभिक घटनाओं की संभावनाओं के बराबर वजन होता है।

उदाहरण 6आइए पासे के ऊपरी सतह पर गिरी संख्या की गणितीय अपेक्षा की गणना करें। यह सीधे परिभाषा 3 से अनुसरण करता है

कथन 2.चलो यादृच्छिक चर एक्समान लेता है एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सएम. फिर समता

(5)

वे। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के मूल्यों का भारित योग है जिसमें संभावनाओं के बराबर वजन होता है कि यादृच्छिक चर कुछ मान लेता है।

(4) के विपरीत, जहां सारांश सीधे प्राथमिक घटनाओं पर किया जाता है, एक यादृच्छिक घटना में कई प्रारंभिक घटनाएं शामिल हो सकती हैं।

कभी-कभी संबंध (5) को गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के रूप में लिया जाता है। हालाँकि, परिभाषा 3 का उपयोग करना, जैसा कि नीचे दिखाया गया है, संबंध (5) का उपयोग करने की तुलना में वास्तविक घटनाओं के संभाव्य मॉडल बनाने के लिए आवश्यक गणितीय अपेक्षा के गुणों को स्थापित करना आसान है।

संबंध (5) को सिद्ध करने के लिए, हम यादृच्छिक चर के समान मानों के साथ (4) शब्दों में समूह बनाते हैं:

चूँकि अचर गुणनखंड को योग के चिन्ह से निकाला जा सकता है

किसी घटना की संभाव्यता की परिभाषा के अनुसार

अंतिम दो संबंधों की सहायता से, हम वांछित प्राप्त करते हैं:

संभाव्य-सांख्यिकीय सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा की अवधारणा यांत्रिकी में गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की अवधारणा से मेल खाती है। आइए इसे बिंदुओं में रखें एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सएमद्रव्यमान के संख्यात्मक अक्ष पर पी(एक्स= एक्स 1 ), पी(एक्स= एक्स 2 ),…, पी(एक्स= एक्स एम) क्रमश। तब समानता (5) से पता चलता है कि भौतिक बिंदुओं की इस प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण केंद्र गणितीय अपेक्षा से मेल खाता है, जो परिभाषा 3 की स्वाभाविकता को दर्शाता है।

कथन 3.होने देना एक्स- यादृच्छिक मूल्य, एम(एक्स)इसकी गणितीय अपेक्षा है, ए- कुछ संख्या. तब

1) एम(ए)=ए; 2) एम(एक्स-एम(एक्स))=0; 3एम[(एक्स- ए) 2 ]= एम[(एक्स- एम(एक्स)) 2 ]+(ए- एम(एक्स)) 2 .

इसे सिद्ध करने के लिए, हम पहले एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं जो स्थिर है, अर्थात। फ़ंक्शन प्राथमिक घटनाओं के स्थान को एक बिंदु पर मैप करता है ए. चूँकि अचर गुणनखंड को योग के चिन्ह से निकाला जा सकता है

यदि योग के प्रत्येक पद को दो पदों में विभाजित किया जाता है, तो संपूर्ण योग को भी दो योगों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से पहला पहले पदों से बनता है, और दूसरा दूसरे से। इसलिए, दो यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा एक्स+वाई, प्राथमिक घटनाओं के एक ही स्थान पर परिभाषित, गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है एम(एक्स)और एम(यू)ये यादृच्छिक चर:

एम(एक्स+वाई) = एम(एक्स) + एम(वाई).

और इसलिए एम(एक्स-एम(एक्स)) = एम(एक्स) - एम(एम(एक्स)).जैसा कि उपर दिखाया गया है, एम(एम(एक्स)) = एम(एक्स).इस तरह, एम(एक्स-एम(एक्स)) = एम(एक्स) - एम(एक्स) = 0.

क्योंकि (एक्स - ए) 2 = ((एक्स – एम(एक्स)) + (एम(एक्स) - ए)} 2 = (एक्स - एम(एक्स)) 2 + 2(एक्स - एम(एक्स))(एम(एक्स) - ए) + (एम(एक्स) – ए) 2 , वह एम[(एक्स - ए) 2] =एम(एक्स - एम(एक्स)) 2 + एम{2(एक्स - एम(एक्स))(एम(एक्स) - ए)} + एम[(एम(एक्स) – ए) 2 ]. आइए अंतिम समानता को सरल बनाएं। जैसा कि प्रस्ताव 3 के प्रमाण की शुरुआत में दिखाया गया है, एक स्थिरांक की अपेक्षा स्वयं स्थिरांक है, और इसलिए एम[(एम(एक्स) – ए) 2 ] = (एम(एक्स) – ए) 2 . चूँकि अचर गुणनखंड को योग के चिन्ह से निकाला जा सकता है एम{2(एक्स - एम(एक्स))(एम(एक्स) - ए)} = 2(एम(एक्स) - ए)एम(एक्स - एम(एक्स)). अंतिम समानता का दाहिना हाथ 0 है क्योंकि, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, एम(एक्स-एम(एक्स))=0.इस तरह, एम[(एक्स- ए) 2 ]= एम[(एक्स- एम(एक्स)) 2 ]+(ए- एम(एक्स)) 2 , जिसे सिद्ध करना था।

जो कहा गया है, उससे यही निष्कर्ष निकलता है एम[(एक्स- ए) 2 ] न्यूनतम तक पहुँच जाता है एके बराबर एम[(एक्स- एम(एक्स)) 2 ], पर ए = एम(एक्स),चूँकि समानता 3) में दूसरा पद हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है और केवल निर्दिष्ट मान के लिए 0 के बराबर होता है ए.

कथन 4.चलो यादृच्छिक चर एक्समान लेता है एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सएम, और f एक संख्यात्मक तर्क का कुछ कार्य है। तब

इसे साबित करने के लिए, आइए समानता (4) के दाईं ओर समूह बनाएं, जो गणितीय अपेक्षा को निर्धारित करता है, समान मूल्यों वाले शब्द:

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि स्थिर कारक को योग के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, और एक यादृच्छिक घटना (2) की संभावना निर्धारित करके, हम प्राप्त करते हैं

क्यू.ई.डी.

कथन 5.होने देना एक्सऔर परप्राथमिक घटनाओं के एक ही स्थान पर परिभाषित यादृच्छिक चर हैं, एऔर बी- कुछ संख्याएँ. तब एम(फरसा+ द्वारा)= पूर्वाह्न(एक्स)+ बी.एम.(वाई).

गणितीय अपेक्षा की परिभाषा और योग चिह्न के गुणों का उपयोग करके, हम समानता की एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

आवश्यकता सिद्ध होती है।

उपरोक्त से पता चलता है कि गणितीय अपेक्षा किसी अन्य मूल और माप की दूसरी इकाई (संक्रमण) में संक्रमण पर कैसे निर्भर करती है वाई=फरसा+बी), साथ ही यादृच्छिक चर के कार्यों के लिए भी। प्राप्त परिणामों का उपयोग तकनीकी और आर्थिक विश्लेषण में, किसी उद्यम की वित्तीय और आर्थिक गतिविधियों का आकलन करने में, विदेशी आर्थिक बस्तियों में एक मुद्रा से दूसरी मुद्रा में संक्रमण में, नियामक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण आदि में लगातार किया जाता है। विभिन्न पैरामीटर स्केल और शिफ्ट के लिए समान गणना सूत्र।

पहले का

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर केवल उन्हीं संभावनाओं को ले सकता है जिनकी संभावनाएँ क्रमशः बराबर हैं। फिर एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समानता द्वारा निर्धारित की जाती है

यदि एक असतत यादृच्छिक चर संभावित मानों का गणनीय सेट लेता है, तो

इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा तब मौजूद होती है जब समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

टिप्पणी। परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

सामान्य मामले में गणितीय अपेक्षा की परिभाषा

आइए हम एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को परिभाषित करें जिसका वितरण आवश्यक रूप से अलग नहीं है। आइए गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर के मामले से शुरुआत करें। विचार यह होगा कि असतत चरों की सहायता से ऐसे यादृच्छिक चर का अनुमान लगाया जाए, जिनके लिए गणितीय अपेक्षा पहले ही निर्धारित की जा चुकी है, और गणितीय अपेक्षा को अनुमानित करने वाले असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाओं की सीमा के बराबर निर्धारित किया जाएगा। वैसे, यह एक बहुत ही उपयोगी सामान्य विचार है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि कुछ विशेषताएँ पहले सरल वस्तुओं के लिए निर्धारित की जाती हैं, और फिर अधिक जटिल वस्तुओं के लिए उन्हें सरल वस्तुओं के साथ अनुमानित करके निर्धारित किया जाता है।

लेम्मा 1. मान लीजिए कि एक मनमाना गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है। फिर असतत यादृच्छिक चर का एक क्रम होता है

सबूत। आइए अर्धअक्ष को लंबाई के बराबर खंडों में विभाजित करें और परिभाषित करें

फिर गुण 1 और 2 एक यादृच्छिक चर की परिभाषा से आसानी से अनुसरण करते हैं, और

लेम्मा 2. मान लीजिए कि एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है और लेम्मा 1 से गुण 1-3 के साथ असतत यादृच्छिक चर के दो अनुक्रम हैं। फिर

सबूत। ध्यान दें कि गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए हम अनुमति देते हैं

गुण 3 से, यह देखना आसान है कि धनात्मक संख्याओं का एक क्रम है

अत: यह उसका अनुसरण करता है

असतत यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षाओं के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

जैसे-जैसे हम लेम्मा 2 का दावा प्राप्त करते हैं, सीमा पार करते जाते हैं।

परिभाषा 1. एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर होने दें, लेम्मा 1 से गुणों 1-3 के साथ असतत यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम बनें। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा संख्या है

लेम्मा 2 गारंटी देता है कि यह अनुमानित अनुक्रम की पसंद पर निर्भर नहीं है।

आइए अब एक मनमाना यादृच्छिक चर बनें। आइए परिभाषित करें

परिभाषा से और यह आसानी से इसका अनुसरण करता है

परिभाषा 2. एक मनमाना यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा संख्या है

यदि इस समानता के दाईं ओर की कम से कम एक संख्या परिमित है।

अपेक्षा गुण

गुण 1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:

सबूत। हम एक स्थिरांक को एक असतत यादृच्छिक चर के रूप में मानेंगे जिसका एक संभावित मान होता है और इसे संभाव्यता के साथ लेते हैं, इसलिए,

टिप्पणी 1. हम एक असतत यादृच्छिक चर द्वारा एक स्थिर मान के उत्पाद को एक असतत यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित करते हैं जिनके संभावित मान संभावित मानों द्वारा एक स्थिरांक के उत्पादों के बराबर होते हैं; संभावित मानों की संभावनाएं संगत संभावित मानों की संभावनाओं के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि संभावित मान की संभावना बराबर है, तो मान पर मान लेने की संभावना भी बराबर है

संपत्ति 2. एक स्थिर कारक को अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

सबूत। मान लें कि यादृच्छिक चर संभाव्यता वितरण कानून द्वारा दिया गया है:

टिप्पणी 1 को ध्यान में रखते हुए, हम यादृच्छिक चर के वितरण का नियम लिखते हैं

टिप्पणी 2. अगली संपत्ति पर आगे बढ़ने से पहले, हम इंगित करते हैं कि दो यादृच्छिक चर स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरे चर ने कौन से संभावित मान लिए हैं। अन्यथा, यादृच्छिक चर निर्भर हैं। कई यादृच्छिक चर को परस्पर स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से किसी भी संख्या के वितरण के नियम इस बात पर निर्भर नहीं करते हैं कि अन्य चर ने क्या संभावित मान लिए हैं।

टिप्पणी 3. हम स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद को परिभाषित करते हैं और एक यादृच्छिक चर के रूप में जिसके संभावित मूल्य प्रत्येक संभावित मूल्य के उत्पादों के बराबर होते हैं, उत्पाद के संभावित मूल्यों की संभावनाओं के प्रत्येक संभावित मूल्य के बराबर होते हैं कारकों के संभावित मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों के लिए। उदाहरण के लिए, यदि किसी संभावित मान की प्रायिकता है, तो संभावित मान की प्रायिकता है, तो संभावित मान की प्रायिकता है

संपत्ति 3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

सबूत। मान लीजिए स्वतंत्र यादृच्छिक चर और उनके अपने संभाव्यता वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

आइए वे सभी मान बनाएं जो एक यादृच्छिक चर ले सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सभी संभावित मानों को प्रत्येक संभावित मान से गुणा करते हैं; परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं और, टिप्पणी 3 को ध्यान में रखते हुए, हम वितरण कानून को सरलता के लिए यह मानते हुए लिखते हैं कि उत्पाद के सभी संभावित मूल्य अलग-अलग हैं (यदि यह मामला नहीं है, तो प्रमाण इसी तरह से किया जाता है):

गणितीय अपेक्षा सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों के योग के बराबर है:

परिणाम। कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

संपत्ति 4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

सबूत। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर निम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

मात्रा के सभी संभावित मान लिखें ऐसा करने के लिए, प्रत्येक संभावित मान को प्रत्येक संभावित मान में जोड़ें; हम सरलता के लिए मान लेते हैं कि ये संभावित मान भिन्न हैं (यदि यह मामला नहीं है, तो प्रमाण एक समान तरीके से किया जाता है), और हम उनकी संभावनाओं को क्रमशः और से निरूपित करते हैं

किसी मूल्य की गणितीय अपेक्षा उनकी संभावनाओं द्वारा संभावित मूल्यों के उत्पादों के योग के बराबर है:

आइए हम साबित करें कि एक घटना जिसमें एक मूल्य लेना शामिल है (इस घटना की संभावना बराबर है) एक ऐसी घटना शामिल है जिसमें एक मूल्य लेना शामिल है या (इस घटना की संभावना जोड़ प्रमेय के बराबर है), और इसके विपरीत। अत: यह निष्कर्ष निकलता है कि समानताएँ

इन समानताओं के सही भागों को संबंध (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या अंततः

फैलाव और मानक विचलन

व्यवहार में, किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों के उसके माध्य मान के आसपास फैलाव का अनुमान लगाना अक्सर आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, तोपखाने में यह जानना महत्वपूर्ण है कि गोले उस लक्ष्य के कितने करीब गिरेंगे जिस पर हमला किया जाना चाहिए।

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि प्रकीर्णन का अनुमान लगाने का सबसे आसान तरीका एक यादृच्छिक चर के विचलन के सभी संभावित मूल्यों की गणना करना और फिर उनका औसत मूल्य ज्ञात करना है। हालाँकि, यह पथ कुछ भी नहीं देगा, क्योंकि विचलन का औसत मूल्य, अर्थात्। किसी भी यादृच्छिक चर के लिए शून्य है। इस संपत्ति को इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, जबकि अन्य नकारात्मक हैं; उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप विचलन का औसत मान शून्य है। ये विचार संभावित विचलनों को उनके निरपेक्ष मानों या उनके वर्गों से बदलने की समीचीनता का संकेत देते हैं। व्यवहार में वे ऐसा ही करते हैं। सच है, उस स्थिति में जब संभावित विचलनों को उनके निरपेक्ष मूल्यों से बदल दिया जाता है, किसी को निरपेक्ष मूल्यों के साथ काम करना पड़ता है, जिससे कभी-कभी गंभीर कठिनाइयाँ पैदा होती हैं। इसलिए, अक्सर वे दूसरे रास्ते पर जाते हैं, यानी। वर्ग विचलन के औसत मान की गणना करें, जिसे विचरण कहा जाता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएं हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता बताते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। गणितीय अपेक्षा को अक्सर केवल माध्य के रूप में संदर्भित किया जाता है। अनियमित परिवर्तनशील वस्तु। एक यादृच्छिक चर का फैलाव - फैलाव की एक विशेषता, एक यादृच्छिक चर का फैलाव इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास।

अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, विस्तृत विवरण - वितरण का नियम - या तो प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइये गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर आते हैं। मान लीजिए कि किसी पदार्थ का द्रव्यमान x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया गया है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन. इसके अलावा, प्रत्येक भौतिक बिंदु की संभावना के अनुरूप एक द्रव्यमान होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु का चयन करना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए, भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंगत संभाव्यता के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है:

उदाहरण 1जीत-जीत लॉटरी का आयोजन किया गया। 1000 जीतें हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल की हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाए तो हम औसत जीत पाएंगे। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मान ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत भुगतान भुगतान के आकार और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण 2प्रकाशक ने एक नई पुस्तक प्रकाशित करने का निर्णय लिया। वह किताब को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से 200 उसे, 50 किताब की दुकान को और 30 लेखक को दिए जाएंगे। तालिका किसी पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियां बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल का नुकसान हुआ। निम्न तालिका यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों का सारांश प्रस्तुत करती है - लाभ:

संख्या	लाभ एक्समैं	संभावना पीमैं	एक्समैं पीमैं
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
कुल:		1,00	25000

इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3एक शॉट से मारने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करती है।

समाधान। हम अब तक जो अपेक्षा सूत्र अपनाते आए हैं, उसी से हम व्यक्त करते हैं एक्स- सीपियों की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना पी = 0,4 .

संकेत: किसी यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

अपेक्षा गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.स्थिर कारक को अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सउसी संख्या से कमी (वृद्धि)। साथ, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (बढ़ेगी):

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक ही सीमित नहीं रह सकते

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा ही किसी यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चित्रित नहीं कर सकती है।

चलो यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

अर्थ एक्स	संभावना
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

अर्थ वाई	संभावना
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

इन मात्राओं की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालाँकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़ा भिन्न हैं वाईऐसे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हों। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का आकलन करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह तय नहीं कर सकता कि इससे क्या विचलन, कम से कम औसतन, संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात करना होगा।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके विचरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:

.

उदाहरण 5यादृच्छिक चर के प्रसरण और मानक विचलन की गणना करें एक्सऔर वाई, जिसके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएँ एक्सऔर वाई, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(य)=0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सऔर वाईगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का विचरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक वाई- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर डेटा को संबंधित संभावना के साथ सारांशित करती है।

प्रोजेक्ट 1	प्रोजेक्ट 2	प्रोजेक्ट 3	प्रोजेक्ट 4
500, पी=1	1000, पी=0,5	500, पी=0,5	500, पी=0,5
	0, पी=0,5	1000, पी=0,25	10500, पी=0,25
		0, पी=0,25	9500, पी=0,25

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों का सारांश प्रस्तुत करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान है। इसका मतलब यह है कि लंबे समय में सभी की आय समान होगी। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है वह प्रोजेक्ट 1 चुनेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक छोटी अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न पसंद करता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना को चुनेगा - परियोजना 4।

फैलाव गुण

आइए हम फैलाव के गुण प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटा दिया जाता है:

,

कहाँ .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: -3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4 . एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह संभाव्यता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर एक मान लेता है एक्स1 = −3 . फिर मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 होगा - पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	−3	7
पी	0,3	0,7

हम विचरण के गुण 3 के सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के विचरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं ज्ञात करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की संभावना के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का विचरण ज्ञात होता है डी(एक्स) = 6 . एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें निकाली गईं। निकाली गई गेंदों में से सफेद गेंदों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2, 3 ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है संभावनाओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	0	1	2	3
पी	1/30	3/10	1/2	1/6

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का विचरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ बनाए रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स). एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंअचानक बदलता है, एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके माध्य मान से भी संबंधित होती है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित अभिन्न अंग खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फ़ंक्शन दिया गया है, तो यह सीधे इंटीग्रैंड में प्रवेश करता है। यदि एक संभाव्यता वितरण फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

किसी सतत् यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का अंकगणितीय औसत उसका कहलाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

समाधान:

6.1.2 अपेक्षा गुण

1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है।

2. प्रत्याशा चिह्न से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

यह संपत्ति यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के लिए मान्य है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

यह गुण यादृच्छिक चरों की मनमानी संख्या के लिए भी सत्य है।

उदाहरण: एम(एक्स) = 5, मेरा)= 2. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए जेड, गणितीय अपेक्षा के गुणों को लागू करना, यदि यह ज्ञात हो Z=2X + 3Y.

समाधान: एम(जेड) = एम(2एक्स + 3वाई) = एम(2एक्स) + एम(3वाई) = 2एम(एक्स) + 3एम(वाई) = 2∙5+3∙2 =

1) योग की गणितीय अपेक्षा गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है

2) स्थिर कारक को अपेक्षा चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है

मान लीजिए कि n स्वतंत्र परीक्षण किए गए हैं, जिसमें घटना A के घटित होने की संभावना p के बराबर है। तब निम्नलिखित प्रमेय लागू होता है:

प्रमेय. n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा M(X) परीक्षणों की संख्या और प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है।

6.1.3 असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक प्रक्रिया को पूरी तरह से चित्रित नहीं कर सकती है। गणितीय अपेक्षा के अलावा, एक ऐसा मूल्य पेश करना आवश्यक है जो गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के मूल्यों के विचलन को दर्शाता है।

यह विचलन यादृच्छिक चर और उसकी गणितीय अपेक्षा के बीच अंतर के बराबर है। इस मामले में, विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, अन्य नकारात्मक हैं, और उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप शून्य प्राप्त होता है।

फैलाव (बिखराव)असतत यादृच्छिक चर को उसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

व्यवहार में, विचरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि यादृच्छिक चर के मानों की बड़ी संख्या के लिए बोझिल गणना की ओर ले जाता है।

इसलिए, दूसरी विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय. विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है.

सबूत। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा एम (एक्स) और गणितीय अपेक्षा एम 2 (एक्स) का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण। वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एक्स
एक्स 2
आर	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान: ।

6.1.4 फैलाव गुण

1. किसी अचर मान का विचरण शून्य होता है। .

2. एक अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है। .

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

4. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

प्रमेय. एन स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या का भिन्नता, जिनमें से प्रत्येक में घटना की घटना की संभावना पी स्थिर है, परीक्षणों की संख्या और घटना और गैर-घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है प्रत्येक परीक्षण में घटना का.

उदाहरण: DSV

हम धारा 6.1.2 से प्रमेय लागू करते हैं:

एम(एक्स) = एनपी

एम(एक्स) = 1,2; एन= 2. खोजें पी:

1,2 = 2∙पी

पी = 1,2/2

क्यू = 1 – पी = 1 – 0,6 = 0,4

आइए सूत्र द्वारा विचरण ज्ञात करें:

डी(एक्स) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन

मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

(25)

प्रमेय. परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक सीमित संख्या के योग का मानक विचलन इन चरों के वर्ग मानक विचलनों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

6.1.6 असतत यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका

फैशन एम या डीएसवीकिसी यादृच्छिक चर का सबसे संभावित मान कहलाता है (अर्थात् वह मान जिसकी प्रायिकता सबसे अधिक हो)

मेडियन एम ई डीएसडब्ल्यूएक यादृच्छिक चर का मान है जो वितरण श्रृंखला को आधे में विभाजित करता है। यदि यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सम है, तो माध्यिका को दो माध्य मानों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाया जाता है।

उदाहरण: DSW का मोड और माध्यिका खोजें एक्स:

एक्स
पी	0.2	0.3	0.1	0.4

मुझे = = 5,5

प्रगति

1. इस कार्य के सैद्धांतिक भाग (व्याख्यान, पाठ्यपुस्तक) से परिचित हों।

2. अपनी पसंद के अनुसार कार्य पूरा करें।

3. कार्य पर एक रिपोर्ट संकलित करें।

4. अपने काम को सुरक्षित रखें.

2. कार्य का उद्देश्य.

3. कार्य की प्रगति.

4. अपने विकल्प का निर्णय.

6.4 स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों के प्रकार

विकल्प संख्या 1

1. वितरण कानून द्वारा दी गई डीएसवी एक्स की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन, मोड और माध्यिका ज्ञात करें।

एक्स
पी	0.1	0.6	0.2	0.1

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात हैं: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y।

3. डीएसवी

4. असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की एक सूची दी गई है एक्स: एक्स 1 = 1, x2 = 2, एक्स 3= 5, और इस मात्रा और इसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएँ भी ज्ञात हैं: , . संभावित मानों के अनुरूप संभावनाएं ढूंढें, और डीएसडब्ल्यू का वितरण कानून बनाएं।

विकल्प संख्या 2

एक्स
पी	0.3	0.1	0.2	0.4

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात हैं: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y।

3. डीएसवी

4. असतत यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की एक सूची दी गई है: एक्स 1 = 1, x2 = 2, एक्स 3 = 4, x4= 10, और इस मात्रा और इसके वर्ग की गणितीय अपेक्षाएँ भी ज्ञात हैं: , । संभावित मानों के अनुरूप संभावनाएं ढूंढें, और डीएसडब्ल्यू का वितरण कानून बनाएं।

विकल्प संख्या 3

1. वितरण कानून द्वारा दिए गए डीएसवी एक्स की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।

एक्स
पी	0.5	0.1	0.2	0.3

2. एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें, यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात हैं: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y।

3. DSV

जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है। हालाँकि, वितरण कानून अक्सर अज्ञात होता है और व्यक्ति को स्वयं को कम जानकारी तक सीमित रखना पड़ता है। कभी-कभी उन संख्याओं का उपयोग करना और भी अधिक लाभदायक होता है जो कुल मिलाकर एक यादृच्छिक चर का वर्णन करते हैं; ऐसे नंबरों को कॉल किया जाता है एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ.

गणितीय अपेक्षा महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य के लगभग बराबर है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाइसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

यदि एक यादृच्छिक चर को एक परिमित वितरण श्रृंखला द्वारा चित्रित किया जाता है:

एक्स	एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	…	एक्स एन
आर	पी 1	पी 2	पी 3	…	आर पी

फिर गणितीय अपेक्षा एम(एक्स)सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समानता द्वारा निर्धारित की जाती है:

यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व कहां है एक्स.

उदाहरण 4.7.एक पासा फेंकने पर निकलने वाले अंकों की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यादृच्छिक मूल्य एक्समान 1, 2, 3, 4, 5, 6 लेता है। आइए इसके वितरण का नियम बनाएं:

एक्स
आर

तब गणितीय अपेक्षा है:

गणितीय अपेक्षा के गुण:

1. किसी स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:

एम(एस)=एस.

2. स्थिर कारक को अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

एम(सीएक्स) = सीएम(एक्स)।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

एम(एक्सवाई) = एम(एक्स)एम(वाई).

उदाहरण 4.8. स्वतंत्र यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

एक्स					वाई
आर	0,6	0,1	0,3		आर	0,8	0,2

एक यादृच्छिक चर XY की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान.

आइए इनमें से प्रत्येक मात्रा की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात करें:

यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईस्वतंत्र, इसलिए वांछित गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्सवाई) = एम(एक्स)एम(वाई)=

परिणाम।कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

एम(एक्स + वाई) = एम(एक्स) + एम(वाई).

परिणाम।कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

उदाहरण 4.9.लक्ष्य पर प्रहार करने की संभावनाओं के बराबर 3 गोलियाँ चलाई जाती हैं पी 1 = 0,4; पी2= 0.3 और पी 3= 0.6. हिट की कुल संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान।

पहले शॉट पर हिट की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स 1, जो संभाव्यता के साथ केवल दो मान ले सकता है: 1 (हिट)। पी 1= 0.4 और 0 (मिस) प्रायिकता के साथ प्रश्न 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

पहले शॉट में हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा हिट की संभावना के बराबर है:

इसी प्रकार, हम दूसरे और तीसरे शॉट में हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षाएँ पाते हैं:

एम(एक्स 2)= 0.3 और एम (एक्स 3) = 0,6.

हिट की कुल संख्या भी एक यादृच्छिक चर है जिसमें तीन शॉट्स में से प्रत्येक में हिट का योग शामिल है:

एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3।

वांछित गणितीय अपेक्षा एक्सहम गणितीय प्रमेय द्वारा योग की अपेक्षा ज्ञात करते हैं।