Dedykowany Escher. Od fraktala do rekurencji: krótki przewodnik po świecie M.C. Eschera

„Kochaj to piękno
a ona na pewno cię odwzajemni ”

Te słowa należą do mojej nauczycielki wyższej matematyki w instytucie, Niny Konstantinovnej Artmeladze, która najwyraźniej chcąc wzbudzić zainteresowanie przedmiotem, wypowiedziała je nam, swoim niedbałym studentom, mając na myśli właśnie matematykę. Nie mogę powiedzieć, że zrozumieliśmy wtedy prawdziwy sens tych słów, jednak fakt, że matematyka może sprawić prawdziwą przyjemność, mógł być sam w sobie, siedząc i obserwując, jak ekspresyjnie, entuzjastycznie i z temperamentem uczyła nas swojego przedmiotu. Prawdopodobnie Nina Konstanninovna już dawno nie żyje, ale wciąż pamiętam tę pomarszczoną staruszkę w wieku około 70 lat z płonącymi oczami ponad jej wiek i to, jedno z wielu jej innych żywych powiedzeń, które wniosłem do motto, zapamiętałem całkiem niedawno…po wizycie na wystawie Maurits Cornelius Escher….

Więc Asher. Prawdę mówiąc, to imię, choć było mi znajome, nie mówiło praktycznie nic. Miałem zamiar wybrać się na wystawę bardziej dla firmy i nawet nie myślałem, że będę musiał się tak wysilić, aby stamtąd wyjść… Do niektórych jego prac wracam do dziś i dowiedziałem się wszystkiego, co przyniesie moja historia być mniej więcej poniżej... ...
Zainteresowanie Eschera rysunkiem było częściowo kwestią przypadku. Rodzice mały chłopiec, z dala od biednych ludzi, marzących o zobaczeniu w synu architekta, posyłali go do prywatnej szkoły, gdzie między innymi zajmował się rysunkiem.

Nie stworzył wówczas niczego wybitnie wyróżniającego się i wyróżniającego na tle rówieśników, jednakże jego nauczycielem był artysta Samuela de Mesquity co wywarło ogromny wpływ na młodego człowieka.Escher utrzymywał przyjazne stosunki z Mesquite przez całe życie tego ostatniego. Zdrowie nie pozwoliło Escherowi zdobyć wykształcenia architektonicznego, jego rodzina osiedliła się w południowych Włoszech. Fascynowała go przyroda i piękno tych miejsc.

Wielogodzinne wędrówki stają się ulubioną rozrywką podczas której powstają szkice.

Na polecenie nauczyciela Escher zwraca szczególną uwagę na ryciny.

Tutaj, we Włoszech, interesuje się perspektywą przestrzeni trójwymiarowej w rysunku, zwracając uwagę na matematyczną precyzję zbieżności linii, aby nadać pozory perspektywy. Szczególnie zainspirowała go w tym sensie Florencja, gdzie odwiedził Galerię Uffizi, zapoznając się z kunsztem malarskim starożytnych mistrzów. Przyciągały dzieła Michała Anioła, dzieła Leonarda da Vinci bliska Uwaga Eschera. Z biegiem czasu, będąc już żonatym mężczyzną, zadomowił się wieczne Miasto. Może się to wydawać dziwne, ale w ciągu dnia nie widzi dla siebie niczego ciekawego w Rzymie. A zupełnie co innego w nocy...

Długie godziny spędzał w Bazylice św. Piotra, dziele wielkiego Michała Anioła. Tutaj próbował uchwycić głębię przestrzeni architektonicznej. Tak stopniowo rodzi się jego fascynacja wizualnymi paradoksami. To, co dla większości było ukryte, Escher stopniowo odkrywał dzięki subtelnej obserwacji i myślę, że to właśnie ta cecha stała się kluczem do sukcesu wielu jego obrazów.

Escher był osobą zamkniętą, nawet w towarzystwie rodziny. Czasami czerpał inspirację ze swoich snów.

Mimo całej pozornej miłości do samotności Escher uwielbiał podróżować.Podróżując statkiem towarowym VERDI z Hiszpanii do Włoch, Escher odwiedza Sycylię i Maltę.

Był też taki etap w życiu Eschera, kiedy udało mu się przekonać jedną z włoskich firm wycieczkowych „Adria”, aby zabrała go wraz z żoną jako pasażerów na pokład statku, w odpowiedzi podjął się przedstawienia statków i portów, do których wpływały do broszur reklamowych firmy.

Ku zaskoczeniu Eschera jego oferta została przyjęta.Spośród wielu miast, które odwiedził, szczególnie spodobało mu się Senglea na Malcie. Tutaj, na wyspie o bogatej historii, narodziło się wiele jego szkiców i pomysłów. Jeden ze znanych "Balkon", gdzie Escher po raz pierwszy wykorzystuje efekt szkła powiększającego, dzięki któremu można zobaczyć w oddali kwiat na balkonie.

Technikę tę można uwzględnić w innych jego pracach.

Odkrycia matematyczne Eschera zainspirowały niektóre jego obrazy. Jednak jego sztuka z kolei była atrakcyjna dla matematyków. Uznali jego talent matematyczny. Przedmiotem podziwu było to, jak on, człowiek daleki od matematyki, potrafił oddać esencję problemy matematyczne. Jego obrazy były analizowane i omawiane na sympozjach i kongresach matematycznych. „Kiedy po raz pierwszy zobaczyłem jego rycinę , Brak mi słów" – wspomina matematyk i fizyk Roger Penrose, „miał najwyraźniej matematyczny talent do wizualizacji swojej intuicji na kartce papieru”.

Escher był człowiekiem zainteresowanym wszystkim, co niezwykłe. jeśli coś go ogromnie fascynowało, próbował dotrzeć do sedna zjawiska i po mistrzowsku robił to w swoich pracach, przedstawiając ręką artysty tak, jak to sobie wyobrażał.
Zatem praca Einsteina zainspirowała Eschera do stworzenia ryciny "Względność". Zobacz, jak zmienia się obraz, gdy spojrzysz na niego poniżej różne kąty. Trzy siły ciężkości są skierowane prostopadle do siebie. Trzy obiekty przecinają się pod kątem prostym i każdy jest zamieszkany przez ludzi.

Mieszkańcy sąsiednich małych światów nie mogą chodzić, siedzieć ani stać na tej samej podłodze, ponieważ mają różne wyobrażenia o poziomie i pionie. Mogą jednak korzystać z tych samych schodów. Na górze widzimy dwie osoby idące obok siebie po schodach, jakby w tym samym kierunku, jednak jedna porusza się w górę, a druga schodzi. Kontakt między nimi jest niemożliwy, ponieważ żyją w różnych światach i nie są świadomi swojego istnienia.W litografii ten sam obraz jest prezentowany dwukrotnie, ale rozpatrujemy go z dwóch różnych punktów widzenia.

Górna część to widok, który otworzy się przed obserwatorem, jeśli wzniesie się trzy piętra wyżej, dolna to widok, który zobaczy stojąc na ziemi, tj. na kafelkowej stronie. Patrząc w górę, widzi tę samą wyłożoną kafelkami podłogę, powtórzoną co sufit w centrum kompozycji, ale jednocześnie pełniącą funkcję podłogi górnej sceny. U góry powtórzono sufit wyłożony płytkami, tym razem przypominający prawdziwy sufit.Escher coraz częściej powraca do tematu tzw. „przestrzeni niemożliwych”. Przyciągają go paradoksy wizualne.Jedną z najwcześniejszych prac w tym kierunku jest. Ilustruje biblijny mit o trudnościach w tłumaczeniu i niemożności komunikacji.

Figura niemożliwego trójkąta wymyślona przez matematyka Rogera Penoruse’a , możemy zaobserwować na zdjęciu. Tutaj dwa niemożliwe trójkąty łączą się w niemożliwą figurę, wydaje się, że woda unosi się od dołu do góry, jak maszyna perpetuum mobile, a wieżyczki różnych pięter wyglądają niemal na równi.

Artykuł angielskiego matematyka Rogera Penrose’a nt niemożliwe figury ach został opublikowany w British Journal of Psychology w 1958 roku „ożył” na obrazie Eschera« Schodzenie w dół i w górę”. Samo złudzenie raczej nie będzie zauważalne dla laika, raczej dostrzeżecie tu pewien wizualny absurd: mnisi nieznanego zakonu bez końca przechadzają się po okrągłej galerii na dachu swojego klasztoru, ci, którzy chodzą po zewnętrznej rząd cały czas wspina się w górę, a ci, którzy maszerują w wewnętrznym rzędzie, ciągle schodzą w dół.

Jak to może być? Dla matematyków obraz był bardzo interesujący ze względu na przejrzystość rozwiązywanych problemów.

Nic dziwnego, ale psychologowie z kolei znaleźli w obrazach Eschera coś interesującego dla siebie. - to świetny przykład na to, jak ten sam obraz lub zjawisko można postrzegać odmiennie, tj. Zasada dualności naszej świadomości jest jasno przedstawiona, w zależności od tego, na czym się skupić…

Postać (w środku zdjęcia) lub, jak kto woli, „problem” może być „płaski”, tj. nie wyróżnia się i nie jest mało znaczący na tle ogólnym i spójrz, co się z tym dzieje, jeśli skoncentrujesz się na jednej rzeczy, to „jeden” wysuwa się na pierwszy plan, staje się „obszerne”, tj. ujmuje nas całkowicie... Tutaj mamy wybór, na czym się skupić, czarnym czy białym, a to zależy też od konkretnej osoby, od jego nastawienia do postrzegania świata.... Obraz w niektórych źródłach nazywa się „Optymista i pesymista” i to, jak mi się wydaje, najdokładniej wskazuje istotę obrazu…
Kolejny z znane prace Eschera -. Tutaj widzę podobny efekt. Płaski i nieatrakcyjny obraz może „ożyć”, jeśli się na nim skupisz. Gady podróżują od mozaiki do prawdziwe życie i z powrotem w drodze przez podręcznik zoologii.

Treść emocjonalna dzieł Eschera jest wyjątkowa. Niemal każde jego dzieło chciałbym określić mianem „sztuki pogranicza”. Granica w wykonaniu, w odbiorze i w odczuciu, jakie pozostawia.. To granica w sposobie, w jaki architektura, matematyka, psychologia, a nawet biologia umiejętnie splatają się w jego pracach. Mówią, że postsensacje i emocje z obrazów Eschera przypominają emocje matematyków. Nic dziwnego, że postrzegali go jako „pokrewną duszę”.
Południe Hiszpanii, a zwłaszcza Alhambra, pozostawia ślad w twórczości Eschera. Pałace Alhambry i wspaniała sztuka mauretańska budzą w nim zainteresowanie symetrią. Zasada symetrii, którą tak bardzo kochali matematycy, teraz pojmuje także Eschera. Różne symetryczne konstrukcje, wypełniając płaszczyznę identycznymi figurami, stają się tematem wielu jego prac.

Szczytem tej pasji, jak mi się wydaje, są jej liczne metamorfozy.

Generalnie odrywanie się od nich jest nierealne... jakie to proste w pomyśle i zupełnie niezrozumiałe w wykonaniu...

Regularne wielościany i wielokąty miały dla Eschera szczególny urok. Ale często można je znaleźć tylko jako elementy pomocnicze.O litografii „Chaos i porządek” przedstawiony jest mały dwunastościan gwiaździsty, jeden z czterech wielościanów Keplera-Poinsota, a wokół przedmiotów wyrzuconych jako niepotrzebne ...

Na grawerowaniu "Gwiazdy" widzimy połączenie czworościanów, sześcianów i ośmiościanów, a dla złożoności postrzegania całej i tak już kłopotliwej figury Escher umieścił w środku kameleony.

Aby przedstawić cały obraz, musimy odejść od utartego schematu...
Na obrazku można znaleźć niemożliwą kostkę Krawędzie sześcianu przecinają się w najbardziej niesamowity sposób, jest to niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej

Niekończące się mozaiki wyraźnie pokazały zamiłowanie Eschera do geometrii. W jego rysunkach wyraźnie widoczne są elementy geometrii opisowej, rzutowej.

Jednocześnie biolodzy dostrzegają w jego mozaice modele molekularne, z ich tożsamością wirusowych związków kul i wielościanów, a krystalografowie odnajdują w nich coś bliskiego sobie, związanego z opisem kryształów idealnych. ZChęć Eschera stworzenia na samolocie iluzji trójwymiarowej przestrzeni, która w rzeczywistości nie istnieje, stworzenia sztucznej perspektywy i wizualnej łamigłówki przyciągnęła i nadal przyciąga do dziś… Jego ulubionym tematem jest nieskończoność. Ona była jego wewnętrznym (mieszkaniem)

zewnętrzny (objętościowy) - „Limit okręgu”

cykliczny - ...

Jednak temat nieskończoności osiągnął w nim swój szczytowy efekt „Wystawa rycin” Najbardziej niezrozumiały, najbardziej tajemniczy z jego obrazów był ucieleśnieniem tajemnicy, przez wielu uważany jest za arcydzieło….

Artysta starał się stworzyć w nim efekt nieskończoności, który zaobserwował w salonach fryzjerskich, kierując lusterka, wykorzystując jednocześnie znaną już technikę „obraz w obrazie”. Taką „enfiladę” obrazów nazywa się „Efekt Droste’a” nazwany na cześć holenderskiej marki kakao Droste która jako pierwsza wykorzystała ten efekt w swojej reklamie .

Ponadto w swoim malarstwie stara się zniekształcać przestrzeń zgodnie z typem butelki Kleina aby stworzyć efekt ciągłego ruchu. Escher postanowił zamknąć obie płaszczyzny w jedną całość. Mężczyzna na pierwszym planie podziwia wiszącą w galerii rycinę, która przedstawia jego samego... Widzi siebie, patrzy na siebie, patrzy na siebie, patrzy na siebie... i tak w nieskończoność... to zjawisko trwa na granicy możliwości, trudno to ogarnąć okiem, ale dla matematyków jest to bardzo jasne, a Escher jasno przedstawił ten efekt. Stworzył galerię, w której cykl obrazów stanowi wizualną przeciwwagę dla szeregu budynków, jednak nie da się zamknąć obrazu po obwodzie, nie zniekształcając go i nie wychodząc poza niego... Obraz zdawał się przedstawiać wadę, a puste centrum tylko rozpaliło ciekawość wielu. ... Niektórzy widzieli w niej tzw. powierzchnia Riemanna - abstrakcyjna powierzchnia z dziurą w środku, inne są podstawą koncepcji yin i yang, a jeszcze inne są czarną dziurą.
Pracą Eschera zainteresował się holenderski matematyk Hendrik Lenstra. Analizując „Wystawę rycin” on, jako matematyk, postanowił „dokończyć niedokończone”, ale w tym celu próbował rozłożyć zdeformowaną siatkę skrętną tzw. Sieć Eschera krok po kroku...

W tej siatce Escher oprócz skrętu zachował kwadraty płótna ... „Sieć opiera się na powtarzalności– wyjaśnia matematykę zdeformowany kwadrat będzie wyglądał jak kwadrat tylko wtedy, gdy jego kąty będą równe 90 stopni, ale efekt ten uzyskuje się również poprzez obrót wokół osi.. Lenstra wyjaśnia, że ​​to, co Escher przedstawił na swojej rycinie, jest trudne do dostrzeżenia ludzkie oko, ponieważ obraz zmienia swój rozmiar 256 razy, gdy jest powtarzany, ale bardzo łatwo jest zrozumieć matematykę. Można to zrozumieć, ale okazało się, że nie da się przedstawić matematyki, a na ratunek przybyły potężne komputery. Okazało się, że można rozłożyć rysunek i wtedy puste centrum przybrało formę spirali, zaczynającej się od środka litografii i przechodzącej do jej ramy... Ale rozwiązanie nie tylko w tym, ale i w tym było Nieskończona mozaika Eschera zgodna z podwójną symetrią, z przesunięciem osi.... Rysunek okazał się wykonany tak, jakby był na goleniu ołówkiem, które zawija się podczas toczenia i jakbyśmy ten golonek prostowali... Ale matematyk zadał sobie jeszcze jedno pytanie - „Czy to przypadek, że Escher zastosował skręt w prawo?» Zespół Lenstry próbował „rozwinąć rysunek” w obie strony, a wtedy tajemnica została ujawniona w całym pięknie Eschera. "Obrazek w obrazku". Wydaje Ci się, że widzisz środek, ale schodzisz „głębiej” i tak w nieskończoność.... poza tym pojawia się problem wypełnienia środka, co jest tożsame z wypełnieniem przestrzeni wokół obrazu, czyli tzw. to niemożliwe... Intuicja Eschera doszła do tego bez komputerów, a badania matematyczne nie pozwoliły mu wypełnić centrum, pozostawiając je puste. Tutaj potrzebny był mechanizm doskonalszy od ołówka... W rysunek możemy zagłębić się przy pomocy komputera.

Pomysłowemu Escherowi udało się wizualnie zbliżyć do nieskończoności. Kiedy doszedł do wniosku, że rysunku nie da się dokończyć, umieścił swój monogram na środku. „Nigdy w życiu nie zrobiłem nic dziwniejszego. » - Escher pisze do syna po ukończeniu pracy.. I tu dochodzi do wniosku: „może to jest ta zakrzywiona przestrzeń, o której mówił Einstein” .

Według artykułu Geometria Eschera

film Mauritsa Eschera. Zakończ niedokończone”

liczne artykuły z sieci….

Oryginał wzięty z smejaszka Maurice’owi Cornelisowi Escherowi (1898-1972)

Wypukłe i wklęsłe (wypukłe i wklęsłe). Litografia, 1955.

Moskwa organizuje wystawę prac Eschera w ramach Roku Niderlandów w Rosji. W naszym kraju jego prace można było zobaczyć tylko raz w Ermitażu w 2003 roku i miałem szczęście, że tam byłem. Weszłam nie wiedząc kim jest ten Escher, ale wyszłam raz na zawsze zakochana w jego twórczości :) Tym razem w Petersburgu można obejrzeć jedynie reprodukcje faksymile w Sali Wystawowej Centrum Książki i Grafiki. Cóż, tym, którzy nie mają możliwości odwiedzenia wystaw, sugeruję zapoznanie się trochę z niesamowitą twórczością Eschera.

Maurice Cornelius Escher (17 czerwca 1898, Leeuwarden, Holandia - 27 marca 1972, Laren, Holandia) – „Chociaż jestem całkowitym ignorantem w zakresie nauk ścisłych, czasami wydaje mi się, że bliżej mi do matematyków niż do moich koledzy artyści” – Holenderski grafik. Najbardziej znany jest z litografii konceptualnych, rycin na drewnie i metalu, w których po mistrzowsku zgłębiał plastyczne aspekty pojęć nieskończoności i symetrii, a także cechy psychologicznego postrzegania złożonych trójwymiarowych obiektów.

Limit okręgu IV (limit cykliczny). Drzeworyt, 1960

Nie będę opisywał jego biografii, link znajduje się poniżej i pominę wczesne okresy, tak, i ogólnie dużo ciekawe prace Pominę to, bo po prostu nie da się omówić wszystkiego za jednym razem i w jednym poście. Same ciekawostki, sam Escher i jego dzieła, które wywarły na mnie największe wrażenie. Te. bardzo subiektywny pogląd.

Porządek i chaos (Porządek i chaos). Litografia, 1950

Maurice Escher, podobnie jak wielu geniuszy przed nim i po nim, stwierdził: „Wszystkie moje prace to gry. Poważne gry. Jednak w tych grach matematycy na całym świecie od kilkudziesięciu lat rozważają całkowicie poważne, materialne dowody pomysłów tworzonych za pomocą aparatu czysto matematycznego lub oryginalne kontrprzykłady, które wymykają się zdrowemu rozsądkowi. Są postrzegani jako piękne ilustracje po traktaty naukowe z zakresu krystalografii, psychologii poznawczej czy grafiki komputerowej.

Gady (gady). Litografia, 1943.

Za pomocą prac Maurice’a Eschera można wyjaśnić takie pojęcia i terminy matematyczne, których uczyliśmy się w szkole, jak: przeniesienie równoległe, podobieństwo figur, figury o jednakowej wielkości, okresowość. A także niektóre pojęcia, które nie są uwzględnione w szkolnym kursie matematyki. Do tej listy można zaliczyć następujące terminy: quasi-okresowość, inflacja, deflacja, trójkąty Robinsona, transformacja dualności.

Wstęga Moebiusa II (wstęga Mobiusa II). Drzeworyt, 1963.

Pewnego razu słynny geometr G. Coxter zaprosił Eschera na swój wykład na temat matematycznej treści jego rycin i litografii. Ku ich obopólnemu rozczarowaniu Escher nie rozumiał prawie ani słowa z tego, o czym mówił Coxeter. „Nigdy nie udało mi się uzyskać dobrej oceny z matematyki. To zabawne, że nagle związałem się z tą nauką. Uwierz mi, byłem bardzo złym uczniem w szkole. A teraz matematycy wykorzystują moje rysunki do ilustrowania swoich książek. Wyobraź sobie, że ci uczeni ludzie przyjmują mnie do swojego towarzystwa jako zagubionego i odnalezionego brata! Wydaje się, że nie podejrzewają, że jestem całkowitym analfabetą matematycznym.

Ręka z odbijającą kulą (Ręka z lustrzaną kulą). Litografia, 1935.

Pierwszy obraz rzeczywistości niemożliwej stworzony przez Eschera na podstawie jego szkiców z podróży nad Morze Śródziemne.

Martwa natura i ulica. Drzeworyt, 1937.

Potem zaczyna interesować się mozaikami i udaje się do Alhambry na szczegółowe studia nad mozaikami mauretańskimi, później powie, że było to dla niego „najbogatsze źródło inspiracji”.

Metamorfoza I (Metamorfoza I). Drzeworyt, 1937

Później w 1957 roku w swoim eseju o mozaikach Escher napisał: „W prace matematyczne regularny podział płaszczyzny rozważany jest teoretycznie... Czy to oznacza, że ​​to pytanie jest czysto matematyczne? Matematycy otworzyli drzwi prowadzące do innego świata, ale sami nie odważyli się do tego świata wejść. Bardziej interesuje ich ścieżka, przy której stoją drzwi, niż ogród za nimi.

Dzień i noc (Dzień i noc). Drzeworyt, 1937.

Niebo i woda I (Niebo i woda I). Drzeworyt, 1937

Wrażenie trójwymiarowości jest całkowicie zdeterminowane naszą interpretacją rysunku i czasami jest iluzoryczne. W pracy „Trzy kule” Escher przedstawił trzy płaskie dyski. Dolny dysk leży na stole. Środkowy jest wygięty pod kątem prostym wzdłuż średnicy. Górny dysk stoi pionowo na poziomej połowie środkowego dysku.

Trzy Sfery I (Trzy Sfery I). Rzeźba w drewnie, 1947

Kiedy patrzę na ten grawer, próbując objąć przestrzeń, zaczyna mi się kręcić w głowie.

Inny świat (Inny świat). Rzeźba w drewnie, drzeworyt, 1947
Escher: „Wnętrze sześciennego budynku. Przez otwory podwójnych łuków w pięciu widocznych dla nas ścianach widać trzy różne krajobrazy. Przez górne łuki można patrzeć w dół na ziemię – prawie pionowo; w dwóch środkowych łuki linia horyzontu znajduje się na poziomie oczu, przez dolną parę łuków można prześledzić każdą płaszczyznę tego budynku, łącząc nadir, horyzont i zenit, pełniąc potrójną funkcję. Na przykład tło (w środku) służy jako ściana względna po horyzont, podłogę - w odniesieniu do widoku z górnych łuków i sufit - widzimy rozgwieżdżone niebo.

Poniższa litografia wykorzystuje ideę autoreprodukcji. Ręce przyciągają się nawzajem, tworząc siebie. Jednocześnie same dłonie i proces ich samoreprodukcji są nierozłączne.

Rysowanie rąk (Rysowanie rąk). Litografia, 1947.
Escher: „Do tablicy za pomocą guzików przymocowana jest kartka papieru. Prawa ręka szkicuje na kartce mankiet ze spinką. Praca nie jest jeszcze ukończona, ale lewa ręka jest już szczegółowo narysowana po prawej: to wystaje z rękawa tak realistycznie, jakby wyrastał z płaskiej powierzchni, a z kolei tworzy szkic kolejnego mankietu, z którego niczym żywa istota wypełza prawa dłoń.

I to właśnie Escher przedstawił siebie z żoną.

Więź Unii. Litografia, 1956.

I na koniec mała zabawa z przestrzenią, moim ulubionym motywem w twórczości Eschera. Mogę bez końca wspinać się po drabinach, zmieniać górę i dół i znajdować się albo wewnątrz, albo na zewnątrz.

W górę i w dół (W górę i w dół). Litografia. 1947.
Escher: „Na tej litografii ten sam obraz jest przedstawiony dwukrotnie, ale oglądamy go z dwóch różnych punktów. Górna część to widok, który otworzy się przed obserwatorem, jeśli wzniesie się trzy piętra wyżej; dolna część to scena, która zobaczy stojącego na ziemi, czyli na platformie wyłożonej płytkami, patrząc w górę, zobaczy tę samą wyłożoną kafelkami podłogę powtórzoną co sufit w centrum kompozycji, ale jednocześnie pełniącą funkcję podłogi dla górnej sceny.Powyżej ponownie powtórzono podłogę wyłożoną kafelkami, tym razem jako prawdziwy sufit.

Względność (względność). Litografia, 1953.
Escher: „Trzy siły ciężkości są skierowane względem siebie prostopadle. Trzy powierzchnie ziemi przecinają się pod kątem prostym i w każdym z nich mieszkają ludzie. Mieszkańcy dwóch różnych światów nie mogą chodzić, siedzieć ani stać na tej samej podłodze, ponieważ mają różne wyobrażenia o poziomie i pionie. Mogą jednak korzystać z tych samych schodów. Na górze widzimy dwóch ludzi idących obok siebie po schodach, jakby w tym samym kierunku, jednak jeden porusza się w górę, a drugi w dół. Kontakt między nimi jest niemożliwy, gdyż żyją w różnych światach i nie są świadomi swojego istnienia.”

Drukuj galerię ( Galeria Sztuki). Litografia, 1956

Opis Eschera: „Wejście w prawym dolnym rogu prowadzi na wystawę – do galerii z wystawą grafik na ścianach i w gablotach. Mijamy gościa z rękami za plecami, a potem – młodego mężczyznę ( na dole po lewej), który jest co najmniej cztery razy większy od pierwszego. Nawet jego głowa jest powiększona w porównaniu do prawej ręki. Na ścianie przed nim - Ostatnia strona serii graficznej i wpatruje się w parowiec, łodzie, wodę w kanałach i domy w tle. Następnie jego wzrok przesuwa się od lewej do prawej, ku wielopoziomowemu osiedlu. Otwórz okno, z którego wygląda kobieta, trafia bezpośrednio na spadzisty dach galerii wystawowej i tym samym wracamy do miejsca, w którym podróż się rozpoczęła. Młody człowiek odbiera to jako dwuwymiarowe detale omawianej litografii. Jeśli jego oczy zajmą jeszcze więcej miejsca, będzie mu się wydawało, że wszedł w świat arkusza graficznego.

Belweder (Belweder). Litografia, 1958
Escher: „Po lewej stronie na pierwszym planie znajduje się kartka papieru z rysunkiem sześcianu. Przecięcia twarzy zaznaczono dwoma okręgami. Która twarz jest z przodu, a która z tyłu? W świecie trójwymiarowym jest to nie da się zobaczyć jednocześnie przedniej i tylnej strony, więc nie da się ich zobrazować.przekazuje inną rzeczywistość, jeśli spojrzeć na nią z góry i z dołu.Młody człowiek siedzący na ławce trzyma w rękach taki absurd podobieństwo sześcianu. Patrzy w zamyśleniu na ten niezrozumiały przedmiot, pozostając obojętnym na fakt, że znajdujący się za nim belweder jest zbudowany w tym samym niewiarygodnym, absurdalnym stylu. Na podłodze dolnego peronu, czyli we wnętrzu, znajduje się drabina, po której wspinają się dwie osoby. Jednak po dotarciu na górną platformę znajdą się ponownie na zewnątrz, pod gołym niebem i ponownie będą musieli wejść do środka belwederu. Czy można się dziwić, że nikt z obecnych tego nie robi obchodzi więźnia, który wsadza głowę między kraty więziennych krat i opłakuje swój los?

Rosnąco i opadająco (wznoszenie i opadanie). Litografia, 1960
Asher: „Niekończące się schody, które reprezentują główny motyw tego obrazu, zostały zainspirowane artykułem L. S. i R. Penrose’ów opublikowanym w British Journal of Psychology w lutym 1958 r. Prostokąt dziedzińca jest zamknięty ścianami budynku który zamiast dachu ma niekończące się schody.Dom najprawdopodobniej zamieszkują mnisi należący do jakiejś sekty religijnej, być może codzienny rytuał wymaga od nich wchodzenia po schodach za każdym razem po kilka godzin, wydaje się, że jak się zmęczą, to zamiast iść w górę, wolno im zawrócić i zejść w dół. Jednak oba kierunki, choć wyraziste, są równie bezużyteczne. Dwie krnąbrne osoby w tym momencie odmawiają udziału w rytuale. Wcale tego nie potrzebują, ale jest bez wątpienia prędzej czy później będą zmuszeni pokutować za swoje niezgodność.”.

Wodospad (wodospad). Litografia, 1961
Escher: „W artykule w British Journal of Psychology R. Penrose opublikował rysunek trójkąta w perspektywie, którego kopia jest tutaj reprodukowana. Projekt składa się z poprzeczek ułożonych jedna na drugiej pod kątem prostym Podążając z kolei oczami jego elementów, nie dostrzeżemy rozbieżności między nimi. „Jednak przed nami stoi zupełnie niemożliwa całość, gdyż zachodzą nieoczekiwane zmiany w interpretacji odległości pomiędzy obiektami a obserwatorem. Ta nie do pomyślenia konstrukcja jest” wbudowany” w obraz trzykrotnie. Spadająca woda wprawia w ruch koło młyńskie i przepływa wzdłuż pochyłej zygzakowatej rynny pomiędzy obiema wieżami, powracając do miejsca, w którym spadanie zaczyna się ponownie. Młynarzowi wystarczy jedynie, że rozleje tam wiadro z wodą od czasu do czasu, aby zrekompensować parowanie. Obie wieże wydają się być tej samej wysokości, jednak ta po prawej okazuje się o piętro niższa od tej po lewej.".

I tak to mogłoby wyglądać Miejsce pracy artysta (

„Zawsze błądzę w zagadkach. Młodzi ludzie przychodzą do mnie i mówią: „Ty też zajmujesz się op-artem”. Ale nie mam pojęcia o sztuce op-art. Po prostu robię to od 30 lat”.

W ciągu swojego życia Escher wykonał 448 litografii i rycin oraz ponad 2000 rysunków.

Dla Holendrów Escher w grafice – podobnie jak Van Gogh w malarstwie – jest królem i Bogiem. Świadczy o tym choćby fakt, że cały zbiór jego dzieł znajduje się w dawnym pałacu królewskim w Hadze.

Oprócz prac graficznych Escher ilustrował książki, projektował gobeliny, znaczki pocztowe, freski, papier pakowy. Escher miał również projekt banktonowy, jednak nie został zaakceptowany.

Maurits Escher urodził się w Leeuwarden w 1898 roku. Escher nie mógł ukończyć szkoły, ponieważ nie zdał Egzaminy Końcowe. Następnie pobierał lekcje architektury w Szkole Technicznej w Delft, ale ze względu na zły stan zdrowia nie mógł poradzić sobie ze studiami i został wydalony. mimo to w 1919 roku wstąpił do Szkoły Architektury i sztuka dekoracyjna w Haarlemie, który ukończył w 1922 r.
W 1921 roku po raz pierwszy odwiedził północne Włochy. Przyroda wywarła na nim ogromne wrażenie. W następnym roku odwiedził Hiszpanię i ponownie Włochy. Eschera urzekły Włochy, spędzał tam kilka miesięcy w roku, podróżując po miasteczkach. We Włoszech poznał swoją żonę Julię, gdzie zyskał uznanie. Ich pierwsze dziecko, George, urodziło się w Rzymie w lipcu 1926 roku. W chrzcie uczestniczyli Wiktor Emanuel III i Mussolini. Dzieła sprzedane we Włoszech nie wystarczyły na utrzymanie rodziny, a Maurits był bardzo wspierany przez ojca. Rodzina Escherów była wówczas właścicielem pałacu Princesssehof, który w XVIII wieku był własnością Marii Luizy z Hesji-Kassel, matki Stadtholdera Wilhelma IV.

Popularność w Holandii zyskała w 1929 roku, ponownie dzięki wsparciu rodziców. W tym roku Escherowi udało się zorganizować 5 wystaw indywidualnych. W 1932 r holenderskie muzeum w Rzymie opublikował pierwszą książkę o swojej twórczości i główną muzeum państwowe Holenderskie Rijksmuseum nabyło 26 dzieł Eschera.

Włochy musiały wkrótce wyjechać, gdy rozpoczął się okres faszystowski, a w kraju zapanował niepokój. W 1935 roku Escherowie przenieśli się do Szwajcarii, ale włoskie krajobrazy martwił artystę bardziej niż Szwajcara. W związku z tym rodzina udała się na południe Europy, gdzie Escher ponownie odwiedził hiszpańską Alhambrę. Pod koniec 1936 roku Escher stworzył swój pierwszy obraz przedstawiający rzeczywistość niemożliwą, Martwa natura z ulicą. Po pewnym czasie Escherowie ponownie przeprowadzają się – najpierw do Belgii, a potem z powrotem do Holandii.
W 1949 roku tworzy ilustrację „Gady” (moja ulubiona). Po wystawie w Rotterdamie jego wywiad ukazuje się w amerykańskich magazynach Time i Life, a Escher zyskuje sławę na całym świecie. Następnie zyskuje popularność jako wykładowca publiczny, a także dużo podróżuje. W 1955 otrzymał tytuł szlachecki.
Escher zmarł 27 marca 1972 roku w szpitalu w Hilversum na raka jelita grubego w wieku 73 lat. Na dwa lata przed śmiercią przeprowadził się do specjalnego domu dla starszych artystów. Escher miał trzech synów: George'a (1926), Arthura (1928) i Jana (1938). Najstarszy z nich, George, regularnie wygłasza wykłady na temat twórczości ojca.

Kreatywność Mauritsa Eschera

„Chociaż nie mam zielonego pojęcia o naukach ścisłych, czasami czuję, że bliżej mi do matematyków niż do moich kolegów-artystów”.

W trakcie pracy artysta czerpał pomysły z artykułów matematycznych, które mówiły o mozaikowym podziale płaszczyzny, rzutowaniu figur trójwymiarowych na płaszczyznę, geometrii nieeuklidesowej, „figurach niemożliwych”, logice trójwymiarowości przestrzeń.
Maurits Escher był jednym z pierwszych, którzy przedstawili fraktale w swoich mozaikowych obrazach. Podczas XII Światowego Kongresu Matematycznego (!) w Amsterdamie w 1954 roku otwarto wystawę prac Eschera. Matematyczny opis fraktali zaproponowano dopiero w latach 70. XX wieku (termin „fraktal” wprowadzono w 1975 r.).
Oznacza to, że Escher zilustrował już fraktale, a matematyczny opis tego terminu pojawił się 20 lat później.

Motywy Eschera:

krajobrazy

Zaczął od nich, gdy zainspirowały go włoskie krajobrazy. Moim zdaniem najnudniejszy temat w jego twórczości realistyczne obrazy. Jednak pracując nad krajobrazami, Escher poszukuje nowych podejść do przedstawiania przestrzeni i rozwijania perspektywy w celu tworzenia iluzji optycznych.

Most. 1930, litografia

Logika przestrzeni

Artysta tworzył w swoich obrazach iluzje optyczne, głównie za pomocą światłocienia. Na przykład na obrazie „Kostka z paskami” nie można określić, w którą stronę skierowane są obszerne „przyciski” umieszczone na wstążce.

Ponadto obrazy Eschera, przedstawiające różne „figury niemożliwe”, „bawią się” logiką przestrzeni; Escher przedstawiał je zarówno osobno, jak i w litografiach i rycinach fabularnych, z których najbardziej godną uwagi jest prawdopodobnie litografia Wodospadu, oparta na niemożliwy trójkąt(trójkąt Penrose'a). Wodospad pełni rolę perpetuum mobile, a wieże wydają się być tej samej wysokości, choć każda z nich jest o jedno piętro niższa od następnej. Pozostałe dwie ryciny Eschera przedstawiające niemożliwe postacie to Belvedere oraz Malejąco i Rosnąco.

"Względność". 1953, litografia.

„Schodzenie w dół i w górę”. 1960. Litografia.

Ilustracje te można znaleźć w Internecie w artykule „Konopie jako główna i przewodnia siła projektowania”.

Ciekawy film wyjaśniający zasadę niemożności wykonania tej klatki schodowej:

mozaiki

Na poniższych ilustracjach Escher wyjaśnił koncepcję regularnego podziału płaszczyzny (dziś nazywa się to parkietem, mozaiką lub płytką, a dokładniej płytkami izoedrycznymi) z szeregiem modyfikacji. Matematycy i naukowcy badający krystalografię sklasyfikowali je w sumie na siedemnaście różnych systemów, zgodnie z ich symetrią. Escher nie był matematykiem – sam odkrył te systemy poprzez ciągłe eksperymenty z nowymi odmianami parkietu.
Zainteresowanie mozaikami pojawiło się w 1936 roku podczas podróży do Hiszpanii pod wpływem geometrycznych wzorów Alhambry.
(Muszę iść).

Inaczej mówiąc, artysta szukał inspiracji w zasadach matematycznych, ucieleśniając je na papierze. Z jego szkiców widać, że rysunek poprzedzony jest obliczeniami matematycznymi i szczegółową konstrukcją. I dopiero wtedy wielokąt nabiera zwierzęcego wyglądu i koloru.

Metamorfozy

W latach 1939-1940. Asher nad tym pracuje nowy temat- metamorfozy. Artysta szczegółowo bada stopniowe przejście od jednej figury geometrycznej do drugiej, poprzez drobne zmiany w konturach. Ponadto Escher wielokrotnie malował metamorfozy zachodzące u istot żywych (ptaki zamieniają się w ryby itp.), a nawet „animowane” przedmioty nieożywione podczas metamorfozy, zamieniając je w istoty żywe.

Marzyciele, sybille i prorocy, Drogami zakazanymi myślom, Przeniknięci - poza świadomość - daleko, Gdzie świecą królewskie liczby. Walery Bryusow

Moritz Cornelis Escher, jedyny artysta w swoim rodzaju, który pracował nie tyle z obrazami, co z koncepcjami.
Być może nigdy nie słyszeliście tego imienia, a może pomyliliście je już z ostatnim potomkiem rodu Eschersów – bohaterem opowiadania Edgara Allana Poe. Jeśli tak, to twoje złudzenie jest na swój sposób symboliczne, ponieważ artysta Escher jest nie mniej tajemniczy niż jego literacki imiennik. Ale w każdym razie musiałeś widzieć jego obrazy. Ryciny przedstawiające zamknięte schody prowadzące cały czas w górę, domy z niesamowicie splecionymi kolumnami, mozaiki, czy jak to się nazywa – parkiety z powtarzającymi się postaciami ludzi, zwierząt czy potworów – to wszystko trzeba zobaczyć.
Skąpe linie biografii. Urodzony w 1898 roku w Holandii. Studiuje w Szkole Architektury i Ozdoby w Harlemie. Nauczyciele, którzy zauważyli i docenili ogromne zdolności graficzne młodego człowieka. Dziesięć lat w Rzymie. Następnie w Szwajcarii, Belgii i wreszcie w holenderskim mieście Barn. I w ramach tych ciemnych zewnętrznych wydarzeń życia - dramatyczna historia intensywne zajęcia twórcze.

Jego litografie, drzeworyty, mezzotinty można oglądać w gabinetach matematyków i innych naukowców na całym świecie. Niektóre z jego dzieł mają niesamowity, surrealistyczny odcień, ale dzieła Eschera to nie fantasmagoria Salvadora Dali czy Rene Margitte, ale subtelne obserwacje filozoficzne i matematyczne.
Twórczość tego artysty wzbudziła duże zainteresowanie matematyków i fizyków. Jego grafika okazała się zawierać głębokie zasady symetrii, znane tylko krystalografom. Okazało się, że wiele dzieł Eschera można analizować metodami matematycznymi. W ten sposób przeanalizowano i opublikowano parkiety Eschera, które były omawiane na światowym kongresie krystalografów.
Ale niewielu jest twórców, którzy stworzyli tak niezwykły styl lub sposób myślenia, że ​​można ich podziwiać, doceniać lub odrzucić, ale nie podążają za nimi. Takie są dialogi Platona, taka wstęga Möbiusa, taka jest rycina Dürera „Nosorożec”. Dzieło Eschera należy prawdopodobnie do dzieł tego poziomu.
Sztuka proponuje użycie alegorii, metafory, zwrócenie się w stronę uczuć. Nauka ma próbować „usunąć wszystko, co zbędne”, zająć się abstrakcją, modelem, symbolem. Artysta korzysta z obu możliwości.
. Musimy się bawić, tworząc światy, w których bardzo niewiele odbiega od naszego „prawdziwego”, zbyt skomplikowanego i zagmatwanego.
Być może właśnie w tej podkreślonej umowności, umiejętności odrobiny uwypuklenia, paradoksalnej natury stworzonych światów, w pozornej lekkości i dowolności tkwi urok twórczości Eschera.
Symetrie Eschera okazały się bogatsze od symetrii kryształów. W szeregu prac opisanych w książce Ernsta zrealizowano symetrie płaszczyzny Poincarégo, modele relatywistycznej przestrzeni prędkości. Splot sztuki graficznej i matematycznej teorii symetrii w formie, w jakiej została przedstawiona przez Eschera, jest zjawiskiem wyjątkowym, choć wciąż mało znanym naszemu czytelnikowi.
Symetria to nie jedyna cecha charakterystyczna grafik Eschera. Drugą, nie mniej ważną cechą, są głębokie matematyczne i fizjologiczne korzenie badania zasad perspektywy. Trójwymiarowe wyświetlanie dwuwymiarowego rysunku w ludzkim mózgu okazuje się procesem bardzo złożonym i dalekim od w pełni poznanego.
Oto co sam Escher powiedział o swojej twórczości:
„Wszystkie moje dzieła to gry. Poważne gry. Jedyne, co robię, to gram. Po prostu próbuję złożyć w całość małe zwierzęta – nie przychodzi mi to łatwo, ale czerpię niesamowitą przyjemność ze znajdowania sposobu na ich ułożenie. bawią mnie wszystkie pytania, które pojawiają się podczas pracy. Dręczą mnie te pytania i największą przyjemność sprawia mi zrozumienie, o co w nich chodzi, a potem znalezienie na nie odpowiedzi. Wtedy robię wrażenie, żeby inni mogli dzielić moją radość. Zrób to nazywasz to matematyką?…”

Jego autoportret, powstały u schyłku życia, jest równie paradoksalny, jak pozostałe obrazy. Moim zdaniem twórca tutaj jest podobny do swoich dzieł. Precyzyjne detale tworzą dziwną harmonię całości. Prawdopodobnie Moritz Escher nieświadomie pozostawił tu dowody nie tylko swoje wygląd styl, ale i charakter
„Linię Urana spotykaliśmy stosunkowo rzadko, gdyż obserwuje się ją jedynie u osób, które oprócz dobrych zdolności umysłowych posiadają także szczególnie wrażliwą wrażliwość duchową, tzw. intuicję”. V. A. Wrede.

Na początek mały potwór wypełza z sześciokątnej mozaiki krótki cykl trójwymiarowa istota. Po osiągnięciu najwyższego punktu, dotarciu do dwunastościanu, gad ponownie powraca do martwego planu.
Ważne jest, aby nie zgubić „nici łączącej czasy” i móc przywrócić stworzone smoki na płaszczyznę arkusza. I znowu, aby zająć się teoretycznymi możliwościami, a nie niebezpieczną rzeczywistością.

Prawa i lewa część kompozycji są nie tylko lustrzanie symetryczne, ale też stanowią dla siebie swego rodzaju negatyw. Gdy nasz wzrok przesuwa się od dołu do góry, kwadraty pól zamieniają się w białe ptaki lecące nocą i czarne ptaki lecące na tle jasnego dziennego nieba.
Wśród słońca i światła rodzą się obrazy ciemności. A może przeciwnie, promienie światła zrodzone na granicy ciemnego królestwa? Nie ma wyraźnej linii. Jedna substancja przenika drugą. Światło i ciemność, porządek i chaos. Porządek i chaos są ze sobą nierozerwalnie związane. Chaos w niektórych skalach może powodować porządek w innych, wręcz przeciwnie, chaos w niektórych swoich przejawach działa jak organizacja superzłożona.
Spróbujmy wyznaczyć granicę, na której kończy się dzień i zaczyna noc, gdzie czarne łabędzie zamieniają się w białe. Ta ramka pojawia się w różnych miejscach w zależności od tego, czy oglądamy obraz od lewej do prawej, czy od prawej do lewej. Psychologowie nazywają ten efekt bistabilnością percepcyjną. Efekt ten jest stosowany w wielu testy psychologiczne. Artystka i psychologowie prowadzą podobne gry

Oto jeden z dwóch typów przestrzeni nieeuklidesowej opisanych przez francuskiego matematyka Poincarégo. Aby zrozumieć cechy tej przestrzeni, wyobraź sobie, że jesteś wewnątrz samego obrazu. W miarę przesuwania się od środka okręgu do jego granicy, twój wzrost będzie się zmniejszał w taki sam sposób, jak zmniejsza się ryba na tym obrazku. W ten sposób droga, którą będziesz musiał przejść do granicy okręgu, będzie ci się wydawać nieskończona. Tak naprawdę, będąc w takiej przestrzeni, na pierwszy rzut oka nie zauważysz w niej niczego niezwykłego w porównaniu ze zwykłą przestrzenią euklidesową. Na przykład, aby dotrzeć do granic przestrzeni euklidesowej, trzeba także przejść nieskończoną ścieżkę. Jeśli jednak przyjrzysz się uważnie, zauważysz pewne różnice, np. wszystkie trójkąty podobne mają w tej przestrzeni ten sam rozmiar i nie będziesz w stanie narysować tam figur o czterech kątach prostych połączonych liniami prostymi,

NIEBO I PIEKŁO - Limit kręgu 4

Płaszczyznę wypełniają ściśle przylegające do siebie postacie aniołów i diabłów. Przechodząc od środka ryciny do jej krawędzi, figury maleją, zamieniając się w nieskończoną liczbę figur niewidocznych gołym okiem na samym brzegu. Ta wspaniała ozdoba opiera się na idei całkowicie matematycznej - znanej z euklidesowego modelu nieeuklidesowej płaszczyzny hiperbolicznej, wynalezionego przez Henriego Poincaré.
Płyta podzielona jest na 6 sekcji, w których dominują anioły na czarnym tle i diabły na białym. W ten sposób niebo i piekło zamieniają się miejscami 6 razy. Na pośrednich, „ziemskich” etapach są do siebie podobni.
Escher:
„Czasami, gdy maluję, wydaje mi się, że jestem medium, w którym dominują stworzenia stworzone przez moją wyobraźnię. Ryby stają się ptakami. Dzień jest nocą. Życie rodzi się z chaosu, zamarza w martwe miasta, zamienia się w grę w szachy i rozpada się w pył. Mozaika ożywa i zamienia się w jaszczurki, poruszają się, żyją i znów wchodzą w ozdobę.”

Na podłodze ułożonej z kwadratowych płytek leży kartka papieru. Punkty przecięcia krawędzi sześcianu zaznaczono okręgami. Na szkielecie sześcianu trzymanego w rękach siedzącego chłopca krawędzie przecinają się w najbardziej niesamowity (i niemożliwy do zrealizowania w trójwymiarowej przestrzeni) sposób. W samym belwederze jest wiele „niemożliwych szczegółów”. Młody człowiek wspiąwszy się na sam szczyt schodów prowadzących na podest, stanął przed belwederem. Chociaż podstawa schodów znajduje się w jego wnętrzu. Człowiek w lochu musiał oszaleć, próbując zrozumieć sprzeczności w dziwacznym świecie, w którym się znalazł na polecenie artysty

W GÓRĘ NA DÓŁ

Escher miał małego zaburzenie psychiczne Poczuł bolesną potrzebę upadku. Patrząc w górę, na wieżę, górę lub niekończący się pion, Escher wpadał w ekstatyczne odrętwienie. Wspomina to wielu jego biografów i przyjaciół. Patologiczne zamiłowanie do wysokości dało początek jego niepowtarzalnemu stylowi pisania – cokolwiek Escher portretował, było to naruszenie oczywistości, upadek, wywrócenie się na lewą stronę, drwina z sił ciężkości i krzywizny przestrzeni kręgosłupa.
Może kierował nim jakiś instynkt, powołany przez naturę nie do ratowania, ale do niszczenia przestrzeń trójwymiarowa. Tak, zdecydowanie był niszczycielem geometrii euklidesowej.

Jedna z niesamowitych „niemożliwych” postaci, odkryta po raz pierwszy przez angielskiego genetyka L.S. Penrose i jego syn, matematyk R. Penrose.
Mnisi nieznanego zakonu dokonują nieznanego rytuału – niekończącego się spaceru po okrągłej galerii na dachu swojego klasztoru. Jednocześnie ci, którzy idą po „niemożliwych” schodach w zewnętrznym rzędzie, stale wspinają się w górę, a ci, którzy idą w wewnętrznym rzędzie, równie równomiernie schodzą w dół.
Escher: „Obydwa, choć nie pozbawione znaczenia, są równie bezsensowne. Dwie myślące jednostki (jedna na balkonie, druga na schodach) odmawiają udziału w „ćwiczeniach ducha”. Myślą, że pojęły prawdę głębiej niż ich bracia, ale prędzej czy później zrozumieją błąd ich niezgodności”

Grawer „Mniej i mniej” przedstawia typowy obiekt fraktalny.
Najsłynniejsze figury geometrii fraktalnej. Rysunki te budowane są według bardzo prostej i ekonomicznej zasady. Aby jeden komputer mógł przenieść swoją pracę na drugi, wystarczy zakomunikować tylko tę regułę. Naturalnie od razu pojawia się pomysł, aby „skompresować obraz”, czyli spakować go w najbardziej ekonomiczną formę za pomocą algorytmów fraktalnych lub zastosować takie podejście do tworzenia szyfrów i kodów. W niektórych przypadkach udaje się to z dużym sukcesem.

Przedstawiony jest mały dwunastościan gwiaździsty - jeden z czterech wielościanów gwiaździstych Keplera-Poinsota, które wraz z pięcioma bryłami platońskimi tworzą dziewięć wielościanów foremnych. Mały dwunastościan gwiaździsty (wraz z innym wielościanem gwiaździstym) został po raz pierwszy odkryty przez Keplera, który nazwał go jeżem.
Rysunek „jeża” został opublikowany na łamach „Harmonii świata” Keplera – wspaniałego traktatu, w którym harmoniczne proporcje odkryte przez wielkiego astronoma w postaci figur geometrycznych. Zostały one przeniesione do ruchu ciał niebieskich.
W Harmonii świata Kepler po raz pierwszy sformułował swoje słynne trzecie prawo ruchu planet.
W litografii Porządek i chaos pełnej wdzięku symetrii wielościanu, którego wierzchołki przebijają otaczającą go bańkę mydlaną, przeciwstawia się zbiór obiektów, które Escher określił jako „wyrzucone, pogniecione i nikomu nieprzydatne”.

Dwa lustrzanie symetryczne węzły, zwane „koniczyną”. Lewy węzeł „zrobiony” jest z dwóch pasków przecinających się pod kątem prostym. Przed połączeniem końców takiego paska w kształcie krzyża cały podwójny pasek został skręcony o pół obrotu. Duży węzeł przedstawiony pod dwiema koniczynami „zrobiony” jest z ażurowej rurki o przekroju czworokątnym, skręconej o ćwierć obrotu przed sklejeniem jej końców: mrówka pełzająca po środkowej ścieżce opisze cztery Pełne koło przed powrotem do punktu wyjścia.

Escher przedstawił trzy płaskie dyski, z których każdy jest „zakamuflowany” jako kula. Dolny dysk leży na stole. Środkowy jest wygięty pod kątem prostym wzdłuż średnicy. Górny dysk stoi pionowo na poziomej połowie środkowego dysku. Linia zagięcia środkowego dysku i ta sama kolorystyka wszystkich trzech „pseudosfer” pomogą ci zrozumieć „oszustwo”

Litografia „Trzy Światy” wywołuje poczucie bliskości innego Wszechświata. Wszechświat, w którym na Ziemi istnieją inne żywe istoty. To nie tylko to, co widzimy i słyszymy u wielu z nich w różnych zespołach. Nie dość, że „nasi mniejsi bracia” mogą posiadać narządy zmysłów, których my jesteśmy pozbawieni. Wyobraź sobie przez chwilę, że nasz środowisko naturalne siedliskiem byłaby woda. Wtedy ziemski firmament i ocean zdawały się zmieniać miejsca w naszej percepcji. Ląd wydawałby się czymś w pobliżu kosmosu. I być może eksperci wojskowi dyskutowaliby zamiast planów ” Gwiezdne Wojny» możliwości walki naziemnej. Tak, a prawa fizyki otworzyłaby taka cywilizacja w zupełnie innej kolejności

Ozdoby jaszczurek, głów, postaci jeźdźców są symbolami harmonii, dokładności, porządku. Cykliczność, powtarzalność, prostota zasad gry. To jest obszar, w którym nauki ścisłe odniosły sukces. Dlatego obraz „Mozaika II” postrzegany jest jako wielka niespodzianka i genialny paradoks, nawet wśród dzieł takich niezwykły artysta jak Moritz Escher. Tutaj płaszczyzna rysunku jest gęsto wypełniona postaciami ryb, zwierząt, ptaków, wśród których nie ma identycznych. Nie da się usunąć żadnego z nich bez naruszenia harmonii całości. Osoba wygląda tu jak równy wśród równych. Dziwne połączenie chaosu i przypadku z precyzją i pewnością, charakterystyczne zarówno dla życia, jak i dla życia harmonia muzyczna. Tutaj gitara wygląda bardzo naturalnie - symbol melodii życia.

Escher połączył spiralny kształt ze swoim ulubionym technika artystyczna- regularne podziały płaszczyzny (lub mozaiki). Tutaj ryba, wypływając z jednego wiru, wpada do drugiego i zanurzając się w nim, stopniowo zmniejsza się, aż w końcu całkowicie znika. Zwróć uwagę na mozaikę stopniowo zmniejszającą się. Jeśli mentalnie rozszerzymy spiralę, zobaczymy tylko dwa rzędy ryb płynących ku sobie. Ale skręcone w spiralę i odpowiednio zdeformowane obrazy ryb całkowicie pokrywają pewien obszar nieskończonej płaszczyzny.

na powierzchni piłki znajdują się cztery paski, przechodzące z jednego bieguna piłki na drugi. Podobną drogę może pokonać samolot lecący z północnego bieguna globu na południe.

Figury uzyskane przez połączenie wielościanów foremnych można znaleźć w wielu pracach Eschera. Najciekawszym z nich jest rycina „Gwiazdy”, na której można zobaczyć bryły powstałe w wyniku połączenia czworościanów, sześcianów i ośmiościanów. Jeśli Escher jest przedstawiony tylko w tej pracy różne opcje wielościany, nigdy byśmy się o tym nie dowiedzieli. Ale z jakiegoś powodu umieścił go w środku Centralna figura kameleony, które utrudniają nam postrzeganie całej sylwetki

Należy zatem odejść od utartego postrzegania obrazu i spróbować spojrzeć na niego świeżym okiem, aby przedstawić go w całości. Ten aspekt tego obrazu jest kolejnym przedmiotem podziwu matematyków dla pracy Eschera.

(Holandia Maurits Cornelis Escher, 17 czerwca 1898, Leeuwarden, Holandia - 27 marca 1972, Laren, Holandia) to holenderski artysta, który zasłynął dzięki zdobniczym rycinom i pracom z „ niemożliwa architektura„. Escher marzył o karierze architekta, jednak ze względu na zły stan zdrowia zmuszony był z niej zrezygnować. Później zainteresował się ryciną, a jego pierwszymi popularnymi dziełami były pejzaże, które uwieczniał podczas licznych podróży. Escher zyskał światową sławę w połowie lat 50. XX wieku, choć przez całe życie nie napisał ani jednej książki. malowanie płótna.

Cechy artysty Mauritsa Eschera: Szczególną popularnością cieszą się „mozaiczne” prace artysty, na których różne zwierzęta układają się w symetryczny wzór. Escher w swojej pracy stosował techniki oparte na zasadach matematycznych. Krystalografowie wykorzystują jego ryciny do ilustrowania swoich prac.

Słynne dzieła Mauritsa Eschera:„Metamorfozy”, „Belweder”, „ Wieża Babel”, „Balkon”, „Ręka z odblaskową kulą”, „Wejście i zejście”.

Pomimo tego, że nazwisko Mauritsa Eschera jest znane każdemu mniej lub bardziej obeznanemu ze sztuką, artysta ten zawsze wyróżniał się wśród swoich kolegów. Cóż mogę powiedzieć, niektórzy historycy sztuki wątpią wręcz, czy warto przypisywać jego twórczość malarstwo nowoczesne. I trudno z nimi polemizować, bo w całej swojej karierze Escher nie napisał ani jednego obrazu. Interesowały go wyłącznie ryciny, ozdoby i wzory. Nie interesował się innymi artystami i z żadnym z nich nie utrzymywał kontaktów (przynajmniej nie zachowały się na to żadne dowody), co tylko ugruntowało jego pozycję jako outsidera wśród malarzy. Ale mimo wszystko Escherowi dzięki swoim mozaikowym wzorom, niemożliwej architekturze i powtarzalnym, nieskończenie powtarzalnym rysunkom udało się osiągnąć to, o czym wielu artystów tamtych czasów mogło tylko marzyć. Escher zasłynął już za życia i zmarł w podeszłym wieku jako praktycznie uznany geniusz.

Niewidzialny człowiek

Artysta urodził się 17 czerwca 1898 roku w małym holenderskim miasteczku Leeuwarden. Piąty syn George'a Arnolda Eschera i jego drugiej żony, Sarah Adriany, był bardzo chorowitym dzieckiem (które ostatecznie wyrosło na równie chorowitego dorosłego). Zły stan zdrowia najpierw pozbawił chłopca pełnej komunikacji z innymi dziećmi, a później zmusił go do porzucenia marzenia o pójściu w ślady ojca i zostaniu architektem. W wieku siedmiu lat, w czasie, gdy większość jego rówieśników kopała piłkę i zawierała pierwsze przyjaźnie na całe życie, Maurits musiał spędzić cały rok z dala od domu i rodziny. Rodzice wysłali chłopca na leczenie do małej nadmorskiej miejscowości Zandvoort, która do niedawna była jedynie wioską rybacką.

Od dzieciństwa Asher miał jedną niesamowitą cechę - mógł stać się niewidzialny. Za tę umiejętność, w razie potrzeby, „wtapiania się w teren” (i na przykład nie przyciągania uwagi nauczyciela) Maurits był nielubiany zarówno przez kolegów z klasy, jak i nauczycieli. Nauka w szkole sprawiała mu ogromne trudności i nigdy tak naprawdę nie pragnął uczyć się dobrze. Chłopiec otrzymywał słabe oceny nawet z rysunku, który bardzo kochał i osiągał w nim imponujące sukcesy. Przez lata studiów Escher oblał tyle egzaminów, że nie mógł nawet uzyskać świadectwa dojrzałości. Ale Edukacja szkolna choć cudownie ukończone. Najwyraźniej nauczycielom zależało tylko na jak najszybszym pozbyciu się dziwnego chłopca, który mógł być całkowicie niewidzialny, a jednocześnie wyzywająco pluć na całe swoje moralizowanie. Maurits był z tego powodu bardzo szczęśliwy. W ogóle można odnieść wrażenie, że przez całe życie chciał tylko jednego – żeby wszyscy zostawili go w spokoju i nie przeszkadzali mu w robieniu tego, czego chce.

Śladami ojców

Prawdziwi przyjaciele pojawili się Mauritsowi dopiero w młodości. Razem z nimi zaczął stawiać pierwsze kroki w sztuce, początkowo w literaturze. Razem z nimi w wieku 24 lat pojedzie do Włoch, gdzie spędzi tam następnie kilkanaście lat. Najpierw jednak Escher musiał położyć kres tym marzeniu.

Już jako dziecko Maurits pokazał rodzinie swój pierwszy rysunek. Biografowie artysty twierdzą, że było to kwadratowe koło. George Asher spojrzał na gazetę i najprawdopodobniej z satysfakcją pomyślał, że wychowuje dla siebie godnego następcę. Maurits najwyraźniej był bardzo przywiązany do rodzica i próbował w jakikolwiek sposób zaimponować mu. Nawet jedna z pierwszych rycin Eschera była portretem jego ojca. Chłopiec marzył o karierze architekta i zaczął pobierać lekcje tej specjalności w Szkole Technicznej w Delft. Notorycznie zły stan zdrowia tutaj również stał się dla niego przeszkodą nie do pokonania. Escher studiował tylko przez rok, po czym został wydalony. Było oczywiste, że nie może zostać architektem, ale mimo to Maurits postanowił się nie poddawać i wstąpił do Szkoły Architektury i Sztuk Dekoracyjnych w Haarlemie. Tutaj odniósł większy sukces, ale zanim ukończył studia, grawerowanie całkowicie i nieodwołalnie zawładnęło jego myślami, sercem i wyobraźnią. Zatem Maurits i George Escher musieli pożegnać się z jednym marzeniem dla dwojga.

Kolejną osobą, którą Escher żywił silną sympatią, był jego mentor Samuel de Mesquita, który uczył litografa w Haarlemie. Po przeprowadzce do Włoch Escher korespondował z nauczycielem aż do śmierci. W 1944 r. cała rodzina Mesquity, Żyda z pochodzenia, została aresztowana przez hitlerowców, a wkrótce potem zginął w komorze gazowej w Auschwitz. Escherowi udało się ocalić wiele prac mentora, które później wysłał do Muzeum w Amsterdamie. W domu zostawił tylko jeden szkic Mesquity z nadrukowanym okropnym „grawerem” - odciskiem buta niemieckiego żołnierza. Później stworzył własny grawer ze śladami stóp w błocie i niebem odbitym w kałuży.

podbój świata

Escher jest często celowo usuwany z kręgu przedstawicieli współczesnego malarstwa, zwyczajowo przedstawia się go jako swego rodzaju krakersa o nastawieniu bardziej matematycznym niż kreatywnym. Zaskakujące jest nawet, jak osobie tak pochłoniętej swoim ulubionym biznesem udało się założyć rodzinę. Z Jettą Wimiker 25-letni Maurits poznał podczas podróży po Włoszech. Przez długi czas nie miał odwagi wyznać dziewczynie swoich uczuć i zrobił to dosłownie w ostatniej chwili. W 1924 pobrali się i osiedlili pod Rzymem. Asher i Jetta mieszkają razem od ponad 40 lat i mają trzech synów. Dopiero w 1968 roku żona opuściła artystę i wyjechała do rodzinnej Szwajcarii.

W latach dwudziestych ryciny Eschera wciąż bardzo odbiegały od tych, które go sprowadziły światowa sława i rycerstwo. Chwila większość jego dzieło było poświęcone ukochanym Włochom. Pola i wzgórza, fortece, katedry i wąskie uliczki... Wydawało się, że włoskie pejzaże może malować bez końca. Ale już w nich widać bez wątpienia rozpoznawalny styl, w jakim zostaną wykonane późniejsze dzieła Eschera ( , , , , ).

We Włoszech artysta mieszkał z rodziną do 1935 roku i został zmuszony do wyjazdu ze względu na napiętą sytuację polityczną (mimo że sam Mussolini był obecny na chrzcie swojego pierwszego dziecka).

Przez całe życie Escher dużo się przeprowadzał i podróżował. A zasłynął przede wszystkim dzięki swoim pejzażom. Pierwszy wystawa osobista artysty miało miejsce w 1923 roku. Większość jego rówieśników w wieku 25 lat mogła o tym tylko marzyć. I pomimo tego, że czasami doświadczał trudności finansowych, jego popularność rosła z roku na rok. Ale prawdziwie triumfalny pochód prac Eschera po całym świecie rozpoczął się w połowie lat 50., po jego pierwszej wystawie w Stanach Zjednoczonych. Trudno sobie wyobrazić, ile więcej artysta mógłby osiągnąć, gdyby nie zły stan zdrowia, który z wiekiem sprawiał mu coraz większe niedogodności. W ciągu swojego życia Escher przeszedł kilka operacji, ostatnie dwa lata spędził w domu opieki i zmarł na raka w wieku 73 lat.

Przewodnik

Ryba , ptaki i jaszczurki. Większość „mozaikowych” dzieł Eschera, w tym słynne Metamorfozy, powstała dzięki kilku wyjazdom do Hiszpanii, w szczególności do Alhambry. Styl mauretański i surowe wzorce muzułmańskich rzemieślników wywarły na nim niezatarte wrażenie. Jednak Escher szybko odchodzi od prostych geometrycznych kształtów i zaczyna je „animować” – kwadraty i sześciokąty zastępują ptaki i gady – po czym całkowicie „ożywa”, zmuszając narysowane jaszczurki do wyjścia poza rysunek.

Podejście naukowe. W swoich pracach Escher stosował różne techniki oparte na zasadach matematycznych i stał się skomplikowany figury geometryczne w dzieła sztuki („Grawitacja”, 1952). Ale największą popularność artysta zyskał wśród krystalografów (podstawą tej nauki jest zasada symetrii). W 1960 roku Escher wygłosił wykład w Cambridge na temat symetrii na międzynarodowej konferencji krystalograficznej. Niektórzy uczeni nadal wykorzystują jego prace (np. „Dzień i noc”, 1938) jako ilustracje do swoich artykułów.

Niemożliwa architektura. Ryciny, które rozsławiły Eschera na całym świecie, gdzie przestrzeń zostaje wywrócona na lewą stronę, gdzie ludzie wspinają się po schodach prowadzących w dół, a woda spływająca z koła młyńskiego płynie w górę, łączą w sobie iluzje optyczne, geometrię nieeuklidesową i techniki imp-artu. Niemożliwe figury geometryczne stworzone przez naukowca Rogera Penrose'a wywarły duży wpływ na artystę. Bawiąc się wyobraźnią widza, Escher w każdym rycinie tworzy swój własny świat niemożliwego, w którym wszystko jest możliwe.