स्वर्णिम अनुपात और मानव शरीर का अनुपात। लियोनार्डो दा विंची का अनुपातिक सिद्धांत

सुनहरा अनुपात एक खंड का असमान भागों में विभाजन है, जबकि पूरा खंड (ए) बड़े हिस्से (बी) से संबंधित है, क्योंकि यह बड़ा हिस्सा (बी) छोटे हिस्से (सी) से संबंधित है, या ए:बी=बी:सी, या सी:बी=बी:ए.

सेगमेंट सुनहरा अनुपातएक अनंत अपरिमेय संख्या Ф = 0.618 ... के माध्यम से एक दूसरे के साथ सहसंबंध बनाएं सीफिर, एक इकाई के रूप में लें ए= 0.382. संख्याएँ 0.618 और 0.382 फाइबोनैचि अनुक्रम के गुणांक हैं जिन पर मुख्य ज्यामितीय आंकड़े.

मानव हड्डियों का अनुपात सुनहरे अनुपात के करीब है। और सुनहरे खंड के सूत्र के अनुपात जितना करीब होगा, व्यक्ति की उपस्थिति उतनी ही आदर्श दिखेगी।

यदि किसी व्यक्ति के पैरों और नाभि बिंदु के बीच की दूरी = 1 है, तो व्यक्ति की ऊंचाई = 1.618 है।

कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है।

नाभि के बिंदु से सिर के शीर्ष तक और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है।

नाभि से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है।

ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका छिद्र तक की दूरी 1:1.618 है।

ठोड़ी की नोक से भौंहों की शीर्ष रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है।

अन्य आनुपातिक अनुपात:

चेहरे की ऊंचाई/चेहरे की चौड़ाई; नाक के आधार/नाक की लंबाई से होठों के कनेक्शन का केंद्रीय बिंदु; चेहरे की ऊँचाई / ठोड़ी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी; मुँह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई; नाक की चौड़ाई/नाक के छिद्रों के बीच की दूरी; पुतलियों के बीच की दूरी/भौहों के बीच की दूरी।

किसी व्यक्ति के चेहरे पर सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव आँख के लिए सुंदरता का आदर्श है।

देखने पर स्वर्णिम खंड सूत्र दिखाई देता है तर्जनी अंगुली. हाथ की प्रत्येक उंगली तीन फालेंजों से बनी होती है। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फालेंजों का योग \u003d सुनहरा अनुपात (के अपवाद के साथ) अँगूठा). अनुपात बीच की ऊँगली/ छोटी उंगली = सुनहरा अनुपात.

एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियां 3 फालेंजों से बनी होती हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी केवल 10, लेकिन दो दो-फैलेंजियल अंगूठे के अपवाद के साथ, केवल 8 उंगलियां सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार बनाई जाती हैं (संख्या 2, 3, 5 और 8 हैं) फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ)।

पहले से ही मध्य युग में भागों के माप मानव शरीरमानकों के रूप में उपयोग किया जाता था। फ्रांस में कैथेड्रल का निर्माण करते समय, एक उपकरण का उपयोग किया गया था, जिसमें 5 छड़ें थीं, जो हथेली, बड़े और छोटे स्पैन, पैर और कोहनी की लंबाई थीं। ये सभी लंबाई लंबाई की एक छोटी इकाई के गुणक थे, जिसे कहा जाता था रेखाऔर 1/12 इंच के बराबर था, अर्थात। लगभग 2.5 मिमी. यदि हम इन आंकड़ों को मीट्रिक प्रणाली में अनुवादित करें, तो हम देख सकते हैं कि मात्राएँ पंक्तियांफाइबोनैचि श्रृंखला की संख्याएँ हैं। प्रत्येक का पिछले से अनुपात F है, जो और भी आश्चर्यजनक है, क्योंकि ये इकाइयाँ मानव शरीर के मनमाने भागों से मेल खाती हैं।

महिलाओं में कौन सा फिगर सुंदर माना जाता है और पुरुषों में क्या सुंदर माना जाता है? यह आश्चर्यजनक लगता है, लेकिन महिला या के बारे में हमारी धारणा पुरुष सौंदर्ययह किसी व्यक्ति के "स्वाद" पर नहीं, बल्कि संख्याओं पर निर्भर करता है। आइए खुद से सवाल पूछें कि चौड़े कंधों वाले पुरुष को आकर्षक और गोल आकार वाली महिला को आकर्षक क्यों माना जाता है? पुरुष एक्स-आकृति ने हमेशा मर्दानगी और ताकत पर जोर दिया है। महिला के पास एक फिगर है hourglass» प्राचीन काल से ही प्रजनन क्षमता से जुड़ा हुआ है। हम लोगों की शक्ल-सूरत को कई पीढ़ियों के चश्मे से देखते हैं मानव आँखें, और हमारी पसंद संख्याओं से पहले ही साबित हो चुकी है।

मनुष्य का स्वर्णिम अनुपातएक संख्या है जो पूरे मानव शरीर के अनुपात का वर्णन करती है (उदाहरण के लिए, धड़ की लंबाई की तुलना में पैरों और बाहों की लंबाई) और यह निर्धारित करती है कि इनमें से कौन सा अनुपात सबसे अच्छा दिखता है।

मध्य युग के बाद से, मूर्तिकारों और कलाकारों को "सुनहरा अनुपात" ज्ञात है और उन्होंने इसे अपने कार्यों में चित्रित करने के लिए उपयोग किया है सर्वोत्तम शरीर. और आज प्लास्टिक सर्जन और दंत चिकित्सक चेहरे के पुनर्निर्माण के लिए इस फॉर्मूले का उपयोग करते हैं।

इसे कैसे परिभाषित किया गया है? मानव स्वर्णिम अनुपात».
एक नियम के रूप में, अनुपात 1:1.618 जैसा दिखता है। समझाने के लिए: यदि आपकी बांह की लंबाई 1 है, तो आपकी बांह और अग्रबाहु की लंबाई का योग 1.618 होना चाहिए। तदनुसार, यदि पैर 1 के बराबर है, तो पैर और निचला पैर पहले से ही 1.618 है।

चेहरा शरीर का एक हिस्सा है जहां "गोल्डन सेक्शन" के कई उदाहरण हैं। मानव सिर तथाकथित "सुनहरा आयत" बनाता है, इसके केंद्र में मानव आँखें हैं। नाक और मुंह ठुड्डी और आंखों के बीच सुनहरे खंड में हैं।

यह सब हमारे लिए शरीर विज्ञान की दृष्टि से दिलचस्प है, लेकिन मनोविज्ञान की दृष्टि से भी कम नहीं। मानव मस्तिष्कहर जगह समरूपता और संतुलन की तलाश है या इसे बनाने की कोशिश की जा रही है। इसलिए निष्कर्ष यह है कि हम आम तौर पर मानव शरीर की सुंदरता का आकलन इस आधार पर करते हैं कि यह एक पूर्णतः सममित शरीर के समान है, और यह वास्तव में आदर्श समरूपता है जिसे "सुनहरा खंड" वर्णित कर सकता है।

हम रोजमर्रा के आकर्षण को बढ़ाने के लिए इस जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं?

सबसे पहले, आपको यह समझने की ज़रूरत है कि आपके शरीर का वर्कआउट सममित होना चाहिए। मान लीजिए कि ऐसी जगहें हैं जिन्हें आप बदल नहीं सकते। सभी सौंदर्य सैलून मिलकर भी मानव शरीर को 100% परिपूर्ण नहीं बना सकते, और क्या यह वास्तव में आवश्यक है?

सबसे अधिक दिखाई देने वाला भाग जिसे बदला जा सकता है वह है कंधों और पीठ के निचले हिस्से का अनुपात। एक पुरुष के लिए, कमर और कूल्हों की तुलना में चौड़े कंधे उसकी ताकत और मर्दानगी की बात करते हैं, जिससे शरीर विशेष रूप से महिला की नज़र में आकर्षक बनता है। यह "सुनहरा खंड" है जो हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि पुरुषों के कंधे कितने चौड़े होने चाहिए।

क्या करें:

सबसे पहले आपको लक्ष्य तय करने की आवश्यकता है: मांसपेशियों की मात्रा में वृद्धि या आहार।

यदि आपका लक्ष्य आहार है, तो शरीर के समस्या वाले हिस्से को सख्ती से मापें और नियंत्रित करें, जो आपकी राय में व्यापक होना चाहिए। अगर लक्ष्य बढ़ाना है मांसपेशियों, तो उस भाग को मापना आवश्यक है, जो अनुपात के अनुसार संकरा होना चाहिए।

अपना ध्यान अपने शरीर के किसी न किसी हिस्से को बदलने पर केंद्रित करें। एक नियम के रूप में, पुरुषों के लिए, डाइटिंग के मामले में, आपको कमर के आकार को बदलने पर ध्यान देने की ज़रूरत है, और मांसपेशियों का निर्माण करते समय, कंधों की चौड़ाई को बदलने के लिए बल लगाना होगा।

परिचय

ग्रीक मूर्तिकारों की महान रचनाएँ: फ़िडियास, पॉलीक्टेटस, मायरोन, प्रैक्सिटेल्स को लंबे समय से मानव शरीर की सुंदरता के मानक, सामंजस्यपूर्ण काया के उदाहरण माना जाता है। क्या सूत्रों और समीकरणों का उपयोग करके किसी व्यक्ति की सुंदरता को व्यक्त करना संभव है? गणित सकारात्मक उत्तर देता है। अपनी रचनाएँ बनाते समय, यूनानी आचार्यों ने सुनहरे अनुपात के सिद्धांत का उपयोग किया। स्वर्णिम अनुपात कई सदियों से प्रकृति और कला के कार्यों में सामंजस्य का माप रहा है। इसका अध्ययन प्राचीन काल और पुनर्जागरण के लोगों द्वारा किया गया था। बी एक्समैं10वीं और 20वीं शताब्दी में, स्वर्णिम अनुपात में रुचि पुनर्जीवित हुई नई ताकत.

करो आधुनिक लोगमानव शरीर की संरचना के वे आदर्श अनुपात जो प्राचीन काल से हमारे पास आते रहे हैं? हम इस प्रश्न का उत्तर "मानव शरीर के अनुपात में स्वर्णिम अनुपात" शोध कार्य में देने का प्रयास करेंगे।

कार्य का लक्ष्य : मानव शरीर की संरचना के आदर्श अनुपात के रूप में स्वर्ण खंड का अध्ययन।

कार्य:

विषय पर साहित्य का अध्ययन करें अनुसंधान कार्य;

सुनहरे खंड को परिभाषित करें, इसके निर्माण, अनुप्रयोग और इतिहास से परिचित हों;

मानव शरीर के अनुपात में गणितीय पैटर्न सीखें;

लोगों के अनुपात में स्वर्णिम अनुपात खोजना सीखें;

मानव शरीर के स्वर्ण खंड के अनुपात का पत्राचार निर्धारित करें।

परिकल्पना : प्रत्येक मानव शरीर का अनुपात स्वर्णिम अनुपात के अनुरूप होता है।

अध्ययन का उद्देश्य: इंसान।

अध्ययन का विषय : मानव शरीर के अनुपात में स्वर्णिम अनुपात।

तलाश पद्दतियाँ : मानव शरीर की ऊंचाई और भागों को मापना, प्रोग्राम का उपयोग करके गणितीय तरीकों से प्राप्त परिणामों को संसाधित करना माइक्रोसॉफ्ट ऑफिसएक्सेल 2007, तुलनात्मक विश्लेषणस्वर्ण खंड के मूल्य के साथ माप प्राप्त किया।

अध्याय 1 स्वर्णिम अनुपात

पाइथागोरस ने दिखाया कि इकाई लंबाई AB का एक खंड (चित्र 1.1)। दो भागों में विभाजित किया जा सकता है ताकि बड़े हिस्से (AC=x) और छोटे हिस्से (CB=1-x) का अनुपात पूरे खंड (AB=1) और बड़े हिस्से के अनुपात के बराबर हो ( एसी=x):

चित्र 1.1 - चरम और औसत अनुपात में खंड का विभाजन

अनुपात के गुण से.. x 2=1-x,

एक्स 2 + एक्स-1 = 0. (1)

इस समीकरण का सकारात्मक मूल है, इसलिए घटे हुए अनुपात में अनुपात हैं: =≈1.61803 प्रत्येक।

ऐसा विभाजन (बिंदु C) पाइथागोरस ने कहासुनहरा विभाजन , या सुनहरा अनुपात , यूक्लिड - चरम और औसत अनुपात में विभाजित करना , और लियोनार्डो दा विंची - अब आम तौर पर स्वीकृत शब्द है"सुनहरा अनुभाग" .

ज़ोलो वह अनुभाग - यह बहुत आनुपातिक हैएक खंड का असमान भागों में विभाजन हैजिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से संबंधित है, क्योंकि बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है जैसे बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है।

स्वर्ण खंड का मूल्य आमतौर पर एफ अक्षर से दर्शाया जाता है। यह अमर मूर्तिकला कार्यों के निर्माता फिडियास के सम्मान में किया जाता है।

Ф=1.618033988749894. यह 15 दशमलव स्थानों के साथ स्वर्णिम अनुपात का मान है। F का अधिक सटीक मान परिशिष्ट A में देखा जा सकता है।

चूँकि समीकरण (1) का हल खंड के हिस्सों की लंबाई के बीच का अनुपात है, यह खंड की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, स्वर्णिम अनुपात का मान मूल लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।

1.2 सुनहरे अनुपात का निर्माण और अनुप्रयोग

सुनहरे खंड (चित्र 1.2) का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण पर विचार करें सही त्रिकोण DIA, जिसमें भुजाएँ AB और हैंएसीनिम्नलिखित लंबाई है: अब = 1, एसी= 1/2. आइए वृत्त C के केंद्र से बिंदु A तक एक चाप खींचें जब तक कि यह खंड CB के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए, हमें बिंदु मिलता हैडी. फिर हम बिंदु से गुजरते हैंडीवृत्त B के केंद्र से खंड AB के प्रतिच्छेदन तक एक चाप। खंड AB को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने पर हमें वांछित बिंदु E प्राप्त हुआ।

चित्र 1.2 - स्वर्ण खंड का ज्यामितीय निर्माण

यहां तक कि पाइथागोरस और पाइथागोरस ने कुछ नियमित पॉलीहेड्रा बनाने के लिए सुनहरे अनुपात का उपयोग किया - एक टेट्राहेड्रोन, एक क्यूब, एक ऑक्टाहेड्रोन, एक डोडेकाहेड्रोन, एक इकोसाहेड्रोन।

तीसरी शताब्दी में यूक्लिड ईसा पूर्व इ। पाइथागोरस का अनुसरण करते हुए, नियमित (सुनहरा) पेंटागन बनाने के लिए अपने "सिद्धांतों" में सुनहरे अनुपात का उपयोग करता है, जिसके विकर्ण एक पेंटाग्राम बनाते हैं।

चित्र 1.3 में पेंटाग्राम में, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें सुनहरे खंड में विभाजित करते हैं, यानी एबी / सीबी =सीबी/ डी.बी. = डी.बी./ सीडी .

चित्र 1.3 - पेंटाग्राम

अंकगणितीय रूप से, स्वर्णिम अनुपात के खंडों को अनंत अपरिमेय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। एसी=0.618…, सीबी=0.382…। व्यवहार में, पूर्णांकन का उपयोग किया जाता है: 0.62 और 0.38। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है (चित्र 1.4), तो खंड का बड़ा भाग 62 भाग है, और छोटा भाग 38 भागों का है।

स्वर्णिम अनुपात के निर्माण की इस पद्धति का उपयोग कलाकारों द्वारा किया जाता है। यदि चित्र की ऊंचाई या चौड़ाई को 100 भागों में विभाजित किया जाए, तो सुनहरे अनुपात का बड़ा खंड 62 भाग है, और छोटा खंड 38 भागों का है। ये तीन मात्राएँ हमें सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला बनाने की अनुमति देती हैं। 100, 62, 38, 24, 14, 10 - यह अंकगणितीय रूप से व्यक्त स्वर्णिम अनुपात के मूल्यों की एक श्रृंखला है।

चित्र 1.4 - चित्र में सुनहरे खंड की रेखाएँ और विकर्ण

सुनहरे खंड के अनुपात का उपयोग अक्सर कलाकारों द्वारा न केवल क्षितिज रेखा खींचते समय किया जाता था, बल्कि चित्र के अन्य तत्वों के बीच के अनुपात में भी किया जाता था।

लियोनार्डो दा विंची और अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात में स्वर्णिम अनुपात पाया। प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फिडियास ने इसका उपयोग न केवल अपनी मूर्तियों में, बल्कि पार्थेनन मंदिर के डिजाइन में भी किया था। स्ट्राडिवेरी ने इस अनुपात का उपयोग अपने प्रसिद्ध वायलिन के निर्माण में किया।

सुनहरे खंड के अनुपात का उपयोग करके व्यवस्थित आकार, सुंदरता, सुखदता, स्थिरता, आनुपातिकता, सद्भाव की छाप पैदा करता है।.

स्वर्ण खंड के सिद्धांत का व्यापक रूप से गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, चित्रकला, सौंदर्यशास्त्र, जीव विज्ञान, संगीत और प्रौद्योगिकी में उपयोग किया गया है।

1.3 स्वर्णिम अनुपात का इतिहास

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम विभाजन की अवधारणा को प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था (छठीवी ईसा पूर्व)। हालाँकि, पाइथागोरस के जन्म से बहुत पहले, प्राचीन मिस्र और बेबीलोनियों ने वास्तुकला और कला में स्वर्ण खंड के सिद्धांतों का उपयोग किया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, बेस-रिलीफ, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था।

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) को भी स्वर्णिम विभाजन के बारे में पता था। उनका संवाद "टाइमियस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों और विशेष रूप से स्वर्णिम प्रभाग के प्रश्नों के लिए समर्पित है।

प्राचीन मूर्तिकारों और वास्तुकारों ने अपने यहां संख्या 1.62 या उसके निकट संख्यात्मक अनुपातों का व्यापक रूप से उपयोग किया कला का काम करता है. उदाहरण के लिए, अग्रभाग में प्राचीन यूनानी मंदिरपार्थेनन में सुनहरे अनुपात होते हैं।

जो हमारे पास आया है प्राचीन साहित्यसुनहरे अनुपात का उल्लेख पहली बार यूक्लिड की "शुरुआत" (325 ... 265 ईसा पूर्व) की दूसरी पुस्तक में किया गया है, और छठी पुस्तक में चरम और औसत अनुपात में खंड के विभाजन की परिभाषा और निर्माण दिया गया है।

इतालवी पुनर्जागरण के दौरान, नई लहरसुनहरे अनुपात के लिए जुनून. सुनहरा अनुपातप्रमुख के पद पर पदोन्नत किया गया सौंदर्य सिद्धांत. लियोनार्डो दा विंची उसे "" कहते हैंधाराऑटिया", जहां से "गोल्डन सेक्शन" या "गोल्डन नंबर" शब्द आया है। 1509 में लुका पैसिओली ने गोल्डन अनुपात पर पहला निबंध लिखा, जिसका शीर्षक था "डेdivinaसानुपातिक", जिसका अर्थ है "दिव्य अनुपात पर।" जोहान्स केप्लर, जो वनस्पति विज्ञान में इस अनुपात के अर्थ का उल्लेख करने वाले पहले व्यक्ति थे, इसे "एक अमूल्य खजाना, ज्यामिति के दो खजानों में से एक" के रूप में बोलते हैं और इसे "धाराdivina"(दिव्य खंड)। डच संगीतकार जैकब ओब्रेक्ट (1430-1505) ने अपने में सुनहरे अनुपात का व्यापक उपयोग किया है संगीत रचनाएँजो तुलना करता है " कैथेड्रलएक प्रतिभाशाली वास्तुकार द्वारा बनाया गया।"

पुनर्जागरण के बाद, लगभग दो शताब्दियों तक, स्वर्णिम अनुपात को भुला दिया गया। XIX सदी के मध्य में। जर्मन वैज्ञानिक ज़ीसिंग हर चीज़ को सूत्रबद्ध करने का प्रयास करते हैं सामान्य विधिआनुपातिकता और साथ ही स्वर्णिम अनुपात को फिर से खोजता है। अपनी सौंदर्य जांच (1855) में, उन्होंने दिखाया कि यह नियम मानव शरीर के अनुपात (चित्र 1.5) और उन जानवरों के शरीर में प्रकट होता है जिनके रूप अनुग्रह से भिन्न होते हैं। प्राचीन मूर्तियों और सुगठित लोगों के शरीर में नाभि शरीर की ऊंचाई को स्वर्ण खंड में विभाजित करने का बिंदु है।

चित्र 1.5 - मानव शरीर में संख्यात्मक संबंध (ज़ीसिंग के अनुसार)

ज़ीसिंग को कुछ मंदिरों में (विशेष रूप से, पार्थेनन में), खनिजों, पौधों के विन्यास और संगीत के ध्वनि स्वरों में सुनहरे अनुपात के करीब आनुपातिक संबंध मिलते हैं।

में देर से XIXवी जर्मन मनोवैज्ञानिक फेचनर विभिन्न पहलू अनुपात वाले आयतों के सौंदर्य संबंधी प्रभाव को निर्धारित करने के लिए मनोवैज्ञानिक प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित करते हैं। प्रयोग स्वर्णिम वर्ग के लिए अत्यंत अनुकूल सिद्ध हुए।

XX सदी में. स्वर्णिम अनुपात में रुचि नए जोश के साथ पुनर्जन्म लेती है। सदी के पूर्वार्ध में, संगीतकार एल. सबनीव ने लयबद्ध संतुलन का सामान्य नियम तैयार किया और साथ ही रचनात्मकता के एक निश्चित मानदंड, सौंदर्य निर्माण के मानदंड के रूप में सुनहरे अनुपात को उचित ठहराया। संगीत. जी. ई. टिमरडिंग, एम. गिका, जी. डी. ग्रिम प्रकृति और कला में सुनहरे खंड के महत्व के बारे में लिखते हैं।

जैविक आबादी के गणितीय सिद्धांत की उत्पत्ति "खरगोश समस्या" से होती है, जो फाइबोनैचि संख्याओं के उद्भव से जुड़ी है। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात द्वारा वर्णित पैटर्न भौतिक और जैविक दुनिया की कई घटनाओं में पाए जाते हैं (भौतिकी में "जादुई" कोर, मस्तिष्क लय, आदि)।

सोवियत गणितज्ञ यू. वी. मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करते हैं। शिक्षाविद् जीवी त्सेरेटेली ने शोटा रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द पैंथर्स स्किन" में सुनहरे अनुपात की खोज की। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के आधार पर खोज सिद्धांत और प्रोग्रामिंग सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के लिए शानदार तरीके हैं।

में हाल के दशकफाइबोनैचि संख्याएं और स्वर्णिम अनुपात अप्रत्याशित रूप से डिजिटल प्रौद्योगिकी का आधार साबित हुए

20वीं सदी के उत्तरार्ध में, लगभग सभी विज्ञानों और कलाओं के प्रतिनिधि फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात (गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, वनस्पति विज्ञान, जीव विज्ञान, मनोविज्ञान, कविता, वास्तुकला, चित्रकला, संगीत) की ओर रुख करते हैं, क्योंकि सुनहरा अनुपात प्रकृति और कला में पूर्णता के रहस्यों को समझने की कुंजी है।

अध्याय 2 मानव शरीर का आदर्श अनुपात

हज़ारों वर्षों से लोग मानव शरीर, विशेषकर एक सुगठित, सामंजस्यपूर्ण व्यक्ति के अनुपात में गणितीय पैटर्न खोजने की कोशिश कर रहे हैं।

प्राचीन यूनानी, जो सुनहरे अनुपात को प्रकृति में सामंजस्य की अभिव्यक्ति मानते थे, उन्होंने सुनहरे अनुपात के नियम के अनुपालन में लोगों की मूर्तियाँ बनाईं। मेंउन्नीसवींशताब्दी, प्रोफेसर ज़ीसिंग ने प्राचीन यूनानी मूर्तियों को मापकर इसकी पुष्टि की जो आज तक जीवित हैं। ज़ीज़िंग ने मानव शरीर के उन हिस्सों की भी पहचान की, जो उनकी राय में, सुनहरे अनुपात के सबसे करीब से मेल खाते हैं। यदि आप मानव शरीर को स्वर्ण खंड के नियम के अनुसार विभाजित करते हैं, तो रेखा नाभि में गुजर जाएगी। कंधे की लंबाई बांह की कुल लंबाई को दर्शाती है, सुनहरे अनुपात के अनुसार भी। चेहरे के हिस्सों का अनुपात, उंगलियों के फालेंज की लंबाई और शरीर के कई अन्य हिस्से सुनहरे खंड के नियम के अंतर्गत आते हैं (चित्रा 2.1)।

चित्र 2.1 - मानव शरीर की संरचना में स्वर्णिम अनुपात

सुनहरा अनुपात लेता है अग्रणी स्थानलियोनार्डो दा विंची और ड्यूरर के कलात्मक सिद्धांतों में। इन सिद्धांतों के अनुसार, सुनहरा अनुपात शरीर को कमर की रेखा से दो असमान भागों में विभाजित करने से मेल खाता है।

चेहरे की ऊंचाई (बालों की जड़ों तक) भौंहों के मेहराब और ठोड़ी के नीचे के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी से संबंधित होती है, जैसे नाक के नीचे और ठोड़ी के नीचे के बीच की दूरी से संबंधित होती है होठों के कोनों और ठोड़ी के नीचे के बीच की दूरी, यह अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर है।

मानव उंगलियों में तीन फालेंज होते हैं: मुख्य, मध्य और नाखून। अंगूठे को छोड़कर सभी अंगुलियों के मुख्य पर्व की लंबाई अन्य दो अंगुलियों की लंबाई के योग के बराबर होती है, और प्रत्येक उंगली के सभी अंगुलियों की लंबाई सुनहरे नियम के अनुसार एक दूसरे से संबंधित होती है अनुपात।

लियोनार्डो ने आवेदन किया वैज्ञानिक ज्ञानमानव शरीर के अनुपात से लेकर सुंदरता के बारे में पैसिओली और विट्रुवियस के सिद्धांतों के बारे में। लियोनार्डो द्वारा ड्राइंग "विट्रुवियन मैन" पुरुष आकृति, एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित (चित्र 2.2)।

चित्र 2.2 - लियोनार्डो दा विंची द्वारा "विट्रुवियन मैन"।

एक वर्ग और एक वृत्त के अलग-अलग केंद्र होते हैं। मानव जननांग वर्ग का केंद्र है, और नाभि वृत्त का केंद्र है। ऐसी छवि में मानव शरीर का आदर्श अनुपात एक वर्ग की भुजा और एक वृत्त की त्रिज्या के बीच के अनुपात से मेल खाता है: सुनहरा अनुपात।

"विट्रुवियन मैन" एक सामान्य वयस्क के शरीर का अनुमानित अनुपात है, जो तब से है प्राचीन ग्रीसकिसी व्यक्ति को चित्रित करने के लिए एक कलात्मक कैनन के रूप में उपयोग किया जाता था। अनुपात इस प्रकार तैयार किए गए हैं:

मानव ऊंचाई = बांह का दायरा (हाथों की फैली हुई उंगलियों के बीच की दूरी) = 8 हथेलियां = 6 फीट = 8 चेहरे = 1.618 नाभि की ऊंचाई से गुणा (नाभि से जमीन तक की दूरी)।

में से एक सर्वोच्च उपलब्धियाँशास्त्रीय ग्रीक कला पोलीकटेटॉम द्वारा गढ़ी गई मूर्ति "डोरिफ़ोर" ("भाला-वाहक") के रूप में काम कर सकती है (चित्र 2.3)।

चित्र 2.3 - ग्रीक मूर्तिकार पॉलीक्टेटोस द्वारा बनाई गई "डोरिफ़ोर" की मूर्ति

एक युवा व्यक्ति की आकृति कला के यूनानी सिद्धांतों में अंतर्निहित सुंदर और बहादुर की एकता को व्यक्त करती है। चौड़े कंधेशरीर की ऊंचाई के लगभग बराबर, शरीर की आधी ऊंचाई जघन संलयन पर पड़ती है, सिर की ऊंचाई शरीर की ऊंचाई से आठ गुना होती है, और एथलीट के शरीर पर नाभि की स्थिति मेल खाती है सुनहरा अनुपात.

19वीं शताब्दी के मध्य में, जर्मन वैज्ञानिक ज़ीसिंग ने पाया कि संपूर्ण मानव शरीर और उसके प्रत्येक व्यक्तिगत सदस्य आनुपातिक संबंधों की गणितीय रूप से कठोर प्रणाली से जुड़े हुए हैं, जिनमें से स्वर्ण अनुपात सबसे महत्वपूर्ण स्थान रखता है। हजारों मानव शरीरों को मापने के बाद, उन्होंने पाया कि सुनहरा अनुपात सभी अच्छी तरह से विकसित निकायों की औसत मूल्य विशेषता है। औसत अनुपात पुरुष शरीर 13/8 = 1.625 के करीब, और महिला - 8/5 = 1.60 तक, नवजात शिशु में अनुपात 2 है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर है (चित्र 2.4) ).

चित्र 2.4 - किसी व्यक्ति के सिर और शरीर के अनुपात की तुलना विकास के विभिन्न चरण

बेल्जियम के गणितज्ञ एल. क्वेटलेटउन्नीसवींसदी ने स्थापित किया कि कोई व्यक्ति केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय ही आदर्श होता है। 1871 में यूरोप के निवासियों के शरीर के अनुपात के उनके अध्ययन ने आदर्श अनुपात की पूरी तरह पुष्टि की।

अध्याय 3 मानव शरीर के अनुपात में स्वर्णिम खंड। अध्ययन

हमने इस परिकल्पना का परीक्षण किया कि प्रत्येक मानव शरीर का अनुपात सुनहरे अनुपात के अनुरूप है।

अध्ययन में पहली, 5वीं, 9वीं और 11वीं कक्षा के छात्र और शिक्षक शामिल थे। अलग अलग उम्र(25 से 53 वर्ष तक)।

मानव शरीर में नाभि शरीर की ऊंचाई को स्वर्ण खंड में विभाजित करने का बिंदु है। इसलिए, हमने लोगों की ऊंचाई मापी (ए), नाभि की ऊँचाई ( बी) और सिर से नाभि तक की दूरी (सी). फिर, Microsoft Office Excel 2007 प्रोग्राम में, इन मात्राओं का अनुपात पाया गया (ए/ बी, बी/ सी) प्रत्येक व्यक्ति के लिए अलग से,सीमध्य मूल्ययानी एक ही उम्र के लोगों के समूह के लिए (ए/ बी), सुनहरे अनुपात (1.618) के मूल्य के साथ अनुपात की तुलना की और सुनहरे अनुपात (परिशिष्ट बी) वाले लोगों को चुना।

हमने अध्ययन के परिणामों को एक तालिका (तालिका 3.1) के रूप में प्रस्तुत किया।

तालिका 3.1 - विभिन्न उम्र के लोगों में मानव शरीर के स्वर्ण खंड के अनुपात का पत्राचार।

कक्षा

व्यक्तियों की संख्या

परिणामी अंकगणित माध्य

नज़रिया

स्वर्णिम अनुपात वाले लोगों की संख्या

1,701

1,652

1,640

1,622

शिक्षकों की

1,630

11वीं कक्षा और शिक्षक

1,626

दृष्टिगत रूप से, इन आंकड़ों को आरेख (परिशिष्ट सी और डी) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

अध्ययन के परिणामों के आधार पर, निम्नलिखित किया जा सकता हैनिष्कर्ष:

इसलिए, मानव शरीर के अनुपात में सुनहरा अनुपात वह औसत मूल्य है जिसके करीब एक वयस्क के शरीर का अनुपात आ रहा है। केवल कुछ लोगों में ही शरीर का अनुपात सुनहरे अनुपात के अनुरूप होता है।

निष्कर्ष

स्वर्णिम अनुपात कई सदियों से प्रकृति और कला के कार्यों में सामंजस्य का माप रहा है। स्वर्ण खंड के सिद्धांत का व्यापक रूप से गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, चित्रकला, सौंदर्यशास्त्र, जीव विज्ञान, संगीत और प्रौद्योगिकी में उपयोग किया गया है।

शोध कार्य का उद्देश्य मानव शरीर की संरचना के आदर्श अनुपात के रूप में स्वर्ण खंड का अध्ययन करना था।

लक्ष्य प्राप्त करने के लिए, हमने शोध कार्य के विषय पर साहित्य का अध्ययन किया, सुनहरे अनुपात, इसके निर्माण, अनुप्रयोग और इतिहास से परिचित हुए; मानव शरीर के अनुपात में गणितीय पैटर्न सीखा; लोगों के अनुपात में स्वर्णिम अनुपात ज्ञात करना सीखा (परिशिष्ट ई)।

व्यावहारिक भाग में, हमने मानव शरीर के स्वर्ण खंड के अनुपात के अनुरूपता निर्धारित की, निम्नलिखित परिकल्पना का परीक्षण किया: प्रत्येक मानव शरीर का अनुपात स्वर्ण खंड के अनुरूप है।

परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हमने ग्रेड 1, 5, 9, 11 के छात्रों और विभिन्न उम्र के शिक्षकों के लोगों और शरीर के कुछ हिस्सों की ऊंचाई मापी। फिर, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल 2007 में, हमने मूल्यों का अनुपात पाया। प्रत्येक व्यक्ति के लिए अलग सेसीमध्य मूल्ययानी एक ही उम्र के लोगों के समूह के लिए, प्राप्त अनुपात की तुलना सुनहरे अनुपात के मूल्य से की और सुनहरे अनुपात वाले लोगों को चुना।

अध्ययन के परिणामों के आधार पर निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

उम्र के साथ, शरीर का अनुपात बदलता है;

एक ही उम्र के लोगों में भी मानव शरीर का अनुपात भिन्न-भिन्न होता है;

वयस्कों में, शरीर का अनुपात सुनहरे अनुपात के करीब पहुंचता है, लेकिन शायद ही कभी इसके अनुरूप होता है;

स्वर्णिम अनुपात का आदर्श अनुपात सभी लोगों पर लागू नहीं होता है।

इसलिए, मानव शरीर के अनुपात में सुनहरा अनुपात वह औसत मूल्य है जिसके करीब एक वयस्क के शरीर का अनुपात आ रहा है। केवल कुछ लोगों में ही शरीर का अनुपात सुनहरे अनुपात के अनुरूप होता है। हमारी परिकल्पना आंशिक रूप से पुष्टि की गई थी।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

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परिशिष्ट ए

स्वर्णिम अनुपात का महत्व

चित्र A.1 - Ф का अधिक सटीक मान

परिशिष्ट बी

स्वर्ण खंड के लिए मानव शरीर के अनुपात का पत्राचार

तालिका बी.1 - ग्रेड 1, 5, 9, 11 के छात्रों और शिक्षकों के लिए लोगों को मापने और शरीर के अनुपात के अंकगणितीय औसत मूल्यों की गणना के परिणाम

कक्षा

ऊँचाई

पेट रेखा की ऊंचाई (बी)

नाभि से सिर तक की दूरी

ए/बी

बी/सी

अंकगणित औसत (ए/ बी)

सुनहरा अनुपात

1,618

एंड्रीव व्लादिस्लाव

1 क

130

1,688

1,453

ग्रैबत्सेविच डारिया

1 क

125

1,760

1,315

वावनोवा डारिया

1 क

127

1,716

1,396

ज़खरेंको रोडियन

1 क

124

1,676

1,480

1 वर्ग

कपोरिकोव डेनियल

1 क

133

1,684

1,463

1,701

कार्साकोव ज़खर

1 क

120

1,690

1,449

लेज़ोवी मैक्सिम

1 क

128

1,707

1,415

लसोत्सकाया अन्ना

1 क

125

1,645

1,551

मोर्गुनोवा मारिया

1 क

116

1,758

1,320

पावल्युशचेंको ईगोर

1 क

129

1,675

1,481

राकोवस्की अलेक्जेंडर

1 क

128

1,707

1,415

बखारेवा केन्सिया

5ए

146

1,678

1,475

बायटकोवस्की मैक्सिम

5ए

145

1,706

1,417

ज़्दानोविच विक्टोरिया

5ए

146

1,698

1,433

पाँचवी श्रेणी

क्लिमोवा ज़ेनिया

5ए

155

1,632

1,583

1,652

लार्चेंको एवगेनिया

5ए

158

1,681

1,469

लिस्टव्यागोव सर्गेई

5ए

143

1,644

1,554

मुखिना अनास्तासिया

5ए

144

1,636

1,571

पाडेरिना अनास्तासिया

5ए

151

1,659

1,517

प्रोचुखानोव डेनिस

5ए

151

1,641

1,559

सवकिना अनास्तासिया

5ए

140

1,609

1,642

सिमाकोविच एलेवटीना

5ए

137

1,631

1,585

सुरगानोवा डारिया

5ए

150

1,630

1,586

स्मोलिरोव व्लादिस्लाव

5ए

142

1,651

1,536

तिखिंस्की अलेक्जेंडर

5ए

144

1,636

1,571

एवरकोव एलेक्सी

9ए

171

104

1,644

1,552

तालिका बी.1 की निरंतरता

शिक्षकों की

बुलाई ई.आई.

सिखाता है.

163

101

1,614

1,629

1,630

वोल्कोवा ओ.वी.

सिखाता है.

1,64

1,563

ग्रिनेव्स्काया एन.ए.

सिखाता है.

1,644

1,554

ग्रिनचेंको ई.बी.

सिखाता है.

1,636

1,571

किरिन्को ए.एस.

सिखाता है.

175

108

1,62 0

1,612

स्टुकालोव डी.एम.

सिखाता है.

1,634

1,578

11वीं कक्षा और शिक्षक

त्सेड्रिक एन.ई.

सिखाता है.

1,646

1,548

शकोरकिना एन.एन.

सिखाता है.

1,602

1,661

1,626

यात्सेंको वी.एन.

सिखाता है.

1,604

1,656

परिशिष्ट बी

विभिन्न आयु के लोगों में शारीरिक अनुपात की गणना के परिणाम

चित्र बी.1 - ग्रेड 1 में छात्रों के शरीर के अनुपात की गणना के परिणाम

चित्र बी.2 - ग्रेड 5 के छात्रों के लिए शरीर के अनुपात की गणना के परिणाम

चित्र बी.3 - कक्षा 9 में छात्रों के शरीर के अनुपात की गणना के परिणाम

चित्र बी.4 - कक्षा 11 में छात्रों के लिए शरीर के अनुपात की गणना के परिणाम

चित्र बी.5 - शिक्षकों के लिए शरीर के अनुपात की गणना के परिणाम

परिशिष्ट डी

विभिन्न आयु के लोगों के शारीरिक अनुपात की तुलना

स्वर्ण अनुपात के मूल्य के साथ

चित्र D.1 - विभिन्न आयु के लोगों के शरीर के औसत अनुपात की स्वर्णिम अनुपात के मान से तुलना

परिशिष्ट डी

अनुसंधान पर कार्य के चरण

ए बी सी)

चित्र E.1 - साहित्य अध्ययन

ए बी सी)

डे)

चित्र डी.2 - छात्रों और शिक्षकों का माप लेना

चित्र D.3 - प्राप्त डेटा का इनपुट और प्रसंस्करण

इतिहास से

"... यदि, किसी तत्व के प्रदर्शन या कार्य के दृष्टिकोण से, किसी भी रूप में आनुपातिकता है और आंख के लिए सुखद, आकर्षक है, तो इस मामले में हम तुरंत गोल्डन नंबर के किसी भी कार्य की तलाश कर सकते हैं इस में ... सुनहरा नंबरबिल्कुल भी गणित का विचार नहीं है. यह वास्तव में प्रकृति के नियम का एक उत्पाद है, जो आनुपातिकता के नियमों पर आधारित है।"

एक व्यक्ति अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार के आधार पर अलग करता है। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। यह रूप, जो समरूपता और सुनहरे खंड के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा कुछ हिस्से होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक-दूसरे से और संपूर्ण से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

आइए जानें कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों, लियोनार्डो दा विंची की पेंटिंग "मोना लिसा", सूरजमुखी, घोंघा, पाइन शंकु और मानव उंगलियों के बीच क्या समानता है?

इस प्रश्न का उत्तर उन आश्चर्यजनक संख्याओं में छिपा है जिनकी खोज इतालवी मध्यकालीन गणितज्ञ पीसा के लियोनार्डो ने की थी, जिन्हें फाइबोनैचि (जन्म लगभग 1170 - मृत्यु 1228 के बाद) के नाम से जाना जाता है। उनकी खोज के बाद, इन संख्याओं को कहा जाने लगा। प्रसिद्ध गणितज्ञ का नाम। फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम का अद्भुत सार यह है कि इस क्रम की प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त होती है।

वे संख्याएँ जो अनुक्रम 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... बनाती हैं, कहलाती हैं। फाइबोनैचि संख्याएँ", और अनुक्रम स्वयं फाइबोनैचि अनुक्रम है। यह 13वीं सदी के इतालवी गणितज्ञ फाइबोनैचि के सम्मान में है।

फाइबोनैचि संख्याओं में, एक बहुत है दिलचस्प विशेषता. अनुक्रम से किसी भी संख्या को श्रृंखला में उसके सामने वाली संख्या से विभाजित करने पर, परिणाम हमेशा एक मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास घूमता रहता है... और कभी-कभी इससे अधिक हो जाता है, कभी-कभी उस तक नहीं पहुंच पाता है।
(एक अपरिमेय संख्या पर ध्यान दें, यानी एक संख्या जिसका दशमलव प्रतिनिधित्व अनंत है और आवधिक नहीं है)

इसके अलावा, अनुक्रम में 13वीं संख्या के बाद, यह विभाजन परिणाम श्रृंखला के अनंत तक स्थिर हो जाता है। मध्य युग में विभाजन की इस निरंतर संख्या को दैवीय अनुपात कहा जाता था, और अब आज इसे स्वर्णिम खंड, स्वर्णिम माध्य या स्वर्णिम अनुपात कहा जाता है।

यह कोई संयोग नहीं है कि सुनहरे अनुपात का मूल्य आमतौर पर ग्रीक अक्षर एफ (फी) द्वारा दर्शाया जाता है - यह फिडियास के सम्मान में किया जाता है।

तो, स्वर्णिम अनुपात = 1:1.618

233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618

सुनहरा अनुपात- अनुपात का अनुपात जिसमें संपूर्ण अपने बड़े भाग से संबंधित होता है क्योंकि बड़ा भाग छोटे से होता है। (यदि हम संपूर्ण को C, A के बड़े भाग को, छोटे B के रूप में निरूपित करते हैं, तो स्वर्ण खंड नियम अनुपात C: A = A: B के रूप में कार्य करता है।) सुनहरे नियम के लेखक- पाइथागोरस - ऐसे शरीर को उत्तम माना जाता है जिसमें सिर के शीर्ष से कमर तक की दूरी शरीर की कुल लंबाई 1:3 से संबंधित हो। आदर्श मानदंडों से शरीर के वजन और आयतन का विचलन मुख्य रूप से कंकाल की संरचना पर निर्भर करता है। यह महत्वपूर्ण है कि शरीर आनुपातिक हो।
अपनी रचनाएँ बनाने में, ग्रीक मास्टर्स (फिडियास, मायरोन, प्रैक्सिटेल्स, आदि) ने सुनहरे अनुपात के इस सिद्धांत का उपयोग किया। मानव शरीर की संरचना के स्वर्णिम अनुपात का केंद्र ठीक नाभि पर स्थित था।

सिद्धांत
कैनन - मानव शरीर के आदर्श अनुपात की एक प्रणाली - विकसित की गई थी प्राचीन यूनानी मूर्तिकारपॉलीक्लिटोस और 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। मूर्तिकार ने आदर्श के बारे में अपने विचारों के अनुसार, मानव शरीर के अनुपात को सटीक रूप से निर्धारित करने का लक्ष्य निर्धारित किया। यहां उनकी गणना के परिणाम हैं: सिर - कुल ऊंचाई का 1/7, चेहरा और हाथ - 1/10, पैर - 1/6। हालाँकि, उनके समकालीनों को भी, पोलिक्लिटोस की आकृतियाँ बहुत विशाल, "वर्ग" लगती थीं। फिर भी, कैनन पुरातनता के लिए और कुछ बदलावों के साथ, पुनर्जागरण और क्लासिकिज़्म के कलाकारों के लिए आदर्श बन गए। व्यवहार में, पॉलीक्लिटोस के सिद्धांत को उनके द्वारा डोरिफोरस ("भाला-वाहक") की मूर्ति में सन्निहित किया गया था। एक नवयुवक की प्रतिमा आत्मविश्वास से भरपूर है; शरीर के अंगों का संतुलन शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है भुजबल. चौड़े कंधे लगभग शरीर की ऊंचाई के बराबर होते हैं, शरीर की आधी ऊंचाई जघन संलयन पर पड़ती है, सिर की ऊंचाई शरीर की ऊंचाई से आठ गुना होती है, और "सुनहरा अनुपात" का केंद्र पर पड़ता है नाभि का स्तर.

सहस्राब्दियों से, लोग मानव शरीर के अनुपात में गणितीय पैटर्न खोजने की कोशिश कर रहे हैं। कब कामानव शरीर के अलग-अलग हिस्से सभी मापों के आधार के रूप में कार्य करते थे, लंबाई की प्राकृतिक इकाइयाँ थीं। तो, प्राचीन मिस्रवासियों की लंबाई की तीन इकाइयाँ थीं: एक हाथ (466 मिमी), सात हथेलियों (66.5 मिमी) के बराबर, एक हथेली, बदले में, चार उंगलियों के बराबर थी। यूनान और रोम में लम्बाई का माप पैर था।
रूस में लम्बाई के मुख्य माप सेज़ेन और क्यूबिट थे। इसके अलावा, एक इंच का उपयोग किया गया - अंगूठे के जोड़ की लंबाई, एक स्पैन - फैले हुए अंगूठे और तर्जनी (उनके पोछे) के बीच की दूरी, हथेली - हाथ की चौड़ाई।

मानव शरीर और स्वर्णिम अनुपात

कलाकार, वैज्ञानिक, फैशन डिजाइनर, डिज़ाइनर सुनहरे अनुपात के अनुपात के आधार पर अपनी गणना, चित्र या रेखाचित्र बनाते हैं। वे मानव शरीर से माप का उपयोग करते हैं, जो सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार भी बनाया गया है। लियोनार्डो दा विंची और ले कोर्बुसीयर ने अपनी उत्कृष्ट कृतियों को बनाने से पहले, स्वर्ण अनुपात के कानून के अनुसार बनाए गए मानव शरीर के मापदंडों को लिया।

सबसे मुख्य पुस्तकसभी आधुनिक वास्तुकारों में से, ई. न्यूफर्ट की संदर्भ पुस्तक "बिल्डिंग डिज़ाइन" में मानव शरीर के मापदंडों की बुनियादी गणना शामिल है, जिसमें सुनहरा अनुपात भी शामिल है।

अनुपात विभिन्न भागहमारा शरीर स्वर्णिम अनुपात के बहुत करीब की संख्या है। यदि ये अनुपात स्वर्णिम अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो किसी व्यक्ति का रूप या शरीर आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है। मानव शरीर पर स्वर्ण माप की गणना के सिद्धांत को एक चित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यह विशेषता है कि पुरुषों और महिलाओं के शरीर के अंगों के आकार में काफी भिन्नता होती है, लेकिन इन भागों का अनुपात ज्यादातर मामलों में समान पूर्णांक के अनुपात से मेल खाता है।

मानव शरीर की संरचना में स्वर्ण खंड का पहला उदाहरण:
यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो एक व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।

इसके अलावा, हमारे शरीर के कई और बुनियादी सुनहरे अनुपात हैं:
उंगलियों से कलाई तक और कलाई से कोहनी तक की दूरी 1:1.618 है
कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है
नाभि के बिंदु से सिर के शीर्ष तक और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है
नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है
ठोड़ी के सिरे से ऊपरी होंठ के सिरे तक और ऊपरी होंठ के सिरे से नासिका छिद्र तक की दूरी 1:1.618 है
ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है

मानव चेहरे की विशेषताओं में सुनहरा अनुपात उत्तम सुंदरता की कसौटी के रूप में है।

मानव चेहरे की विशेषताओं की संरचना में, ऐसे कई उदाहरण भी हैं जो स्वर्ण खंड सूत्र के मूल्य के करीब हैं। हालाँकि, सभी लोगों के चेहरों को मापने के लिए शासक के पीछे तुरंत न जाएँ। क्योंकि वैज्ञानिकों और कला के लोगों, कलाकारों और मूर्तिकारों के अनुसार, सुनहरे खंड के साथ सटीक पत्राचार केवल पूर्ण सौंदर्य वाले लोगों में मौजूद होता है। दरअसल, किसी व्यक्ति के चेहरे पर सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव आंख के लिए सुंदरता का आदर्श है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सामने के दो ऊपरी दांतों की चौड़ाई का योग करें और इस योग को दांतों की ऊंचाई से विभाजित करें, तो, सुनहरा अनुपात प्राप्त करने पर, हम कह सकते हैं कि इन दांतों की संरचना आदर्श है।

मानवीय चेहरे पर, स्वर्ण खंड नियम के अन्य अवतार भी हैं। इनमें से कुछ रिश्ते यहां दिए गए हैं:
चेहरे की ऊंचाई/चेहरे की चौड़ाई,
नाक के आधार तक होठों के जंक्शन का केंद्र बिंदु/नाक की लंबाई।
चेहरे की ऊंचाई/ठोड़ी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी
मुँह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई,
नाक की चौड़ाई/नाक के छिद्रों के बीच की दूरी,
पुतलियों के बीच की दूरी/भौहों के बीच की दूरी।

मानव हाथ

अब बस अपनी हथेली को अपने करीब लाना और अपनी तर्जनी को ध्यान से देखना ही काफी है, और आपको तुरंत इसमें गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला मिल जाएगा। हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली तीन फालेंजों से बनी होती है।

उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो पर्वों का योग सुनहरा अनुपात (अंगूठे को छोड़कर) देता है।

इसके अलावा, मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियां 3 फालेंजों से बनी होती हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी कुल मिलाकर 10, लेकिन दो दो हाथ के अंगूठे को छोड़कर, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं।

कपड़ों में अनुपात.

अनुपात एक सामंजस्यपूर्ण छवि बनाने का सबसे महत्वपूर्ण साधन हैं (कलाकारों और वास्तुकारों के लिए वे सर्वोपरि महत्व के हैं)। सामंजस्यपूर्ण अनुपात कुछ गणितीय संबंधों पर आधारित होते हैं। यही एकमात्र साधन है जिसके द्वारा सुंदरता को "मापना" संभव है। स्वर्णिम अनुपात सबसे अधिक है प्रसिद्ध उदाहरणसामंजस्यपूर्ण अनुपात. सुनहरे खंड के सिद्धांत का उपयोग करके, पोशाक संरचना में सबसे सही अनुपात बनाना और पूरे और उसके हिस्सों के बीच एक कार्बनिक संबंध स्थापित करना संभव है।

हालाँकि, कपड़ों के अनुपात का कोई मतलब नहीं रह जाता अगर वे व्यक्ति से जुड़े न हों। इसलिए, पोशाक के विवरण का अनुपात आकृति की विशेषताओं, उसके स्वयं के अनुपात से निर्धारित होता है। मानव शरीर में भी, उसके अलग-अलग हिस्सों के बीच गणितीय संबंध होते हैं। यदि हम सिर की ऊंचाई को एक मॉड्यूल, यानी एक पारंपरिक इकाई के रूप में लेते हैं, तो (पहली शताब्दी ईसा पूर्व के एक रोमन वास्तुकार और इंजीनियर विट्रुवियस के अनुसार, "वास्तुकला पर दस पुस्तकें" ग्रंथ के लेखक), आठ मॉड्यूल एक वयस्क के आनुपातिक आंकड़े में फिट होगा: मुकुट से ठोड़ी तक; ठुड्डी से छाती के स्तर तक; छाती से कमर तक; कमर से कमर तक; कमर की रेखा से जांघ के मध्य तक; जाँघ के मध्य से घुटने तक; घुटने से लेकर निचले पैर के मध्य तक; टखने से फर्श तक. एक सरलीकृत अनुपात आकृति के चार भागों की समानता को इंगित करता है: सिर के शीर्ष से छाती की रेखा तक (बगल के साथ); छाती से कूल्हों तक; कूल्हों से घुटने के मध्य तक; घुटने से फर्श तक.

तैयार पोशाक एक आदर्श, मानक मुड़ी हुई आकृति पर सिल दी गई है, जिसका वास्तविक जीवन में हर कोई दावा नहीं कर सकता है। हालाँकि, एक व्यक्ति सामंजस्यपूर्ण दिखने के लिए कपड़े का चयन कर सकता है।

कपड़ों में अनुपात बहुत बड़ी भूमिका निभाता है।
कपड़ों में अनुपात पोशाक के हिस्सों के आकार में एक दूसरे से और किसी व्यक्ति की आकृति की तुलना में अनुपात है। तुलनात्मक लंबाई, चौड़ाई, चोली और स्कर्ट की मात्रा, आस्तीन, कॉलर, हेडड्रेस, विवरण सूट में आकृति की दृश्य धारणा, इसकी आनुपातिकता के मानसिक मूल्यांकन को प्रभावित करते हैं। सबसे सुंदर, उत्तम, "सही" अनुपात वे दिखते हैं जो प्राकृतिक अनुपात के करीब होते हैं। मानव आकृति. यह ज्ञात है कि सिर की ऊंचाई लगभग 8 गुना वृद्धि में "फिट" होती है, और कमर की रेखा आकृति को लगभग 3:5 के अनुपात में विभाजित करती है।

सबसे अधिक आनुपातिक मानव आकृति वह है जिसमें ये अनुपात भी दोहराया जाता है (व्यक्तिगत भागों का अनुपात)। पोशाक के लिए भी यही बात लागू होती है।
एक सूट में, आप प्राकृतिक अनुपात और जानबूझकर उल्लंघन किए गए दोनों का उपयोग कर सकते हैं। यहां विस्तार में जाना असंभव है. विभिन्न प्रकार, क्योंकि इसके लिए आपको रचना के नियमों का गंभीरता से अध्ययन करने की आवश्यकता है। यह याद रखना चाहिए कि प्राकृतिक अनुपात, एक नियम के रूप में, किसी भी आंकड़े के लिए "अनुकूल" होते हैं; साथ ही, जोड़ की कमियों को थोड़ा हिलाकर, एक या दूसरी लाइन की फिटिंग के दौरान "खोज" करके "ठीक" किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, आप कमर को थोड़ा ऊपर या नीचे कर सकते हैं, कंधों को संकीर्ण या चौड़ा कर सकते हैं, बदल सकते हैं) पोशाक की लंबाई, आस्तीन, कॉलर का आकार, जेब, बेल्ट)।

कपड़ों के निर्माण में कई मायनों में वास्तुकला के साथ कुछ समानता प्रतीत होती है - ये दोनों कलाएं किसी व्यक्ति के साथ सीधे संपर्क के लिए हैं, वे उसके प्राकृतिक अनुपात से आगे बढ़ती हैं; अंततः, सूट, व्यक्ति के साथ, लगभग लगातार इमारतों और आंतरिक स्थानों से घिरा रहता है। और इमारतें, बदले में, अंदर हैं प्रकृति, शहरी वास्तुशिल्प वातावरण में। इसलिए, में विभिन्न युगवास्तुकला और पोशाक अपने समय की कलात्मक शैली को दर्शाते हैं; ए लोक पोशाकमानो यह सभी सर्वोत्तम, उत्तम, "शाश्वत" को सदियों तक अवशोषित और संरक्षित करता है।
पोशाक का द्रव्यमान, उसका स्पष्ट "भारीपन" या "हल्कापन" विभिन्न कारणों पर निर्भर करता है। रेखाएँ, विवरण, सजावट जितनी अधिक "ढेर" होंगी, आकृति उतनी ही विशाल होगी; लेकिन जब "कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण" न हो, तो स्वाभाविक रूप से एक स्मारकीय आकृति भी अधिक स्वतंत्र, मानो आसान हो जाएगी। भौतिक रूप से समान आयतन के साथ, घने, गहरे, उभरे हुए, खुरदरे पदार्थ हल्के, हल्के, पारदर्शी, चिकने, चमकदार पदार्थों की तुलना में अधिक विशाल लगते हैं। उसी समय, हल्के स्वर मात्रा को "बढ़ाते हैं", भारीपन को "कम" करते हैं, गहरे रंग वाले - इसके विपरीत। इसलिए व्यावहारिक निष्कर्ष: अधिक वजन वाले लोगों को हल्की सामग्री से डरना नहीं चाहिए, लेकिन उन्हें आकृति के ऊपरी हिस्से में, चेहरे के पास (ब्लाउज, हेडड्रेस, यहां तक कि एक कोट या सख्त ऊर्ध्वाधर रेखाओं वाला रेनकोट) रखना बेहतर होता है।

रंग संयोजन की सैद्धांतिक नींव

चयन करते समय रंग कीसंग्रह में, डिज़ाइनर के लिए उपयोग किए गए रंगों की अनुकूलता के नियमों को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है। और यद्यपि, जैसा कि वे कहते हैं, नियम तोड़ने के लिए ही बनाये जाते हैं, सैद्धांतिक आधारप्रत्येक स्वाभिमानी डिजाइनर को रंग अंतःक्रियाओं के बारे में पता होना चाहिए।

तो, रंगीन और अक्रोमैटिक रंग हैं।

बिना रंग का- सफेद, भूरा और काला। सफ़ेद सबसे चमकीला अक्रोमैटिक रंग है, काला सबसे गहरा।

रंगीन वृत्तयह एक रंग चार्ट है जो तीन प्राथमिक रंगों की परस्पर क्रिया पर आधारित है: लाल, पीला और नीला। उन्हें प्राथमिक के रूप में परिभाषित किया गया है क्योंकि उन्हें अन्य रंगों में अलग नहीं किया जा सकता है। यदि हम प्राथमिक रंगों को एक साथ मिलाते हैं, तो हमें बाकी रंग मिलते हैं, जिन्हें हम द्वितीयक के रूप में परिभाषित करते हैं।

सभी मध्यवर्ती रंगरंग चक्र में, उन्हें बनाने वाले मुख्य रंग सहित, संबंधित हैं (इसके अलावा, आस-पास स्थित मुख्य रंग संबंधित नहीं हैं)। रंग चक्र पर चार समूह होते हैं संबंधित रंग: पीला-लाल, पीला-हरा, नीला-हरा, नीला-लाल। संबंधित रंगों का सामंजस्य उनमें समान प्राथमिक रंगों की अशुद्धियों की उपस्थिति पर आधारित होता है। संबंधित रंगीन संयोजन एक संयमित, शांत रंग सीमा और काले रंग की अशुद्धियों की शुरूआत का प्रतिनिधित्व करते हैं सफेद फूलउनकी भावनात्मक अभिव्यक्ति को बढ़ाता है।

वे रंग जो रंग चक्र पर आसन्न तिमाहियों में स्थित होते हैं, संबंधित-विपरीत कहलाते हैं। रंग संभावनाओं के संदर्भ में संबंधित-विपरीत रंगों का संयोजन सबसे आम और समृद्ध प्रकार का रंग सामंजस्य है। इस प्रकार के सभी संयोजन समान रूप से सामंजस्यपूर्ण नहीं होते हैं। कलात्मक अभ्यासदर्शाता है कि संबंधित-विपरीत रंग एक-दूसरे के साथ सामंजस्य रखते हैं यदि एकीकृत मुख्य रंग की संख्या और उनमें विपरीत मुख्य रंगों की संख्या समान हो। प्रोटोज़ोआ सामंजस्यपूर्ण संयोजनसंबंधित-विपरीत रंग काफी समृद्ध हो जाते हैं जब उनमें अक्रोमैटिक या उनकी छाया श्रृंखला के रंग जोड़ दिए जाते हैं।

एक रंग क्षेत्र के माध्यम से रंगों के अंतराल को औसत कहा जाता है। मध्य अंतराल में रंगों का संयोजन अक्सर एक अप्रिय प्रभाव पैदा करता है, उदाहरण के लिए, नीले के साथ हरा, बैंगनी के साथ लाल।

विरोधाभास ( अतिरिक्त रंग) विपरीत तिमाहियों में स्थित हैं रंग पहिया. आंख तुरंत इस संयोजन को नोटिस करती है, इसलिए इसका उपयोग वहां किया जाता है जहां ध्यान आकर्षित करना आवश्यक होता है।

दो सामंजस्यपूर्ण संबंधित-विपरीत रंगों में, एक तिहाई जोड़ा जा सकता है - मुख्य रंग, उनकी संबंधित, कमजोर संतृप्ति। रंग जोड़ीवार संबंधित-विपरीत और जोड़ीवार पूरक होंगे। ऐसे संयोजन अत्यधिक सामंजस्यपूर्ण और रंगीन रूप से समृद्ध हैं।

दो सामंजस्यपूर्ण संबंधित रंगों में, एक विपरीत जोड़ा जा सकता है। इसलिए, यदि संबंधित हरे-पीले और पत्ती-हरे रंगों को लाल-नीले रंग के साथ पूरक किया जाता है, तो सद्भाव बनता है। पहले दो के अतिरिक्त मध्यवर्ती.

सफल रंग संयोजन

फ्रांसीसी डिजाइनरों के अनुसार, निम्नलिखित रंगों का संयोजन हमेशा उपयुक्त होता है: काले के साथ हल्का भूरा, लाल के साथ ग्रे, गुलाबी के साथ ग्रे, सफेद के साथ ग्रे, नीले के साथ ग्रे, काले के साथ सरसों, हल्के नीले के साथ लाल।

पोशाक रचना के नियम

कपड़े बनाते समय, इसे न केवल कार्यात्मक, बल्कि सौंदर्य सामग्री - सुंदरता, सद्भाव, संपूर्ण भागों की आनुपातिकता से संपन्न करना महत्वपूर्ण है। एक सुंदर पोशाक की एक रचना विशेषता होती है, यानी उसके सभी तत्वों, भागों और विवरणों का सही ढंग से सामंजस्यपूर्ण अनुपात।

"सूट" क्या है?यह अजीब, कई लोगों के दृष्टिकोण से, प्रश्न, वास्तव में, स्पष्ट उत्तर से बहुत दूर है। रोजमर्रा के अर्थ में, यह वस्त्र है। छवि निर्माता के दृष्टिकोण से, सूट एक छवि बनाने का एक साधन है। एक कलाकार दूसरी परिभाषा दे सकता है: पोशाक एक प्लास्टिक कला है जिसकी अपनी रचना होती है।

* सीधे पंक्तियां। शांति, स्थिरता की भावना पैदा करें। * नरम, चिकनी, लहरदार रेखाएं गति का आभास देती हैं। * ऊर्ध्वाधर पंक्तियां. वे आकृति को लंबा करने का आभास देते हैं, रूपों की गतिशीलता को बढ़ाते हैं। * क्षैतिज रेखाएँ. आकृति को दृष्टिगत रूप से विस्तारित करें, वृद्धि को कम करें, आकृति को अधिक स्थिरता, स्थिरता दें। * विकर्ण रेखाएँ. वे कपड़ों के रूप की गतिशीलता को बढ़ाते हैं, आकृति को दृष्टि से विस्तारित करते हैं या इसे छोटे से बड़े तक सीमित कर सकते हैं।

अक्सर ऐसा होता है कि सूट सिलवाया हुआ लगता है यानी कपड़े अच्छे से फिट होते हैं और रंग व्यक्ति के चेहरे से मेल खाता है, लेकिन फिर भी कुछ ठीक नहीं होता है। यह माना जा सकता है कि इस मामले में, पोशाक के निर्माण के दौरान इसकी संरचना का उल्लंघन किया गया था।

एक पोशाक की संरचना उसके सभी तत्वों का एक पूरे में संयोजन है, जो एक निश्चित विचार, विचार, छवि को व्यक्त करती है। एक पोशाक के तत्व उसके सभी घटक हैं: आकार, सामग्री और उसके गुण, रंग, रचनात्मक और सजावटी रेखाएं।
सबसे पहले, एक सूट वाला व्यक्ति यह समझता है:

सामान्य ड्रेस कोड,
रंग और घटक तत्वरूप,
विवरण और विवरण.

रचना दे रहा हूँ कुछ गुणरचना के कुछ साधनों के उपयोग पर निर्भर करता है, जिसमें शामिल हैं:

अनुपात;
लय;
समरूपता-विषमता;
सूक्ष्मता और विरोधाभास;
लय;
रंग समाधान.

इन साधनों का उपयोग पोशाक निर्माता को पोशाक भरने के लिए अपना इरादा व्यक्त करने की अनुमति देता है कलात्मक सामग्रीऔर इस प्रकार दर्शकों के विचारों और भावनाओं को प्रभावित करते हैं।

आइए रचना उपकरणों पर करीब से नज़र डालें।

रचना का पहला नियम। अखंडता या संपूर्ण की उपस्थिति।

रचना का मुख्य गुण सम्पूर्णता है।
रचना संपूर्ण के भागों की एक ऐसी रचना और व्यवस्था है, जब:

संपूर्ण क्षति के बिना कुछ भी नहीं छीना जा सकता;
कुछ भी नहीं बदला जा सकता;
कुछ भी संलग्न नहीं किया जा सकता.

पोशाक को अखंडता देने का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत पोशाक के सभी तत्वों की तीन सिद्धांतों - विरोधाभास, सूक्ष्मता या समानता के अनुसार स्थिरता है।

कंट्रास्ट एक स्पष्ट विरोध, विरोध है, जो सामग्री के रूप, रंग, मात्रा और बनावट में किया जा सकता है।

नुअंस विषमता से समानता की ओर एक प्रकार का संक्रमणकालीन मूल्य है। पोशाक के तत्वों, उनकी बनावट और रंग योजना के रूप में सूक्ष्म परिवर्तन द्वारा सूक्ष्म अंतर व्यक्त किया जाता है।

समानता - किसी तत्व की वेशभूषा में दोहराव जो विभिन्न रूपों में होता है

रचना का दूसरा नियम। अनुपात का नियम।

एक सामंजस्यपूर्ण छवि बनाने का सबसे महत्वपूर्ण साधन अनुपात हैं। अनुपात का नियम संपूर्ण के भागों का एक दूसरे से और संपूर्ण से अनुपात निर्धारित करता है।
अनुपात विभिन्न गणितीय संबंधों के रूप में प्रकट होते हैं - सरल और तर्कहीन। सबसे सामंजस्यपूर्ण अतार्किक अनुपात को "सुनहरा खंड" माना जाता है, जब छोटा हिस्सा बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा पूरे से संबंधित होता है। इस कैनन के अनुसार, किसी व्यक्ति का सिर शरीर की लंबाई का 1/8 है, और कमर इसे 5/8 के रूप में विभाजित करती है।

यदि एक सूट सिलते समय अनुपात के निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाए तो वह सुंदर दिखेगा:

"गोल्डन सेक्शन" का सिद्धांत(3:5, 5:8, 8:13) - सबसे सामंजस्यपूर्ण धारणा का कारण बनता है, जिसके लिए अनुशंसित है व्यापार शैली. अनुपात स्कर्ट की लंबाई पर आधारित होते हैं। स्कर्ट की सबसे उपयुक्त लंबाई का चयन किया जाता है और जैकेट की लंबाई की गणना "गोल्डन सेक्शन" नियम (चित्र 1) के अनुसार की जाती है।
विरोधाभासी अनुपात(1:4, 1:5) - अधिक सक्रिय रूप से दूसरों का ध्यान आकर्षित करें। शाम के सूट (चित्रा 2) के लिए उनका उपयोग करना अधिक समीचीन है।
समान अनुपात(1:1) - स्थैतिक, शांति की भावना पैदा करें, रोजमर्रा और घर में पहनने के लिए अनुशंसित (चित्र 3)।

चित्र 1 - सिद्धांत चित्र 2 - विरोधाभास चित्र 3 - समान

"गोल्डन सेक्शन" अनुपात अनुपात

समरूपता नियम.

रचना का तीसरा नियम. समरूपता नियम

समरूपता को लंबे समय से रूप की सुंदरता के लिए महत्वपूर्ण शर्तों में से एक माना जाता है।

एक सूट को सममित माना जाता है यदि इसमें समरूपता के ऊर्ध्वाधर अक्ष के सापेक्ष एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित ज्यामितीय रूप से समान भाग और तत्व होते हैं। सममित रचना स्थिरता, संतुलन, भव्यता, महत्व, गंभीरता का आभास कराती है।

एक सूट में विषमता समरूपता की कमी या उससे विचलन है। विषमता संतुलन की कमी, शांति की अशांति का संकेत देती है। यह दर्शकों का ध्यान रचना की गतिशीलता पर अधिक केंद्रित करता है, जिससे उसकी चलने की छिपी क्षमता का पता चलता है। यदि एक सममित रचना हमेशा संतुलित होती है, तो एक असममित रचना में संतुलन बड़े और छोटे मूल्यों, रेखाओं, रंग के धब्बों के वितरण और विरोधाभासों के उपयोग पर निर्भर करता है।

चित्र 1 - एक सूट में समरूपता चित्र 2 - संतुलित विषमता

चित्र 3 - असंतुलित विषमता

रचना का चौथा नियम. लय का नियम

लय का नियम संपूर्ण के भागों की पुनरावृत्ति या प्रत्यावर्तन की प्रकृति को व्यक्त करता है।लय का तात्पर्य सदैव गति से है।

लय हो सकती है: सक्रिय, तीव्र, आंशिक या चिकनी, शांत, धीमी। पोशाक में लय पोशाक तत्वों द्वारा बनाई जा सकती है: विभाजन - रचनात्मक या सजावटी रेखाएं, रंग - धारियां, एक पिंजरा, सहायक उपकरण - बटन, आदि।
संगठन की विधि के अनुसार, एक सूट में लय हो सकती है:

क्षैतिज - क्षैतिज पट्टियाँ;
खड़ा;
सर्पिल;
विकर्ण;
रेडियल किरण.

बाद के विचार रूप को तीव्र गति देते हैं (चित्र में)।

रचना का पाँचवाँ नियम. सामान्य तौर पर मुखिया का कानून

एक पेड़ में मुख्य चीज तना है, जानवरों में रीढ़। रचना में यह रचना केंद्र है। समग्र रूप से मुख्य का नियम यह दर्शाता है कि संपूर्ण के भाग किस प्रकार एकजुट हैं।रचना केंद्र वह वस्तु, वस्तु का भाग या वस्तुओं का समूह है जो चित्र में स्थित होते हैं ताकि वे सबसे पहले नज़र में आएं।

रचना केंद्र का आकार सबसे बड़ा होना ज़रूरी नहीं है, उसे बस दर्शकों का ध्यान आकर्षित करना है, ध्यान भटकाने वाले विरोधाभासों और छोटी-छोटी जानकारियों को दबाना है - सब कुछ मुख्य के अधीन होना चाहिए .

महिलाओं के कपड़ों में सुनहरे खंड के उपयोग के उदाहरण।

खूबसूरती से नजरें हटाना मुश्किल है, यह इतनी आकर्षक है, शायद इसका कारण इसमें है - सुनहरा और दिव्य। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक व्यक्ति अनुभाग के अनुपात को सहज रूप से महसूस करने में सक्षम है। किसी पेंटिंग, कढ़ाई या पोशाक पर काम करते हुए, बिना जाने-समझे, वह उसे अपनी रचनाओं में डाल देता है। कोई आश्चर्य नहीं, क्योंकि सुनहरा अनुपात हमेशा हमारी आँखों के सामने रहता है, स्वयं के रूप में।

इस प्रश्न का उत्तर खोजी गई आश्चर्यजनक संख्याओं में छिपा है। इतालवी मध्ययुगीन गणितज्ञ पीसा के लियोनार्डो, जिन्हें फाइबोनैचि नाम से बेहतर जाना जाता है (जन्म लगभग 1170 - मृत्यु 1228 के बाद), इतालवी गणितज्ञ . पूर्व में यात्रा करते हुए, वह अरबी गणित की उपलब्धियों से परिचित हुए; पश्चिम में उनके स्थानांतरण में योगदान दिया।

उनकी खोज के बाद इन अंकों को प्रसिद्ध गणितज्ञ के नाम से पुकारा जाने लगा। फाइबोनैचि अनुक्रम का अद्भुत सार यही है इस क्रम में प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त होती है।

तो, अनुक्रम बनाने वाली संख्याएँ:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

"फाइबोनैचि संख्याएँ" कहलाती हैं, और अनुक्रम को ही फाइबोनैचि अनुक्रम कहा जाता है.

फाइबोनैचि संख्याओं में एक बहुत दिलचस्प विशेषता है। अनुक्रम से किसी भी संख्या को श्रृंखला में उसके सामने वाली संख्या से विभाजित करने पर, परिणाम हमेशा एक मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है ... और हर बार या तो इससे अधिक हो जाता है, या उस तक नहीं पहुंचता है। (एक अपरिमेय संख्या पर ध्यान दें, यानी एक संख्या जिसका दशमलव प्रतिनिधित्व अनंत है और आवधिक नहीं है)

इसके अलावा, अनुक्रम में 13वीं संख्या के बाद, यह विभाजन परिणाम श्रृंखला के अनंत तक स्थिर हो जाता है... मध्य युग में विभाजन की इस निरंतर संख्या को दैवीय अनुपात कहा जाता था, और अब आज इसे स्वर्णिम खंड, स्वर्णिम माध्य या स्वर्णिम अनुपात कहा जाता है। . बीजगणित में, इस संख्या को ग्रीक अक्षर phi (Ф) द्वारा दर्शाया जाता है

तो, स्वर्णिम अनुपात = 1:1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

मानव शरीर और स्वर्णिम अनुपात

सभी आधुनिक वास्तुकारों की सबसे महत्वपूर्ण पुस्तक, ई. न्यूफर्ट की संदर्भ पुस्तक "बिल्डिंग डिज़ाइन" में मानव शरीर के मापदंडों की बुनियादी गणना शामिल है, जिसमें सुनहरा अनुपात भी शामिल है।

हमारे शरीर के विभिन्न भागों का अनुपात सुनहरे अनुपात के बहुत करीब की संख्या बनाता है। यदि ये अनुपात स्वर्णिम अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो किसी व्यक्ति का रूप या शरीर आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है। मानव शरीर पर सुनहरे माप की गणना के सिद्धांत को एक चित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एम/एम=1.618

मानव शरीर की संरचना में स्वर्ण खंड का पहला उदाहरण:
यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो एक व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।

इसके अलावा, हमारे शरीर के कई और बुनियादी सुनहरे अनुपात हैं:

* उंगलियों से कलाई से कोहनी तक की दूरी 1:1.618 है;

* कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है;

* नाभि के बिंदु से सिर के शीर्ष तक और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है;

*नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है;

* ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका छिद्र तक की दूरी 1:1.618 है;

* ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है;

* ठोड़ी के सिरे से भौंहों की ऊपरी रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है:

मानवीय चेहरे पर, स्वर्ण खंड नियम के अन्य अवतार भी हैं। इनमें से कुछ रिश्ते यहां दिए गए हैं:

* चेहरे की ऊंचाई / चेहरे की चौड़ाई;

* नाक के आधार/नाक की लंबाई से होठों के कनेक्शन का केंद्रीय बिंदु;

* चेहरे की ऊंचाई / ठोड़ी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी;

* मुँह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई;

* नाक की चौड़ाई/नाक के छिद्रों के बीच की दूरी;

* पुतलियों के बीच की दूरी/भौहों के बीच की दूरी।

मानव हाथ

* उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फालेंजों का योग और सुनहरे खंड की संख्या देता है (अंगूठे के अपवाद के साथ);

* इसके अलावा, मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर है;

* एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की अंगुलियों में 3 अंगुलियाँ होती हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी कुल मिलाकर 10, लेकिन दो दो हाथ के अंगूठे को छोड़कर, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं:

मानव फेफड़ों की संरचना में स्वर्णिम अनुपात

अमेरिकी भौतिक विज्ञानी बी.डी. वेस्ट और डॉ. ए.एल. गोल्डबर्गर ने शारीरिक और शारीरिक अध्ययन के दौरान पाया कि मानव फेफड़ों की संरचना में स्वर्ण खंड भी मौजूद है।

किसी व्यक्ति के फेफड़ों को बनाने वाली ब्रांकाई की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बायां) लंबा और दूसरा (दाएं) छोटा।

* यह पाया गया कि यह विषमता ब्रांकाई की शाखाओं, सभी छोटे वायुमार्गों में जारी रहती है। इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी स्वर्णिम अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।

स्वर्णिम ओर्थोगोनल चतुर्भुज और सर्पिल की संरचना

सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है जैसे बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है।

ज्यामिति में, भुजाओं के इस अनुपात वाले आयत को सुनहरा आयत कहा जाने लगा। इसकी लंबी भुजाएँ छोटी भुजाओं से 1.168:1 के अनुपात में संबंधित हैं।

सुनहरे आयत में भी कई अद्भुत गुण हैं। सुनहरे आयत में बहुत सारे हैं असामान्य गुण. सुनहरे आयत से एक वर्ग काटने पर, जिसकी भुजा आयत की छोटी भुजा के बराबर होती है, हमें फिर से एक छोटा सुनहरा आयत मिलता है। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रखी जा सकती है। जैसे-जैसे हम वर्गों को काटते रहेंगे, हमें छोटे और छोटे सुनहरे आयत मिलेंगे। इसके अलावा, वे एक लघुगणकीय सर्पिल में स्थित होंगे, जो प्राकृतिक वस्तुओं (उदाहरण के लिए, घोंघे के गोले) के गणितीय मॉडल में महत्वपूर्ण है।

सर्पिल का ध्रुव प्रारंभिक आयत के विकर्णों और पहले कटे हुए ऊर्ध्वाधर के चौराहे पर स्थित है। इसके अलावा, बाद के सभी घटते सुनहरे आयतों के विकर्ण इन विकर्णों पर स्थित हैं। निःसंदेह, एक स्वर्ण त्रिभुज भी है।

अंग्रेजी डिजाइनर और सौंदर्यशास्त्री विलियम चार्लटन ने कहा कि लोगों को सर्पिल आकृतियाँ आंख को भाती हैं और वे सहस्राब्दियों से उनका उपयोग कर रहे हैं, इसे इस प्रकार समझाते हुए:

"हमें सर्पिल का रूप पसंद है क्योंकि हम इसे आसानी से देख सकते हैं।"

प्रकृति में

* सर्पिल की संरचना में अंतर्निहित स्वर्णिम अनुपात का नियम प्रकृति में अक्सर अद्वितीय सौंदर्य की रचनाओं में पाया जाता है। सबसे स्पष्ट उदाहरण - सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था में एक सर्पिल आकार देखा जा सकता है, और पाइन शंकु में, अनानास, कैक्टि, गुलाब की पंखुड़ियों की संरचना, आदि में;

* वनस्पतिशास्त्रियों ने स्थापित किया है कि एक शाखा, सूरजमुखी के बीज या पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्पष्ट रूप से प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का नियम प्रकट होता है;

सर्वशक्तिमान ईश्वर ने अपनी प्रत्येक रचना के लिए एक विशेष माप स्थापित किया है और आनुपातिकता दी है, जिसकी पुष्टि प्रकृति में पाए जाने वाले उदाहरणों से होती है। ऐसे बहुत से उदाहरण दिए जा सकते हैं जब जीवित जीवों की वृद्धि की प्रक्रिया एक लघुगणकीय सर्पिल के आकार के अनुसार सख्ती से होती है।

एक कुंडल में सभी स्प्रिंग्स का आकार एक जैसा होता है। गणितज्ञों ने पाया है कि स्प्रिंग्स के आकार में वृद्धि के साथ भी, सर्पिल का आकार अपरिवर्तित रहता है। गणित में ऐसा कोई अन्य रूप नहीं है जिसमें यह समानता हो अद्वितीय गुणएक सर्पिल की तरह.

समुद्री सीपियों की संरचना

समुद्र के तल पर रहने वाले नरम शरीर वाले मोलस्क के गोले की आंतरिक और बाहरी संरचना का अध्ययन करने वाले वैज्ञानिकों ने कहा:

“गोले की आंतरिक सतह बिल्कुल चिकनी है, जबकि बाहरी सतह खुरदरापन और अनियमितताओं से ढकी हुई है। मोलस्क खोल में था, और इसके लिए खोल की आंतरिक सतह को निर्दोष रूप से चिकना होना था। खोल के बाहरी कोने-मोड़ इसकी ताकत, कठोरता को बढ़ाते हैं और इस प्रकार इसकी ताकत को बढ़ाते हैं। खोल (घोंघा) की संरचना की पूर्णता और अद्भुत तर्कसंगतता प्रसन्न करती है। सीपियों का सर्पिल विचार एक आदर्श ज्यामितीय रूप है और इसकी पॉलिश की गई सुंदरता अद्भुत है।

अधिकांश घोंघों में जिनके खोल होते हैं, खोल एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ता है। हालाँकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि इन अविवेकी प्राणियों को न केवल लघुगणकीय सर्पिल के बारे में कोई जानकारी नहीं है, बल्कि अपने लिए एक सर्पिल खोल बनाने के लिए सबसे सरल गणितीय ज्ञान भी नहीं है।

लेकिन फिर ये अज्ञानी प्राणी अपने लिए सर्पिल खोल के रूप में विकास और अस्तित्व का आदर्श रूप कैसे निर्धारित और चुन सकते हैं? क्या ये जीव किसको वैज्ञानिकों की दुनियाआदिम जीवन रूपों को कॉल करता है, यह गणना करने के लिए कि शेल का लघुगणकीय आकार उनके अस्तित्व के लिए आदर्श होगा?

बिल्कुल नहीं, क्योंकि ऐसी योजना तर्क और ज्ञान की मौजूदगी के बिना साकार नहीं हो सकती। लेकिन न तो आदिम मोलस्क और न ही अचेतन प्रकृति, जिसे, हालांकि, कुछ वैज्ञानिक पृथ्वी पर जीवन का निर्माता कहते हैं (?!)

कुछ प्राकृतिक परिस्थितियों के आकस्मिक संयोग से जीवन के ऐसे सबसे आदिम रूप की उत्पत्ति को समझाने की कोशिश करना कम से कम बेतुका है। स्पष्ट है कि यह परियोजना एक सचेतन रचना है।

जीवविज्ञानी सर डी'आर्की थॉम्पसन इस प्रकार को समुद्री सीप वृद्धि कहते हैं "सूक्ति वृद्धि आकार"।

सर थॉम्पसन यह टिप्पणी करते हैं:

“सीपियों के विकास से अधिक सरल कोई प्रणाली नहीं है, जो समान आकार बनाए रखते हुए आनुपातिक रूप से बढ़ते और विस्तारित होते हैं। सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि खोल बढ़ता है, लेकिन आकार कभी नहीं बदलता।

नॉटिलस, जिसका व्यास कई सेंटीमीटर है, सबसे अधिक है अभिव्यंजक उदाहरणसूक्ति जैसी वृद्धि. एस. मॉरिसन ने नॉटिलस वृद्धि की इस प्रक्रिया का वर्णन इस प्रकार किया है, जिससे योजना भी बनाई जा सके मानव मस्तिष्कयह काफी जटिल प्रतीत होता है:

“नॉटिलस शेल के अंदर मदर-ऑफ़-पर्ल विभाजन के साथ कई विभाग-कक्ष हैं, और शेल स्वयं केंद्र से विस्तार करने वाला एक सर्पिल है। जैसे-जैसे नॉटिलस बढ़ता है, खोल के सामने एक और कमरा उगता है, लेकिन पहले से ही पहले से बड़ा होता है, और पीछे छोड़े गए कमरे के विभाजन मदर-ऑफ़-पर्ल की परत से ढके होते हैं। इस प्रकार, सर्पिल हर समय आनुपातिक रूप से फैलता है।

यहां कुछ प्रकार के सर्पिल गोले हैं जिनका उनके वैज्ञानिक नामों के अनुसार लघुगणकीय विकास आकार होता है:
हेलियोटिस पार्वस, डोलियम पेर्डिक्स, म्यूरेक्स, फ्यूसस एंटिकस, स्केलारी प्रीटियोसा, सोलारियम ट्रोक्लियर।

सीपियों के सभी खोजे गए जीवाश्म अवशेषों में एक विकसित सर्पिल आकार भी था।

हालाँकि, वृद्धि का लघुगणकीय रूप न केवल मोलस्क में बल्कि पशु जगत में भी पाया जाता है। मृग, जंगली बकरियों, मेढ़ों और अन्य समान जानवरों के सींग भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार एक सर्पिल के रूप में विकसित होते हैं।

मानव कान में स्वर्णिम अनुपात

मनुष्य के आंतरिक कान में एक अंग कोक्लीअ ("घोंघा") होता है, जो ध्वनि कंपन संचारित करने का कार्य करता है. यह हड्डी जैसी संरचना द्रव से भरी होती है और घोंघे के रूप में भी बनाई जाती है, जिसमें एक स्थिर लघुगणक सर्पिल आकार = 73º 43' होता है।

जानवरों के सींग और दाँत सर्पिल पैटर्न में विकसित हो रहे हैं

हाथियों और विलुप्त मैमथों के दांत, शेरों के पंजे और तोते की चोंच लघुगणकीय रूप हैं और एक अक्ष के आकार से मिलते जुलते हैं जो एक सर्पिल में बदल जाता है। मकड़ियाँ हमेशा अपना जाल लघुगणकीय सर्पिल में घुमाती हैं। प्लवक (ग्लोबिगेरिने, प्लैनोर्बिस, भंवर, टेरेबरा, ट्यूरिटेला और ट्रोचिडा प्रजाति) जैसे सूक्ष्मजीवों की संरचना भी एक सर्पिल आकार की होती है।

सूक्ष्म जगत की संरचना में स्वर्णिम खंड

ज्यामितीय आकृतियाँ केवल त्रिभुज, वर्ग, पाँच- या षट्भुज तक सीमित नहीं हैं। यदि हम इन आकृतियों को जोड़ते हैं विभिन्न तरीकों सेआपस में, तब हमें नई त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृतियाँ मिलती हैं। इसके उदाहरण घन या पिरामिड जैसी आकृतियाँ हैं। हालाँकि, उनके अलावा, अन्य त्रि-आयामी आकृतियाँ भी हैं जिनसे हमें मिलना नहीं पड़ा है रोजमर्रा की जिंदगी, और जिनके नाम हम शायद पहली बार सुनते हैं। ऐसी त्रि-आयामी आकृतियों में से एक टेट्राहेड्रोन (एक नियमित चार-तरफा आकृति), एक ऑक्टाहेड्रोन, एक डोडेकाहेड्रोन, एक इकोसाहेड्रोन, आदि का नाम लिया जा सकता है। डोडेकाहेड्रोन में 13 पंचकोण होते हैं, इकोसाहेड्रोन में 20 त्रिकोण होते हैं। गणितज्ञ ध्यान दें कि इन आंकड़ों को गणितीय रूप से बदलना बहुत आसान है, और उनका परिवर्तन स्वर्ण खंड के लघुगणकीय सर्पिल के सूत्र के अनुसार होता है।

सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणकीय रूप सर्वव्यापी हैं। . उदाहरण के लिए, कई वायरस में एक इकोसाहेड्रोन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इनमें से सबसे प्रसिद्ध वायरस एडेनो वायरस है। एडेनो वायरस का प्रोटीन खोल एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित 252 इकाइयों प्रोटीन कोशिकाओं से बनता है। इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक कोने में एक पंचकोणीय प्रिज्म के रूप में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ हैं, और स्पाइक जैसी संरचनाएँ इन कोनों से फैली हुई हैं।

वायरस की संरचना में स्वर्णिम अनुपात पहली बार 1950 के दशक में खोजा गया था। लंदन के बिर्कबेक कॉलेज के वैज्ञानिक ए.क्लुग और डी.कैस्पर। 13 पॉलीओ वायरस लघुगणकीय रूप दिखाने वाला पहला वायरस था। इस वायरस का स्वरूप राइनो 14 वायरस जैसा ही पाया गया।

सवाल उठता है कि वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिनकी संरचना में सुनहरा खंड होता है, जिसे हमारे मानव मस्तिष्क के साथ भी बनाना काफी मुश्किल है? वायरस के इन रूपों के खोजकर्ता, वायरोलॉजिस्ट ए. क्लुग निम्नलिखित टिप्पणी करते हैं:

“डॉ. कास्पर और मैंने दिखाया है कि वायरस के गोलाकार खोल के लिए, सबसे इष्टतम आकार एक इकोसाहेड्रोन के आकार की तरह समरूपता है। यह आदेश कनेक्टिंग तत्वों की संख्या को कम करता है... के सबसेबकमिनस्टर फुलर के जियोडेसिक अर्धगोलाकार क्यूब्स का निर्माण एक समान ज्यामितीय सिद्धांत के अनुसार किया गया है। 14 ऐसे क्यूब्स की स्थापना के लिए बेहद सटीक और विस्तृत स्पष्टीकरण योजना की आवश्यकता होती है। जबकि अचेतन वायरस स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन कोशिका इकाइयों के ऐसे जटिल खोल का निर्माण करते हैं।